Embedding 1-Planar Graphs in Ten Pages
本文证明每个1-平面图可嵌入10页书，且当平面骨架有哈密顿回路时4页必要且充分。
2023-12-25 cs.DM
Enumerating planar locally finite Cayley graphs
我们刻画了平面局部有限Cayley图的集合，并利用一类特殊的有限状态自动机标号方案给出了这些图的有限表示。因此，我们能够枚举和描述所有的平面局部有限凯莱图的一个给定的程度。这种分析使我们能够解决的问题，决定的局部有限平面性的单词问题，可决定的介绍。关键词：点传递，凯莱图，平面图，平铺，标号方案
2003-09-11 cs.DM
A note on the structure of locally finite planar quasi-transitive graphs
本研究基于Hamann的工作，证明了3-连通局部有限平面拟传递图的典范树分解结构定理，给出了Hamann等人2022年相关结果的新证明，是拟传递平面图的Droms型结构定理。
2025-07-30 cs.DM math.CO
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs
我们研究了1-平面，准平面，扇平面交叉数相比，（无限制）交叉数的图。我们证明了有$n$ -顶点1-平面（准平面，扇平面）图，使任何1-平面（准平面，扇平面）绘图有$Ω(n)$交叉，而$O(1)$交叉足够的交叉最小绘图没有限制的本地边缘交叉模式。
2019-09-09 cs.CG cs.DM
Homothetic triangle representations of planar graphs
证明了平面图都是平面中位似三角形的交图。
2019-08-30 cs.DM math.CO
Planar graph with twin-width seven
本文构造了一个双宽等于七的平面图，解决了平面图双宽的具体构造问题。
2023-05-17 cs.DM math.CO
Are highly connected 1-planar graphs Hamiltonian?
众所周知，每个平面4连通图都有一个Hamilton圈。本文研究了1-平面4-连通图是否存在Hamilton圈的问题。我们表明，这是假的一般情况下，即使是5-连通图，但真正的，如果图形有一个1-平面图，每个区域是一个三角形。
2019-11-06 cs.DM math.CO
Dynamic list coloring of 1-planar graphs
一个图是$k$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得每条边最多交叉$k$次。通常，1-可平面图是所谓的“超可平面图“中研究最多的一类图。图的动态$\ell$ -列表染色是指图的每个顶点从分配给它的$\ell$不同的候选颜色列表中接收一种颜色，同时，在每个顶点的邻域中至少有两种颜色出现，其度至少为2。本文证明了每个1-可平面图都有一个动态的$11$ -列表染色。此外，我们还证明了1-可平面图的动态染色与2-可平面图的正常染色之间的关系，即1-可平面图类的动态（列表）色数至少是2-可平面图类的（列表）色数.
2021-01-28 cs.DM math.CO
Maximal planar graphs that embed as centers
本文提出准偏心率顶点概念，刻画了可作为某平面图中心的极大平面图，给出相关必要/充分条件，并证明阶数不超过8的极大平面图均可作为平面图中心且该界紧。
2024-01-30 cs.DM math.CO
Planar Ramsey graphs
我们说一个图$H$是平面不可避免的，如果存在一个可平面图$G$，使得$G$的边的任何红/蓝着色包含$H$的单色副本，否则我们说$H$是平面可避免的。也就是说，如果存在平面的$H$的Ramsey图，则$H$是平面的。从四色定理和Gonçalves的一个结果可以看出，如果一个图是不可避免的平面图，那么它是二分的和外平面的。证明了$4$顶点上的圈和任何路都是平面不可避免的。此外，我们还证明了所有半径至多为$2$的树都是平面可避免的，并且存在半径为$3$的树是平面可避免的.我们还解决了平面不可避免的概念，在两个以上的颜色。
2018-12-03 cs.DM math.CO
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
2024-09-30 cs.DM math.CO
Triangulating planar graphs while keeping the pathwidth small
任何简单的平面图都可以三角化，即，我们可以向其添加边，而不添加多边，使得结果是平面的并且所有面都是三角形。本文研究了在不增加太多路宽的情况下对平面图进行三角剖分的问题。我们证明了如果一个平面图的路径宽度$k$，那么我们可以三角化它，使所得到的图的路径宽度$O(k)$（其中的因素是1，8和16 3-连通，2-连通和任意图）。利用类似的技巧，我们还证明了任何路径宽度为$k$的外平面图都可以转化为路径宽度至多为$4k+4$的最大外平面图。之前最著名的结果是$16k+15$。
2015-05-16 cs.DM math.CO
Class two 1-planar graphs with maximum degree six or seven
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使得每条边最多与另一条边相交。本文给出了最大度为6或7的第二类1-可平面图的例子。
2011-04-25 cs.DM math.CO
The edge chromatic number of outer-1-planar graphs
一个图是外1-平面的，如果它可以在平面上画，使得所有的顶点都在外面，并且每条边最多交叉一次。本文完全确定了外1-可平面图的边色数。
2014-05-14 cs.DM math.CO
On total colorings of 1-planar graphs
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使得每条边最多与另一条边相交。本文证明了最大度至少为13的1-可平面图的全染色猜想。
2013-04-23 cs.DM math.CO
Computer assisted discharging procedure on planar graphs: application to 2-distance coloring
利用计算技术，我们提供了一个框架，证明结果的子类可平面图通过放电方法。本文的目的是应用这些技巧来研究平面次立方图的2-距离染色。应用这些技巧，我们证明了每个围长至少为8的次立方可平面图$G$的2-距离色数至多为6。
2022-02-13 cs.DM math.CO
Fan-Crossing Free Graphs and Their Relationship to other Beyond-Planar Graphs
一个图是\emph{fan-crossing free}，如果它在平面上有一个图，使得每条边都被独立的边交叉，也就是说交叉的边有不同的顶点。另一方面，如果交叉边具有公共顶点，即它们形成扇形，则为\emph{fan-crossing}。两者都是超平面图的突出例子。其他著名的超平面类是$k$ -平面图、$k$ -间隙平面图、准平面图和直角交叉图。我们使用细分，节点到圆的扩展和路径添加操作来区分所有这些图类。特别地，我们证明了任何图的2-细分和节点到圆的扩张是无扇交叉的，这分别不适用于扇交叉和$k$ -（间隙）-平面图。从而，我们得到的图是扇交叉自由，既不扇交叉，也没有$k$ -（间隙）-平面。最后，我们证明了一些图有一个唯一的扇交叉自由嵌入，存在稀疏的最大扇交叉自由图，并证明了识别问题的扇交叉自由图是NP-完全的。
2020-12-10 cs.CG cs.DM
A correction of a characterization of planar partial cubes
本文确定了一组展开式，使得一个部分立方体是平面的当且仅当它是由一系列这样的展开式从一个顶点产生的。这纠正了Peterin的一个结果。
2017-01-07 cs.DM math.CO
On the size of maximum cut in planar graphs
证明了具有$m$边的可平面图的最大割的大小至少为$2m/3$。我们还表明，极大可平面图饱和这个界限。
2023-01-24 cs.DM math.CO
Planar 4-critical graphs with four triangles
根据Grunbaum-Aksenov定理（Grotzsch定理的推广），任何至多含有三个三角形的可平面图都是3-可着色的.然而，存在无穷多个恰好具有四个三角形的平面4-临界图。我们描述所有这样的图。这回答了鄂尔多斯1990年以来的一个问题。
2013-06-06 cs.DM math.CO
Improved Bounds for Track Numbers of Planar Graphs
图的轨迹布局由顶点着色和每个颜色类的总顺序组成，使得任何两个颜色类之间没有两条边交叉。图形的轨道数是图形的轨道布局所需的最小颜色数。本文改进了几类平面图的迹数的上下界。证明了平面图的迹数至多为$225$，平面$3$ -树的迹数至多为$25$ .然后证明了存在迹数为$5$的外平面图，从而得到了平面图的$8$的最佳下界.最后，我们研究了水平平面图，并收紧了弱水平图，Halin图和X树的轨道数的界。
2020-07-22 cs.DM cs.DS
Matchings in 1-planar graphs with large minimum degree
在1979年，Nishizeki和Baybars证明了每个最小度为3的平面图都有一个大小为$\frac{n}{3}+c$的匹配（其中常数$c$取决于连通度），甚至更好的界限也适用于最小度为4和5的平面图。本文研究了{ \em 1-planar}图的相似匹配界，即，可以画出每条边最多有一个交叉的图。我们证明了每个最小度为3的1-平面图都有一个至少为$\frac{1}{7}n+\frac{12}{7}$的匹配，并且这对某些图是紧的。我们为最小度为4和5的1-平面图提供了类似的边界，而最小度为6和7的情况仍然是开放的。
2020-02-20 cs.DM math.CO
Triangle-free projective-planar graphs with diameter two: domination and characterization
1975年，Plesník将所有无三角形的可平面图刻画为具有直径$2$。本文刻画了所有直径为$2$的无三角形的射影-可平面图，并讨论了它的一些应用。特别是，主要结果适用于计算类似的团数的图，即着色混合图，具有不同类型的弧和边。
2022-12-08 cs.DM math.CO
Beyond-Planarity: Density Results for Bipartite Graphs
超平面性主要研究在某种意义上近似平面的几何图和拓扑图。在这里，平面性放宽允许边缘交叉，但只相对于一些本地禁止交叉配置。早期的研究可以追溯到20世纪60年代（例如，Avital和Hanani 1966）的极值问题的几何图形，但也涉及到图形绘制问题，其中视觉混乱的边缘交叉应尽量减少（例如，Huang等人，2008年），这可能会对图纸的可读性产生负面影响。不同类型的禁止交叉配置产生不同的近平面图族。大部分的文献都集中在Turán型问题上，它要求一个近似平面图可以有最大数量的边。在这里，我们研究这个问题的二部拓扑图，考虑几种类型的近平面图，即，1-平面、2-平面、扇平面和RAC图。我们证明了边界的边缘是紧到小的添加剂常数的数量，其中一些是令人惊讶的，而不是沿线的已知结果为非二分图。我们的研究结果导致了著名的交叉引理二部图的领先常数的改进，以及一些有趣的研究问题的拓扑图。
2017-12-28 cs.CG cs.DM
A Survey on Graph Drawing Beyond Planarity
平面之外的图形绘制是一个快速发展的研究领域，它根据禁止交叉配置对非平面图的几何表示进行分类和研究。本调查的目的是描述该领域的主要研究方向，最突出的已知结果，以及一些最具挑战性的开放问题。
2018-04-19 cs.CG cs.DM
On the Complexity of Planar Covering of Small Graphs
问题Cover（H）询问输入图G是否覆盖固定图H（即，是否存在局部保持图的结构的同态G到H）。这个问题的复杂性已经被深入研究。本文考虑了限制输入图G为平面图的PlanarCover（H）问题。如果Cover（H）属于P，则PlanarCover（H）是多项式可解的，如果H没有平面覆盖，则它甚至是平凡可解的。因此，有趣的情况是当H容许平面覆盖，但Cover（H）是NP-完全的。这也与长期存在的Negami猜想有关，该猜想旨在描述所有具有平面覆盖的图。Kratochvil问是否有非平凡的图覆盖（H）是NP-完全的，但PlanarCover（H）属于P.我们研究的第一个非平凡的情况下，图H覆盖（H）是NP-完全的，并承认一个平面覆盖。我们证明了在这些情况下PlanarCover（H）的NP-完全性。
2011-07-30 cs.DM math.CO
Planar Median Graphs and Cubesquare-Graphs
中值图是连通图，其中对于所有三个顶点，存在唯一的顶点属于这三个顶点中的每对顶点之间的最短路径。本文给出了平面中值图的几个新的刻画。更具体地说，我们刻画了可平面图$G$是一个中位数图时，禁止子图和等距圈的结构在$G$，也在子图的$G$，包含内部和外部的4-圈关于任意平面嵌入的$G$。这些结果导致我们的一个新的特征的平面中位数图的立方方图，即，图形，可以通过开始与立方体和平方图，并迭代取代4圈边界（相对于一些嵌入）立方体或平方图。作为推论，我们还证明了一个图是平面中位数当且仅当它可以从立方体和平方图的序列的“平方边界”合并。这些考虑也导致了一个$\mathcal{O}(n\log n)$时间识别算法来计算分解的平面中值图与$n$顶点成立方体和正方形图。
2021-10-18 cs.DM math.CO
Large induced forests in planar graphs with girth 4 or 5
本文给出了围长为$4$和$5$的平面图的最大诱导森林的阶的一些新的下界.特别地，我们证明了$n$阶的无三角形平面图存在至少$\frac{6n+7}{11}$阶的诱导森林，改进了Salavatipour [M. R. Salavatipour，Large induced forests in triangle-free planar graphs，Graphs and Combinatorics，22：113-126，2006]。我们还证明了一个阶为$n$且围长至少为$5$的平面图存在一个阶至少为$\frac{44n+50}{69}$的诱导森林。
2014-09-04 cs.DM math.CO
The Characterization of planar, 4-connected, K_{2,5}-minor-free graphs
我们证明了每一个平面的，4-连通的，K2;5-子自由图是偶数长度至少为6的圈的平方。
2015-08-20 cs.DM math.CO
Multiple-source multiple-sink maximum flow in planar graphs
在本文中，我们给出了一个O（n^（3/2）log^2 n）的时间算法，以寻找一个平面图的最大流多源多汇。这是最快的算法，其运行时间仅取决于图中的顶点数。对于一般（非平面）图的多源多汇版本的最大流问题是困难的标准单源单汇版本。然而，标准的减少不保持平面图，它是不知道如何推广现有的平面图的最大流算法的多源多汇最大流问题。
2010-12-28 cs.DM cs.DS
On the Recognition of Fan-Planar and Maximal Outer-Fan-Planar Graphs
扇平面图是最近引入的1-平面图的推广。一个图是扇平面的，如果它可以嵌入在平面中，使得每个被交叉超过一次的边被一束两个或更多个与公共顶点相关的边交叉。一个图是外扇平面的，如果它有一个扇平面嵌入，其中每个顶点都在外面。此外，如果边的插入破坏了它的外扇平面性，那么它是最大外扇平面的。本文给出了一个多项式时间算法来判定给定图是否为极大外扇平面图。该算法也可以用来产生外扇平面嵌入，如果存在的话。在消极的一面，我们证明了测试图的扇平面性是NP-困难的，对于旋转系统（即，每个顶点周围的边的循环顺序）。
2014-09-01 cs.CG cs.DM math.CO
The Density of Fan-Planar Graphs
一个图的拓扑图是扇平面的，如果对于每个边$e$，与$e$交叉的边形成星形，并且没有$e$的端点被$e$及其交叉边包围。一个扇平面图是一个图承认这样的绘图。等价地，这可以由三种禁止模式来表示，其中一种是其中$e$被两个独立边缘交叉的配置，而另外两种是其中$e$被两个入射边缘以包围$e$的某个端点的方式交叉的配置。如果任意两条边至多有一个公共点，则拓扑图是简单的。Fan-planar图是由禁止交模式定义的拓扑图中的一个新成员，如平面图及其推广，Turán-图和Conway的thrackle猜想。因此，扇平面图是组合几何中的一个重要领域，在离散数学的各个领域都有应用。由于每一个$1$ -平面图都是扇平面图，每一个扇平面图都是$3$ -拟平面图，所以它们也完全适合于最近一系列关于图的绘制和组合嵌入的近平面图的工作.在本文中，我们证明了每一个扇平面图上的$n$顶点最多有$5n-10$的边缘，即使扇平面图可能有一个平方数的交叉。我们的界限，这是紧的每$n \geq 20$，表明如何很好地扇平面图适合在行与平面图（$3n-6$边缘）和$1$ -平面图（$4n-8$边缘）。由此，扇平面图形成了由禁止模式定义的最大的非平凡拓扑图类，其中$n$顶点上的最大边数是精确已知的。
2021-07-15 cs.CG cs.DM math.CO
Planarizing Gadgets for (k, l)-tight Graphs Do Not Exist
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；Ulm University（乌尔姆大学）；Aalen University（阿伦大学）
研究证明(k,l)-紧图识别问题无法通过平面化工具进行转换，揭示了平面图与一般图在该问题上的本质差异。
2026-05-08 cs.CC cs.DM cs.DS
A Survey on Small-Area Planar Graph Drawing
本文综述了小面积平面图的构造算法和界。
2014-10-04 cs.CG cs.DM cs.DS
Planar Graphs that Need Four Pages
我们表明，有可平面图，需要在任何书嵌入四页。
2020-05-28 cs.DM cs.DS math.CO
Drawing Partially Embedded and Simultaneously Planar Graphs
我们研究了两个相关问题的问题，即部分嵌入图问题-将子图的直线平面图扩展到整个图的平面图-和同时平面性问题-找到两个图的平面图，它们在共享的顶点和边上重合。在这两种情况下，我们表明，如果所需的平面图纸存在，那么有一个线性数量的弯曲每边的平面图纸，在同时平面性的情况下，每对边缘之间的交叉点的数量恒定。我们的证明提供了有效的算法，如果组合嵌入的图纸。我们的结果部分嵌入图绘制推广了经典的结果由Pach和Wenger，这表明，任何平面图可以画与线性数量的弯曲每边，如果每个顶点的位置是固定的。
2014-10-30 cs.CG cs.DM cs.DS
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
