需要四页的可平面图
Planar Graphs that Need Four Pages
摘要:
我们表明,有可平面图,需要在任何书嵌入四页。
英文摘要:
We show that there are planar graphs that require four pages in any book embedding.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Planar Graphs that Need Four Pages
Mihalis Yannakakis
我们表明,有可平面图,需要在任何书嵌入四页。
We show that there are planar graphs that require four pages in any book embedding.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
继续探索
Four Pages Are Indeed Necessary for Planar Graphs
一个图在书中的嵌入由它的顶点沿着书脊的线性顺序和它的边到书的页面的分配组成,使得在同一页面上没有两条边交叉。图的书厚是所有书嵌入的最小页数。因此,一类图的书厚是其所有成员上的最大书厚。在本文中,我们解决了一个长期存在的公开问题,关于确切的书厚的类平面图,这是以前已知的是三个或四个。我们解决这个问题,证明平面图,需要四页在任何他们的书嵌入,从而建立平面图类的书厚度是4。
Embedding 5-planar graphs in three pages
图$G$的\emph{book-embedding}是$G$的顶点沿着书脊的嵌入,以及$G$的边在页面上的嵌入,使得同一页面上没有两条边相交。其中可以嵌入图的最小页数被称为\emph{page number}。图的书嵌入在若干技术应用中可能是重要的,例如,并行堆栈排序,容错处理器阵列设计,以及超大规模集成电路(VLSI)应用的布局问题。Bernhart和Kainen首先考虑了可平面图的书嵌入,并证明了它的页数可以任意大[JCT,1979,320-331]。Heath [FOCS 84]发现可平面图允许七页书嵌入。后来,Yannakakis在[STOC 86]中证明了四页是可平面图的必要和充分条件。最近,Bekos等人。[STACS 14]描述了4-可平面图的两页书嵌入的$O(n^{2})$时间算法。本文利用$O(n^{2})$时间算法将5-可平面图嵌入到一本三页的书中。
A Sublinear Bound on the Page Number of Upward Planar Graphs
本文研究向上平面图的最大页数,将下界改进为5,并首次证明所有n顶点向上平面图的页数为O(n^{2/3} log^{2/3} n),解决了长期未决问题。
Two-Page Book Embeddings of 4-Planar Graphs
早在80年代,希思表明,每3平面图是subhamilton,并要求这一结果是否可以扩展到一类图的程度大于3。本文对4-平面图类肯定地回答了这个问题。我们的贡献包括两个算法:第一个是有限的三连通图,但运行在线性时间,并使用现有的方法计算平面图中的哈密尔顿圈。第二个,它解决了一般情况下的问题,是一个二次时间算法的基础上的书嵌入的观点的问题。
The Book Thickness of 1-Planar Graphs is Constant
在书嵌入中,图的顶点被放置在书的书脊上,边被分配给页面,以便同一页面上的边不会交叉。在本文中,我们证明了每一个$1$ -平面图(即,一个图,可以画在平面上,使没有边是交叉超过一次)允许一个嵌入在一本书与常数页数。据我们所知,最好的非平凡先前上界是$O(\sqrt{n})$,其中$n$是图的顶点数。
Bipartite cubic planar graphs are dispersable
图$G$的书嵌入是将图$G$的顶点放置在书脊上,并将边绘制到页面上,使得同一页面中的边不相互交叉。如果同一页面中的顶点的最大度不超过1,则书嵌入是匹配的。匹配书籍厚度是图形可以嵌入匹配书籍的最小页数。图$G$是可分散的当且仅当$mbt(G)=Δ(G)$.本文证明了二部三次可平面图是可分散的。
Crossing Minimization for 1-page and 2-page Drawings of Graphs with Bounded Treewidth
我们调查交叉最小化1页和2页的书籍图纸。我们表明,计算1页的交叉数是固定参数易于处理的交叉数,测试2页平面性是固定参数易于处理的树宽,计算2页的交叉数是固定参数易于处理的交叉数和输入图的树宽的总和。我们证明了这些结果通过Courcelle定理的固定参数的一元二阶逻辑有界树宽的图形表示的属性的易处理性。
Cubic planar bipartite graphs are dispersable
一个图被称为可分散的,如果它有一个书嵌入,其中每一页的最大度为1,页数是最大度。Bernhart和Kainen证明了每个k-正则二部图都是可分散的。40年后,Alam、Bekos、Gronemann、Kaufmann和Pupyrev证明了这个猜想是错误的,他们发现了非平面的3-和4-正则二部图是不可分散的。他们还证明了所有的三次平面二部3-连通图都是可分散的,并证明了连通性条件是可以放宽的。证明了每一个三次平面二部多重图都是可分散的。添加了一个附言,其中包括新的参考文献。
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界,给出了著名的Grötzsch定理的半页证明,即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明,其中包括Grünbaum-Aksenov定理:每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
On Families of Planar DAGs with Constant Stack Number
本文研究平面有向无环图的栈数,改进多类图族的常数上界,并提供计算机辅助下界。
Another Proof of the Four Colour Theorem -- Part 2 -- Discharging a minimal 5-Chromatic Planar Graph
在RSST中,他们“用另一个巨大的手工检查证明来取代A&H要求的巨大的手工检查证明”(第18页)。在这里,可验证性的证明是在一个冗长的结构化手动检查证明中完成的,其全部内容在本文档中给出。
Planar digraphs of digirth four are 2-colourable
Neumann-Lara在1985年证明了每个数位数至少为3的平面有向图都是2-色的,这意味着顶点可以是2-色的,而不会产生任何单色的有向圈。我们证明了这个猜想的一个放松的版本:每个数至少为4的平面有向图是2-列图。
Planar 4-critical graphs with four triangles
根据Grunbaum-Aksenov定理(Grotzsch定理的推广),任何至多含有三个三角形的可平面图都是3-可着色的.然而,存在无穷多个恰好具有四个三角形的平面4-临界图。我们描述所有这样的图。这回答了鄂尔多斯1990年以来的一个问题。
Book drawings of complete bipartite graphs
一本有k页的“书”由一条直线(“书脊”)和k个半平面(“书页”)组成,这样每一页的边界就是书脊。如果在一本有k页的书上画一个图,使得顶点位于书脊上,并且每条边都包含在一页中,则结果是k页的书图(或简单地说是k页的图)。图G的页码是最小的k,使得G允许k-页嵌入(即,没有边交叉的k-页绘图)。图G的k页交叉数nu_k(G)是图G的k页图中交叉的最小数目。研究了完全二部图的页数和k-页交叉数。我们求出了几个完全二部图的精确页数,并利用这些页数求出了K_{k+1,n}(3<=k<=6)的精确k-页交叉数.我们还证明了一般渐近估计lim_{k->oo} lim_{n->oo} nu_k(K_{k+1,n})/(2n^2/k^2)=1.最后,我们给出了nu_k(K_{m,n})的一般上界,并将这些上界与K_{m,n}和K_n的k-平面交叉数联系起来.
Local and Union Page Numbers
我们引入了新的概念,本地和工会图书嵌入,并作为相应的图形参数,本地页码${\rm pn}_\ell(G)$和工会页码${\rm pn}_u(G)$。这两个参数都是经典页码${\rm pn}(G)$的松弛,对于每个图$G$,我们都有${\rm pn}_\ell(G) \leq {\rm pn}_u(G) \leq {\rm pn}(G)$。而对于${\rm pn}(G)$,我们最小化了一本书中嵌入$G$的总页数,对于${\rm pn}_\ell(G)$,我们最小化了与任何一个顶点相关的页数,对于${\rm pn}_u(G)$,我们最小化了$G$的分区的大小,每个部分都是无交叉子图的顶点不相交并集。虽然${\rm pn}_\ell(G)$和${\rm pn}_u(G)$总是在$4$的乘法因子内,但在${\rm pn}_\ell(G)$或${\rm pn}_u(G)$方面,经典页码${\rm pn}(G)$没有界限。我们发现,本地和工会页数更密切相关的图的密度,而经典的页码图的全局结构可以发挥更决定性的作用。我们介绍的工具,以调查本地和工会书嵌入的所有可平面图的类和树宽$k$的图类的示例性考虑。为了激励人们在这个新的方向上进行研究,我们提供了一系列有趣的开放问题。
Square of Planar Graphs of Max Degree Four without Five Cycles
本文证明了最大度为4的无五圈可平面图的平方的可选性至多为12。关键词:可平面图,可选性AMS数学学科分类:05C15
Planar triangulations with real chromatic roots arbitrarily close to four
我们展示了无限家庭的可平面图的实色根任意接近4,从而解决了一个长期存在的猜想肯定。
Planar Ramsey Numbers of Four Cycles Versus Wheels
对于两个给定的图$G$和$H$,平面Ramsey数$PR(G,H)$是最小整数$n$,使得$n$顶点上的每个可平面图$F$或者包含$G$的副本,或者其补图包含$H$的副本。本文首先刻画了无$C_4$平面图的一些结构性质,然后确定了无$C_4$平面图的所有平面Ramsey数$PR(C_4, W_n)$,对于$n\ge 3$ .
Minimal clusters of four planar regions with the same area
我们证明了封闭和分离四个平面区域的最佳方式,使用不太可能的周长相等的面积需要所有的区域连接。此外,这种最佳集群的拓扑结构是唯一确定的。
On Dispersable Book Embeddings
在可分散的书嵌入中,给定图$G$的顶点必须沿着线l排序,称为spine,并且G的边必须在由l限定的不同半平面上绘制,称为书的页面,使得:(i)同一页面的两条边不交叉,并且(ii)由每一页面的边导出的图是1-正则的。$G$的任何可分散书嵌入所需的最小页数被称为$G$的可分散书厚度$dbt(G)$。如果$dbt(G) = Δ(G)$成立(注意$Δ(G) \leq dbt(G)$总是成立),则图$G$称为可分散图。早在1979年,Bernhart和Kainen就证明了任何$k$ -正则二部图$G$都是可分散的,即,$dbt(G)=k$。在本文中,我们反驳了这个猜想的情况下$k=3$(与计算机辅助证明),和$k=4$(与纯组合证明)。特别地,我们证明了3-正则二部的Gray图的可分散书厚度为4,而4-正则二部的Folkman图的可分散书厚度为5。在积极的一面,我们证明了3-连通3-正则二部平面图是可分散的,并猜想这一性质保持,即使3-连通性放松。
The Maximum Number of Paths of Length Four in a Planar Graph
设$f(n,H)$表示$n$ -顶点可平面图中$H$的最大拷贝数. $f(n,P_k)$的数量级是$n^{{\lfloor{\frac{k-1}{2}}\rfloor}+1}$,其中$P_k$是$k$顶点上的路径。本文确定了$f(n,P_5)$的渐近值,并对较长的路给出了证明.
Choosability of the square of a planar graph with maximum degree four
研究可平面图的平方,目的是确定平面图的列表色数.给出了最大度为$Δ\leq 4$的可平面图的平方的新的上界.特别地,如果$G$的围长分别为至少16、11、9、7、5、3,则$G^2$是5-、6-、7-、8-、12-、14-可选择的。事实上,我们证明了更一般的结果,在最大平均度,这意味着上述结果。
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色,使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的,如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点,且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外,对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图,如果它恰好包含四个奇顶点,我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪,并且不包含三角形。
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色,即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色,且边色异于端点色,证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理,并给出 Lean 4 形式化。
A short proof of the Four Colour Theorem
本文尝试在六页篇幅内给出四色定理的一个简短证明。
O-cycles, vertex-oriented graphs, and the four colour theore
1880年,P.G. Tait证明了四色定理等价于每个没有割边的3-正则可平面图都是3-边列的断言,1891年J. Petersen证明了每个至多有两个割边的3-正则图都有1-因子。本文引入了3-正则可平面图的1-因子的所有边折叠的概念,从而得到了我们称之为面向点的4-正则可平面图。我们还引入了点定向4-正则可平面图的o-着色的概念,并证明了四色定理等价于所有没有非横截定向割点的点定向4-正则可平面图(简称VOGWOC)都是3-o-着色的断言。这项工作提出了另一种调查途径,以寻找四色定理的更概念化的证明,我们能够证明每个VOGWOC都是o-colorability(尽管我们还没有能够证明3-o-colorability)。
Planar higher-rank trees have rank at most four
本文证明,在非退化条件下,1-骨架为平面的有限连通单连通局部凸高阶树的秩至多为四,证实了Pask提出的平面性猜想。
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题,证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色,为Wegner猜想提供新进展。
Four-connected triangulations of planar point sets
本文考虑在多项式时间内判定给定的平面点集$P$的$n$点是否允许4-连通三角剖分的问题。给出了识别$P$的一个充分必要条件,并给出了构造$P$的四连通三角剖分的$O(n^3)$算法.因此,我们的算法解决了计算几何和几何图论中一个长期存在的开放问题。我们还提供了一个简单的方法来构建一个非复杂的三角剖分的$P$,需要$O(n^2)$的步骤。该方法为点集的四连通三角剖分的结构提供了新的认识。
A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的,由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色,由Kündgen和Ramamurthi提出,它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配,则存在$G$的$L$ -着色,使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
扫码添加微信好友,提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写:网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取,如发现错误,欢迎反馈修正建议。