Recognition Complexity of Subgraphs of k-Connected Planar Cubic Graphs
本文研究了k=1,2,3时k-连通平面三次图子图的识别复杂性，提出了识别1-和2-连通平面三次图子图的多项式时间算法，并证明了在可变嵌入设置下识别3-连通平面三次图子图是NP困难的。
2024-10-14 cs.DM math.CO
Recognizing and realizing cactus metrics
有限度量空间的赋权图实现问题有许多应用。例如，可以通过树实现的度量的数学和计算性质已经得到了很好的研究，并且这样的研究为从进化距离重建系统发育树奠定了基础。然而，由于树可能过于局限，无法准确地表示真实世界的数据或现象，因此理解更一般的图形和距离之间的关系非常重要。在本文中，我们引入了一种新的度量称为仙人掌度量，即度量，可以实现的仙人掌图。我们表明，就像树度量，仙人掌度量有一个独特的最佳实现。此外，我们描述了一种算法，可以识别是否度量是仙人掌度量，如果是这样，计算其最佳实现在$O(n^3)$的时间，其中$n$是在空间中的点的数量。
2020-02-07 cs.DM math.CO
Towards optimal kernel for connected vertex cover in planar graphs
我们研究了顶点覆盖问题的连通版本的参数化复杂性，其中解集必须诱导一个连通子图。虽然这个问题不承认一般图的多项式核（除非NP是coNP/poly的子集），但对于平面图，Guo和Niedermeier [ICALP'08]显示了至多14 k个顶点的核，随后由Wang等人[MFCS'11]改进为4k。这里的常数4是如此之小，以至于一个自然的问题出现了：它可能已经是这个问题的最优值了吗？本文给出了一个否定的答案：给出了平面图的连通点覆盖的一个（11/3）k-点核。我们相信，这一结果将激发进一步的研究，寻找一个最佳的内核。
2011-10-10 cs.DM cs.DS
On Optimal 2- and 3-Planar Graphs
一个图是$k$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得没有边交叉超过$k$次。而对于$k=1$，最优$1$ -平面图，即，具有$n$顶点和精确的$4n-8$边的那些已经被完全表征，但对于$k \geq 2$情况并非如此。对于$k=2,3$和$4$，Pach和Tóth，Pach et al.和Ackerman在简单图的情况下给出了边密度的上界，并改进了著名的“交叉引理”.最近，我们证明了这些界限也适用于非简单的$2$ -和$3$ -平面图没有同伦平行边和自环。在本文中，我们完全刻画了最优$2$ -平面图和最优$3$ -平面图，即，达到上述上限的那些。我们证明，他们有一个非常简单的规则结构，虽然他们可能是非简单的。新的表征使我们能够开发显着的见解与其他图形类的新的包含关系。
2017-03-19 cs.CG cs.DM
Random-bit optimal uniform sampling for rooted planar trees with given sequence of degrees and Applications
在本文中，我们重新设计和简化算法，由于雷米等人。根平面树，满足一个给定的划分度的生成。这个新版本现在在随机比特复杂度方面是最优的，直到乘法常数。然后，我们应用一个自然的过程“模拟猜测和证明”来分析一个随机Motzkin的一元节点的频率的函数的高度。当一元节点的数量占主导地位时，我们证明了一些非常规的高度现象（即在通用平方根行为之外）。
2014-01-19 cs.DM math.CO
Contact Representations of Graphs in 3D
研究了顶点由三维轴对齐多面体表示，边由对应多面体之间的非零面积公共边界实现的图的接触表示。我们证明，对于每个3连通平面图，存在该图及其对偶与3D盒的同时表示。我们给出了一个线性时间算法来构造这样的表示。这一结果扩展了现有的原始对偶接触表示的平面图在2D中使用圆和三角形。虽然二维接触图直接对应于平面图，我们接下来研究三维非平面图的表示。特别是，我们认为最佳1-平面图的表示。一个图是1-平面的，如果在平面中存在一个图，其中每一条边最多相交一次，并且最优n-顶点1-平面图具有最多（4 n- 8）条边。我们描述了一个线性时间算法表示最佳的1-平面图，而不分离4-圈与3D盒。然而，并不是每个最优1-平面图都允许用盒子表示。因此，我们考虑接触表示与下一个最简单的轴对齐的3D对象，L形多面体。给出了一个用L形多面体表示最优1-平面图的二次时间算法。
2015-05-03 cs.CG cs.DM
NIC-Planar Graphs
一个图是NIC-平面的，如果它允许在平面上画一个图，每个边至多有一个交叉，并且两对交叉边至多有一个公共端点。NIC-平面性概括了IC-平面性，其允许顶点至多与一个交叉边关联，并且专门化1-平面性，其仅需要每个边至多一个交叉。利用广义平面对偶图刻画了极大NIC-平面图的嵌入。的特征是用来获得紧界的最大的NIC-平面图的密度范围在3.2（n-2）和3.6（n-2）。进一步，我们证明了具有3.6（n-2）条边的最优NIC-平面图具有唯一的嵌入，并且可以在线性时间内识别，而一般的NIC-平面图的识别问题是NP-完全的.此外，我们还证明了存在不允许直角交叉绘图的NIC-平面图，这将NIC-平面图与IC-平面图区分开来。
2017-11-03 cs.DM
Optimal stochastic planarization
Indyk和Sidiropoulos [IS 07]证明了亏格g>0的任何图都可以随机嵌入到畸变为2^O（g）的平面图上的分布中。这个界限后来被Borradaile、Lee和Sidiropoulos改进为O（g^2）[BLS 09]。我们给出了一个嵌入失真O（log g），这是渐近最优的。除了改进的失真，我们的嵌入的另一个优点是，它可以在多项式时间计算。相比之下，[BLS 09]的算法需要解决NP难问题。我们的研究结果意味着，特别是减少了一个大类的几何优化问题的实例genus-g图，相应的平面图，与O（log g）的损失因子的近似保证。
2010-05-20 cs.CG cs.DM cs.DS
Planar F-Deletion: Approximation, Kernelization and Optimal FPT Algorithms
设F是有限图集。在F-Deletion问题中，我们给定一个n-顶点图G和一个整数k作为输入，并询问是否可以从G中删除至多k个顶点，使得所得图不包含来自F的图作为子图。F-删除是一个一般性的问题，通过选择不同的禁止子式集合F，可以得到各种基本问题，如顶点覆盖，反馈顶点集或树宽t-删除。当F至少包含一个平面图时，本文得到了平面F-消去的一些一般算法结果。我们的工作的亮点是-一个常数因子近似算法的优化版本的平面F-删除。- 对于F中所有图连通的平面F-消去的参数化形式，给出了一个随机线性时间单指数参数化算法，即时间复杂度为O（2^{O（k）} n）的算法.该算法可以是确定性的，代价是使多项式因子在运行时间n*log^2 n中，而不是线性的。- 参数化平面F-消去的多项式核这些算法统一、推广和改进了文献中的大量结果。我们的主要结果有几个直接的应用，而且我们开发的方法的适用性超出了本文的范围。我们的结果-常数因子近似，多项式核化和FPT算法-串在一起的一个共同的主题多项式时间预处理。
2020-11-02 cs.DM cs.DS
Searching for square-complementary graphs: non-existence results and complexity of recognition
一个图是平方补图（square-complementary，简称squco），如果它的平方和补图是同构的。证明了不存在围长为6的squco图，证明了每一个二部图都是squco二部图的诱导子图，证明了squco图的识别问题是图同构完全的，证明了不存在非平凡squco图既是二部图又是平面图.这些结果解决了离散数学327（2014）62-75中提出的三个未决问题。
2018-08-03 cs.CC cs.DM math.CO
Optimal Orthogonal Graph Drawing with Convex Bend Costs
传统上，正交平面图形的质量通过折弯总数或每条边的最大折弯数来量化。然而，这忽略了在典型应用中，边缘具有不同的重要性。此外，由于所有平面嵌入上的弯曲最小化是NP难的，因此大多数方法都集中在固定的平面嵌入上。我们考虑如下定义的问题OptimalFlexDraw。给定一个最大度为4的n个顶点的平面图G，对于每条边e，一个成本函数cost_e：N_0 --> R定义成本取决于e上的弯曲数，计算G的最小成本正交图。请注意，这优化了输入图的所有平面嵌入，并且成本函数允许对边的弯曲进行细粒度控制。在这种普遍性中，OptimalFlexDraw是NP难的。我们证明，如果1）每条边的成本函数是凸的，并且2）每条边上的第一个弯曲不会导致任何成本（这是一个类似于决策问题FlexDraw的正柔性的条件），则可以有效地解决它。此外，我们证明了一个最佳的解决方案的存在性，除了一个单一的边缘，每个块（最大的双连通组件），最多有四个弯曲，每个边缘最多有三个弯曲。对于双连通图，我们得到了O（n T_flow（n））的运行时间，其中T_flow（n）表示在具有多个源和汇的平面流网络中计算最小费用流所需的时间。对于非双连通的连通图，我们需要一个额外的因子O（n）。
2012-04-23 cs.DM cs.DS
On Maximum Differential Coloring of Planar Graphs
本文研究了\emph{maximum differential coloring problem}，其中$n$ -顶点图的顶点必须用不同的数进行标号，标号的范围从$1$到$n$，使得任意两个相邻顶点的两个标号之间的最小绝对差最大化.由于问题是一般图的\NPH ~ \cite{leung1984}，我们考虑平面图及其子类。我们初步证明，最大微分着色问题仍然是\NPH，即使是平面图。然后，我们提出了严格的界限，定期毛毛虫和蜘蛛图。使用这些新的界限，我们证明了米勒-普里提金标记计划~ \cite{miller89}森林是最佳的定期毛虫和蜘蛛图。最后，我们描述了接近最优的微分着色算法一般毛毛虫和双连通三角形自由外平面图。
2014-06-12 cs.DM math.CO
(Almost-)Optimal FPT Algorithm and Kernel for $T$-Cycle on Planar Graphs
针对平面图上的 $T$-Cycle 问题，提出了首个次指数时间固定参数算法和多项式核化算法，在 ETH 假设下达到近似最优。
2025-04-27 cs.DM cs.DS
Finding Geometric Representations of Apex Graphs is NP-Hard
平面图可以表示为平面中不同类型的几何对象的相交图，例如，圆（Koebe，1936）、线段（Chalopin \& Gon{alves}，2009）、\textsc{L} -形状（Gon{alves} et al，2018）。然而，对于一般的图，甚至决定这样的表示是否存在也常常是$NP$ -困难的。我们考虑顶点图，即，可以通过去掉一个顶点而变成平面的图。我们发现，有点令人惊讶的是，决定是否存在顶点图的几何表示是$NP$ -硬。更准确地说，我们表明，对于每一个正整数$k$，识别每一个图类$\mathcal{G}$满足$\textsc{PURE-2-DIR} \subseteq \mathcal{G} \subseteq \textsc{1-STRING}$是$NP$ -硬，即使当输入的图是顶点图的周长至少$k$。这里，$PURE-2-DIR$是轴平行线段（其中仅允许水平和垂直线段之间的相交）的相交图的类，而\textsc{1-STRING}是平面中简单曲线（其中两条曲线最多共享一个点）的相交图的类。这部分回答了Kratochv l \& Pergel（2007）提出的一个开放性问题。大多数已知的用于这些问题的$NP$硬度降低来自3-SAT的变体。我们减少从\textsc{PLANAR HAMILTONIAN PATH COMPLETION}的问题，它使用更直观的平面性的概念。因此，我们…
2021-06-02 cs.CG cs.DM
B$_0$-VPG Representation of AT-free Outerplanar Graphs
$k$折弯路径是平面中的非自相交线段，最多由$k+1$轴平行线段组成。B $_k$ -VPG是一类可以表示为同一平面上$k$ -bend路的交图的图。本文证明了所有无AT的外平面图都是B $_0$ -VPG，即，平面内水平和垂直线段的交图。我们的证明是建设性的，并给出了多项式时间的B $_0$ -VPG绘图算法的类。经过一系列的改进，Gonçalves，Isenmann和Pennarun [SODA 2018]表明所有平面图都是B $_1$ -VPG。由于存在非B $_0$ -VPG的平面图，在平面图中刻画B $_0$ -VPG图就变得很有趣. Chaplick等人[WG 2012]已经证明了在B $_{k+1}$ -VPG中识别B $_k$-VPG图是NP完全的。因此，在B $_1$-VPG中识别B $_0$-VPG图一般是NP-完全的，但是当限制到平面图时，问题是开放的。存在非B $_0$ -VPG的外平面图和AT-free平面图。这激起了我们对AT-自由外平面图的兴趣。
2023-03-04 cs.DM math.CO
The planar minimum linear arrangement problem is different from the minimum linear arrangement problem
在各种研究论文中，如[2]，人们会发现声称minLA在外平面图上是最优可解的，参考[1]。然而，在该出版物中解决的问题，我们称之为平面最小线性排列问题（planar minLA），与最小线性排列问题（minLA）不同，如本文所示。
2014-09-03 cs.DM cs.DS
Approximating the Edge Length of 2-Edge Connected Planar Geometric Graphs on a Set of Points
给定平面上的一组$P$的$n$点，我们解决了构造一个几何平面图的问题，它分别生成$P$ 1）的最小度为2，和2）是2-边连通的，并且最大边长度由2倍的最优因子限定;我们还证明了因子2是最好的可能的给定适当的连通性条件的集合$P$，分别。首先，我们在$O(n\log{n})$时间内构造一个最小度为2，最大边长为2倍最优边的几何平面图。然后，这是用来构建在$O(n\log n)$时间的2-边连接的几何平面图跨越$P$与最大的边长度由$\sqrt{5}$倍的最佳的限制，假设集合$P$形成一个连接的单位圆盘图。其次，我们证明了2倍的最优总是足够的，如果点集形成一个2边连通的单位圆盘图，并给出了一个算法，运行在$O(n^2)$时间。我们还表明，对于$k \in O(\sqrt{n})$，存在一个集$P$的$n$点在平面上，即使单位圆盘图跨越$P$是$k$ -顶点连接，有没有2-边连接的几何平面图跨越$P$，即使其边缘的长度被允许达到17/16。
2011-12-15 cs.CG cs.DM
String Graph Obstacles of High Girth and of Bounded Degree
本文研究弦图的极小非弦图障碍，构造围长四、无$K_{2,3}$子图的近平面无穷障碍族，证明次三次障碍的围长界限，并给出有界树宽情形的线性时间识别算法。
2025-08-29 cs.DM math.CO
A Planarity Test via Construction Sequences
最佳线性时间算法测试的平面图是众所周知的超过35年。然而，这些算法非常复杂，最近的出版物仍然试图给出更简单的线性时间测试。我们给出了一个简单的减少，从平面性测试的问题，计算一个3-连通图的某种结构。该方法与以前的平面性测试不同;作为关键概念，我们在每个时间点保持3连接的平面嵌入。该算法在线性时间内运行，如果输入图是平面的，则计算平面嵌入，否则计算Kuratowski细分。
2012-02-22 cs.DM cs.DS
Finding Optimal Solutions With Neighborly Help
我们能否有效地从最优解到邻近的最优解计算出困难问题实例的最优解（即，本地修改）实例？例如，我们是否可以从所有单边删除子图的最优着色中有效地计算出一个图的最优着色？研究这些问题不仅可以详细了解问题本身的结构，还可以了解相关问题的复杂性;最值得注意的是图论的关键图的核心概念（例如，其色数在任意边的删除下减小的图）和最小问题的复杂性理论概念（也称为临界问题，例如，识别当任意边被删除时变为3-可着色的图）。我们专注于两个典型的图的问题，着色性和顶点覆盖。例如，我们表明，它是NP-难计算的最佳着色图的最佳着色，其所有的一个顶点删除的子图，这仍然是真实的，即使当所有的一个边删除的子图的最佳解决方案。相比之下，从所有（甚至只有两个）一个边缘添加的超图计算最佳着色是在P.我们观察到，顶点覆盖表现出显着不同的行为，展示了我们的模型的力量，更精确地描绘彼此的问题在结构层面上。此外，我们提供了一些新的复杂性结果的极小性和临界性问题。例如，我们证明了最小-3-UnColorability是完整的DP（NP集的差异），这是以前只知道更顺从的情况下删除顶点，而不是边缘。对于顶点覆盖，我们证明了对于Theta_2^p（并行访问NP），识别β-顶点临界图是完全的，获得了该类临界问题的第一个完全性结果。
2019-06-25 cs.CC cs.DM
Computing Cartograms with Optimal Complexity
在平面图的直线对偶中，顶点由简单的直线多边形表示，边由相应多边形之间的边接触表示。如果每个区域的面积等于对应顶点的预先指定的权重，则直线对偶被称为地图图。地图的复杂性由任何多边形所需的最大角（或边）数决定。在一系列的文件多边形的复杂性，这种代表性的最大平面图已减少从最初的40至34，然后到12和最近到目前最知名的10。在这里，我们描述了一个8边多边形的结构，这是多边形复杂性方面的最佳选择，因为8边多边形有时是必要的。具体来说，我们将展示如何计算组合结构，以及如何在线性时间内将表示细化为区域通用矩形布局。精确的地图可以从区域通用矩形布局中通过数值迭代计算，或者可以用爬山启发式近似。我们还描述了一种替代的建设哈密尔顿最大平面图，这使我们能够直接计算的cartograms在线性时间。此外，我们证明，即使是哈密尔顿图8边直线多边形是必要的，通过构建一个非平凡的下界的例子。如果哈密尔顿路具有像外平面图那样的单腿性质，则图的复杂度可降为6。因此，我们有最佳表示（多边形复杂性和运行时间）的哈密尔顿最大平面和最大外平面图。
2011-12-30 cs.CG cs.DM cs.DS
Multi-layered planar firefighting
考虑一个火在图中蔓延的模型;最初一些顶点在燃烧，在每个给定的时间步，火从燃烧的顶点蔓延到它们的邻居。消防员问题是一个纸牌游戏，其中允许玩家在每个时间步保护一些未燃烧的顶点（通过有效删除它们）以控制火势的蔓延。为了阻止火势无限蔓延，平均每回合必须保护多少个顶点？在这里，我们考虑的问题$\mathbb{Z}^2\times [h]$的最近邻邻接和强邻接。我们确定这些图的临界保护率分别为$1.5h$和$3h$。这确立了这样一个事实，即对所有层并行使用最优二维策略是渐进最优的。
2021-05-08 cs.DM math.CO
Largest planar graphs of diameter $3$ and fixed maximum degree -- connection with fractional matchings
针对直径3、最大度固定的平面图，本文借助分数最大匹配证明最大顶点数上界为9/2Δ+c，并刻画极值图。
2025-07-24 cs.DM math.CO
