On generalized commuting probability of finite rings
Parama Dutta, Rajat Kanti Nath
设$R$是有限环，$r \in R$是有限环.本文研究了$R$中任意一对元素的交换子等于$r$的概率。
Let $R$ be a finite ring and $r \in R$. The aim of this paper is to study the probability that the commutator of a randomly chosen pair of elements of $R$ equals $r$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Diameter of the Commuting Graph of a Full Matrix Ring over a Division Ring
对于中心F上的有限维除环D，给出了$D$上矩阵环的交换图连通的一个条件.此外，我们证明了如果交换图是连通的，那么它的直径是在4和6之间。
Commuting Jordan derivations over a Ring with idempotents
该文研究含非平凡幂等元的素环上的交换Jordan导子，证明其为零映射，并将结论推广至交换Jordan高阶导子与交换广义Jordan导子，丰富了环上导子理论。
Some bounds for commuting probability of finite rings
设$R$是有限环. $R$的交换概率是$R$中任意两个随机选择的元素交换的概率。本文给出了$R$交换概率的一些界.
Genus of commuting graphs of some classes of finite rings
本文计算了$p^4$，$p^5$，$p^2q$和$p^3q$阶非交换环的交换图的亏格，其中$p$和$q$是素数.我们还刻画了有限环的交换图是平面图或环面图的特征。
On commuting probabilities in finite groups and rings
我们证明了有限环中的所有交换概率的集合是$\le2$类的有限幂零群中的所有交换概率的集合的子集。我们相信这两个集合是相等的，我们证明他们是平等的，当限制到集团和环的元素为奇数。
On commuting probability of finite rings
有限环$R$的交换概率，记为$\Pr(R)$，是任意两个随机选择的$R$元素交换的概率。本文通过对$\Pr(R)$的推广，得到了$\Pr(R)$的几个界.进一步，我们定义了两对环之间的${\Z}$ -等倾关系，并证明了本文定义的广义交换概率在两对有限环之间的${\Z}$ -等倾关系下是不变的.
Commuting probabilities of $n$-centralizer finite rings
设$R$是有限环.由$\Pr(R)$表示的$R$的交换概率是$R$的任意两个随机选择的元素交换的概率。如果$R$有$n$不同的中心化子，则称它为$n$-中心化子环。本文计算了某些$n$ -中心化子有限环的$\Pr(R)$.
On relative commuting probability of finite rings
本文研究了随机选取的一对元素的交换子（一个来自有限环的子环，另一个来自环本身）等于环中给定元素的概率。
On non-commuting graph of a finite ring
有限环$R$的中心为$Z(R)$的非交换图$Γ_R$是一个简单无向图，其顶点集为$R \setminus Z(R)$，两个不同的顶点$a$和$b$相邻当且仅当$ab \ne ba$ .本文证明了$Γ_R$不同构于任何有限非交换环$R$的某些图.同时也得到了$Γ_R$与$R$的交换概率之间的一些联系。进一步证明了如果两个$\mathbb{Z}$ -等倾环的中心具有相同的阶，则这两个环的非交换图是同构的
A Note On Square-free Commuting Probabilities of Finite Rings
本文通过证明有限环的交换概率不能写成分母无平方因子的分数，解决了 Buckley 和 MacHale 提出的猜想。
A note on commuting graphs of matrix rings over fields
我们将给出一个简短的证明，如果一个域$\mathbb F$的代数闭包是一个有限扩张，那么对于$n\geq 3$的交换图$Γ(M_n(\mathbb F))$是连通的，它的直径是4。
Commuting Jordan derivations on triangular rings are zero
本文证明三角环上的交换Jordan导子恒为零，并推广到满足特定条件的2-无挠半素环或满足条件(P)的环。
On commuting probability of finite rings II
本文的目的是研究有限非交换环的两个不同子环中任意选取的一对元素的交换子等于该环中给定元素的概率。我们得到了关于这一概率的一些结果，包括一个计算公式，一些界和特征。
When does an infinite ring have a finite compressed commuting graph?
本研究证明任意无限环都有无限非单位压缩交换图，以环的半直积为工具分类了具有有限单位压缩交换图的无限单位环，并由此分类了仅含有限个单位子环的无限单位环。
On the diameter of the commuting graph of the full matrix ring over the real numbers
在最近的一篇论文中，C。Miguel证明了矩阵环$\mathrm{M}_n(\mathbb{R})$的交换图的直径等于$4$，如果$n=3$或$n>4$ .但$n=4$的外壳仍处于打开状态，因为直径可能是$4$或$5$。在这项工作中，我们关闭的问题表明，也在这种情况下，直径等于$4$。
Relative non-commuting graph of a finite ring
设$S$是有限环$R$和$C_R(S) = \{r \in R : rs = sr \;\forall\; s \in S\}$的子环. $R$中的子环$S$的相对非交换图，记为$Γ_{S, R}$，是一个简单无向图，其顶点集为$R \setminus C_R(S)$，两个不同的顶点$a, b$相邻当且仅当$a$或$b \in S$和$ab \neq ba$ .本文讨论了$Γ_{S, R}$的一些性质，确定了$Γ_{S, R}$的直径、围长、控制集和色指数.此外，我们还导出了$Γ_{S, R}$与$R$中$S$的相对交换概率之间的关系.最后，我们证明了两个相对$\Z$ -等倾环对的相对非交换图在一定条件下是同构的。
Commuting maps on alternative rings
设$\mathfrak{R}$是一个$2$，$3$ -无挠酉交错环，其幂等元$e_1$ $\left(e_2 = 1-e_1\right)$满足$x \mathfrak{R} \cdot e_i = \{0\} \rightarrow x = 0$ $\left(i = 1,2\right)$ .在本文中，我们的目的是刻画交换映射。设$φ$是$\mathfrak{R}$的可换映射，证明了$φ(x) = zx + Ξ(x)$对所有$x \in \mathfrak{R}$都是可换映射，其中$z \in \mathcal{Z}(\mathfrak{R})$和$Ξ$是从$\mathfrak{R}$到$\mathcal{Z}(\mathfrak{R})$的可加映射.作为应用，给出了无中心和项的vonNeumann代数相对交错$C^{*}$ -代数上的交换映射的一个刻划.
On generalized non-commuting graph of a finite ring
设$S, K$是有限环$R$的两个子环.则$R$的广义非交换子环图$S, K$（记为$Γ_{S, K}$）是一个简单图，其顶点集为$(S \cup K) \setminus (C_K(S) \cup C_S(K))$且两个不同的顶点$a, b$相邻当且仅当$a \in S$或$b \in S$和$ab \neq ba$ .我们确定了$Γ_{S, K}$的直径、围长和一些控制集。本文还讨论了$Γ_{S, K}$和$\Pr(S, K)$之间的一些联系。进一步，定义了两对有限环之间的$\Z$ -等倾，并证明了两对$\Z$ -等倾对的广义非交换图在一定条件下是同构的.
Minimum second neighborhood degree energy of commuting graphs of finite rings
本文研究了有限非交换环的通交图的最小第二邻域度谱和能量，特别考虑了阶为p²、p³、p⁴、p⁵、p²q和p³q的非交换环，并证明这些环的通交图是MSN-积分但非MSN-超积分。最后，利用本文技术证明了Nath等人和Fasfous等人提出的猜想，并以两个开放问题结束。
Compressed commuting graphs of matrix rings
本文提出环的压缩交换图，通过合并生成相同子环的顶点构造，可诱导环范畴到图范畴的函子，证明其对有限域上矩阵代数是最优压缩，并计算了有限域及有限域上2×2矩阵环的对应压缩交换图。
Domination in commuting graph and its complement
对每个非交换环R，R的交换图是顶点集为$R\setminus Z(R)$且两个顶点$x$和$y$相邻的图当且仅当$x\neq y$和$xy=yx$。本文研究了具有$Z(R)=\{0\}$的非交换环$R$在交换图$Γ(R)$上的控制数和符号控制数.对有限环$R$，证明了$γ(Γ(R)) + γ(\overlineΓ(R))=|R|$当且仅当$R$是4元非交换环.并确定了$Γ(\prod_{i=1}^{t}R_i)$的控制数和$p^3$阶非交换环$R$的交换图，其中$p$是素数.此外，我们还给出了$Γ(\prod_{i=1}^{t}R_i)$的符号控制数的一个上界。
RSA cryptosystem for rings with commuting ideals
本文给出了具有交换理想的环上的RSA密码系统的一个推广。一个类似的欧拉函数的理想和RSA理想的概念被定义。一个模拟的加密系统的环与交换理想制定和RSA理想的描述，这是可能的。
Spectrum and genus of commuting graphs of some classes of finite rings
以$Z(R)$为中心的非交换环$R$的交换图是一个简单无向图，其顶点集为$R\setminus Z(R)$且两个顶点$x, y$相邻当且仅当$xy = yx$ .本文计算了几类有限环的交换图的谱和亏格。
Power commuting and centralizing maps on the ring of strictly upper triangular matrices
本文研究了严格上三角矩阵环上满足特定交换和中心化条件的映射性质，揭示了2幂交换映射与中心化映射的结构特征。
Prime Gamma Rings with Centralizing and Commuting Generalized Derivations
设$M$是满足一定假设的素$Γ$ -环，$D$是$M$上的非零导子.设$f:M\rightarrow M$是一个广义导子，使得$f$在$M$的左理想$J$上集中和交换.然后证明了$M$是交换的。
A Basis Theorem for Rings with Commuting Operators in Characteristic Zero
本文受Kolchin与Cohn相关基定理启发，提出特征零且带有交换广义Hasse-Schmidt算子的多项式环的基定理，将Kolchin和Cohn的结果作为特例恢复。
On pairs of commuting derivations of the polynomial ring in two variables
设$k$是特征为零的任意域，$k[x, y]$是多项式环，$D$是环$k[x, y]$的$k$ -导子.回想一下，如果$D(F)=λF$对于某个多项式$λ\in k[x, y]$是$D$的导数，则称非常数多项式$F\in k[x, y]$是$D$的达布多项式。证明了在域$k$上任意两个线性无关的交换环$k[x, y]$的$k$ -导子$D_{1}$和$D_{2}$要么有公共的达布多项式，要么$D_{1}=D_{u_{1}}, D_{2}=D_{u_{2}}$是雅可比导子，即，$D_{i}(f)=\det J(u_{i}, f)$对于每个$f\in k[x, y], i=1, 2,$其中多项式$u_{1}, u_{2}$满足条件$\det J(u_{1}, u_{2})=c\in k^{\star}.$这个关于导子的陈述是来自线性代数的关于交换线性算子对的公共特征向量的已知事实的模拟。
On the coordinate rings of Calogero-Moser spaces and the invariant commuting variety of a pair of matrices
本文研究第四个 Calogero–Moser 空间及四阶矩阵不变交换对的坐标环与 Poisson 括号，并据此计算其在复簇 Grothendieck 环中的类，进而揭示仿射平面点 Hilbert 概形几何的新认识。
Points with Commuting Coordinates over Division Rings
本文研究除环和八元数代数上具可交换坐标点的多元多项式性质，证明多项式左倍式的零根特性，推导其与约化范数根的关系，并应用于离散代数动力学证明多项式迭代不动点的性质。
Commuting and product-zero probability in finite rings
本文研究有限环的交换概率与乘积为零概率，证明相应概率受限时存在指数和导出结构阶均受限的理想，推广了 Neumann 的有限群定理。
On Commuting graphs of triangular rings
本文研究了非交换环上$2\times 2$上三角矩阵环的交换图，计算了$R$为有限域时的边数、团数及独立数，并证明了当$R=\mathbb{Z}_{n}$非域时该图连通且直径为3。
Commuting degree for BCK-algebras
本文研究有限BCK-代数中随机两元素可交换的概率（交换度），证明对每个n≥3存在实现所有可能交换度的代数，最小交换度唯一，且(0,1]内每个有理数均可实现。
Commuting probability of skew left braces
研究斜左 brace 的交换概率，证明其上限为 3/4，且 3/4 是唯一在 (5/8,1) 区间内出现的有理数，同时探讨了其性质与应用。
Relative commuting probability and BFC-type results for finite skew braces
本文为有限斜左辫环引入相对交换概率，建立BFC型定理，证明正下界迫使大截面平凡，并推广至杨-巴克斯特方程解的交换概率，给出结构商的有界性。
On Polynomial Rings Over Nil Rings in Several Variables and the Central Closure of Prime Nil Rings
本文证明了幂零环上多元多项式环是Brown-McCoy根，且素幂零环的中心闭包非有单位元单环，解答了相关公开问题。
Generators and defining relations for ring of invariants of commuting locally nilpotent derivations or automorphisms
Let $A$ be an algebra over a field $K$ of characteristic zero, let $\d_1, >..., \d_s\in \Der_K(A)$ be { \em commuting locally nilpotent} $K$ -derivations such that $\d_i(x_j)=\d_{ij}$ , the Kronecker delta , for some elements $x_1,..., x_s\in A$ . A set of algebra generators for the algebra $A^\d:= \cap_{i=1}^s\ker (\d_i)$ is found { \em explicitly} and a set of { \em defining relations} for the algebra $A^\d$ is described. Similarly, given a set $\s_1, ..., \s_s\in \Aut_K(A)$ of { \em commuting} $K$ -automorphisms of the algebra $A$ such that the maps $\s_i-{\rm id_A}$ are { \em locally nilpo…
Finite generation of division subalgebras and of the group of eigenvalues for commuting derivations or automorphisms of division algebras
设$D$是一个可除代数，使得$D\t D^o$是一个Noether代数，则$D$的任何可除子代数都是一个{ \em生成}可除代数.设$\D $是除代数$D$的可交换导子或自同构的有限集合，则公共特征值（即{ \em权}）群$\Ev (\D)$是{ \em权生成阿贝尔}群. $D$的典型例子是特征为零的域$K$上的光滑不可约仿射簇$X$上的微分算子环$\CD (X)$的商除代数${\rm Frac} (\CD (X))$，以及有限维李代数$\Gg $的通用包络代数$U(\Gg)$的商除代数${\rm Frac} (U (\Gg))$。证明了微分算子代数$\CD (X)$与它的反代数$\CD (X)^o$同构。
Commuting maps on certain incidence algebras
设$\mathcal{R}$是一个$2$ -无挠的的有单位元的交换环，$X$是一个局部有限的预序集，$I(X,\mathcal{R})$是$\mathcal{R}$上$X$的关联代数.若$X$由有限个连通分支组成，本文给出了$I(X,\mathcal{R})$上的每个可换映射为真映射的一个充必要条件.
Commuting maps on rank-$k$ matrices
$n\geq2$是一个自然数。设$M_n(\mathbb{K})$是域$\mathbb{K}$上所有$n \times n$矩阵的环。固定自然数$k$满足$1<k\leq n$。在对$\mathbb{K}$的一个温和的技术假设下，我们将证明，加性映射$G:M_n(\mathbb{K})\to M_n(\mathbb{K})$使得对于每个秩- $k$矩阵$x\in M_n(\mathbb{K})$的$[G(x),x]=0$具有形式$λx + μ(x)$，其中$λ\in Z$、$μ:M_n(\mathbb{K})\to Z$和$Z$代表$M_n(\mathbb{K})$的中心。此外，我们将看到一个例子，存在加法映射，使得对于所有不具有$λx + μ(x)$形式的秩为1的矩阵，$[G(x),x]=0$。我们还将讨论$m$ -可加性的情况。
The multiplication probability of a finite ring
研究有限环中两随机元素乘积等于固定元素的概率，计算半单环及特殊局部环的该概率并给出任意有限环的概率界。
On derivations and semiprime ideal of rings
本文研究了在特定条件下的环导出与半素理想的关系，证明了在满足特定微分恒等式时导出的交换性质，并给出了半素理想变体的结果。
What is the probability that two elements of a finite ring have product zero?
本文考虑有限环中两个元素乘积为零的概率。我们找到了单位元为1的有限交换环的这种概率的界。给出了整数模$n$环$\mathbf{Z}_n$的显式计算.
The ring of multisymmetric functions
设R是交换环，n，m是两个正整数.设R是m × n交换自变量的多项式环. n个字母上的对称群对角地作用在A（n，m）上。我们给出了这个作用的不变量环的生成元和关系。
The probability that the product of k elements in a finite ring is zero
该文研究有限交换环中随机k个元素乘积为零的概率$zp_{_k}(R)$，推导其紧界、确定最大值并分类特定概率范围内的环。
Nilpotent Product Probability of Finite Rings
本文研究有限环中随机两元素乘积为幂零的概率（NPP），给出其界，证明剩余域为Z2的局部环在含单位元交换环中达到最大值3/4，并确定所有取值及分类，还探讨了与矩阵环子环NPP的关系。
Unital compressed commuting graph of $3 \times 3$ matrices over a finite prime field
本文通过结合线性代数、域理论、射影几何和组合学的方法，完整描述了3×3矩阵在有限素数域上的单位压缩交换图，并给出了构造该图的算法。
Commuting Traces and Lie Isomorphisms on Generalized Matrix Algebras
设$\mathcal{G}$是交换环$\mathcal{R}$上的广义矩阵代数，${\mathfrak q}\colon \mathcal{G}\times\mathcal{G}\longrightarrow \mathcal{G}$是$\mathcal{R}$ -双线性映射，${\mathfrak T}_{\mathfrak q}\colon:\mathcal{G}\longrightarrow \mathcal{G}$是$\mathfrak{q}$的迹.我们描述的形式${\mathfrak T}_{\mathfrak q}$满足条件${\mathfrak T}_{\mathfrak q}(G)G=G{\mathfrak T}_{\mathfrak q}(G)$的所有$G\in \mathcal{G}$。当${\mathfrak T}_{\mathfrak q}$有适当的形式的问题被认为是。利用上述迹函数，我们建立了$\mathcal{G}$的每个李同构几乎是标准的充分条件。作为应用，我们刻画了全矩阵代数、三角代数和某些具有非平凡幂等元的酉代数的李同构。最后提出了一些与当前工作相关的进一步研究方向。
On the probability of generating matrix incidence rings
本文研究矩阵元组与标量生成有限关联环的概率，并证明实、复有限维关联代数都能由两个随机矩阵生成。
The Taylor resolution over a skew polynomial ring
设$\Bbbk$是一个域，$I$是多项式环$Q=\Bbbk[x_1,\ldots,x_n]$中的一个单项理想.在她的论文中，Taylor引入了一个复形，它作为$Q$ -模为$Q/I$提供了一个有限的自由分解。后来，Gemeda在Taylor分解上构造了一个微分分次结构。最近，阿夫拉莫夫表明，这微分分次代数承认划分权力。我们将这些结果推广到斜多项式环$R$中的单项式理想。在定义$R$的斜交换参数是单位根的假设下，作为应用，我们证明了当$I$在由$R$中至少2次的固定数目单项式生成的所有理想之间变化时，$\Bbbk$在$R/I$上的Poincaré级数和$R/I$的同伦李代数在上同调度较大时的同构类只有有限个可能性或等于2。
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