On the size of maximum cut in planar graphs
Pranay Gorantla, Santhoshini Velusamy
证明了具有$m$边的可平面图的最大割的大小至少为$2m/3$。我们还表明，极大可平面图饱和这个界限。
We show that the size of maximum cut in a planar graph with $m$ edges is at least $2m/3$. We also show that maximal planar graphs saturate this bound.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Disconnected cuts in 4-connected planar graphs
本文研究4-连通平面图的极小割集，证明其所有极小割集连通当且仅当该图为近三角剖分，并基于此给出寻找不连通割集的线性时间算法框架。
Class two 1-planar graphs with maximum degree six or seven
一个图是1-平面的，如果它可以画在平面上，使得每条边最多与另一条边相交。本文给出了最大度为6或7的第二类1-可平面图的例子。
The number of cut-edges and conflict-free connection number in planar graphs
研究平面图中割边数的条件，并利用主要结果分析有色平面图的无冲突连接数有界条件。
(2,1)-Total labeling of planar graphs with large maximum degree
图的（$d$，1）-全标号是由Havet和Yu引入的.本文证明了对于具有最大度$Δ\geq12$和$d=2$的可平面图$G$，其（2，1）-全标号数$λ_2^T(G)$至多为$Δ+2$ .
An efficient algorithm for packing cuts and (2,3)-metrics in a planar graph with three holes
考虑一个可平面图$G$，其中边的长度为非负整数，使得$G$的每个圈的长度为偶数，并且有三个面，称为$G$中的洞.已知在$G$中存在具有非负整数权重的切割和（2，3）-度量的包装，其实现了每个孔内的距离。我们开发了一个强多项式纯组合算法来找到这样的包装。
Cut Vertices in Random Planar Maps
本文的主要目的是确定具有$n$边的随机平面映射的割点数$X_n$的渐近性态。证明了$X_n/n \to c$在概率上（对于某些显式的$c>0$）.对于所谓的次临界类的平面映射（如outerplanar映射），我们也得到了一个中心极限定理。有趣的是，这个看似简单的问题背后的组合学却相当复杂。
Trees and co-trees with constant maximum degree in planar 3-connected graphs
本文考虑Grünbaum的猜想：每个平面3-连通图都有一棵生成树$T$，使得$T$及其余树的最大度都不超过3.这里，$T$的余树是通过取非树边的顶点而获得的对偶的生成树。虽然Grünbaum的猜想仍然是开放的，我们证明了每个平面3-连通图有一个生成树$T$，使得$T$和它的共树的最大度最多为5。它可以在线性时间中找到。
Planar graphs with maximum degree D at least 8 are (D+1)-edge-choosable
本文研究平面图的列表边染色问题。边着色是边着色的问题，同时确保两个入射边接收不同的颜色。一个图是k-边可选择的，如果对于任意的k个边的颜色分配，存在一个边染色使得每个边的颜色属于它的颜色分配。Vizing在1965年证明了每个图都是（D+1）-边可选的，其中D是最大度。1990年，Borodin解决了最大度至少为9的平面图的猜想，并询问是否可以将界降低到8。本文证明了最大度D至少为8的平面图是（D+1）-边可选图。
Minimum k-way cut of bounded size is fixed-parameter tractable
本文考虑了无权图的最小k-路割问题，其割边数有界。因此，我们试图删除尽可能少的边，以便将图分割成k个分量，或者报告说，这需要切割超过s个边。我们表明，这个问题是固定参数易处理（FPT）在s。更准确地说，对于s=O（1），我们的算法运行在二次时间，而我们有一个不同的线性时间算法的平面图和有界亏格图。我们的易处理性结果与相关问题的已知W[1]硬度相反。没有大小限制，Downey et al. [2003]证明了最小k路割问题在k中是W[1]困难的，即使对于简单的无权图也是如此。Downey等人询问了平面图的现状。我们的结果意味着平面图在k中的可处理性，因为平面图的最小k路割的大小至多为6 k（更一般地，我们得到k中的可处理性对于任何具有大小受限于k的k路割的图类，例如，有界度图，或具有排除子图的简单图）。一个简单的约简表明顶点割至少和边割一样难，所以最小k路顶点割也是W[1]难的。Marx [2004]证明了在s中找到一个大小为s的最小k路顶点割也是W[1]困难的。马克思询问了带有边缘切割的FPT状态，我们在这里证明了这一点。我们不知道任何其他切割问题，其中顶点版本是W[1]硬，但边缘版本是FPT。
Lattices and maximum flow algorithms in planar graphs
我们证明了平面图的s-t-路集合上的左/右关系诱导出一个所谓的次模格。如果图的嵌入是s-t-平面的，则这个格是偶连续的。这意味着福特和富克尔森的最高路径算法的最大流在这样的图确实是一个特殊的情况下，两个阶段的贪心算法的格多面体。我们还证明了如果图是平面图而不是s-t-平面图，则子模性和召唤性不能同时由路上的任何偏序得到，从而给出了这类图的一个刻画.
On Maximum Differential Coloring of Planar Graphs
本文研究了\emph{maximum differential coloring problem}，其中$n$ -顶点图的顶点必须用不同的数进行标号，标号的范围从$1$到$n$，使得任意两个相邻顶点的两个标号之间的最小绝对差最大化.由于问题是一般图的\NPH ~ \cite{leung1984}，我们考虑平面图及其子类。我们初步证明，最大微分着色问题仍然是\NPH，即使是平面图。然后，我们提出了严格的界限，定期毛毛虫和蜘蛛图。使用这些新的界限，我们证明了米勒-普里提金标记计划~ \cite{miller89}森林是最佳的定期毛虫和蜘蛛图。最后，我们描述了接近最优的微分着色算法一般毛毛虫和双连通三角形自由外平面图。
On the Restricted Edge-Cuts of Optimal 1-Planar Graphs
本文排除最优1-平面图受限边连通度为8的可能，证明其为10或12且均可达，还明确6连通最优1-平面图受限边连通度为10的充要条件，刻画相关顶点诱导子图结构并建立受限边割与顶点割的联系。
Degreewise Cut-Semigroup Saturation for $K_5$-Minor-Free Graphs and Seymour's Planar Edge-Colouring Conjecture
该论文证明了 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 的饱和性与平面 $k$-图的 $k$-边可染色性等价，从而将割多面体正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。
Decomposing $4$-connected planar triangulations into two trees and one path
改进了Whitney的经典证明，证明了任何$4$连通的平面三角剖分都可以分解为一条Hamilton路径和两棵树.因此，每个$4$ -连通可平面图分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$2$。利用这个结果，我们证明了任何Hamilton平面三角剖分都可以分解为两棵树和一棵最大度的生成树，最大度至多为$3$。这些分解改进了Gonçalves [Covering可平面图with forests，one having bounded maximum degree. J. Comb. Theory，Ser. B，100（6）：729- 739，2010]，每个可平面图可以被分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$4$。我们还表明，我们的结果是最好的可能。
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
Maximum 4-degenerate subgraph of a planar graph
一个图$G$是$k$ -退化的，如果它可以通过随后的去除度为$k$或更小的顶点而转化为一个空图.我们证明了每一个具有平均度$d \ge 2$的连通可平面图都有一个4-退化的诱导子图，它至少包含它的$(38-d)/36$的顶点.这表明，每一个$n$阶的可平面图都有一个阶数大于$8/9 \cdot n$的4-退化诱导子图.我们还考虑了这个问题的一个局部变化，并表明，在每一个可平面图至少有7个顶点，删除一个合适的顶点，使我们能够随后删除至少6个顶点的程度四或更少。
Cuts in matchings of 3-connected cubic graphs
本文讨论了三次图的哈密尔顿性（Tait，Barnette，Tutte），平面定向图的二色数（Neumann-Lara），以及收缩是强连通的有向图的偶图（Hochstättler）。我们表明，所有这些都适合到相同的框架有关削减匹配。这使我们能够找到一个反例的猜想Hochstättler和显示，猜想的诺伊曼-劳拉举行的所有可平面图在最多26个顶点。最后，我们陈述了一个关于二部立方定向图的新猜想，这个猜想在这种情况下自然产生。
Largest planar graphs of diameter $3$ and fixed maximum degree -- connection with fractional matchings
针对直径3、最大度固定的平面图，本文借助分数最大匹配证明最大顶点数上界为9/2Δ+c，并刻画极值图。
Proper conflict-free and unique-maximum colorings of planar graphs with respect to neighborhoods
图{ \em相对于开}的{ \em无冲突着色}（相应地，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，在其开域中存在恰好出现一次的颜色（相应地，关闭）社区。类似地，图{\em相对于开}的{\em唯一最大着色}（分别，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，出现在其开放（相应地，封闭的）邻居只出现一次。关于这两个概念有大量的文献，其中着色不需要适当，即，允许邻顶点具有相同的颜色。本文主要研究可平面图的两种着色问题。我们建立了上界的颜色的数量在类的可平面图的所有考虑的着色，并提供建设的可平面图达到相对较高的值，相应的色数。作为主要结果，我们证明了每个平面图都有关于开邻域的最多10种颜色的唯一最大真染色，并给出了可平面图至少需要$6$颜色的例子.我们还建立了外平面图的紧上界。最后，我们提供了几个新的界限也考虑着色的不适当的设置。
On the maximum number of edges in planar graphs of bounded degree and matching number
我们确定了一个可平面图所能拥有的最大边数作为它的最大度和匹配数的函数。
Maximum st-flow in directed planar graphs via shortest paths
最小割通过平面对偶与平面图中的最短路密切相关-只要图是无向的。出于同样的原因，即使是最大流也与最短路径密切相关--只要源和汇在一个公共面上。本文通过对偶给出了无源无汇约束的有向平面图中最大流与最短路之间的对应关系。我们相信这是一个有前途的途径，开发算法，比目前的渐近最佳算法最大ST流更实用。
The Maximum Number of Pentagons in a Planar Graph
1979年，Hakimi和Schmeichel考虑了$n$ -顶点平面图可平面图中给定长度的圈数的最大化问题。他们精确地确定了三角形和$4$ -圈的最大数目，并提出了五边形的最大数目的猜想。在这项工作中，我们证实了他们的猜想。进一步，我们刻画了具有最大五边形数的$n$ -顶点可平面图。
Lower Bounds for Maximum Weighted Cut
本文系统研究加权图中最大割的下界问题，提出一种新方法并结合概率方法与Vizing定理等工具，获得了多类加权图的下界结果。
Conflict-Free Cuts in Planar and 3-Degenerate Graphs with 1-Regular Conflicts
研究了平面图和3-退化图中无冲突切割问题的复杂性，证明了当冲突图1-正则时，平面图中总存在无冲突切割，且决策问题NP难；同时证明了3-退化图中决策问题NP难，解决了相关复杂性问题。
The maximum number of copies of an even cycle in a planar graph
我们解决了Cox和Martin的一个猜想，渐近确定每个$k\ge 2$的$C_{2k}$在$n$ -顶点可平面图的最大副本数。
Bounds on Maximum Weight Directed Cut
本文研究加权有向图及无环有向图中最大权有向割的上下界，并将已有无权无环情形的下界推广到环长受限、弧权不小于1的加权有向图。
On the maximum spectral radius of planar graphs
本文研究了具有固定顶点数的平面图的最大谱半径，给出了基于阶数的紧致界，并证明了在包含支配顶点且阶数 $n \geq 48$ 的平面图中，$P_{2}$ 与 $P_{n-2}$ 的联图取得最大谱半径。
On the maximum degree of path-pairable planar graphs
一个图是路可配对的，如果对于它的任何顶点对，存在连接每对顶点的边不交路。研究了路可配对可平面图的最大度的性质。证明了任何$n$ -点路可配对可平面图必含有$n$中的度线性点.
On the maximum number of edges of outer k-planar graphs
研究平面上凸位置点集在每条线段最多与$k$条其他线段相交条件下的最大连接数，即外$k$-平面图的最大边数，得出上界为$(\sqrt{2}+\varepsilon)\sqrt{k}n$，并扩展探讨了二分图及循环图最大割问题。
Vertex partitions of $(C_3,C_4,C_6)$-free planar graphs
一个图是$(k_1,k_2)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分为一个最大度至多为$k_1$的图和一个最大度至多为$k_2$的图.证明了每个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图都是$(0,6)$ -可着色的.我们还证明了判定一个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图是否是$(0,3)$ -可着色的是NP-完全的。
List coloring the square of sparse graphs with large degree
我们考虑有界最大平均度图的平方着色问题，即在保证相邻或有共同邻居的两个顶点接收不同颜色的情况下对顶点着色的问题。Borodin等人在2004年和2008年证明了围长至少为7且最大度足够大的平面图$Δ$的平方是列表$(Δ+1)$ -可染的，而围长为6且最大度任意大的平面图的平方不是列表$(Δ+1)$ -可染的。根据欧拉公式，围长至少为$6$的平面图的最大平均度小于$3$，围长至少为$7$的平面图的最大平均度小于$14/5<3$ .我们加强了他们的结果，证明了存在一个函数$f$使得任何具有最大平均度$m<3$和最大度$Δ\geq f(m)$的图的平方都是列表$(Δ+1)$ -可染的. $3$的这一界是最优的，在这个意义上，上述平面图的周长$6$有最大平均度小于$3$和任意大的最大度，而他们的平方不能是$(Δ+1)$ -着色。这同样适用于列表单射$Δ$ -着色。
List edge coloring of outer-1-planar graphs
一个图是外1-平面的，如果它可以在平面上画，使得所有的顶点都在外面，并且每条边最多交叉一次。已知任何具有最大度$Δ(G)\geq 5$的外1-可平面图$G$的列表边色数$χ'_l(G)$恰是它的最大度。本文证明了外1-可平面图$G$的$χ'_l(G)=Δ(G)$是具有$Δ(G)=4$且交叉距离至少为3的图.
A Tight Lower Bound on Cubic Vertices and Upper Bounds on Thin and Non-thin edges in Planar Braces
该研究证明不存在不含三次顶点的平面brace，得到了平面brace中三次顶点数的定量紧下界，以及细边与非细边的紧上界，推进了相关匹配覆盖图的边结构猜想研究。
Wheels in planar graphs and Hajós graphs
Hajós证明了不含$K_5$ -细分的图是4-可着色的。已有的结果表明，Hajós猜想的任何可能的最小反例，称为Hajós图，是4-连通的，但不是5-连通的。本文证明了：如果Hajós图允许4-割或5-割且其边为平边，则其平边一定很小或包含一个特殊轮.这是我们努力将Hajós猜想简化为四色定理的一步。
Note on 3-Choosability of Planar Graphs with Maximum Degree 4
判定一个可平面图（即使是最大度的图$4$）是否是$3$ -可着色的是NP-完全的。确定平面图的子类是$3$ -可着色的有很长的历史，但自从Grötzsch的结果，三角形自由可平面图是这样的，大部分的努力集中在解决哈维尔和斯坦伯格的图。本文证明了作为任意二部平面图的中间图的子图得到的最大度平面图$4$是$3$ -可选的.这些图允许有闭合的三角形（甚至是关联的），并且没有禁止的短圈，因此代表了与上述图推断的完全不同的一类图。
2-Distance Coloring of Planar Graphs with Specific Maximum Degree
研究最大度数至少为6的平面图的2距离着色问题，探讨其着色方法及结果。
Cutting Barnette graphs perfectly is hard
完美匹配割是一个完美匹配，也是一个割集，或者等价地说是一个在每个循环上包含偶数条边的完美匹配。相应的算法问题，完美匹配切割，是已知的NP-完全的亚立方二分图[Le & Telle，TCS '22]，但其复杂性是开放的平面图和立方图。通过证明3连通三次二部平面图或Barnette图中的完美匹配割是NP-完全的，我们同时解决了这两个问题。在我们的工作之前，在输入仅为无向图的问题中，只有距离-2 4-着色在Barnette图中是NP完全的。值得注意的是，只有在巴内特猜想被推翻的情况下，汉密尔顿循环才会加入这个私人俱乐部。
Two point concentration of maximum degree in sparse random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$\left\{1, \ldots, n\right\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.我们表明，在稀疏制度，当$\limsup_{n \to \infty} m/n<1$，具有高概率的最大程度的$P(n,m)$采取最多两个不同的值。
The Maximum Wiener Index of Maximal Planar Graphs
一个连通图的Wiener指数是图中所有顶点对之间的距离之和。证明了$n$ -顶点极大可平面图的Wiener指标至多为$\lfloor\frac{1}{18}(n^3+3n^2)\rfloor$ .我们证明了这个猜想，并为每一个$n$，$n \geq 10$，确定唯一的$n$ -顶点极大可平面图，这是达到最大值。
Maximum planar subgraphs in dense graphs
Kühn，Osthus和Taraz证明了对每个γ>0，存在C使得任何最小度γn的n-顶点图包含一个至少有2n-C条边的平面子图.当γ<1/2且n足够大时，我们找到了C的最佳值。
The complexity of the Perfect Matching-Cut problem
完美匹配割是判定一个图是否具有包含边割的完美匹配的问题。我们证明了这个问题对于最大度为4的可平面图、围长为5的可平面图、二部五正则图、直径为3的图和直径为4的二部图都是NP-完全的。我们表明，存在多项式时间算法的以下类别的图：爪自由，$P_5$ -自由，直径2，二部与直径3和图有界树宽度。
Choosability of the square of a planar graph with maximum degree four
研究可平面图的平方，目的是确定平面图的列表色数.给出了最大度为$Δ\leq 4$的可平面图的平方的新的上界.特别地，如果$G$的围长分别为至少16、11、9、7、5、3，则$G^2$是5-、6-、7-、8-、12-、14-可选择的。事实上，我们证明了更一般的结果，在最大平均度，这意味着上述结果。
The maximum degree of planar graphs I. Series-parallel graphs
本文证明了具有$n$个顶点的随机串-并图的最大度$Δ_n$在概率上满足$Δ_n/\log n \to c$，并且对于可计算常数$c>0$，满足$\mathbb{E}\, Δ_n \sim c \log n$.同样的结果也适用于外平面图。
Planar graphs with the maximum number of induced 4-cycles or 5-cycles
对于大的$n$，我们精确地确定了$n$顶点上的可平面图所能包含的诱导$C_4$和$C_5$子图的最大数目.我们表明，$K_{2,n-2}$唯一地达到这个最大值的$C_4$的情况下，我们确定的图形，达到最大值的$C_5$的情况下。这扩展了哈基米和舒梅切尔的一份文件和一份文件由高希，Gyagiri，Janzer，Paulos，Salia，和萨莫拉一起确定两个最大值渐近。
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况（最大度≤3的平面图可8色距离2着色）的证明，重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
The sharp upper bounds on the maximum degree and vertex-connectivity of claw-free 1-planar graphs
本文研究无爪1-平面图，证明其最大度上界为10且尖锐，在禁止诱导爪时6-连通和最优1-平面图最大度上界为8，并证明7-连通1-平面图必含诱导爪，从而顶点连通度至多6。
The maximum number of induced $C_5$'s in a planar graph
在$n$顶点上求图中长度为$k$的诱导圈的最大个数一直是极值图论最有趣的公开问题之一。最近，Balogh、Hu、Lidickeland和Pfender回答了$k=5$一案中的问题。在本文中，我们精确地确定，对于所有足够大的$n$，诱导$5$ -圈的最大数目，$n$ -顶点可平面图可以包含。
The Maximum Number of Paths of Length Four in a Planar Graph
设$f(n,H)$表示$n$ -顶点可平面图中$H$的最大拷贝数. $f(n,P_k)$的数量级是$n^{{\lfloor{\frac{k-1}{2}}\rfloor}+1}$，其中$P_k$是$k$顶点上的路径。本文确定了$f(n,P_5)$的渐近值，并对较长的路给出了证明.
Frugal coloring in planar graphs with maximum degree 4 and 5
该研究针对最大度为4和5的平面图，证明其2-节俭着色分别可使用7种和10种颜色，是Wegner猜想的部分变体结果。
Random planar graphs with bounds on the maximum and minimum degrees
设P_{n,d,D}表示从{1，2，.，}上的所有标号可平面图的集合中均匀随机抽取的图。n}，最小度至少为d（n），最大度至多为D（n）。我们使用计数参数来研究概率，P_{n,d,D} wll包含给定的组件和子图，确切地显示当n趋于无穷大时，这是有界的0和1。
Long Cycles and Spanning Subgraphs of Locally Maximal 1-planar Graphs
一个图是$1$ -平面的，如果它在平面中有一个绘图，使得每条边最多与另一条边相交一次。此外，如果这个图有额外的性质，即对于两个边的每个交叉，这些边的端点诱导出一个完全子图，则该图是局部极大$1$ -平面的。对$3$ -连通局部极大$1$ -可平面图$G$，证明了生成$3$ -连通平面子图的存在性，并证明了当$G$至多有3个$3$ -点割时，$G$是Hamilton图;当$G$至多有4个$3$ -点割时，$G$是可迹图.此外，还得到了无穷多个不可迹的$5$ -连通$1$ -可平面图.
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
Forest Cuts in Sparse Graphs
提出关于边数少于 $3n-6$ 的图存在导出森林点割的猜想，证明极大平面图表明该密度条件最佳，并验证了其对平面图及边数少于 $\ rac{11}{5}n-\ rac{18}{5}$ 的图成立。
Extremal problems on planar graphs without k edge-disjoint cycles
在20世纪60年代，Erdens和他的合作者开始研究图或可平面图在不含$k$边不交圈的$n$顶点上的最大边数.这个问题已经为$k\leq4$解决了。正如Bollobás所指出的那样，对于一般的$k$来说是非常困难的。最近，Tait和Tobin [J. Combin. Theory Ser. B，2017]证实了关于$n$ -顶点可平面图的最大谱半径的一个著名猜想。受上述结果的启发，我们考虑了不含$k$边不交圈的可平面图上的两个极值问题。本文首先确定了阶为$n$且度为$n-1$且不含$k$边不交圈的可平面图的最大边数。在此基础上，我们确定了所有可平面图的最大谱半径以及它的唯一极图的$n$顶点没有$k$边不交圈。最后，我们还讨论了一般图的几个极值问题。
Conjecture on the maximum cut and bisection width in random regular graphs
随机正则图的渐近性质是数学中广泛研究的对象。本文基于自旋玻璃理论，证明了随机正则图的最大割尺寸渐近等于图的边数减去最小二等分尺寸。最大割和最小二分法是两个著名的NP完全问题，它们之间没有已知的一般关系，因此我们的猜想是随机正则图的一个令人惊讶的性质。我们进一步支持的猜想与数值模拟。对这种关系的严格证明显然是一个挑战。
The maximum number of $k$-cliques of 7-connected 1-planar graphs
研究7连通1平面图的团数上限，证明其边数、三角形数和K4数量均有限制，总团数不超过10n-33，所有界在无穷多个n值下最优。
Total-coloring of planar graphs with maximum degree 6 and without prescribed 4-cycles
本文改进了平面图全染色结果，证明最大度为6且不含某些特殊4环的平面图是7-全可染的，推进了全染色猜想在平面图上的研究。
The Maximum Number of Paths of Length Three in a Planar Graph
令$f(n,H)$表示$f(n,H)$-顶点可平面图中可能的$H$的最大副本数.当$H$是长度为$3$或$4$的圈时，Hakimi和Schmeichel以及当$H$是具有较小部分为1或2的完全二部图时，Alon和Caro已经确定了函数$f(n,H)$.当$H$是长度为3的路径时，我们精确地确定$f(n,H)$。
Counting Maximum Matchings in Planar Graphs Is Hard
在这里，我们证明了在平面，二部图计数最大匹配是P-完全的。这在平面图中完美匹配的数目可以在多项式时间内计算的情况下有些令人惊讶。我们还证明了，计数不必要完美匹配平面图已经是P-完全的，如果问题仅限于二部图。到目前为止，仅对一般的非必然二部图证明了硬度。
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