On delocalization of eigenvectors of random non-Hermitian matrices
研究了具有独立同分布元的随机矩阵的零向量和特征向量的离域化问题。令$A$是具有零均值和单位方差的i.i.d实次高斯项的$n\times n$随机矩阵。我们表明，概率至少$1-e^{-\log^{2} n}$ $$ \min\limits_{I\subset[n],\,|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq \frac{m^{3/2}}{n^{3/2}\log^Cn}\|{\bf v}\| $$的任何真正的特征向量${\bf v}$和任何$m\in[\log^C n,n]$，其中${\bf v}_I$表示的限制${\bf v}$ $I$。此外，当$A$的条目是复杂的，与i.i.d实部和虚部，我们表明，概率至少$1-e^{-\log^{2} n}$的所有特征向量的$A$是离域的意义上说，$$ \min\limits_{I\subset[n],\,|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq \frac{m}{n\log^Cn}\|{\bf v}\| $$的所有$m\in[\log^C{n},n]$。与相关结果相比，在i.i.d环境下的$m\in[\log^{C'}{n},n/\log^{C'}{n}]$范围内，在较弱的概率估计下，我们的$\min\limits_{|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq c(m/n)^6\|{\bf v}\| $下界加强了[…
2019-09-18 math.PR
On Graph Uncertainty Principle and Eigenvector Delocalization
本文研究图上的全局不确定性原理，提出图信号不确定性界与图特征向量非局部化之间的新联系，并推导随机 $d$-正则图的不确定性界及任意图上的高效上下近似。
2023-06-27 cs.IT math.IT math.OC
Localization and delocalization for heavy tailed band matrices
本文考虑一类随机带状矩阵，其带宽为$N^μ$，其元素为独立的随机变量，在$x^{-α}$中具有分布尾.我们考虑最大的本征值和相关的本征向量，并证明以下相变。一方面，当$α\textless{}2(1+μ^{-1})$，最大的特征值有顺序$N^{(1+μ)/α}$，是渐近分布的泊松过程和其相关的特征向量基本上是由两个坐标（这种现象已经指出了索什尼科夫为全矩阵与重尾项目，即当$α\textless{}2$，并由Auffinger，本Arous和P{é}ch{é}当$α\textless{}4$）。另一方面，当为$α\textgreater{}2(1+μ^{-1})$时，最大特征值具有阶数$N^{μ/2}$，并且矩阵的大多数特征向量是离域的，即近似均匀地分布在它们的$N$坐标上。
2015-06-24 math.PR
Optimal Delocalization for Generalized Wigner Matrices
研究了次指数元广义Wigner矩阵的特征向量，证明了它们以压倒性的概率以最优速率离域。我们还证明了高概率离域边界与尖锐的常数。我们的证明使用了Bournard和Yau（2017）引入的特征向量矩流的分析，以约束具有小高斯分量的随机矩阵的特征向量项的对数矩。然后，我们通过比较参数将这种控制扩展到所有广义维格纳矩阵，该比较参数基于正则化特征向量，水平排斥和Landon，Lopatto和Marcinek（2018）用于比较极值特征值统计的可观测值的框架。此外，我们证明水平排斥和本征值拥挤估计的整个频谱，这可能是独立的利益。
2021-09-09 math-ph math.MP math.PR
Braess's paradox for the spectral gap in random graphs and delocalization of eigenvectors
我们研究了随机图的归一化拉普拉斯算子的谱间隙在边被添加或删除时的变化。有一些已知的图的例子，也许与直觉相反，添加一条边可以减少光谱间隙，这种现象类似于交通网络中的Braess悖论。我们表明，这往往是在一个强意义上的随机图的情况下。更精确地说，我们证明了，对于典型的例子Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$与恒定的边缘密度$p \in (0,1)$，增加一个随机边将减少谱间隙的正概率，严格有界远离零。为了做到这一点，我们证明了一个新的离域结果的拉普拉斯算子的$G(n,p)$，这可能是独立的利益。
2015-06-20 math.CO math.PR math.SP
Local law and complete eigenvector delocalization for supercritical Erdős-Rényi graphs
本文证明了超临界区域$ pN \geq C\log N$中Erdens-Rényi图$G(N, p)$的邻接矩阵的一个局部律，其中$G(N,p)$以很高的概率没有孤立点.在同一制度下，我们也证明了完全的特征向量的离域。这两个结果是假的补充亚临界制度。我们的结果改进了[11]中的相应结果，将它们一直推广到临界尺度$pN = O(\log N)$。我们的证明的一个关键组成部分是一个新的家庭的多线性大偏差估计稀疏随机向量，仔细平衡混合$\ell^2$和$\ell^\infty$规范的系数与组合因子，使我们能够证明足够强大的浓度下降到临界规模$pN = O(\log N)$。这些估计是独立的利益，我们希望他们在分析非常稀疏的随机矩阵更普遍有用。
2019-01-15 math-ph math.MP math.PR
Optimal Delocalization for Non--Hermitian Eigenvectors
针对一般非厄米矩阵，本文证明其左右特征向量在任意确定性标准正交基下具有最优阶离域化估计，将此前最紧界从多项式对数改进为√(log N/N)，并在更弱尾部假设下通过厄米化预解式流的短尺度局部律完成证明。
2025-09-18 math-ph math.MP math.PR
The delocalization of eigenvectors of real elliptic matrices
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；École Polytechnique（巴黎综合理工学院）
研究实椭圆矩阵特征向量的去局部化现象，证明特征向量的去局部化水平与特征值位置有关，通过逆参与比分析得出不同极限行为。
2026-02-10 math-ph math.MP math.PR
A localization-delocalization transition for nonhomogeneous random matrices
本文研究了非均匀自伴高斯随机矩阵在谱边缘的局域化-离域化转变，发现该转变由每行非零项数 $d$ 与 $\log N$ 的关系决定，且此现象对稀疏模式具有普适性。
2024-01-02 math-ph math.MP math.PR
Delocalization transition for critical Erdős-Rényi graphs
本文研究了临界Erdens-Rényi图$\mathbb G(N,d/N)$的邻接矩阵的特征向量，其中$d$的阶为$\log N$ .我们发现，它的频谱分裂成两个阶段：在频谱的中间，其中的特征向量是完全离域的离域相，和一个半局部化的相位附近的频谱的边缘，其中的特征向量基本上是本地化的少数顶点。在半定域相，本征向量的质量集中在以共振顶点为中心的少量不相交的球中，在每个球中，本征向量是径向指数衰减函数。相位之间的过渡是尖锐的，并且表现为通过$\|\mathbf w\|_\infty / \|\mathbf w\|_2 = N^{-γ(\mathbf w)}$定义的特征向量$\mathbf w$的局部化指数$γ(\mathbf w)$的不连续性。我们的结果仍然有效，在整个最佳的制度$\sqrt{\log N} \ll d \leq O(\log N)$。
2021-08-31 math-ph math.MP math.PR
No-gaps delocalization for general random matrices
我们证明，具有很高的概率，随机矩阵的每一个特征向量是离域的意义上，其坐标的任何子集进行不可忽略的部分，其$\ell_2$规范。我们的结果适用于广泛的一类随机矩阵，包括矩阵的独立项目，对称和反对称矩阵，以及其他一些自然产生的合奏。矩阵可以是实数和复数;在后一种情况下，我们假设元素的实部和虚部是独立的。
2015-06-12 math.PR
Local law and delocalization for the Sachdev-Ye-Kitaev model
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Università di Roma Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）
该研究针对SYK哈密顿量，建立介观弱局域律与本征向量离域化估计，推导相关谱估计并得到体本征向量的高概率离域化界。
2026-09-16 hep-th math-ph math.MP
Symmetric matrices with banded heavy tail noise: local law and eigenvector delocalization
本文研究对角线附近带有重尾噪声的对称矩阵，针对不同矩条件的随机势证明了 Green 函数在几乎最优尺度上的局部定律，推导出特征向量在无穷范数下的离域化，并揭示了 $α$-稳定势下与 Levy 矩阵不同的谱性质。
2025-06-29 math.PR
Delocalization at small energy for heavy-tailed random matrices
证明了当重尾对称随机矩阵的特征值足够小时，其特征向量的离域概率随着矩阵的大小趋于无穷大而趋于1.离域是通过一个简单的标准来测量的，该标准与计算向量的L4和L2范数的平均比率的逆参与比有关。与此相反，作为先前结果的结果，对于具有足够重的尾部的随机矩阵，与足够大的特征值相关联的特征向量根据相同的标准被局部化。证明是基于一个新的分析的不动点方程满足渐近的法律的对角线进入这个矩阵的预解式。
2016-03-29 math-ph math.MP math.PR
The completely delocalized region of the Erdős-Rényi graph
本文分析了边概率为$\frac{d}{N}$的$N$顶点上的Erdens-Rényi图的邻接矩阵的特征向量。我们通过确定$\frac{d}{\log N}$的临界值来确定整个区域的离域化：对于$\frac{d}{\log N} > \frac{1}{\log 4 - 1}$，所有特征向量都是完全离域化的，对于$\frac{d}{\log N} > 1$，所有特征向量的特征值远离光谱边缘都是完全离域化的。在这些临界值以下，已知[arXiv：2005.14180，arXiv：2106.12519]在相应的光谱区域中存在局部特征向量。
2021-12-02 math-ph math.MP math.PR
Local semicircle law and complete delocalization for Wigner random matrices
本文考虑元素独立同分布的$N\times N$ Hermite随机矩阵.该矩阵被归一化，使得连续特征值之间的平均间隔为1/N阶。在对单个矩阵元分布的适当假设下，我们证明了在远离谱边缘处，本征值的密度集中在能量标度$η\gg N^{-1} (\log N)^8$上的Wigner周期律附近.直到对数因子，这是循环定律可能有效的最小能量标度。我们还证明了，对于所有的特征值远离频谱边缘，相应的特征向量的$\ell^\infty$ -范数是为了$O(N^{-1/2})$，模对数校正。上界$O(N^{-1/2})$意味着每个特征向量是完全离域的，即，特征向量的分量的最大大小与它们的平均大小具有相同的量级。在附录中，我们包括了J. Bourgain的一个引理，它删除了我们对矩阵元素分布的一个假设。
2008-09-23 math-ph math.MP math.PR
Localization-delocalization transition for a random block matrix model at the edge
本文将随机块矩阵模型在体态本征值谱的局域化-退局域化转变扩展至整个谱，证明了特征向量在跨越临界阈值时发生转变，并揭示了谱边缘附近的迁移率边现象。
2025-07-11 math.PR
Quantum diffusion and delocalization in one-dimensional band matrices via the flow method
本文利用流方法研究高斯随机带状矩阵，证明了在 $W \gg N^{8/11}$ 条件下体特征向量的离域化与预解式的量子扩散，并指出改进该方法有望进一步放宽该条件。
2024-12-19 math-ph math.MP math.PR
Delocalization of One-Dimensional Random Band Matrices
该研究针对带宽满足W>N^{1/2+c}的一维随机带状矩阵，在大N极限的谱主体区域证明了半圆律、本征向量离域性、量子唯一遍历性及本征值统计的高斯酉系综普适性。
2025-05-21 math-ph math.MP math.PR
Local deformed semicircle law and complete delocalization for Wigner matrices with random potential
我们考虑$H = W + λV$形式的厄米特随机矩阵，其中$W$是Wigner矩阵，$V$是独立于$W$的对角随机矩阵.我们假设$W$的矩阵项的次指数衰减，并且我们选择$λ\sim 1$，使得$W$和$λV$的本征值在光谱的大部分中具有相同的阶数。本文证明了对于一大类对角矩阵$V$，局部变形周期律对$H$成立，这与Wigner矩阵的局部变形周期律类似.我们还证明了特征向量的完全离域性和其他关于特征值位置的结果。
2013-09-15 math-ph math.MP math.PR
The eigenvalue gap of inhomogeneous symmetric discrete random matrix
Shandong University（山东大学）
本文研究了不均匀对称随机矩阵的谱性质，证明了特征值间隙的概率上界，并给出了奇异值和本征向量局部化的定量估计。
2026-04-13 math.PR
Eigenvalue gaps of the Laplacian of random graphs
本文研究随机图拉普拉斯矩阵的谱性质，证明其以极高概率具有单谱，并给出谱间隙的定量有效估计，同时建立多项关于特征向量离域与小元素的独立结果。
2025-03-16 math.CO math.PR
Lectures on the local semicircle law for Wigner matrices
这些笔记提供了从随机矩阵理论的局部循环律的介绍，以及它的一些应用。我们专注于维格纳矩阵，厄米特随机矩阵与独立的上三角元零期望和常数方差。我们的状态和证明当地的周期法，这意味着一个维格纳矩阵的特征值分布是接近维格纳的周期分布，下降到包含略多于一个特征值的频谱尺度。该局部循环律是使用格林函数来制定的，格林函数的各个条目由大偏差界限控制。然后我们讨论了局部周期律的三个应用：第一，特征向量的完全离域化，说明特征向量很可能近似平坦;第二，特征值的刚性，给出单个特征值位置的大偏差界;第三，体谱中局部本征值统计的比较论证，表明两个Wigner矩阵的局部特征值统计量一致，前提是它们的元素的前四个矩一致。我们还勾画进一步的应用程序的特征值附近的光谱边缘，并分布的特征向量。
2018-09-10 math-ph math.MP math.PR
Structure of eigenvectors of random regular digraphs
设$d$和$n$是满足$C\leq d\leq \exp(c\sqrt{\ln n})$的整数，对于某些普适常数$c, C>0$，设$z\in \mathbb{C}$。用$M$表示随机$d$ -正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵。本文研究了$M-z\,{\rm Id}$的子矩阵的核的结构，该子矩阵是通过去掉一个行子集而形成的。我们表明，大概率的内核由两个不相交类型的向量，我们称之为非常陡峭，逐步与许多水平。作为推论，我们表明，特别是，每一个特征向量的$M$，除了$(1,1,\dots,1)$的常数倍，具有弱的离域性：其水平集的基数小于$Cn\ln^2 d/\ln n$。对于一个大的常数$d$，这提供了一个主要的新的结构信息的特征向量，这意味着他们的水平集的数量增长到无穷大的$n$。作为一个关键的技术成分，我们的证明，我们介绍了分解的$\mathbb{C}^n$到不同程度的“结构化”，这是一种替代的分解的基础上的最小公分母的制度时，底层的随机矩阵是非常稀疏的向量。
2018-10-25 math.PR
Quantum Diffusion and Eigenfunction Delocalization in a Random Band Matrix Model
我们考虑$d \geq 1$维的厄米特和对称随机带矩阵$H$。如果$\abs{x-y}$小于带宽$W$，则由$x,y \in Λ\subset \Z^d$索引的矩阵元素$H_{xy}$是独立的、均匀分布的随机变量，否则为零。我们证明了服从哈密顿量$H$的量子粒子的时间演化在时间尺度$t\ll W^{d/3}$上是扩散的。我们还表明，本地化长度的任意大部分的特征向量是大于一个因素$W^{d/6}$倍的带宽。所有结果在矩阵的大小$\absΛ$上是一致的。
2010-09-20 math-ph math.MP math.PR
Local semicircle law under moment conditions. Part II: Localization and delocalization
本文考虑一个随机对称矩阵${\bf X} = [X_{jk}]_{j,k=1}^n$，其上三角元为独立同分布的随机变量，均值为零，方差为单位。我们还假设对于某些$δ> 0$和某些绝对常数$C$，有$\mathbb E |X_{11}|^{4 + δ} =: μ_{4+δ} < C$。在这些条件下，我们表明，典型的Kolmogorov之间的经验谱分布函数的本征值的$n^{-1/2} {\bf X}$和维格纳的周期律的距离是$1/n$的一些对数校正因子的顺序。作为这个结果的一个直接结果，我们确定了周期律在短尺度上成立。此外，我们证明了这个有限的时刻合奏刚度的特征值和离域特性的特征向量。一些数值实验说明了尾部行为的矩阵元素时，只有少量的时刻存在的影响。
2016-11-30 math.PR math.SP
Delocalization for a class of random block band matrices
我们考虑由大小为$M\geq N^{6/7}$的块组成的$N\times N$埃尔米特随机矩阵$H$。矩阵元素是独立同分布的。在块内，在四阶矩匹配意义上接近高斯分布，但是它们的分布在块与块之间变化，以形成具有基本带宽$M$的块带结构。我们表明，条目的格林函数$G(z)=(H-z)^{-1}$满足本地循环法律与频谱参数$z=E+\mathbf{i}η$下降到实轴的任何$η\gg N^{-1}$，使用的超对称性方法的启发\cite{Sh2014}和格林函数的比较策略相结合。先前的估计值仅对$η\gg M^{-1}$有效。新的估计也意味着在频谱的中间的特征向量是完全离域的。
2015-03-25 math-ph math.MP math.PR
Delocalization and Diffusion Profile for Random Band Matrices
我们考虑在$d \geq 1$维中的厄米特和对称随机带状矩阵$H = (h_{xy})$。由$x,y \in (\bZ/L\bZ)^d$索引的矩阵条目$h_{xy}$是具有方差$s_{xy} = \E |h_{xy}|^2$的独立中心随机变量。我们假设如果$|x-y|$超过带宽$W$，则$s_{xy}$可以忽略。在一维空间中，我们证明了当$W\gg L^{4/5}$ .我们还表明，矩阵元$\abs{G_{xy}}^2$的预解式$G=G(z)=(H-z)^{-1}$的幅度是自平均的，我们计算$\E \abs{G_{xy}}^2$。我们表明，作为$L\to\infty$和$W\gg L^{4/5}$，$\E |G_{xy}|^2$的行为是由一个扩散算子的扩散常数，我们计算。在更高的维度上也得到了类似的结果。
2013-06-27 math-ph math.MP math.PR
Largest eigenvalues and eigenvectors of band or sparse matrices
在本文中，我们考虑一个N × N随机矩阵X，使得X中除了O（N）行之外的所有行都具有W个不相同的零元素，其他行具有小于$W$的元素（例如，标准或循环带状矩阵）。我们总是假设1 << W << N。首先证明了：如果元素独立、中心、方差为1、满足一定的尾上界条件且W >>（\log N）^{6（1+α）}，其中α是依赖于元素分布的正参数，则X/ \sqrt{W}的最大特征值收敛于其极限谱分布的上界，即2，与Wigner矩阵一样.这扩展了Khorunzhiy和Sodin以前的一些结果，其中对W做了较少的假设，但对元素的规律和矩阵的结构做了更多的假设。然后，在相同的假设下，我们证明了X的特征向量的离域化结果，确切地说，它们中的大多数不能本质上定位在小于W/ \log（N）的条目。这个局部化长度的下界必须与Steinerberger最近的结果相比较，Steinerberger的结果指出，要么边缘中的局部化长度<< W^{7/5}，要么在长度W^{7/5}的区间中两个本征向量之间存在强相互作用。
2014-01-18 math.PR
Delocalization of random band matrices at the edge
本研究证明随机带状矩阵在带宽指数增大时，去局域化特征向量从谱体扩展到整个谱，包括谱边缘，并建立了量子唯一遍历性和特征值刚性估计。
2025-06-24 math-ph math.MP math.PR
Delocalization of Two-Dimensional Random Band Matrices
本文研究二维环面上带宽满足多项式下界的随机带状矩阵，通过将其嵌入矩阵布朗运动并建立新的 CLT 型估计，证明了局部半圆律、体特征向量离域化、量子唯一遍历性、特征值统计普适性及量子扩散剖面等结果。
2025-03-10 math-ph math.MP math.PR
Random matrices: Universality of local eigenvalue statistics up to the edge
这是我们早先关于维格纳随机矩阵特征值的普适性的论文的继续。本文的主要新结果是在该文件中的结果从大部分的频谱的边缘的延伸。特别是，我们证明了一个变体的普遍性结果的Soshnikov的最大特征值，假设矩条件，而不是对称条件。主要的新技术观察是，在频谱边缘附近的柯西交织定律中存在显著的偏差，这允许人们继续确保本征向量的离域。
2010-01-11 math.PR
Quantum Diffusion and Delocalization for Band Matrices with General Distribution
我们考虑$d \geq 1$维的厄米特和对称随机带矩阵$H$。由$x,y \in Λ\subset \Z^d$索引的矩阵元素$H_{xy}$是独立的，并且对于某个概率密度$f$，它们的方差满足$σ_{xy}^2:=\E \abs{H_{xy}}^2 = W^{-d} f((x - y)/W)$。我们假设每个矩阵元素$H_{xy}$的规律是对称的，并呈现亚指数衰减。我们证明了服从哈密顿量$H$的量子粒子的时间演化在时间尺度$t\ll W^{d/3}$上是扩散的。我们还表明，$H$的特征向量的本地化长度大于一个因素$W^{d/6}$倍的带宽$W$。所有结果在矩阵的大小$\absΛ$上是一致的。这将我们最近的结果\cite{erdosknowles}推广到一般的带矩阵。作为我们证明的另一个结果，我们表明，对于一个更大的类的随机矩阵满足$\sum_xσ_{xy}^2=1$的所有$y$，$H$的最大特征值是有界的高概率$2 + M^{-2/3 + ε}$的任何$ε> 0$，其中$M \deq 1 / (\max_{x,y} σ_{xy}^2)$。
2011-03-07 math-ph math.MP math.PR
Localization of One-Dimensional Random Band Matrices
本文研究带宽为 W 的一维随机带状矩阵，证明当 W^2 远小于 n 时特征向量在尖锐尺度 W^2 上以高概率指数局域化，并结合已有离域化结果确立了一大类随机带状矩阵的局域化-离域化相变。
2025-08-27 math-ph math.MP math.PR
On Non-localization of Eigenvectors of High Girth Graphs
我们证明了如何本地化的高围长正则图的特征向量可以改进的界限，并提出的例子表明，这些界限是接近尖锐。这项研究是由Brooks和Lindenstrauss（2009）发起的，他们依赖于观察到高围长图上的某些适当归一化的平均算子是超压缩的，并且可以用来近似投影到这种图的特征空间上。非正式地说，它们的离域导致了对置的状态，即对于任何$\varepsilon \in (0,1)$和正整数$k,$，如果$(d+1)-$正则图具有支持$k$顶点子集上的$\ell_2^2$质量的$\varepsilon$分数的特征向量，则该图必须具有大小为$\tilde{O}(\log_{d}(k)/\varepsilon^2)$的循环，抑制$1/\varepsilon$中的对数项。本文将上界改进为$\tilde{O}(\log_{d}(k)/\varepsilon)$，并给出了一个构造$Ω(\log_d(k)/\varepsilon)$的下界.我们的建设是概率性的，涉及胶合在一起的一对树，同时保持高围长以及控制的特征向量，可以是独立的利益。
2021-08-05 cs.DM math-ph math.CO
Universality for the Toda algorithm to compute the largest eigenvalue of a random matrix
研究Toda算法计算随机矩阵最大特征值时停机时间波动的普遍性，利用随机矩阵谱统计结果证明其鲁棒性。
2017-02-02 cs.NA math.NA math.PR
Normal vector of a random hyperplane
设v_1，...，v_{n-1}是R^n（或C^n）中的n-1个独立向量。研究了v_i所张成的超平面的单位法向量x。我们的主要发现是，在v_i的某些随机性假设下，x类似于从单位球面均匀选择的随机向量。我们的结果在随机矩阵理论中有应用。考虑一个具有iid元素的n乘n随机矩阵。我们首先证明了一个指数界上的最小奇异值，提高早期的线性界的Rudelson和Vershynin。其次，我们推导出对应于小模特征值的特征向量的最优离域。
2016-04-17 math.PR
Non-backtracking eigenvalues and eigenvectors of random regular graphs and hypergraphs
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；University of Southern California（南加州大学）
本文首次分析随机正则图及超图非回溯算子的体特征向量，证明其完全离域性，并给出经验谱测度收敛于Kesten-McKay律或半圆律，进而应用于正则随机块模型的精确社区恢复。
2026-09-28 math.CO math.PR
Subordination for the sum of two random matrices
本文讨论了随机矩阵理论与复分析中从属现象的关系。我们发现两个随机矩阵之和的预解式近似从属于原矩阵的预解式。我们估计在这个关系和从属关系的痕迹的预解式的误差项。这使我们能够证明两个随机矩阵之和的特征值的局部极限律和特征向量的离域结果。此外，我们利用从属关系来确定酉不变随机矩阵秩一变形的最大特征值的极限。
2015-06-19 math.PR
Random band matrices in the delocalized phase, III: Averaging fluctuations
我们考虑一般的对称或埃尔米特随机带状矩阵$H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N\rrbracket^d}$在任何维$d\ge 1$，其中的项目是独立的，中心的随机变量的方差$s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$。我们假设，$s_{xy}$消失，如果$|x-y|$超过带宽$W$，我们感兴趣的是介观尺度与$1\ll W\ll N$。将$H$的{ \it{generalized resolvent} }定义为$G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$，其中$Z$是一个确定性对角矩阵，所有$x$的元素均为$Z_{xx}\in \mathbb C_+$。然后，我们建立了一个精确的高概率界上的某些平均多项式的预解元。作为这个涨落平均结果的应用，我们给出了$d\ge 2$维随机带状矩阵的离域性的完备证明。更精确地说，对于任何固定的$d\ge 2$，我们证明了$H$的体特征向量在一定的平均意义下是离域的，如果$N\le W^{1+\frac{d}{2}}$。这改进了在$N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$假设下的\cite{HeMa2018}中的相应结果，以及在$N\ll W^{1+\frac{d}{6}}$假设下的\cite{ErdKno2013,ErdKno2011}中的相应结果。对于一维随机带状矩阵，将我们的涨落平均结果应用于…
2020-08-17 math.PR
GOE Statistics for Levy Matrices
本文建立了Lévy矩阵的特征向量解局部化和整体普适性，Lévy矩阵是实对称$N \times N$随机矩阵$\textbf{H}$，其上三角元是独立同分布的$α$ -稳定律.首先，如果$α\in (1, 2)$和$E \in \mathbb{R}$是从$0$有界的任何能量，我们表明，每个本征向量的$\textbf{H}$对应于一个本征值附近的$E$是完全离域的，并在$E$周围的局部谱统计$\textbf{H}$收敛到高斯正交包络（GOE）的$N$倾向于$\infty$。其次，我们表明，几乎所有的$α\in (0, 2)$，存在一个常数$c(α) > 0$，使相同的语句成立，如果$|E| < c (α)$。
2019-11-11 math-ph math.MP math.PR
Delocalization of Non-Mean-Field Random Matrices in Dimensions $d\ge 3$
Northwestern University（西北大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Harvard University（哈佛大学）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
研究了非均场随机矩阵在高维下的非局域化现象及量子各向同性特性。
2025-12-18 math-ph math.MP math.PR
Delocalization and quantum diffusion of random band matrices in high dimensions I: Self-energy renormalization
我们考虑$d$维格点$(\mathbb Z/L\mathbb Z)^d$上的厄米特随机带状矩阵$H=(h_{xy})$.条目$h_{xy}$是具有方差$s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$的独立（直到厄米特条件）中心复高斯随机变量。方差矩阵$S=(s_{xy})$具有带状结构，使得如果$|x-y|$超过带宽$W$，则$s_{xy}$可忽略。在尺寸$d\ge 8$，我们证明，只要$W\ge L^ε$为一个小的常数$ε>0$，具有高概率的$H$大部分散装特征向量是离域的意义上说，他们的本地化长度是可比的$L$。用$G(z)=(H-z)^{-1}$表示能带矩阵的格林函数。对于${\mathrm Im}\, z\gg W^2/L^2$，我们还证明了一个在物理学中广泛使用的关于该模型量子扩散的判据，即对于$p$中的某个二次$a(p)$，$p$是傅里叶变量，$\mathbb E|G_{xy}(z)|^2$关于$x-y$的傅里叶变换中的首项具有$({\mathrm Im}\, z + a(p))^{-1}$的形式.我们的方法是基于一个扩展的$T_{xy}=|m|^2 \sum_αs_{xα}|G_{αy}|^2$，它需要一个自能重整化误差$W^{-K}$为任何大常数$K$独立的$W$和$L$。我们期望这种方法可以推广到非高斯带状矩阵。
2021-07-14 math-ph math.MP math.PR
Spiked separable covariance matrices and principal components
我们引入了一类可分离的样本协方差阵的形式$\widetilde{\mathcal{Q}}_1:=\widetilde A^{1/2} X \widetilde B X^* \widetilde A^{1/2}.$这里$\widetilde{A}$和$\widetilde{B}$是正定矩阵，其频谱包括大量的频谱加上几个尖峰，即较大的本征值，从散装分开。从概念上讲，我们将$\widetilde{\mathcal{Q}}_1$称为\emph{spiked separable covariance matrix model}。一方面，该模型包括加标协方差矩阵作为$\widetilde{B}=I$的特殊情况。另一方面，它允许数据集的更一般的相关性。特别地，对于时空数据集，$\widetilde{A}$和$\widetilde{B}$分别表示空间和时间相关性。本文研究了加标可分离协方差模型$\widetilde{\mathcal{Q}}_1$的异常特征值和特征向量，即主成分。我们证明了离群特征值$\widetilde λ_i$和广义分量（即$\langle \mathbf v, \widetilde{\mathbfξ}_i \rangle$任何确定性向量$\mathbf v$）的离群特征向量$\widetilde{\mathbfξ}_i$的最佳收敛速度。此外，我们还证明了非离群特征向量的离域性…
2020-06-28 math.PR math.ST stat.TH
A Block Reduction Method for Random Band Matrices with General Variance Profiles
Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学求真学院）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Department of Mathematics, University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文提出了一种块约简方法，用于研究具有通用方差分布的随机带矩阵，证明了本征向量的非局域性，并扩展了相关研究结果。
2025-12-21 math.PR
Delocalization of a general class of random block Schrödinger operators
本文研究环面上随机块薛定谔算子，在d≥7且块尺寸足够大的条件下，利用T-展开、自能重整化及新提出的耦合重整化方法，证明体特征向量的离域化与量子唯一遍历性，并严格展示Anderson局域化-离域化转变。
2025-04-13 math-ph math.MP math.PR
Local Marchenko-Pastur Law for Random Bipartite Graphs
本文是作者本科毕业论文三篇的第一章。本文研究了随机$(d_b, d_w)$ -正则二部图在$M$黑点和$N$白点集合上的协方差阵的随机矩阵系综，其中对$d_b \gg \log^4 N$ .我们同时证明了这些协方差阵的格林函数和底层图的邻接矩阵在最优尺度下符合相应的极限定律（例如协方差阵的Marchenko-Pastur定律）。这是对以前已知的介观结果的改进。作为结果，我们得到了协方差阵系综的特征向量离域化，以及弱刚性估计。
2017-04-27 math.CO math.PR math.ST
Universality for eigenvalue algorithms on sample covariance matrices
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, University of California, Irvine（加州大学欧文分校数学系）
研究随机正定样本协方差矩阵上幂/逆幂方法和QR特征值算法的迭代次数，证明其收敛性及计算极值特征值的复杂度估计。
2017-01-07 cs.NA math.NA math.PR
Universality of random matrices with correlated entries
我们考虑一个$N$乘$N$实对称随机矩阵$X=(x_{ij})$其中$\mathbb{E}x_{ij}x_{kl}=ξ_{ijkl}$ .在假定$(ξ_{ijkl})$是分段Lipschitz函数的离散化和相关性是短程的条件下，我们证明了$X$的经验谱测度收敛于一个概率测度.极限测度的斯蒂尔切斯变换可以通过求解一个函数方程得到。在稍强的假设下，$(x_{ij})$有一个严格正定的协方差矩阵，我们证明了当地的法律的经验措施的最佳规模$\text{Im} z \gtrsim N^{-1}$。局部律意味着特征向量的离域化。作为另一个结果，我们证明了本征值统计的散装同意的GOE。
2016-04-21 math-ph math.MP math.PR
Averaging Fluctuations in Resolvents of Random Band Matrices
我们考虑一类一般的随机矩阵，其条目是中心随机变量，独立的对称约束。我们建立精确的高概率界的平均任意单项式的预解矩阵条目。我们的结果推广了文献[5，16，17]中的结果，这些结果是证明平均场随机矩阵模型中具有最优误差界的局部周期律的关键一步.我们的边界适用于随机带状矩阵，并改善以前的估计，从2阶到4阶的情况下，相关的应用。特别是，他们导致随机带状矩阵的预解式的大小的扩散近似的证明。这反过来又意味着特征向量的新的离域边界。在另一篇论文中介绍了这些应用[3]。
2013-01-12 math-ph math.MP math.PR
Local Kesten--McKay law for random regular graphs
本文研究了随机$d$ -正则图的邻接矩阵，其中$d$的度较大但固定。在大部分的频谱$[-2\sqrt{d-1}+\varepsilon, 2\sqrt{d-1}-\varepsilon]$下降到最佳的频谱尺度，我们证明了格林函数可以近似的某些无限树状（几个周期）图，只依赖于原始图形的局部结构。这一结果意味着Kesten-McKay定律适用于最小尺度的谱密度和体特征向量的完全离域。我们的方法是基于估计的格林函数的邻接矩阵和一个restriation的大球的边界边的图。
2016-12-20 math-ph math.CO math.MP
Universality of local spectral statistics of random matrices
Wigner-Gaudin-Mehta-Dyson猜想认为大型随机矩阵的局部特征值统计量表现出仅依赖于矩阵系综的对称类的普适行为。对于不变矩阵模型，特征值分布由具有逆温度的对数气体$β= 1, 2, 4$给出，对应于正交、酉和辛系综。对于$β\not \in \{1, 2, 4\}$，该模型背后没有基质模型，但对数气体的统计物理解释对所有$β> 0$仍然有效。不变系综的普适性猜想断言局部特征值统计量与$V$无关。在这篇文章中，我们回顾了我们最近的解决方案的普适性猜想不变和非不变的合奏。我们还将证明戴森布朗运动的局部遍历性是普适性背后的内在机制。此外，我们回顾了Dyson猜想的解决方案的Dyson布朗运动的局部弛豫时间。相关的问题，如本征向量的离域化和局部版本的维格纳循环定律也将讨论。
2012-01-30 math-ph math.MP math.PR
Sparse Hanson-Wright Inequalities with Applications
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；University of Southern California（南加州大学）
本文提出稀疏Hanson-Wright不等式，用于稀疏亚指数随机矩阵的局部定律和本征向量去局部化，以及线性变换的范数集中，扩展了经典不等式并改进了现有结果。
2026-01-23 math.CO math.PR math.ST
The circular law for random band matrices with arbitrary doubly stochastic variance profiles
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文改进了随机带矩阵圆形定律的带宽阈值，适用于任意双随机方差剖面，并推导了特征向量弱去局域化估计。
2026-10-14 math.PR
