Constacyclic Codes over $F_p+vF_p$
Guanghui Zhang, Bocong Chen
本文研究了环$F_p+vF_p$上的常循环码，其中$p$是奇素数，且$v^2=v$ .刻画了环$F_p+vF_p$上所有常循环码的多项式生成元，并确定了它们的对偶码。
In this paper, we study constacyclic codes over $F_p+vF_p$, where $p$ is an odd prime and $v^2=v$. The polynomial generators of all constacyclic codes over $F_p+vF_p$ are characterized and their dual codes are also determined.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Two Classes of Constacyclic Codes with Variable Parameters
有限域上的常循环码是一类线性码，其子类中包含循环码。常循环码与数学的许多领域有关，并且在许多方面优于循环码。因此，常循环码具有重要的理论意义。另一方面，常循环码在实践中是重要的，因为它们具有丰富的代数结构并且可以具有有效的解码算法。利用循环码构造常循环码的一般方法，构造了两类常循环码。第一类常循环码的动机是由打孔Dilix循环码和第二类的动机是由打孔广义Reed-Muller码。这两类常循环码都包含最佳线性码。本文对这两类常循环码的参数进行了分析，并提出了一些有待解决的问题。
Iso-Orthogonality and Type II Duadic Constacyclic Codes
推广偶类二元循环码和II型二元循环码，我们引入偶类（即，Type-II）和奇型duadic常循环码，并研究了它们的性质和存在性。证明了类偶二元常循环码是等距正交的，类偶二元常循环码的模是类奇二元常循环码。我们给出了偶类二元常循环码存在的充分必要条件。构造了一类偶类二元常循环码，它们是交替MDS-码。
Schur Products of Constacyclic Codes via the Constacyclic Discrete Fourier Transform
本文通过常数循环离散傅里叶变换研究常数循环码的Schur积，扩展了退化循环码的概念，推导了Schur积维度的性质。
Non-Invertible-Element Constacyclic Codes over Finite PIRs
本文引入有限环$R$上的$λ$ -常循环码的概念，对$R$的任意元$λ$进行了研究.研究了有限主理想环上的不可逆元常循环码（NIE-常循环码）。确定了有限链环上所有NIE-常循环码的代数结构，给出了定义多项式集合的唯一形式，并得到了它们的最小汉明距离.给出了有限链环上NIE-常循环码的一种一般形式。特别地，我们给出了NIE-常循环码的对偶是NIE-常循环码的一个充分必要条件。利用中国剩余定理，研究了有限PIR上的NIE-常循环码。此外，我们构造了一些最佳的NIE-常循环码在有限的PIR的意义上，他们实现了最大可能的最小汉明距离为一些给定的长度和基数。
Entanglement-assisted quantum MDS codes constructed from constacyclic codes
近年来，利用循环码和非循环码构造了纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）。本文通过分析常循环码定义集中的分圆陪集，构造了三类新的满足纠缠辅助量子Singleton界的EAQECC。此外，还构造了三类具有最大纠缠的常循环码的EAQECC。
Skew constacyclic codes over Fq+uFq+vFq
本文研究了有限非链环R = F_q+uF_q+vF_q上的斜常循环码，其中q= p^m，p是奇素数，u^{2}=u，v^{2}=v，uv = vu = 0.证明了R上长度为n的斜α-常循环循环码的Gray像是R上长度为$3n$的索引为3的斜α-拟循环码.还证明了R上的斜α-常循环码与α-常循环码或α-拟扭码等价。进一步，利用分解方法得到了环R上斜常循环的结构性质。
A Generalization of Cyclic Code Equivalence Algorithm to Constacyclic Codes
最近，一种新的算法来测试两个循环码的等价性已被引入，这是有效的，并产生有用的结果。在这项工作中，我们推广这个算法的常循环码。作为该算法的应用，我们发现了许多具有良好参数和性质的常循环码。特别是，我们发现了23个新的代码，提高了BKLC的最小距离。
Multi-dimensional Constacyclic Codes of Arbitrary Length over Finite Fields
多维循环码是循环码的自然推广。在早期的论文中，我们探讨了有限域上的二维常循环码。遵循相同的技术，在这里，我们的特征的代数结构的多维常循环码，特别是三维$(α,β,γ)$ -常循环码的任意长度$s\ell k$和它们的重复在有限域$\mathbb{F}_q$，其中$α,β,γ$是非零元素的$\mathbb{F}_q$。本文给出了三维$(α,β,γ)$ -常循环码是自对偶码的充要条件。
Several Families of Irreducible Constacyclic and Cyclic Codes
本文研究了有限域上的几类不可约常循环码及其构造。确定了这类不可约常循环码的重量分布和码元参数。构造了几类重量较少的不可约常循环码和几类最优常循环码。作为副产品，给出了$\gf(q)$上的一类$[2n, (n-1)/2, d \geq 2(\sqrt{n}+1)]$不可约循环码和一类$\gf(q)$上的$[(q-1)n, (n-1)/2, d \geq (q-1)(\sqrt{n}+1)]$不可约循环码，其中$n$是素数，使得$\ord_n(q)=(n-1)/2$ .本文的结果是对有限域上不可约常循环码和循环码的补充。
New entanglement-assisted MDS quantum codes from constacyclic codes
利用经典码构造好的量子码是量子信息和量子计算的重要任务。在这项工作中，凭借一个常循环码的定义集的分解，我们构造了八个新的类的纠缠辅助量子最大距离可分码。
Two Dimensional $\left( α,β\right) $-Constacyclic Codes of arbitrary length over a Finite Field
本文刻画了任意长度的二维$(α,β)$ -常循环码$s.\ell$的代数结构和它们的代数结构。对于$α,β\in \{1,-1\}$，给出了二维$(α,β)$ -常循环码是自对偶码的充要条件.我们还证明了长度为$n=s.\ell$的二维$(α,1 )$ -常循环码$\mathcal{C}$不可能是自对偶的，如果$\gcd(s,q)= 1$ .最后给出了二维$(α,β)$ -常循环码的自对偶码、等对偶码、MDS码和准扭码的例子。
Some Constacyclic Codes over Finite Chain Rings
对于有限链环中单位元的$λ$的$n$次幂，证明了某些有限链环上的$λ$ -常循环重根码与循环码等价.这使我们能够简化一些constacyclic码的结构。我们还研究了Galois环$GR(p^e,r)$上长度为$p^s$的$α+p β$ -常循环码.
Skew cyclic and skew $(α_1 + uα_2 + vα_3 + uvα_4)$-constacyclic codes over $F_q + uF_q + vF_q + uvF_q$
本文研究环$\mathcal{R}=F_{q}+uF_{q}+vF_{q}+uvF_{q}$上的斜循环码和斜常循环码，其中$q=p^{m},$ $p$是奇素数，$u^{2}=u,~v^{2}=v,~uv=vu$ .证明了长度为$n$的斜循环码和斜$α$ -常循环码的Gray像是指数为4的$F_{q}$上长度为$4n$的斜准循环码.此外，还证明了在$\mathcal{R}$上，斜$α$-常循环码与$α$ -常循环码或$α$ -准扭码是等价的.进一步，利用分解方法确定了斜循环码和斜常循环码的结构性质，特别是生成多项式和幂等元生成元。
A class of constacyclic codes are generalized Reed-Solomon codes
最大距离可分离（MDS）码是最优的，因为对于给定的长度和码长，最小距离不能提高。最突出的MDS码是广义Reed-Solomon（GRS）码。线性码$\mathcal{C}$的平方$\mathcal{C}^{2}$是由$\mathcal{C}$中的每对码字的分量乘积所跨越的线性码。对于MDS码$\mathcal{C}$，通过确定$\mathcal{C}^{2}$的维数来确定$\mathcal{C}$是否是GRS码是方便的。本文研究了MDS常循环码在什么条件下是GRS码。为此，我们首先研究了常循环码的平方。然后给出了常循环码是GRS码的一个充分条件。特别地，我们给出了素数长度的常循环码是GRS的一个充要条件。
$σ$-self-orthogonal constacyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb F_{p^m}+u\mathbb F_{p^m}$
本文研究了有限交换链环$\mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m}$上长度为$p^s$的常循环码的$σ$ -自正交性，其中$u^2=0$和$σ$是$\mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m}$的环自同构.首先，我们得到了$\mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m}$上长度为$p^s$的$σ$-$λ$ -常循环码的对偶码的结构.然后给出了$λ$ -常循环码是$σ$ -自正交码的充要条件。特别地，我们确定了长度为$p^s$的$σ$ -自对偶常循环码在$\mathbb F_{p^m} + u \mathbb F_{p^m}$上。最后，我们将结果推广到长度为$2 p^s$的常循环码。
Constacyclic codes with best-known parameters
本文在有限域上构造了无限族q元常循环码，其长度n、维数约n/2、最小距离至少cn/log_q n，包含许多具有最优或最佳已知参数的码。
Repeated-root Constacyclic Codes with Optimal Locality
如果一个代码符号是其他代码符号的一小部分的函数，则称为局部可修复代码（LRC）。当在分布式存储系统中采用本地可修复码时，可以通过仅访问少量的其他符号来恢复被擦除的符号，从而减轻修复过程期间所需的网络资源。在本文中，我们考虑重复根常循环码，这是一个推广的循环码，这是最佳的最小距离上的一个类似Singleton的界。具有常循环码结构的LRC通常可以使用常循环码的任何编码算法来有效地编码。在本文中，我们得到这些重复根常循环码的最佳LRC。在固定字母表上找到了几类无限多的最优LRC，并进一步假设重根常循环码的周围空间是一个链环，证明了不存在其他最优LRC.
Repeated-root constacyclic codes of length $2\ell^mp^n$
对任意不同的奇素数$\ell$和$p$，利用其生成多项式建立了特征$p$的有限域$\mathbb F_q$上长度为$2\ell^mp^n$的常循环码及其子码的结构.得到了$\mathbb F_q$上长度为$2\ell^mp^n$的所有线性互补对偶和自对偶常循环码.
$\mathbb{Z}_{q}(\mathbb{Z}_{q}+u\mathbb{Z}_{q})$-Linear Skew Constacyclic Codes
本文研究环$\mathbb{Z}_{q}R$上的斜常循环码，其中$R=\mathbb{Z}_{q}+u\mathbb{Z}_{q}$，$q=p^{s}$为素$p$，$u^{2}=0$ .我们定义这些码作为环$\mathbb{Z}_{q}^αR^β$的子集。讨论了斜多项式环$ R[x,θ]$的一些结构性质，其中$ θ$是$R$的自同构.本文描述了$ R $和$\mathbb{Z}_{q}R$上的斜常循环码的生成多项式。利用环$\mathbb{Z}_{q}R$上斜常循环码的Gray象，得到了环$\mathbb{Z}_4$上新的线性码.进一步，我们将这些码推广到了$\mathbb{Z}_{q}R$上的双斜常循环码。
On Repeated-Root Constacyclic Codes of Length $2^amp^r$ over Finite Fields
本文利用$a\geq1$和$(m,p)=1$研究了$\mathbb{F}_{p^s}$上长度为$2^amp^r$的重复根常循环码的结构.我们描述的代码在其生成多项式。这为自对偶双循环码的存在提供了简单的条件。进一步给出了常循环码与循环码等价的情形。
A note on complete classification of $(δ+αu^2)$-constacyclic codes of length $p^k$ over $\F_{p^m}+u\F_{p^m}+u^2\F_{p^m}$
对于$\F_{p^m}$中的单位元$δ$和$α$，研究了长度为$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}+u^2\mathbb{F}_{p^m}$上$p^k$的$(δ+αu^2)$ -常循环码的结构，并分析了自对偶$(δ+αu^2)$ -常循环码.
Matrix-product structure of repeated-root constacyclic codes over finite fields
对任意素数$p$和满足${\rm gcd}(p,n)=1$和$λ_0\in \mathbb{F}_{p^m}^\times$的正整数$m, k, n$，证明了有限域$\mathbb{F}_{p^m}$上任意长度为$p^kn$的$λ_0^{p^k}$ -常循环码单门等价于$\mathbb{F}_{p^m}$上长度为$n$-常循环码的嵌套序列的矩阵积码.
Double Constacyclic Codes over Two Finite Commutative Chain Rings
在两个特殊的有限交换链环上具有两个循环结构的码，如${\Bbb Z}_2{\Bbb Z}_4$ -可加循环码和分数阶准循环码等，被证明是渐近好的。在本文中，我们将研究扩展到两个方向：我们考虑任何两个有限交换链环满同态从一个到另一个，并考虑双常循环结构。构造了两个有限交换链环上的一类推广的双重常循环码。并给出了域上拟循环码的概率方法，证明了两个有限交换链环上的双重常循环码是渐近好码。
New Quantum MDS codes constructed from Constacyclic codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。本文利用常循环码和Hermitain构造，构造了一些新的量子MDS码，其形式为$q=2am+t$，$n=\frac{q^{2}+1}{a}$ .这些量子MDS码中的大多数是新的，在这个意义上，它们的参数没有被覆盖的代码在文献中。
Skew Constacyclic and LCD Codes over $ \mathbb{F}_{q}+v \mathbb{F}_{q} $
本文的目的是给出半局部环上的斜常循环码、斜循环码和斜双循环码等价的条件。此外，我们提供的建设和计数的欧几里德和厄米特斜LCD循环码在$ \mathbb{F}_{p^{t}}+ v \mathbb{F}_{p^{t}} $。利用半局部环上的LCD斜交码的Gray像，得到了几种最优LCD码。
New non-binary quantum codes from skew constacyclic codes over the ring $\mathbb{F}_{p^m}+v\mathbb{F}_{p^m}+v^2 \mathbb{F}_{p^m}$
本文利用有限交换非链环$\mathcal{R}= \mathbb{F}_{p^m}[v]/\langle v^3 =v \rangle$上的斜常循环码构造了新的非二进制量子码，其中$p$是奇素数，$m \geq 1$ .为了得到这样的量子码，我们首先研究了环$\mathcal{R}$上的斜常循环码及其欧氏环的结构性质。然后给出了$\mathcal{R}$上的斜常循环码包含其欧几里德码的一个充要条件.最后，利用CSS构造和Gray映射，在$\mathbb{F}_{p^m}$上得到了许多新的非二进制量子码.
Equivalence of constacyclic codes with shift constants of different orders
本文研究了具有不同乘法阶移位常数的常循环码的单项等价性，提出了判定等价性的新条件，并据此发现了超过70个打破记录的新线性码及新二元量子码。
Repeated Root Constacyclic Codes of Length $mp^s$ over $\mathbb{F}_{p^r}+u \mathbb{F}_{p^r}+...+ u^{e-1}\mathbb{F}_{p^r}$
本文给出了长度为$p^sm$的$λ$ -常循环码的结构，其中$p^sm$是在$R=\mathbb{F}_{p^r}+u \mathbb{F}_{p^r}+...+ u^{e-1}\mathbb{F}_{p^r}$上具有$λ\in \F_{p^r}^*$的.给出了长度为$p^sm$且具有$λ=α_1+uα_2+...+u^{e-1} α_{e-1}$的$λ$ -常循环码的结构，其中$α_1,α_2 \neq 0$.
Constacyclic codes over F_q + u F_q + v F_q + u v F_q
设q是素数幂，F_q是有限域.本文研究环F_q+ uF_q + vF_q+ uvF_q上的常循环码，其中u^2=u，v^2=v，uv=vu.利用环的某些分解刻画了常循环码的生成多项式及其逆。定义了Gray映射，刻画了环F_q+uF_q+vF_q+uvF_q上自对偶循环码的Gray像.
$(1-2u^2)$-constacyclic codes over $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+u^2\mathbb{F}_p$
设$\mathbb{F}_p$是有限域，$u$是不定域.本文研究环$\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+u^2\mathbb{F}_p$上的$(1-2u^2)$ -常循环码，其中$u^3=u$ .我们描述了这类码的生成多项式，并通过分解定理研究了这类码的结构性质。
Two classes of constacyclic codes with a square-root-like lower bound
本文构造并分析了两类无限长度的 $q$ 元负循环码和常循环码，并作为副产物给出了两类最小距离具有类平方根下界的三元负循环自对偶码。
On the Structure of Two-Dimensional Constacyclic Codes using Common Zero Sets
本文研究了二维常数循环码的结构，利用公共零集理论，提出了一种构建码的理想基的算法，并展示了其在编码效率和最小距离方面的优势。
On a class of constacyclic codes over the non-principal ideal ring $\mathbb{Z}_{p^s}+u\mathbb{Z}_{p^s}$
研究了非主理想环$\mathbb{Z}_{p^s} +u\mathbb{Z}_{p^s}$上任意长度的$(1+pw)$-常循环码，其中$p$是素数，$w\in \mathbb{Z}_{p^s}^{\times}$和$s$是满足$s\geq 2$的整数.首先给出了$\mathbb{Z}_{p^s} +u\mathbb{Z}_{p^s}$上任意$(1+pw)$ -常循环码的结构.然后分别给出了所有码的个数、每个码中码字的个数以及这些码的对偶码的结构。然后研究了环$\mathbb{Z}_{2^s} +u\mathbb{Z}_{2^s}$上的自对偶$(1+2w)$ -常循环码，其中当$s\geq 3$为$w=2^{s-2}-1$或$2^{s-1}-1$，当$s=2$为$w=1$.
An infinite class of quantum codes derived from duadic constacyclic codes
本文基于有限域上对偶循环码构造了一族量子稳定子码，其最小距离有平方根下界，并包含无限退化子类，为量子纠错提供了新码族。
Application of Constacyclic codes to Quantum MDS Codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。为了得到$q$元量子MDS码，利用Hermitian构造和量子Singleton界，只要在$\mathbb{F}_{q^2}$上找到满足$C^{\perp_H}\subseteq C$的线性MDS码$C$即可.如果是$C^{\perp_{H}}\subseteq C$，我们说$C$是一个包含双重的代码。通过构造包含对偶的常循环MDS码，已经产生了许多新的具有较大最小距离的量子MDS码（参见\cite{Guardia11}、\cite{Kai13}、\cite{Kai14}）。这些工作促使我们对非平凡对偶包含常循环码的存在性条件进行深入的研究。这将有助于我们避免不必要的尝试，并提供有效的想法，以构建双重包含码。构造了几类含对偶的MDS常循环码，并计算了它们的参数。因此，新的量子MDS码是从这些参数。这里展示的量子MDS码的参数优于文献中的参数。
A Note on Hamming distance of constacyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb F_{p^m} + u\mathbb F_{p^m}$
对于任何素数$p$，$λ$ -长度为$p^s$的常循环码恰好是局部环${\cal R}_λ=\frac{{\cal R}[x]}{\left\langle x^{p^s}-λ\right\rangle}$的理想，其中$u^2=0$ .本文首先研究了${\cal R}$上长度为$p^s$的循环码的汉明距离.确定了${\cal R}$上所有长度为$p^s$的循环码的最小汉明距离.此外，还建立了$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码和$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码之间的等距关系，其中$α$是$\mathbb{F}_{p^m}$的非零元素，它继承了关于$α$-长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码所对应的循环码的结果.
On constacyclic codes over $\mathbb{Z}_4[u]/\langle u^2-1\rangle$ and their Gray images
首先定义了一个新的从$R=\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4$到$\mathbb{Z}^{2}_{4}$的Gray映射，其中$u^2=1$和研究了$R$上的$(1+2u)$ -常循环码.我们还研究了$R$上的$(1+2u)$ -常循环码的一些性质.考虑它们的$\mathbb{Z}_4$象，我们证明了$(1+2u)$ -长度为$n$ over $R$的常循环码的Gray象是长度为$2n$ over $\mathbb{Z}_4$的循环码.在许多情况下，后者的代码有更好的参数比Aydin和Asamov的在线数据库。我们还给出了Özen等人在Finite Fields and Their Applications，{ \bf 38}，（2016）27-39中发表的新循环$R$ -码表的修正版本。
Two families of Entanglement-assisted quantum MDS codes from constacyclic codes
纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）可以从任意的经典线性码中推导出来。然而，确定所需纠缠态的数量是一项非常困难的任务。本文在经典常循环MDS码的基础上，利用常循环码定义集的分解方法，利用较少的预共享最大纠缠态，构造了两类q元纠缠辅助量子MDS（EAQMDS）码.证明了一类q元EAQMDS的最小距离上界大于q。它们中的一些比相同长度的已知量子MDS（QMDS）码具有更大的最小距离。大多数这些q元EAQMDS代码是新的意义上说，他们的参数不包括在文献中的代码。
New Linear Codes as Quasi-Twisted Codes from Long Constacyclic Codes
编码理论中最重要和最具挑战性的问题之一是确定线性码的参数的最佳值，并显式地构造具有最佳参数或尽可能接近最佳值的码。在这方面，准扭曲（QT）码的类已经非常有前途。在过去的几十年中，各种搜索算法，以构建具有更好的参数的QT码已被采用。这些算法中的大多数（例如ASR）通过连接较小长度的常循环码来获得较长长度的QT码。有一种算法以相反的方式工作，从长的常循环码构造较短的QT码。我们对该算法进行了改进和推广，并通过其实现得到了新的线性码。我们还观察到，新的算法是相关的ASR算法。
Constacyclic Codes over Commutative Finite Principal Ideal Rings
对于长度与环的特征互质的有限交换链环上的任意常循环码，我们构造了生成多项式和校验多项式，并给出了这类常循环码的BCH界.因此，这种常循环码是主要的。进一步得到了有限交换主理想环上的循环码都是主环的一个充要条件。这个条件仍然是充分的常循环码在这样的环是主要的。
A family of constacyclic codes over $\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$ and its application to quantum codes
本文引入了从$\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$到$\mathbb{F}_{2}^{2m}$的Gray映射，研究了$\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}},$上的$(1+u)$ -常循环码，其中$u^{2}=0.$.证明了在Gray映射下，$\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}$上的$(1+u)$ -常循环码长$n$的象是距离不变的拟本文还证明了环$\mathbb{F}_{2}.$上的循环码的Gray像的长度为$2mn$的码，长度为$n$的二进制准循环码的置换等价于下标为$m.$的二进制准循环码。此外，将由Calderbank-Shor-Steane（CSS）构造得到的一类量子纠错码应用于$\mathbb{F}_{2^{m}}+u\mathbb{F}_{2^{m}}.$上的$(1+u)$ -常循环码
Matrix-product structure of constacyclic codes over finite chain rings $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$
设$m,e$为正整数，$p$为素数，$\mathbb{F}_{p^m}$为$p^m$元素的有限域，$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$为有限链环.对任意$ω\in R^\times$和满足${\rm gcd}(p,n)=1$的正整数$k, n$，我们证明了任意长度为$p^kn$的$(1+ωu)$ -常循环码在$R$上单等价于长度为$n$的$p^k$循环码嵌套序列和$\mathbb{F}_p$上的$p^k\times p^k$矩阵$A_{p^k}$的矩阵积码.利用矩阵积结构，给出了由$R$上的较短长度的$(1+ωu)$-常循环码迭代构造每个$(1+ωu)$ -常循环码的方法.
Complete classification of $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $\mathbb{F}_{2^m}[u]/\langle u^4\rangle$ of oddly even length
设$\mathbb{F}_{2^m}$是基数为$2^m$，$R=\mathbb{F}_{2^m}[u]/\langle u^4\rangle)$的有限域，且$n$是正奇整数.对于任何$δ,α\in \mathbb{F}_{2^m}^{\times}$，环$R[x]/\langle x^{2n}-(δ+αu^2)\rangle$的理想被标识为$(δ+αu^2)$ -$R$上长度为$2n$的常循环码。本文给出了$R$上长度为$2n$的所有不同的$(δ+αu^2)$ -常循环码的一个显式表示和计数.
On $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic
本文研究了任意长度的$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ - $(1+u)$ -可加常循环码.首先，我们研究了这类码的代数结构和作为环$R_{α,β}$的$(\mathbb{Z}_{2}+u\mathbb{Z}_{2})[x]$ -子模的生成多项式。其次，给出了这类码的最小生成元集，确定了$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ - $(1+u)$ -加法常循环码与其对偶码的生成元之间的关系，并给出了这类码的生成元多项式次数的参数。最后，我们还研究了基于灰度图像的$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ - $(1+u)$ -加性常循环码.
Quasi-twisted codes and their connection with additive constacyclic codes over finite fields
本文研究了准循环码与有限域上加性常循环码的关系，通过多项式方法建立了两者之间的对应关系，并探讨了它们的对偶性质。
On $(n,σ)-$equivalence relation between skew constacyclic codes
本文将有限域上常循环码的 n-等价关系推广到无导子斜常循环码，提出 (n,σ)-等价关系，计算等价类数目并给出斜常循环码等价于循环码的若干条件。
Entanglement-assisted quantum MDS codes from constacyclic codes with large minimum distance
利用发送端和接收端之间的预共享纠缠，纠缠辅助（EA）形式允许任意经典线性码变换为纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）.在这项工作中，我们提出了一个分解的定义集的常循环码。利用这种方法，我们在经典常循环MDS码的基础上，利用较少的预共享最大纠缠态，构造了四类$q$ -ary纠缠辅助量子MDS（EAQMDS）码.证明了一类$q$元EAQMDS的最小距离上限大于$3q-1$ .它们中的一些比相同长度的已知量子MDS（QMDS）码具有更大的最小距离。大多数这些$q$ -ary EAQMDS代码是新的意义上说，他们的参数不包括在文献中可用的代码。
Construction of Cyclic and Constacyclic Codes for b-symbol Read Channels Meeting the Plotkin-like Bound
有限域上的符号对码是针对符号对读通道而提出的，并受到高密度数据存储技术应用的启发[1，2]。它们的一般化是用于b符号读取通道（b > 2）的代码。已经构造了许多用于b符号读取通道的MDS码，其满足类似Singleton的界限（[3，4，10]对于b = 2，[11]对于b > 2）。本文给出了Plotkin-like界，并构造了满足Plotkin-like界的不可约循环码和常循环码。
$(1-2u^k)$-constacyclic codes over $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+u^2\mathbb{F}_+u^{3}\mathbb{F}_{p}+\dots+u^{k}\mathbb{F}_{p}$
设$\mathbb{F}_p$是有限域，$u$是不定域.本文研究环$\mathcal{R}=\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+u^2\mathbb{F}_p+u^{3}\mathbb{F}_{p}+\cdots+u^{k}\mathbb{F}_{p}$上的$(1-2u^k)$ -常循环码，其中$u^{k+1}=u$ .我们说明了生成多项式，并通过分解定理研究这些码的结构性质。
Two-dimensional constacyclic codes over finite chain rings
研究有限链环上二维\((\lambda,\mu)\)-常循环码的代数结构，通过分析本原幂等元确定码的生成元以获其结构，还找出二维常循环码在有限链环上关于秩是最大汉明距离的条件。
New quantum MDS codes derived from constacyclic codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。构造最小距离较大的量子MDS码是非常困难的。在经典常循环码的基础上，构造了两类带参数的量子MDS码：$$[[λ(q-1),λ(q-1)-2d+2,d]]_q$$，其中$2\leq d\leq (q+1)/2+λ-1$，$r$为偶数; $$[[λ(q-1),λ(q-1)-2d+2,d]]_q$$，其中$2\leq d\leq (q+1)/2+λ/2-1$，$q+1=λr$，$r$为奇数.这里展示的量子MDS码的参数优于文献中的参数。
On a class of $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $\mathbb{F}_{q}[u]/\langle u^4\rangle$
设$\mathbb{F}_{q}$是基数有限域$q$，$R=\mathbb{F}_{q}[u]/\langle u^4\rangle=\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}+u^2\mathbb{F}_{q}+u^3\mathbb{F}_{q}$ $(u^4=0)$是有限链环，$n$是满足${\rm gcd}(q,n)=1$的正整数.对于任何$δ,α\in \mathbb{F}_{q}^{\times}$，给出了长度为$n$的$R$上所有不同的$(δ+αu^2)$ -常循环码的显式表示，并确定了这些码中每一个的对偶码.对于$q=2^m$和$δ=1$的情况，提供了奇数长度$n$的$R$上的所有自对偶$(1+αu^2)$ -常循环码。
A class of repeated-root constacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ of Type $2$
设$\mathbb{F}_{p^m}$是基数有限域$p^m$，其中$p$是奇素数，$n$是满足${\rm gcd}(n,p)=1$的正整数，记为$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$，其中$e\geq 4$是偶数.设$δ,α\in \mathbb{F}_{p^m}^{\times}$。则$R$上的$(δ+αu^2)$ -常循环码类是类型2的$R$上的常循环码的重要子类。对任意整数$k\geq 1$，给出了$R$上所有长度为$np^k$的不同$(δ+αu^2)$ -常循环码及其对偶码的显式表示和完整描述.此外，还分别给出了每个码中码字个数和所有码字个数的计算公式。特别地，精确地给出了$\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^{e}\rangle$上长度为$p^k$的所有不同的$(δ+αu^2)$ -接触循环码及其对偶码.
Quantum Constacyclic BCH Codes over Qudits: A Spectral-Domain Approach
本文利用有限域傅里叶变换在频域刻画常循环码并提出降复杂度译码方法，基于自正交和包含对偶码的零集推导出量子纠错码，并设计了变换域的量子编码器和译码器。
New Quantum codes from constacyclic codes over a general non-chain ring
设$q$是一个素数幂，$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}[u_1,u_2, \cdots, u_k]/\langle f_i(u_i),u_iu_j-u_ju_i\rangle$是一个有限非链环，其中$f_i(u_i), 1\leq i \leq k$是多项式，不全是线性的，它在$\mathbb{F}_{q}$上分裂成不同的线性因子。我们刻画了环$\mathcal{R}$上的常循环码，并由此研究了量子码.作为应用，我们得到了一些新的量子码，这些量子码比已知的量子码更好。我们还证明了在$\mathcal{R}$上由常循环码构造量子码时，多项式$f_i(u_i),$ $1 \leq i \leq k$的选择是无关的，它只取决于它们的次数.证明了对于任何具有$\gcd (n,q)\neq 1.$的$n$，都存在量子MDS码$[[n,n-2,2]]_q$
Hermitian dual-containing constacyclic BCH codes and related quantum codes of length $\frac{q^{2m}-1}{q+1}$
本文研究了$\mathbb{F}_{q^2}$上的一类长度为$n=\frac{q^{2m}-1}{q+1}$的常循环BCH码，其中$q$是素数幂，$m\geq2$是偶数.确定了长度为$n$的窄意义厄米特对偶含常循环BCH码的最大设计距离。进一步计算了给定设计距离的常循环BCH码的精确维数。因此，我们能够推导出量子码的参数作为相关的常循环BCH码的设计参数的函数。这改进了Yuan等人的结果（Des Codes Cryptogr 85（1）：179-190，2017），表明在相同长度的情况下，除了三种平凡情况（$q=2,3,4$），我们得到的量子码总是可以产生比Yuan等人获得的量子码严格的维度或最小距离增益。此外，固定长度$n=\frac{q^{2m}-1}{q+1}$，与一些已知结果相比，一些构造的量子码具有更好的参数或者是有益的补充（Aly等人，IEEE Trans Inf Theory 53（3）：1183-1188，2007，Li等人，Quantum Inf Process 18（5）：127，2019，Wang等人，Quantum Inf Process 18（8）：323，2019，Song等人，Quantum Inf Process 17（10）：1-24，2018.）。
Hulls and sums of separable constacyclic codes over $\mathbb{F}_q \times (\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q)$ and new quantum codes
研究在环F_q×(F_q+vF_q)上可分常循环码的对偶、壳与和的生成多项式，利用其格雷像，提出两种构造量子纠错码的方法，生成了参数更优的新量子码。
Repeated-root constacyclic codes of length $3lp^{s}$ and their dual codes
设$p\neq3$为任意素数，$l\neq3$为任意奇素数，且其与$gcd(p,l)=1$ .将$F_{q}^{*}=\langleξ\rangle$分解为子群$\langleξ^{3lp^{s}}\rangle$上$gcd(q-1,3lp^{s})$陪集的互不相交的并，其中$ξ$是本原$(q-1)$的单位根.利用分解方法将有限域$F_{q}$上长度为$3lp^{s}$的重根常循环码划分为若干等价类，其中$q=p^{m}$，$s$和$m$均为正整数.根据等价类，我们明确地确定了$F_{q}$上所有长度为$3lp^{s}$的重根常循环码及其对偶码的生成多项式。在$F_{q}$上的长度为$3lp^{s}$的自对偶循环（非循环）码仅当$p=2$。并给出了$F_{2^{m}}$上长度为$3l2^{s}$的自对偶循环（非循环）码及其计数.
Galois Self-Dual Constacyclic Codes
推广了Euclidean内积和Hermitian内积，引入了Galois内积，并在一般情况下用统一的方法研究了Galois自对偶常循环码.给出了Galois自对偶和等距Galois自对偶常循环码存在的条件。作为推论，得到了自对偶、等对偶和Hermitian自对偶常循环码的结果。
Decoding Algorithms for Two-dimensional Constacyclic Codes over $\mathbb{F}_q$
本文基于二维有限域傅里叶变换研究有限域上二维常循环码的谱域结构，提出错误定位与错误值提取的译码算法，适用于任意奇偶码区域并具有灵活码率。
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