有限斜辫环的相对交换概率与BFC型结果
Relative commuting probability and BFC-type results for finite skew braces
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- Harish-Chandra Research Institute（哈里什-钱德拉研究所）
- Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国立研究所）
- University of Brasilia（巴西利亚大学）
- Universit‘a di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
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中文总结 AI 辅助
本文为有限斜左辫环引入相对交换概率，建立BFC型定理，证明正下界迫使大截面平凡，并推广至杨-巴克斯特方程解的交换概率，给出结构商的有界性。
中文摘要 AI 辅助
我们发展了一种研究有限斜左辫环结构的概率方法，这一方法既受有限群论中经典交换概率的启发，也源于斜左辫环在杨-巴克斯特方程集合论解研究中的作用。我们引入了斜左辫环的相对交换概率，并建立了若干经典结构结果的类比，包括相对BFC型定理。对于自然类别的有限斜左辫环，我们证明了交换概率的正下界强制存在一个大的截面，该截面在有界子群意义下是平凡的。我们还研究了两个元素生成平凡子斜辫环的概率以及交换概率的Sylow-局部版本，并获得了进一步的结构性推论。最后，我们为杨-巴克斯特方程的有限非退化集合论解引入了交换概率。在相关结构斜辫环$G(X,r)$的自然假设下，该概率的正下界给出了$|G(X,r):\Soc(G(X,r))|$的一个仅依赖于该概率和$|X|$的界。
英文摘要
We develop a probabilistic approach to the structure of finite skew left braces, motivated both by classical commuting probability in finite group theory and by the role of skew left braces in the study of set-theoretic solutions of the Yang--Baxter equation. We introduce relative commuting probability for skew left braces and establish analogues of several classical structural results, including relative BFC-type theorems. For natural classes of finite skew left braces, we show that a positive lower bound for the commuting probability forces the existence of a large section which is trivial up to bounded subgroups. We also study the probability that two elements generate a trivial sub-skew brace and a Sylow-local version of commuting probability, obtaining further structural consequences. Finally, we introduce a commuting probability for finite non-degenerate set-theoretic solutions of the Yang--Baxter equation. Under natural hypotheses on the associated structure skew brace $G(X,r)$, a positive lower bound for this probability yields a bound on $|G(X,r):\Soc(G(X,r))|$ depending only on the probability and on $|X|$.
