广义整数分拆、Zonotopes 的铺砌与格

关于带形格的Voronoi多面体的和

On the sum of the Voronoi polytope of a lattice with a zonotope

平行多面体$P$是一种多面体，它允许通过沿晶格平移$P$的副本来进行面到面的空间平铺。格子$L$的Voronoi单元$P_V(L)$是平行体的一个例子。平行体可以被唯一地分解为区域封闭平行体$P$和带形$Z(U)$的Minkowski和，其中$U$是用于生成带形的向量的集合。本文考虑了与此相关的问题：一般平行体与带形$P+Z(U)$的Minkowski和何时是平行体？我们给出了两个必要条件，并证明了向量$U$必须是自由的。给定一个自由向量集$U$，给出了几种判断$P + Z(U)$是否为平行体的方法.利用这一点，我们对一些高度对称的格的zonotopes进行分类。在根格$\mathsf{E}_6$的情况下，可以给出向量$U$的容许集合的更多几何描述。我们发现，一组容许向量，称为自由向量，是由众所周知的配置$27$线在一个立方。在详细研究$P_V(\mathsf{e}_6)$几何的基础上，给出了矢量$U$的构型的一个简单刻画，使得$P_V(\mathsf{E}_6) + Z(U)$是一个平行体.枚举产生$10$最大的家庭的向量，这是由他们的描述为正规拟阵。

通过马尔可夫分区构造帽子铺砌

A construction of the hat tilings by a Markov partition

本文提出了一种简单构造帽子铺砌的方法，通过在特殊着色图像上叠加三角网格来读取瓷砖方向，证明了该方法能生成有效帽子铺砌，并且所有有效帽子铺砌均可由此方法生成。

带三角形孔的六边形的降平面剖分与菱形镶嵌

Descending plane partitions and rhombus tilings of a hexagon with triangular hole

它表明，下降的平面分区的安德鲁斯可以几何实现为循环对称的菱形平铺的某一六边形，其中一个等边三角形的边长为2已从其中心删除。因此，由Mills，Robbins和Rumsey引入的下降平面划分的晶格结构允许优雅的可视化。

带三角形孔洞的六边形菱形镶嵌的因式分解定理

A factorization theorem for lozenge tilings of a hexagon with triangular holes

在本文中，我们提出了一个组合推广的事实，即适合在一个$2a\times b\times b$盒的平面分区的数量等于这样的平面分区的数量是对称的，乘以这样的平面分区的数量，其中的转置是相同的补充。我们使用等效的措辞这个身份的对称类菱形平铺的六边形的三角形格子。我们的推广包括允许六边形沿其水平对称轴具有某些对称放置的孔。没有洞的特殊情况可以看作是对称平面划分的枚举的一个新的、更简单的证明。

Further Combinatorics and Applications of Two-Toned Tilings

Integer compositions, integer partitions, Fibonacci numbers, and generalizations of these have recently been shown to be interconnected via two-toned tilings of horizontal grids. In this article, we present refinements of two-toned tilings, describe functions which analyze them, and apply these to generalizations of integer compositions and partitions which interpolate between the two.

Hidden symmetries of weighted lozenge tilings

We study the weighted partition function for lozenge tilings, with weights given by multivariate rational functions originally defined by Morales, Pak and Panova (2019) in the context of the factorial Schur functions. We prove that this partition function is symmetric for large families of regions. We employ both combinatorial and algebraic proofs.

从阿兹特克钻石到金字塔：陡峭的瓷砖

From Aztec diamonds to pyramids: steep tilings

我们介绍了一个家庭的多米诺骨牌平铺，其中包括镶嵌的阿兹特克钻石和金字塔分区作为特殊情况。这些平铺存在于$\mathbb{Z}^2$的条带中，对于某个整数$\ell \geq 1$，其形式为$1 \leq x-y \leq 2\ell$，并且由二进制字$w\in\{+,-\}^{2\ell}$参数化，该二进制字编码无穷大处的某些周期性条件。阿兹特克菱形和金字塔分区分别对应于$w=(+-)^\ell$和极限情况$w=+^\infty-^\infty$。对于每个字$w$和不同类型的边界条件，我们得到一个很好的产品公式的生成函数的相关平铺相对于翻转的数量，承认一个自然的多元推广。主要工具是一个双射对应序列的交错分区和顶点算子形式主义（我们稍微扩展，以处理Littlewood型身份）。在概率方面，我们的平铺映射到不同类型的舒尔过程（标准的，Pfavian和定期）。我们还介绍了一个更一般的模型，插值之间的多米诺瓷砖和平面分区。

典型群特征标的一个因子分解定理及其在平面分拆和菱形镶嵌中的应用

A factorization theorem for classical group characters, with applications to plane partitions and rhombus tilings

我们证明了一个Schur函数的矩形$(M^n)$的变量专门为$x_1,x_1^{-1},...,x_n,x_n^{-1}$分解成一个产品的两个奇数正交字符的矩形，其中之一是评估在$-x_1,...,-x_n$，如果$M$是偶数，而它分解成一个产品的一个辛字符和一个偶数正交字符的矩形，如果$M$是奇数。进一步证明了第一因子分解蕴含一个关于六边形的菱形镶嵌的因子分解定理，它在平面剖分方面有一个等价的公式。对于矩形形状分别为$(M^n)$和$(M^{n-1})$的两个Schur函数之和，证明了一个类似的分解定理.

带侵入的六边形菱形铺砌 I：广义侵入

Lozenge Tilings of Hexagons with Intrusions I: Generalized Intrusion

本文通过从六边形区域移除广义侵入结构构造新区域，证明其菱形铺砌数量及带权生成函数具有简单乘积公式，从而推广 MacMahon 定理并给出 $q$-模拟。

具有切角的六边形菱形镶嵌的Enumeration

Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners

出于对Proctor研究的一类平面划分的枚举和对平面划分的对称类的考虑，我们考虑了从六边形的一些顶点移除“最大楼梯”的菱形拼接的枚举问题。一个顶点的情况对应于Proctor问题。对于两个顶点，有几种情况需要考虑，其中大多数导致很好的枚举公式。对于三个或更多的顶点，似乎不存在一般的好的产品公式，但在一个特殊的情况下，发生了很多的因式分解，我们提出的问题，找到一个公式的数量在这种情况下的平铺。

关于具有相同间隙序列的$4$ -集的整数拼接

On tiling the integers with $4$-sets of the same gap sequence

将一个集合分割成相似的（如果不是相同的话）部分是组合学中的一个基本研究课题。在历史上，人们一直在考虑用各种方法划分整数的问题。给定一个整数集合$\{x_1, \ldots, x_n\}$，其中$x_1<\cdots<x_n$，设这个集合的{ \it间隔序列}是非减序列$d_1, \ldots, d_{n-1}$，其中$\{d_1, \ldots, d_{n-1}\}$等于作为多重集合的$\{x_{i+1}-x_i:i\in\{1,\ldots, n-1\}\}$。本文解决了以下问题，这是明确地问Nakamigawa：一组整数可以划分成具有相同的间隙序列集？这个问题对于任何空位序列的长度最多为2的集合都是成立的。本文提供的证据表明，这个问题是真实的间隙序列的长度为3。也就是说，我们证明了给定正整数$p$和$q$，存在正整数$r_0$使得对所有$r\geq r_0$，整数集都能被划分成具有间隙序列$p, q$，$r$的$4$ -集.

一个典型的盒装平面隔断的形状

The shape of a typical boxed plane partition

使用变分法的方法，我们确定了一个大盒子中的典型平面分区的形状（即，根据在所有平面分区上的均匀分布随机选择的平面分区，其实心杨氏图适合于该框内）。同样，我们描述了三个不同方向的菱形分布在一个随机菱形平铺的一个大六边形。我们证明了一个推广的经典公式的MacMahon在一个盒子中的平面分区的数量;对于每一个可能的方式，其中一个区域的平铺可以表现时，限制到某些线，我们的公式告诉平铺的数量，以这种方式表现。当我们取一个合适的极限时，这个公式给了我们一个泛函，我们必须最大化它来确定盒子中平面划分的渐近行为。一旦变分问题已经成立，我们分析它使用修改的方法所采用的洛根和Shepp和Vershik和Kerov在他们的研究随机杨tableaux。

六边形菱形镶嵌的$q$ - enumeration，从边界移除四个相邻三角形

A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary

MacMahon证明了一个简单的产品公式的生成函数的平面分区适合在一个给定的盒子。该定理蕴涵了三角格上半正六边形菱形镶嵌的$q$ -计数。本文用$q$ -枚举一类新的六边形族的菱形镶嵌推广了MacMahon的经典定理，其中菱形镶嵌的四个相邻三角形从它们的边界移去.

具有竞赛图的平铺有向图

Tiling directed graphs with tournaments

Hajnal-Szemerédi定理指出，对于任何整数$r \ge 1$和$r$的任何倍数$n$，如果$G$是在$n$顶点和$δ(G) \ge (1 - 1/r)n$上的图，则$G$可以被划分为在$r$顶点上的完全图的$n/r$顶点不相交的副本。对于有向图，我们证明了一个非常一般的类似结果：对于任何整数$r \ge 4$和$r$的任何足够大的多个$n$，如果$G$是$n$顶点上的有向图，并且每个顶点至少与$2(1 - 1/r)n - 1$有向边关联，则$G$可以被划分为大小为$r$的$n/r$顶点不相交子图，每个子图包含$r$顶点上的每个锦标赛。一个相关的Turán型结果也得到了证明。

具有偏序集副本的布尔格的几乎平铺

Almost tiling of the Boolean lattice with copies of a poset

设$P$是一个偏序集.如果布尔格$(2^{[n]},\subset)$可划分为$P$的副本，对于某个正整数$n$，则$P$必须满足以下两个平凡条件：（1）$P$的大小是$2$的幂，（2）$P$有唯一的最大和最小元素。解决一个猜想的Lonc，它是由Gruslys，领导者和Tomon表明，这些条件是充分的。在本文中，我们证明了，如果$P$只满足条件（2），我们仍然几乎可以划分$2^{[n]}$到$P$的副本。我们证明，如果$P$有一个唯一的最大和最小的元素，那么存在一个常数$c=c(P)$，使所有但最多的$c$元素的$2^{[n]}$可以覆盖不相交的副本$P$。

A shuffling theorem for lozenge tilings of doubly-dented hexagons

MacMahon's theorem on plane partitions yields a simple product formula for tiling number of a hexagon, and Cohn, Larsen and Propp's theorem provides an explicit enumeration for tilings of a dented semihexagon via semi-strict Gelfand--Tsetlin patterns. In this paper, we prove a natural hybrid of the two theorems for hexagons with an arbitrary set of unit triangles removed along a horizontal axis. In particular, we show that the `shuffling' of removed unit triangles only changes the tiling number of the region by a simple multiplicative factor. Our main result generalizes a number of known enume…

块对角对称的菱形铺砌

Block diagonally symmetric lozenge tilings

该论文引入$\boldsymbol{r}$-块对角对称的平面分拆与菱形铺砌类，证明其铺砌生成函数为简单乘积公式，推导体积生成函数，还研究$(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r^{\text{'}}})$-块对角对称类，用两种方法开展相关分析。

计数不同的二聚体十六进制分块

Counting distinct dimer hex tilings

整数边长为$n$的六边形与边长为1的120度- 60度菱形的组合学有着悠久的历史，既有直接的（作为热力学模型中的一个感兴趣的问题），也有间接的（通过等价于平面分区）。公式作为产品的factory已被证明，并逐一证明的数量，这种平铺下的每一个对称的六边形。然而，当这篇文章被写出来的时候，在《DNA序列在线百科全书》（OEIS）中，关于这种不同镶嵌的数量的条目只不过是一个关于$0 \le n \le 4$的表格和对这些值的简短讨论。本说明的目的是汇总有关事实。

欧拉五角数定理的一个平铺证明及其推广

A tiling proof of Euler's pentagnal number theorem and generalizations

在两篇论文中，小和塞勒斯介绍了一个令人兴奋的新的组合方法证明分区身份，这是不直接双射。相反，他们考虑了具有方块和多米诺骨牌的$1 \times \infty$板的各种加权平铺，并且对于每种类型的平铺，他们以两种不同的方式构造生成函数，该生成函数生成$q$系列恒等式。利用这种方法，他们恢复了不少经典的$q$ -级数恒等式，但欧拉的五边形数定理不在其中。在本文中，我们引入了一个关键参数时，构建的生成函数的各种组的平铺，使我们能够恢复欧拉的五边形数定理以及无限家庭的推广。

平面划分Ⅰ：MacMahon公式的推广

Plane partitions I: a generalization of MacMahon's formula

MacMahon证明了一个给定盒子中包含的平面划分数可以由一个简单的乘积公式给出。通过一个简单的双射，这个公式还列举了边长为$a,b,c,a,b,c$（按循环顺序）和角度为120度的六边形菱形镶嵌。我们提出了一个推广的情况下$b=c$给出简单的产品公式枚举菱形平铺的区域从六边形的边长$a,b+k,b,a+k,b,b+k$（其中$k$是一个任意的非负整数）和角度为120度，通过删除某些三角形区域沿其对称轴。

用交换因子 tiled 对称群

Tiling the symmetric group by transpositions

本文研究了对称群S_n能否被交换因子集T_n或T_n* tiled 的问题，提出Y必须满足某种分区传递性条件，并推测对于n≥4，T_n和T_n*均无法 tiled S_n。

Tiling edge-coloured graphs with few monochromatic bounded-degree graphs

We prove that for all integers $Δ,r \geq 2$, there is a constant $C = C(Δ,r) >0$ such that the following is true for every sequence $\mathcal{F} = \{F_1, F_2, \ldots\}$ of graphs with $v(F_n) = n$ and $Δ(F_n) \leq Δ$, for each $n \in \mathbb{N}$. In every $r$-edge-coloured $K_n$, there is a collection of at most $C$ monochromatic copies from $\mathcal{F}$ whose vertex-sets partition $V(K_n)$. This makes progress on a conjecture of Grinshpun and Sárközy.

多米诺平铺、多米诺洗牌与Nabla算子

Domino Tilings, Domino Shuffling, and the Nabla Operator

本文研究了由分拆λ索引的区域R_λ的多米诺平铺，基于广义面积和dinv统计量加权，提出用Bergeron--Garsia nabla算子表示生成多项式公式，并在方形情形下通过多米诺洗牌给出新乘积公式，证明了统计量的联合对称性。

Noncommutative crossing partitions

We define and study noncommutative crossing partitions which are a generalization of non-crossing partitions. By introducing a new cover relation on binary trees, we show that the partially ordered set of noncommutative crossing partitions is a graded lattice. This new lattice contains the Kreweras lattice, the lattice of non-crossing partitions, as a sublattice. We calculate the Möbius function, the number of maximal chains and the number of $k$-chains in this new lattice by constructing an explicit $EL$-labeling on the lattice. By use of the $EL$-labeling, we recover the classical results on…

平面剖分的一个三重积公式的新证明

A New Proof for a Triple Product Formula for Plane Partitions

Stanley推广了MacMahon的经典定理，证明了具有无界部分的平面划分的模迹生成函数的乘积公式。在他最近的工作biothorgonal多项式，神冈证明了有限模拟斯坦利的公式平面分区与有界部分（arXiv：1508.01674）。本文利用分片计数的技巧给出了神冈公式的一个新的证明。

离散Fourier核与Fraenkel拼接猜想

A Discrete Fourier Kernel and Fraenkel's Tiling Conjecture

集合B_{p,r} ^q：=\{ \floor{nq/p+r} \colon n \in Z \}，其中整数p，q，r）是密度为p/q的Beatty集。我们导出傅里叶变换\hat{B_{p,r}^q}（j）的公式：= \sum_{n=1}^p e^{-2 πi j \floor{nq/p+r} / q}。A. S. Fraenkel指出，本质上有一种方法可以将整数划分为m>2个具有不同密度的Beatty集。我们猜想的推广，并使用傅立叶方法来证明我们的广义猜想的几个特殊情况。

通过广义压缩实现 Benzel 的铺砌

Tilings of Benzels via Generalized Compression

本文提出不依赖分拆与斜形状视角的广义 compression 双射，用以推广 benzel 铺砌枚举方法，并解决 Propp 的三个额外猜想、将其他猜想转化为完美匹配问题。

有向翻转图与不交叉树划分

Oriented Flip Graphs and Noncrossing Tree Partitions

本文研究了Coelho Simoes和Parsons引入的一类表示有限的温柔代数（称为tiling代数）的模范畴中扭对偏序集的格性质.我们提出了一个利用凸多边形的多边形细分的扭对组合模型。我们使用这个模型和格理论分类2-term简单的集合在相应的平铺代数的有界导出范畴。作为结果，我们得到的c-矩阵的一个特征，任何的突变等价于A型Dynkin矩阵。我们的模型是使用多边形细分的对偶树。给定这样一棵树，我们引入一个由树支撑的非交叉测地线的单纯复形，我们称之为非交叉复形。非交叉复形的刻面可以被赋予有向翻转图的结构。可以用这种方式表示的定向翻转图的特殊情况包括Tamari阶、A型寒武纪阶、箭图突变的定向交换图-等价于路径交换。我们证明了任何非交叉复形的有向翻转图是一个多边形的同余一致格。为了做到这一点，我们表示定向翻转图作为双闭集的格的格商。非交叉复合体的小平面有一个交替的顺序，称为碎片交叉顺序。我们证明，这个碎片的交叉顺序是同构的非交叉树分区的格。有向翻转图从它的同余一致结构继承了循环作用。在非交叉树分区，这种循环行动推广了经典的Kreweras互补的非交叉集分区。我们表明，数据的非交叉树分区及其Kreweras补相当于一个2项简单的头脑收集相关的平铺代数。

Schur过程的完美采样算法

Perfect sampling algorithm for Schur processes

我们描述了随机生成算法的一大类随机组合对象称为舒尔过程，这是随机（整数）分区的序列受到一定的交错条件。这个类包含几个基本的组合对象作为特殊情况，如平面分区，阿兹特克钻石的平铺，金字塔分区和更普遍的平面陡峭的多米诺骨牌平铺。我们的算法具有多项式复杂度，既精确（即输出完全遵循目标概率定律，在我们的情况下，目标概率定律是玻尔兹曼或均匀的），又是熵最优的（即它读取最小数量的随机比特作为输入）。该算法包含之前与原始和二元RSK算法相关的特殊Schur过程的生长过程，以及用于阿兹特克钻石多米诺骨牌的著名多米诺洗牌算法。它可以很容易地适用于处理对称Schur过程和一般的Schur过程涉及无穷多个参数。该算法比Borodin算法更具体、更易于实现，并且是熵最优的。在技术层面上，它依赖于统一的双射证明的不同类型的柯西和Littlewood身份的舒尔函数，并适应福明的增长图描述的RSK算法的设置。用该算法进行的模拟表明，有趣的极限形状现象相应的平铺模型，其中一些是新的。

Character polynomials for two rows and hook partitions

Representation theory of the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ has a very distinctive combinatorial flavor. The conjugacy classes as well as the irreducible characters are indexed by integer partitions $λ\vdash n$. We introduce class functions on $\mathfrak{S}_n$ that count the number of certain tilings of Young diagrams. The counting interpretation gives a uniform expression of these class functions in the ring of character polynomials, as defined by \cite{murnaghanfirst}. A modern treatment of character polynomials is given in \cite{orellana-zabrocki}. We prove a relation between these combin…

菱形镶嵌、格路和完美匹配的计数及弱Lefschetz性质

Enumerations of lozenge tilings, lattice paths, and perfect matchings and the weak Lefschetz property

MacMahon列举了$a \times b \times c$框中的平面分区。这些是在双射菱形平铺的六边形，某些完美的匹配，和家庭的非交叉晶格路径。在这项工作中，我们考虑更一般的区域，称为三角区域，并建立后三个双射的有符号版本。事实上，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。一个组合的论点，涉及一个新的方法，所谓的解决方案的穿刺，然后表明，这些迹象实际上是等价的。这特别提供了这些族的两个不同的行列式枚举。利用这些结果研究了三维多项式环的单项式理想的Artin行列式的弱Lefschetz性质.建立了理想的合丛具有弱Lefschetz性质和半稳定性的充分条件，对具有弱Lefschetz性质的二型代数进行了分类，并深入研究了单项几乎完全交.此外，我们开发了一个通用的方法，往往与代数失败的弱Lefschetz属性复曲面，满足拉普拉斯方程。我们还提出了复曲面品种，满足任意多个拉普拉斯方程的例子。我们的组合方法使我们能够解决依赖于我们的许多结果的基本字段的特性。

平面剖分上MacMahon定理的另一对偶

Another dual of MacMahon's theorem on plane partitions

本文介绍了M。Ciucu和C. Krattenthaler（Proc. Natl. Acad. Sci. USA，vol.110（2013），4518-4523），就像后者一样，其可以被包括在三角形晶格上的晶格六边形的中心处，使得通过移除六边形而从六边形获得的区域具有由简单乘积公式给出的菱形平铺的数量。这种新的结构被称为蕨类植物，由任意数量的交替取向的等边三角形沿着晶格线排列而成。三叶草和蕨类植物似乎是唯一具有这种性质的结构。理解为什么只有这两个这样的结构将是有趣的。

Kagome格上的混合时间

Mixing Time on the Kagome Lattice

我们考虑一个封闭区域的Kagome格（分区的平面成正六边形和等边三角形，使每个边缘是由一个三角形和一个六边形共享）的平铺。我们感兴趣的是收敛速度的平稳性的自然马尔可夫链上定义的一组Kagome平铺。收敛速度可以用混合时间来表示，混合时间衡量链接近其平稳分布所需的时间。我们得到了一个$\mathcal{O}(N^4)$上界的加权版本的自然马尔可夫链的混合时间。我们还考虑Kagome平铺限制到两个prototiles，证明翻转连接，并绘制一个$\mathcal{O}(N^4)$上界，以及在一般情况下（非加权）的自然马尔可夫链的混合时间。最后，我们提出了模拟，表明存在一个长期的现象。

Young 图中的台球轨道：中缀链、自行车空间与多米诺骨牌平铺

Billiard Orbits in Young Diagrams: Medial Links, Bicycle Spaces, and Domino Tilings

本文研究 Young 图中对角台球轨道的计数，将其与中缀链、二进制自行车空间及多米诺骨牌平铺联系起来，给出精确公式、奇偶性限制及渐近下界。