Efficient Generation of Different Topological Representations of Graphs Beyond-Planarity
超越平面性专注于非平面图类的组合性质，这些非平面图允许在其边交叉上满足某些局部几何或拓扑约束的表示。除了研究特定图类的最大边密度外，文献中经常考虑的另一个参数是属于它的最大完全或完全二部图的大小。克服标准组合参数的限制，我们提出了一种技术，系统地生成完全和完全二部图的所有非同构拓扑表示，考虑到特定类别的约束。作为概念证明，我们将我们的技术应用于各种超平面类，并实现了上述参数的新的紧界。
2019-08-26 cs.DM cs.DS math.CO
Odd coloring of 2-boundary planar graphs and beyond
本文引入了2-边界平面图的概念，并证实了Petruševski和Škrekovski在2022年提出的关于此类图存在奇5-着色的猜想，同时提出了若干独立的研究问题。
2025-04-04 cs.DM math.CO
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
Recognizing and Embedding Simple Optimal 2-Planar Graphs
在超平面图的区域中，即可以在边缘交叉上具有某些局部限制的图，识别问题在不同图类的密度问题之后是突出的。对于1-平面图，识别问题已经得到解决，即它在一般情况下是NP-完全的，而最优1-平面图，即具有最大密度的图，可以在线性时间内识别。对于2-平面图，图像不太完整。正如预期的那样，识别问题已被发现是NP完全的一般。本文研究简单最优2-平面图的识别问题。我们利用这样的图的组合特征，并提出了一个线性时间算法的识别和嵌入。
2021-08-03 cs.DM cs.DS
Distributed Dominating Set Approximations beyond Planar Graphs
最小支配集（MDS）问题是分布式计算中最基本、最具挑战性的问题之一。虽然众所周知，最小控制集不能在一般图上局部近似，但在过去几年中，在稀疏图，特别是平面图上计算局部近似已经取得了很大进展。在本文中，我们研究了分布式和确定性的MDS近似算法的图形类平面图以外。特别地，我们证明了平面图的现有逼近界可以提升到有界亏格图，并给出了（1）一个局部常数时间，常数因子MDS近似算法和（2）一个局部$\mathcal{O}(\log^*{n})$ -时间逼近方案。我们的主要技术贡献是一个新的分析略有修改的现有算法的Lenzen等人。有趣的是，与现有的平面图的证明，我们的分析不依赖于直接的拓扑参数。
2019-04-16 cs.DC cs.DM cs.DS
Towards optimal kernel for connected vertex cover in planar graphs
我们研究了顶点覆盖问题的连通版本的参数化复杂性，其中解集必须诱导一个连通子图。虽然这个问题不承认一般图的多项式核（除非NP是coNP/poly的子集），但对于平面图，Guo和Niedermeier [ICALP'08]显示了至多14 k个顶点的核，随后由Wang等人[MFCS'11]改进为4k。这里的常数4是如此之小，以至于一个自然的问题出现了：它可能已经是这个问题的最优值了吗？本文给出了一个否定的答案：给出了平面图的连通点覆盖的一个（11/3）k-点核。我们相信，这一结果将激发进一步的研究，寻找一个最佳的内核。
2011-10-10 cs.DM cs.DS
On Optimal 2- and 3-Planar Graphs
一个图是$k$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得没有边交叉超过$k$次。而对于$k=1$，最优$1$ -平面图，即，具有$n$顶点和精确的$4n-8$边的那些已经被完全表征，但对于$k \geq 2$情况并非如此。对于$k=2,3$和$4$，Pach和Tóth，Pach et al.和Ackerman在简单图的情况下给出了边密度的上界，并改进了著名的“交叉引理”.最近，我们证明了这些界限也适用于非简单的$2$ -和$3$ -平面图没有同伦平行边和自环。在本文中，我们完全刻画了最优$2$ -平面图和最优$3$ -平面图，即，达到上述上限的那些。我们证明，他们有一个非常简单的规则结构，虽然他们可能是非简单的。新的表征使我们能够开发显着的见解与其他图形类的新的包含关系。
2017-03-19 cs.CG cs.DM
Random-bit optimal uniform sampling for rooted planar trees with given sequence of degrees and Applications
在本文中，我们重新设计和简化算法，由于雷米等人。根平面树，满足一个给定的划分度的生成。这个新版本现在在随机比特复杂度方面是最优的，直到乘法常数。然后，我们应用一个自然的过程“模拟猜测和证明”来分析一个随机Motzkin的一元节点的频率的函数的高度。当一元节点的数量占主导地位时，我们证明了一些非常规的高度现象（即在通用平方根行为之外）。
2014-01-19 cs.DM math.CO
Large independent sets in triangle-free cubic graphs: beyond planarity
每个最大度至多为$3$的$n$ -顶点平面无三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集。这是第一次由艾伯森，Bollobás和塔克，后来证明了赫克曼和托马斯。Fraughnaugh和Locke证明了平面性要求可以放宽到仅仅禁止一些特定的非平面子图：他们描述了一个由六个非平面图组成的$\mathcal{F}$族（每个图的阶至多为$22$），并证明了每个最大度至多为$n$的无顶点三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集。本文证明了这一猜想。作为推论，我们得到了除$\mathcal{F}$中的六个图外，所有最大度至多为$3$的$2$ -连通$n$ -顶点无三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集.这证实了Bajnok和Brinkmann以及Fraughnaugh和Locke独立提出的一个猜想。
2020-07-08 cs.DM math.CO
Contact Representations of Graphs in 3D
研究了顶点由三维轴对齐多面体表示，边由对应多面体之间的非零面积公共边界实现的图的接触表示。我们证明，对于每个3连通平面图，存在该图及其对偶与3D盒的同时表示。我们给出了一个线性时间算法来构造这样的表示。这一结果扩展了现有的原始对偶接触表示的平面图在2D中使用圆和三角形。虽然二维接触图直接对应于平面图，我们接下来研究三维非平面图的表示。特别是，我们认为最佳1-平面图的表示。一个图是1-平面的，如果在平面中存在一个图，其中每一条边最多相交一次，并且最优n-顶点1-平面图具有最多（4 n- 8）条边。我们描述了一个线性时间算法表示最佳的1-平面图，而不分离4-圈与3D盒。然而，并不是每个最优1-平面图都允许用盒子表示。因此，我们考虑接触表示与下一个最简单的轴对齐的3D对象，L形多面体。给出了一个用L形多面体表示最优1-平面图的二次时间算法。
2015-05-03 cs.CG cs.DM
Beyond Outerplanarity
Maastricht University（马斯特里赫特大学）；Universität Würzburg（维尔茨堡大学）；Amherst College（阿默斯特学院）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）
研究凸位置绘图中外k-平面图和外k-拟平面图的性质，包括退化性、染色数、平衡分离器以及识别问题的拟多项式时间算法，并证明全外k-平面性可在线性时间内测试。
2026-05-31 cs.DM math.CO
Optimal stochastic planarization
Indyk和Sidiropoulos [IS 07]证明了亏格g>0的任何图都可以随机嵌入到畸变为2^O（g）的平面图上的分布中。这个界限后来被Borradaile、Lee和Sidiropoulos改进为O（g^2）[BLS 09]。我们给出了一个嵌入失真O（log g），这是渐近最优的。除了改进的失真，我们的嵌入的另一个优点是，它可以在多项式时间计算。相比之下，[BLS 09]的算法需要解决NP难问题。我们的研究结果意味着，特别是减少了一个大类的几何优化问题的实例genus-g图，相应的平面图，与O（log g）的损失因子的近似保证。
2010-05-20 cs.CG cs.DM cs.DS
Structure of $k$-Matching-Planar Graphs
本文定义并研究$k$-匹配平面图，证明其可嵌入有界树宽图与路径的强乘积，并推导出边着色及树宽等性质，推广了平面图乘积结构定理。
2025-10-15 cs.DM math.CO
Planar F-Deletion: Approximation, Kernelization and Optimal FPT Algorithms
设F是有限图集。在F-Deletion问题中，我们给定一个n-顶点图G和一个整数k作为输入，并询问是否可以从G中删除至多k个顶点，使得所得图不包含来自F的图作为子图。F-删除是一个一般性的问题，通过选择不同的禁止子式集合F，可以得到各种基本问题，如顶点覆盖，反馈顶点集或树宽t-删除。当F至少包含一个平面图时，本文得到了平面F-消去的一些一般算法结果。我们的工作的亮点是-一个常数因子近似算法的优化版本的平面F-删除。- 对于F中所有图连通的平面F-消去的参数化形式，给出了一个随机线性时间单指数参数化算法，即时间复杂度为O（2^{O（k）} n）的算法.该算法可以是确定性的，代价是使多项式因子在运行时间n*log^2 n中，而不是线性的。- 参数化平面F-消去的多项式核这些算法统一、推广和改进了文献中的大量结果。我们的主要结果有几个直接的应用，而且我们开发的方法的适用性超出了本文的范围。我们的结果-常数因子近似，多项式核化和FPT算法-串在一起的一个共同的主题多项式时间预处理。
2020-11-02 cs.DM cs.DS
Optimal Orthogonal Graph Drawing with Convex Bend Costs
传统上，正交平面图形的质量通过折弯总数或每条边的最大折弯数来量化。然而，这忽略了在典型应用中，边缘具有不同的重要性。此外，由于所有平面嵌入上的弯曲最小化是NP难的，因此大多数方法都集中在固定的平面嵌入上。我们考虑如下定义的问题OptimalFlexDraw。给定一个最大度为4的n个顶点的平面图G，对于每条边e，一个成本函数cost_e：N_0 --> R定义成本取决于e上的弯曲数，计算G的最小成本正交图。请注意，这优化了输入图的所有平面嵌入，并且成本函数允许对边的弯曲进行细粒度控制。在这种普遍性中，OptimalFlexDraw是NP难的。我们证明，如果1）每条边的成本函数是凸的，并且2）每条边上的第一个弯曲不会导致任何成本（这是一个类似于决策问题FlexDraw的正柔性的条件），则可以有效地解决它。此外，我们证明了一个最佳的解决方案的存在性，除了一个单一的边缘，每个块（最大的双连通组件），最多有四个弯曲，每个边缘最多有三个弯曲。对于双连通图，我们得到了O（n T_flow（n））的运行时间，其中T_flow（n）表示在具有多个源和汇的平面流网络中计算最小费用流所需的时间。对于非双连通的连通图，我们需要一个额外的因子O（n）。
2012-04-23 cs.DM cs.DS
On Maximum Differential Coloring of Planar Graphs
本文研究了\emph{maximum differential coloring problem}，其中$n$ -顶点图的顶点必须用不同的数进行标号，标号的范围从$1$到$n$，使得任意两个相邻顶点的两个标号之间的最小绝对差最大化.由于问题是一般图的\NPH ~ \cite{leung1984}，我们考虑平面图及其子类。我们初步证明，最大微分着色问题仍然是\NPH，即使是平面图。然后，我们提出了严格的界限，定期毛毛虫和蜘蛛图。使用这些新的界限，我们证明了米勒-普里提金标记计划~ \cite{miller89}森林是最佳的定期毛虫和蜘蛛图。最后，我们描述了接近最优的微分着色算法一般毛毛虫和双连通三角形自由外平面图。
2014-06-12 cs.DM math.CO
(Almost-)Optimal FPT Algorithm and Kernel for $T$-Cycle on Planar Graphs
针对平面图上的 $T$-Cycle 问题，提出了首个次指数时间固定参数算法和多项式核化算法，在 ETH 假设下达到近似最优。
2025-04-27 cs.DM cs.DS
Approximating the Edge Length of 2-Edge Connected Planar Geometric Graphs on a Set of Points
给定平面上的一组$P$的$n$点，我们解决了构造一个几何平面图的问题，它分别生成$P$ 1）的最小度为2，和2）是2-边连通的，并且最大边长度由2倍的最优因子限定;我们还证明了因子2是最好的可能的给定适当的连通性条件的集合$P$，分别。首先，我们在$O(n\log{n})$时间内构造一个最小度为2，最大边长为2倍最优边的几何平面图。然后，这是用来构建在$O(n\log n)$时间的2-边连接的几何平面图跨越$P$与最大的边长度由$\sqrt{5}$倍的最佳的限制，假设集合$P$形成一个连接的单位圆盘图。其次，我们证明了2倍的最优总是足够的，如果点集形成一个2边连通的单位圆盘图，并给出了一个算法，运行在$O(n^2)$时间。我们还表明，对于$k \in O(\sqrt{n})$，存在一个集$P$的$n$点在平面上，即使单位圆盘图跨越$P$是$k$ -顶点连接，有没有2-边连接的几何平面图跨越$P$，即使其边缘的长度被允许达到17/16。
2011-12-15 cs.CG cs.DM
A Planarity Test via Construction Sequences
最佳线性时间算法测试的平面图是众所周知的超过35年。然而，这些算法非常复杂，最近的出版物仍然试图给出更简单的线性时间测试。我们给出了一个简单的减少，从平面性测试的问题，计算一个3-连通图的某种结构。该方法与以前的平面性测试不同;作为关键概念，我们在每个时间点保持3连接的平面嵌入。该算法在线性时间内运行，如果输入图是平面的，则计算平面嵌入，否则计算Kuratowski细分。
2012-02-22 cs.DM cs.DS
Dynamic list coloring of 1-planar graphs
一个图是$k$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得每条边最多交叉$k$次。通常，1-可平面图是所谓的“超可平面图“中研究最多的一类图。图的动态$\ell$ -列表染色是指图的每个顶点从分配给它的$\ell$不同的候选颜色列表中接收一种颜色，同时，在每个顶点的邻域中至少有两种颜色出现，其度至少为2。本文证明了每个1-可平面图都有一个动态的$11$ -列表染色。此外，我们还证明了1-可平面图的动态染色与2-可平面图的正常染色之间的关系，即1-可平面图类的动态（列表）色数至少是2-可平面图类的（列表）色数.
2021-01-28 cs.DM math.CO
Computing Cartograms with Optimal Complexity
在平面图的直线对偶中，顶点由简单的直线多边形表示，边由相应多边形之间的边接触表示。如果每个区域的面积等于对应顶点的预先指定的权重，则直线对偶被称为地图图。地图的复杂性由任何多边形所需的最大角（或边）数决定。在一系列的文件多边形的复杂性，这种代表性的最大平面图已减少从最初的40至34，然后到12和最近到目前最知名的10。在这里，我们描述了一个8边多边形的结构，这是多边形复杂性方面的最佳选择，因为8边多边形有时是必要的。具体来说，我们将展示如何计算组合结构，以及如何在线性时间内将表示细化为区域通用矩形布局。精确的地图可以从区域通用矩形布局中通过数值迭代计算，或者可以用爬山启发式近似。我们还描述了一种替代的建设哈密尔顿最大平面图，这使我们能够直接计算的cartograms在线性时间。此外，我们证明，即使是哈密尔顿图8边直线多边形是必要的，通过构建一个非平凡的下界的例子。如果哈密尔顿路具有像外平面图那样的单腿性质，则图的复杂度可降为6。因此，我们有最佳表示（多边形复杂性和运行时间）的哈密尔顿最大平面和最大外平面图。
2011-12-30 cs.CG cs.DM cs.DS
