Octonion Integers and Tight 5-Designs
这两个严格射影紧5-设计是由Leech格的短向量和八元数射影平面中定义（2，8）阶广义六边形的一组点所张成的线。之前的一篇论文介绍了一个可以生成这两个紧5-设计的通用构造。本文用八元数算术描述了同样的结构。一个八元数整数建设的利奇格描述使用的八元数整数取模2的性质。Leech格自同构群是由八元数反射构造的。用八元数整数描述了Leech格自同构的公共构造和Suzuki子群链。
2022-09-02 math.CO
The sad life of lattice triangles
Collège Calvin（卡尔文学院）；La Trobe University（乐卓博大学）
本文证明了除了平凡情况外，整数格点三角形的外心、重心和垂心无法同时位于整数格点上。
2026-02-24 math.CO
On Chromatic Numbers of Integer and Rational Lattices
本文给出了整数格和某些有理空间及其它格的色数的新的上界。特别地，我们证明了对于任何具体的临界距离$d$，具有临界距离$\sqrt{2d}$的$\Z^{n}$的色数在$n$中有多项式增长，其指数小于或等于$d$（有时这个估计是尖锐的）.同样的陈述不仅在欧几里德范数中成立，而且在任何$l_{p}$范数中也成立。此外，我们还给出了$\Q_{p}^{n}$的一些小维数的具体估计和色数的上界，这里的$\Q_{p}$指的是所有有理数环都有不可被某些素数整除的因子.
2012-09-30 math.CO
Lattice point enumeration of polytopes associated to integer compositions
National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波蒂斯坦大学）
本文证明了Chapoton关于整数组合关联多面体h向量的猜想，并给出了gamma向量非负性及h*多项式组合解释。
2026-01-24 math.CO
Shape of the asymptotic maximum sum-free sets in integer lattice grids
我们确定的形状的所有无和集$\{1,2,\ldots,n\}^2$的大小接近最大值$\frac{3}{5}n^2$，解决了一个问题的Elsholtz和拉克姆。我们证明了所有这样的渐近最大和自由集完全位于条纹$\frac{4}{5}n-o(n)\le x+y\le\frac{8}{5}n+ o(n)$中。我们还确定了任何正整数$p$的子集$A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}^2$的最大大小，禁止满足$px+py=z$的三元组$(x,y,z)$。
2022-08-18 math.CO
The general position number of integer lattices
连通图$G$的一般位置数${\rm gp}(G)$是最大顶点集$S$的基数，使得没有三个来自$S$的成对不同顶点位于公共测地线上。$n$维网格图$\pn$是双向无限路径$P_\infty$的$n$副本的笛卡尔积。证明了若$n\in {\mathbb N}$，则${\rm gp}({P_\infty^n}) = 2^{2^{n-1}}$ .该结果先前仅为$n\in \{1,2\}$和部分$n=3$所知。
2020-05-06 math.CO
The weak order on integer posets
本文研究整数二元关系与整数偏序集上的格结构，证明弱序可扩展至所有整数二元关系，且整数偏序集诱导的子偏序集仍为格，并分析置换多面体等特定族对应的子偏序集。
2018-07-27 math.CO
Schur's theorem in integer lattices
舒尔定理的一个标准证明是，$\{1,2,\dots,R_r-1\}$的任何$r$ -着色都产生$x+y=z$的单色解，其中$R_r$是经典的$r$ -色拉姆齐数，最小$N$使得在$N$顶点上的完全图的任何$r$ -着色产生单色三角形。我们探讨了这一结果在高维整数格的推广和修改，特别是显示，如果$k\geq d+1$，那么任何$r$ -着色的$\{1,2,\dots,R_r(k)^d-1\}^d$产生一个单色的解决方案，$x_1+\cdots+x_{k-1}=x_k$与$\{x_1,\dots,x_d\}$线性独立，其中$R_r(k)$是类似的拉姆齐数，其中三角形被取代的$k$顶点上的完全图。我们还获得了计算结果和例子的情况下$d=2$，$k=3$，和$r\in\{2,3,4\}$。
2022-06-19 math.CO
Unimodality for IDP Lattice Simplices of Prime Normalized Volume
Center for Combinatorics, LPMC,Nankai University（南开大学组合数学中心）；School of Mathematics and Statistics,Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文证明了具有整数分解性质且正规体积为素数的格单纯形的$h^*$-多项式是单峰的，并给出了若干充分条件，回应了Ferroni的反例。研究问题源于Ehrhart理论中的猜想，核心方法是构造性证明与条件分析，主要贡献是解决了该猜想在素数体积情形下的成立性。
2026-10-19 math.CO
On Lattices of Regular Sets of Natural Integers Closed under Decrementation
我们考虑格的正规集的非负整数，即集定义在Presbuger算术。我们证明，如果这样的格是关闭下减量，那么它也是关闭下许多其他功能：由一个整数，根，等等。
2013-10-04 cs.DM math.CO
Sharp Gagliardo-Nirenberg inequality and logarithmic Sobolev inequality on integer lattices
本文在整数格上获得了精确的Gagliardo-Nirenberg不等式并刻画了其刚性，进而作为推论推导出整数格上精确的对数Sobolev不等式。
2025-11-01 math.AP math.CO
Generating functions of lattice paths
本文回顾格路径的主要类型，并利用 Riordan 数组方法统一、澄清和简化各类格路径的生成函数及相关整数序列。
2024-01-15 math.CO
Amicable Triangle and Rectangles on the Integer Lattice
本文研究整数格上的友好多边形，证明了恰有一对友好格点三角形和五对友好格点矩形，其中友好指周长与面积互换相等。
2025-03-26 math.CO math.MG
Integer Area Dissections of Lattice Polygons via a Non-Abelian Sperner's Lemma
本文利用新版本的 Sperner 引理，给出了平面上可剖分为整数面积格点三角形的凸格点多边形的简单且完整的描述。
2024-09-23 math.CO math.GT
On area-minimizing subgraphs in integer lattices
本研究借助De Giorgi的有界变差函数框架在无限图中定义面积极小子图，完成二维整数格下该类子图的同构分类，并推导高维情形的通用几何性质。
2024-06-19 math.CO math.DG
Tiling the integer lattice with translated sublattices
当$\mathbb{Z}^d$表示为平移整数子格的有限不交并时，平移子格必须具有一些特殊的性质.这种表示称为\emph{lattice tiling}。我们开发了一个理论框架，基于多个剩余和对偶群，提供了一组充要条件，充分条件，这样的晶格平铺存在。我们还调查的问题时，一个格子瓷砖必须拥有至少两个翻译的子格是翻译的另一个。
2016-05-28 math.CO math.NT
A construction of the graphic matroid from the lattice of integer flows
一个图的整数流的格是已知的，以确定图的2-同构（工作的苏-瓦格纳和Caporaso-Viviani）。本文给出了图$G$的图拟阵$\calM(G)$的一种算法构造，给出了它的整数流格$\calF(G)$。然后，该算法可以应用于从$\calF(G)$计算$G$的任何其他2-同构不变量（即，拟阵不变量）。我们的方法是基于Amini的结果，它描述了$\calF(G)$的Voronoi细胞的几何形状和$G$的结构之间的关系。
2016-11-19 math.CO math.GT
The lattice of integer flows of a regular matroid
对于有限重图G，设Λ（G）表示G的整数流格--这是一个具有整数值正定双线性型的生成的自由阿尔贝群. Bacher，de la Harpe和Nagnibeda证明了如果G和H是2-同构图，那么Λ（G）和Λ（H）是等距的，并指出他们无法找到一对非同构的3-连通图，其对应的格是等距的。我们通过检查任意正则拟阵M的整数流的格Λ（M）来解释这一点。设M_ \bullet是M的收缩所有余环得到的子式。我们证明了Λ（M）和Λ（N）是等距的当且仅当M_ \bullet和N_ \bullet是同构的.
2010-06-10 math.CO math.MG
Equilateral n-gons in planar integer lattices
研究证明在特定整数格中存在足够大的等边n边形，扩展了平面格中等边多边形的分类结果。
2025-11-20 math.CO math.MG
Completely empty pyramids on integer lattices and two-dimensional faces of multidimensional continued fractions
在本文中，我们发展了一个整数仿射分类的三维多层完全空凸标记金字塔。我们应用它来获得的多维连分数位于平面上的整数距离原点等于2，3，4.这些面被认为是整数线性变换组的作用。最后，我们制定了一些实际的未解决的问题与推广的n维面和更复杂的面配置。
2006-12-12 math.CO math.NT
Arrow Relations in Lattices of Integer Partitions
本文刻画任意正整数 n 的整数分拆格在优势序下标准背景中的单、双箭头关系，解决了 Ganter 2022 年的开放问题。
2024-03-12 math.CO math.NT
Maximal integral simplices with no interior integer points
本文研究了整极大无格单形。这样的单形有整数顶点，并且在其每个小面的相对内部包含整数点，但在整个内部不允许有整数点。在三维空间中，我们证明了任意整数极大无格单形等价于直到幺模变换的七个单形之一。对于更高的维度，我们证明了一组积分极大无格单形的顶点躺在坐标轴上是有限的。这引起了一个猜想，即整数最大无格单形的总数是有限的任何维。
2009-05-19 math.CO math.OC
New methods to find patches of invisible integer lattice points
令人惊讶的是，从原点可见的整数格点的比例正好是$\frac{6}{π^2}$，或大约60%。因此，大约40%的整数格从原点隐藏。自1971年以来，许多人研究了各种涉及格点可见性的问题，特别是在40%的格点中搜索模式。其中一种模式是方形斑块，即由$n^2$不可见点组成的$n \times n$网格，我们称之为隐藏森林。已知整数格中存在任意大的隐森林。然而，到目前为止的方法涉及孙子剩余定理（CRT）的行和列的矩阵与素数项目，他们只能找到隐藏的森林非常远离原点。例如，使用此方法，已知最近的$4 \times 4$隐藏森林距离原点超过3 quintillion（或$3 \times 10^{18}$）单位。我们引入准素矩阵的概念，并利用各种计算和理论技术，找到一些最接近的已知隐藏的森林到这个日期。使用这些新技术，我们找到了一个$4 \times 4$隐藏的森林，距离原点只有1.84亿个单位。我们猜想，每一个隐藏的森林可以通过CRT算法找到一个准素矩阵。
2020-07-27 math.CO math.NT
On the directions occurring in lattice-line coverings of the integer plane
Linköpings Universitet（林雪平大学）
该研究针对整数平面格线覆盖，通过递归拆分秩2子格陪集的构造，证明此类覆盖的方向集合可在直线方向空间中稠密。
2026-08-25 math.CO math.NT
Infinite co-minimal pairs in the integers and integral lattices
给定一个群$G$的两个非空子集$A, B$，如果$A \cdot B = G$和$A' \cdot B \subsetneq G$对任何$\emptyset \neq A' \subsetneq A$和$A\cdot B' \subsetneq G$对任何$\emptyset \neq B' \subsetneq B$，则称它们形成一个余最小对。在这篇文章中，我们给出了整数格和整格中余极小对的几个新结果。证明了对任何$d\geq 1$，群$\mathbb{Z}^{2d}$允许无穷多个自同构，使得对于每个自同构$σ$，存在$\mathbb{Z}^{2d}$的子集$A$，使得$A$和$σ(A)$形成余极小对.具有无限基数的子集$A$和$B$（$A\neq B$）的整数中的余极小对的存在性和构造是未知的。我们表明，这样的对存在，并明确构建这些对满足一些代数性质。
2020-05-22 math.CO math.NT
Spherical codes with prescribed signed permutation automorphisms inside shells of low-dimensional integer lattices
该研究通过计算机搜索指定自同构的码，计算低维整数格壳层球面码参数的下界，部分构造码改进了已有球面码下界。
2024-03-07 math.CO math.MG
Is there a smooth lattice polytope which does not have the integer decomposition property?
University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Warwick（华威大学）
本文探讨是否存在不满足整数分解性质的光滑格点多面体，通过Pick定理的证明揭示了格点多边形面积与内部边界格点数的关系。
2025-12-21 math.AG math.CO math.HO
Quantum random walk on the integer lattice: examples and phenomena
我们应用Baryshnikov，Brady，Bressler和Pemantle（2008）的结果来计算一维和二维中各种量子随机游动的极限概率分布。使用分析机器，我们展示了极限分布的一些特征，这些特征在时间10，000分布的经验强度图中并不明显。文中给出了一些计算公式，并讨论了计算方法.
2009-11-23 math-ph math.CO math.MP
The Lattice of integer partitions and its infinite extension
在本文中，我们使用一个简单的离散动力学模型来研究整数划分及其格。该模型的可达配置集，其上定义的转移规则诱导的顺序，是一个整数的所有分区的格，配备了一个优势排序。首先，我们解释如何可以构建这个格的算法在线性时间相对于它的大小，它具有自相似的结构。然后，我们定义了一个自然扩张的模型到无穷大，我们比较的杨格。使用自相似树，我们获得了所获得的格的编码，这使得它可以很容易地和有效地枚举一个给定的整数的所有分区。这种方法还给出了整数的划分个数的递推公式，以及一些特殊划分集的信息，如长度有界划分。
2021-03-05 cs.NA math.CO math.DS
Integer decomposition property of polytopes
本文研究与至多含$n+3$条射线的$n$维光滑完全扇相关联的格多面体的整数分解性质，利用Kleinschmidt和Batyrev的分类及低维归约方法，证明了该设定下格多面体具备整数分解性质。
2024-09-29 math.AG math.CO
A note on the Grover walk and the generalized Ihara zeta function of the one-dimensional integer lattice
Chinta，Jorgenson和Karlsson介绍了与有限或无限正则图相关的Ihara zeta函数的行列式公式的推广版本。另一方面，Konno和Sato利用有限图的第二加权zeta函数的行列式表达式，得到了Grover矩阵的特征多项式的一个公式。在本文中，我们专注于Grover步行和广义Ihara zeta函数之间的关系。也就是说，我们把一维整数格的广义Ihara zeta函数作为圈图的Ihara zeta函数的一个极限。
2021-12-16 math-ph math.CO math.MP
Bijections and congruences involving lattice paths and integer compositions
该研究通过建立不同变体Dyck路径与整数分拆的新双射，解释计数公式4^{n-1}的组合意义，推导路径同余与分拆奇偶性结果，还揭示其与多个组合数学对象的关联，深化了相关结构认知。
2024-03-08 math.CO math.NT
Computer classification of linear codes based on lattice point enumeration and integer linear programming
针对有限域上受限权重集线性码的分类问题，提出基于格点枚举和整数线性规划的算法框架，给出射影双权重码等三类码的新枚举及不存在性结果。
2024-03-26 cs.IT math.CO math.IT
Short rational generating functions for lattice point problems
我们证明了对于任意固定的d，有理d维多面体中的整数点集的投影的母函数可以在多项式时间内计算。作为一个推论，我们推导出各种有趣的集的格点，特别是整数半群和（最小）Hilbert基地的有理锥，有短的合理的生成函数提供一定的参数（尺寸和数量的发电机）是固定的。因此，许多计算问题，这样的集合（例如，找到数量的正整数不表示为一个非负整数组合的给定互质正整数a_1. a_d允许多项式时间算法。我们还讨论了计算由单项式生成的环的希尔伯特级数的一个相关问题。
2002-11-08 math.AC math.CO math.OC
Lattice operads and operad filtrations
本研究提出以格值操作子为索引的操作子滤过概念，证明Tamari格等组合格可构成满足分配性的格操作子，还给出分拆、合成等相关例子并探讨弱序与置换操作子的相容性。
2024-10-31 math.CO math.RA
Young's lattice and dihedral symmetries revisited: Möbius strips and metric geometry
一个二面角对称的级联隐藏在整数分割的杨氏晶格中。事实上，对于任意整数N>2，由最大钩长严格小于N的划分组成的子集的Hasse图具有2N阶的二面体群作为其对称群.本文给出了这些Hasse图的一种新的解释，即作为某些有限度量空间的内射壳的1-β。
2012-12-18 math.CO math.MG
Collinear Interior Lattice Points in Triangles Satisfying $B(T)\in\{4,5\}$
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Stanford University Online High School（斯坦福在线高中）；Department of Mathematics, California Polytechnic State University（加州州立理工大学数学系）
本文基于前期$B(T)=3$的研究，结合Alder广义欧拉函数$g(k)$等，分类$B4$-、$B5$-共线整数，确定$B4$-共线整数为1、2、5，无$B5$-共线整数，揭示边界格点数量对共线性模式的影响。
2026-08-04 math.CO math.NT
Brillouin Zones of Integer Lattices and Their Perturbations
本文研究了整数格及其扰动的Brillouin区的几何与组合性质，证明了扰动下的稳定性、$\mathbb{R}^2$中腔室数量的线性上限及最大体积收敛于零。
2024-03-21 cs.CG math.CO math.MG
Koszul Algebras and Flow Lattices
我们提供了图的整数割和整数流的格的同调代数实现。对于具有生成树$T$的有限2-边连通图$Γ$，我们给出了一个有限维Koszul代数$A_{Γ,T}$ .在这种构造下，具有对偶生成树的平面对偶图是相伴的Koszul对偶代数。有限生成$A_{Γ,T}$模范畴的Grothendieck群同构于欧氏格$\mathbb Z^{E(Γ)}$，利用$A_{Γ,T}$的表示理论刻画了$Γ$上的整数割和整数流的子格.对$A_{Γ,T}$的分级产生了$q$ -整数割流格的类似物;这些$q$ -格依赖于生成树的选择。我们给出了矩阵树定理的$q$ -模拟，并证明了$(Γ_1,T_1)$的$q$ -流格同构于$(Γ_2,T_2)$的$q$ -流格当且仅当存在从$Γ_1$的边到$Γ_2$的边的保圈双射，它取生成树$T_1$到生成树$T_2$ .这给出了Caporaso-Viviani和Su-Wagner的经典定理的$q$ -模拟。
2019-05-28 math.CO math.RA math.RT
Cayley sums and Minkowski sums of lattice polytopes
本文以 Minkowski 和刻画 Cayley 和的整数分解性质，并据此研究 2-凸正规格多面体两类和的该性质，同时讨论其 level 性质。
2023-02-18 math.AC math.CO
Simplex--center configurations in dense subsets of Euclidean spaces and the integer lattice
该研究针对欧几里得空间及整数格的稠密子集，证明了含单形及其重心的构型的密度拉姆齐定理，在特定条件下推广了相关度量下的等距副本存在性结果。
2026-08-21 math.CO math.MG math.NT
Contractibility of the Rips complexes of Integer lattices via local domination
本文引入局部受支配顶点与局部压碎条件，证明整数格在大尺度下的 Rips 复形可缩，并验证低维最优界。
2025-07-26 math.AT math.CO math.MG
Maximal lattice-free polyhedra: finiteness and an explicit description in dimension three
一个具有非空内部的凸集是极大无格的，如果它是包含极大的，就其内部不包含整数点的性质而言。已知极大无格凸集是多面体。有理多面体$P$在$\mathbb{R}^d$中的精度是使得$sP$是整数多面体的最小整数$s$。在本文中，我们证明了，直到仿射映射保持$\mathbb{Z}^d$，给定精度$s$的最大无格有理多面体的数量是有限的。此外，我们给出了所有三维极大无格整多面体的完整列表。我们的研究结果的动机是最近的研究切割平面理论在混合整数线性最优化。
2011-03-25 math.CO math.MG math.OC
Generalized Integer Partitions, Tilings of Zonotopes and Lattices
本文利用动力系统与序理论，证明广义整数分拆集合构成分配格，并刻画了二维 zonotopes 铺砌集合为分配格的不交并，深化了对翻转铺砌行为的理解。
2000-09-11 cs.NA math-ph math.CO
Detecting the Integer Decomposition Property and Ehrhart Unimodality in Reflexive Simplices
组合数学中一个长期存在的公开猜想断言具有整数分解性质（IDP）的Gorenstein格多面体具有单峰（Ehrhart）$h^\ast$ -多项式。这个猜想可以被看作是加强了以前被否定的猜想，其中指出，任何Gorenstein格多面体有一个单峰$h^\ast$ -多项式。第一个关于Gorenstein格多面体单峰性的反例是Musta{n}{n}和Payne在大于5的偶数维中给出的，Payne将其推广到所有大于5的维。虽然有许多例子支持IDP自反是$h^\ast$ -单峰的猜想，但它的有效性尚未被认为是自反格单形的家族，这些家族紧密地概括了佩恩的反例。这项工作的主要目的是证明，前猜想确实举行了自然推广佩恩的例子。这项工作的第二个目的是将这项调查扩展到更广泛的一类格单纯形，我们提出了新的结果和开放的问题。
2018-06-01 math.AC math.CO math.NT
Sparse Approximation in Lattices and Semigroups
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；FAU Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文研究了在格和半群中，如何通过稀疏解逼近给定向量的问题，并分析了逼近质量随参数k变化的指数增长特性。
2026-02-11 cs.DM math.CO math.OC
The Integer Decomposition Property and Weighted Projective Space Simplices
自反格多面体在组合数学、代数几何、物理学等领域中起着重要的作用。一类重要的格多面体是定义加权射影空间的格单形。研究了自反加权射影空间单形何时具有整数分解性质。我们提供了一个完整的分类自反加权射影空间单形的情况下，最多有三个不同的非单位重量的整数分解性质，并推测一个一般的分类为任意数量的不同的非单位重量。进一步，对于任意加权射影空间单形和$m\geq 1$，我们定义了$m$阶自反稳定化，即自反加权射影空间单形.证明了当$m$等于或大于$2$时，自反稳定化不具有整数分解性质.我们还证明了任何足够大的自反镇定的Ehrhart $h^\ast$-多项式不是单峰的，只有$1$和$2$作为系数。我们使用这种结构来生成有趣的例子，自反加权射影空间的单形附近的边界的$h^*$单峰和整数分解属性。
2022-11-21 math.AC math.AG math.CO
