AI 中文总结
本文研究除环和八元数代数上具可交换坐标点的多元多项式性质，证明多项式左倍式的零根特性，推导其与约化范数根的关系，并应用于离散代数动力学证明多项式迭代不动点的性质。
AI 中文摘要
我们研究在除环和八元数代数上，以具有可交换坐标的点代入多元多项式所得到的性质。给定除环 $D$，这类点的集合记为 $D_c^n$；当 $D=\boldsymbol{\text{H}}$（四元数除环）时，Alon 和 Paran 已证明这类点对应 $\boldsymbol{\text{H}}[x_1,\boldsymbol{\text{…}},x_n]$ 的极大左理想。本文证明：若多项式 $f$ 在 $D_c^n$ 中的点 $\boldsymbol{\text{ā}}$ 处为零，则其任意左倍式 $gf$ 也在 $\boldsymbol{\text{ā}}$ 处为零。由此可推，在中心除环或八元数代数上，$f$ 在 $D_c^n$ 中的任意根也是其（约化）范数的根。我们将这些代入性质应用于离散代数动力学，证明：若 $D_c^n$ 中的点是 $n$ 元多项式 $n$ 元组 $T=(f_1,\boldsymbol{\text{…}},f_n)$ 的不动点，则对任意正整数 $m$，该点也是 $T^{\boldsymbol{\text{∘}}m}$ 的不动点。
英文摘要
We investigate the properties of multivariate polynomials evaluated at points with commuting coordinates over division rings and octonion algebras. Given a division ring $D$, this set of points is denoted by $D_c^n$, and in the special case of $D=\mathbb{H}$, Alon and Paran showed that its points correspond to the maximal left ideals of $\mathbb{H}[x_1,\dots,x_n]$. Here we show that if a polynomial $f$ vanishes at $\vec{a} \in D_c^n$, then any left multiple $gf$ also vanishes at $\vec{a}$. Consequently, over a central division algebra or an octonion algebra, any root of $f$ in $D_c^n$ is also a root of its (reduced) norm. We apply these evaluation properties to discrete algebraic dynamics, proving that if a point in $D_c^n$ is a fixed point of an $n$-tuple $T=(f_1,\dots,f_n)$ of polynomials in $n$ variables, then it is a fixed point of $T^{\circ m}$ for any positive integer $m$.
