Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi's conjecture
平行六面体是一种多面体，其平移副本通过内点填充空间而没有间隙和交叉。Voronoi证明了每个平行六面体是格的Dirichlet域的一个仿射像，它是Voronoi多面体.给出了平行多面体的几个性质，并证明了它们等价于平行多面体是Voronoi多面体的一个仿射像。
2003-07-11 math.CO math.MG
The diameter of lattice zonotopes
我们建立尖锐的渐近估计原始zonotopes的直径时，其尺寸是固定的。我们还证明了，对于无穷多个整数$k$，包含在超立方体$[0,k]^d$的格zotope的最大可能直径是唯一实现的一个原始zotope。因此，我们得到，这个最大的直径增长一样，$k^{d/(d+1)}$到一个明确的乘法常数，当$d$是固定的，$k$走向无穷大，提供了一个新的下界上的最大可能的直径包含在$[0,k]^d$的晶格多面体。
2019-05-12 math.CO math.MG
Vertex generated polytopes
本文定义了“顶点生成”多胞体类，证明其包含所有 zonotopes 且在二维中稠密，并引入参数衡量多胞体与该类的距离，证明参数较小时强覆盖性质成立。
2024-07-30 math.CO math.MG
On the geometry of random convex sets between polytopes and zonotopes
在这项工作中，我们研究了一类随机凸集，“插值”之间的多面体和zonotopes。这些集合产生于考虑$\mathbb R^n$中$N\geq n$独立随机向量序列的$1$维边缘的顺序统计量的平均值的$q^{th}$矩（$q\geq 1$）。本文考虑了各向同性对数凹分布的随机模型以及关于锥概率测度的$\ell_p^n$球（$1\leq p < \infty$）上的均匀分布，并根据支撑函数和平均宽度研究了这些集合的几何性质.我们提供了渐近公式的期望，这些几何泛函是尖锐的绝对常数。我们的模型包括和推广的标准随机多面体。
2017-01-05 math.FA math.MG math.PR
Voronoi cells of discrete point sets
众所周知，Delaunay集的Voronoi图的所有单元都是多面体。对于一个有限点集，所有这些单元仍然是多面体。因此，如果这个观察对所有离散点集都成立，那么问题就出现了：任意无限离散点集的所有Voronoi胞都是多面体吗？本文将对这一问题作出回答。证明了离散点集的所有Voronoi胞是多面体当且仅当该点集的每个点都是内点。此外，一个局部的非线性生成的离散点集的术语将被引入，它将被证明，正是这些集具有的属性，只有多面体Voronoi细胞。
2008-11-10 math.CO math.MG
The expansion of half-integral polytopes
本文研究半整多胞体的扩展性质，构造了扩展随维数指数下降的反例，证明Mihai-Vazirani猜想不能推广到半整情形，同时证明半整zonotopes的扩展一致有界且总是图形。
2024-02-22 cs.CG cs.DM math.CO
A linear optimization oracle for zonotope computation
一类计数问题要求中心超平面排列的区域数。通过对偶性，这与计算地带性的顶点相同。我们给出了几个有效的算法，基于一个线性最优化预言，解决这个和相关的计数问题。更准确地说，我们的算法计算zonotope从它的发电机的集合的顶点，反过来，恢复zonotope从它的顶点的发电机。后一种算法的一个变体也允许决定一个多面体，作为它的顶点集，是否是一个zonotope，当它不是时，计算它的最大zonotopal和。
2019-12-05 math.CO math.MG math.OC
$h^\ast$-polynomials of zonotopes
格多面体$P$的Ehrhart多项式编码关于$P$的正整数膨胀中的整数格点的数目的信息。$P$的$h^\ast$ -多项式是其Ehrhart多项式的生成函数的分子多项式。地带性是高维立方体的任何投影。本文利用排列的精化下降统计量给出了格点带形的$h^\ast$ -多项式的组合描述，证明了格点带形的$h^\ast$ -多项式只有实根，因而只有单峰系数.进一步，我们给出了带形的$h^\ast$ -多项式的拟阵形式的闭公式，它类似于Stanley（1991）关于Ehrhart多项式的一个结果.我们的结果不仅适用于$h^\ast$ -多项式，但结转到一般的组合正值。此外，我们给出了一个完整的描述的凸包的所有$h^\ast$ -多项式的zonotopes在一个给定的维度：它是一个单纯锥张的细化欧拉多项式。
2017-08-25 math.CO math.MG
Logarithmic Voronoi polytopes for discrete linear models
本文研究离散线性模型的对数 Voronoi 胞腔，证明内部点处的胞腔均为多胞体且具有相同组合类型，并利用矩阵 B 的余回路和 Gale 图给出其顶点描述，同时分析了单纯形边界及部分线性模型边界上的情形。
2023-11-22 math.CO math.MG math.ST
Closure of principal L-type domain and its parallelotopes
Voronoi定义了两个多面体分区的锥的se \mi \de \fi \nite形式为L型域和完美域。在等价的情况下，只有一个Domain同时是完美的和L-型的。Voronoi将此域称为{ \em principal}。我们表明，封闭的主域可以确定一个锥切割子模集函数。封闭主整环的共形空间是与图么模向量集相关的基本多面体的共形空间。
2013-04-09 math.CO math.MG
Construction of the Voronoi Diagram and Secondary Polytope
在R^d中一般位置的n个点的集合S定义了S的唯一Voronoi图。它的对偶曲面细分是S.本文考虑S的三角剖分集上的抛物泛函，证明了它在所有维上都在DT处达到极小。S的Delaunay三角剖分对应于S的次多面体的一个顶点。本文提出了一个构造DT的算法，其中使用了抛物泛函和二次多面体。最后，我们考虑了狄利克雷泛函的一个离散模拟。DT仅在两个维度上对该泛函是最优的。
2003-12-02 math.MG
Polyhedral Subspaces of $L_{p}$ and Polars of Zonotopes
University of Alberta（阿尔伯塔大学）
该数学研究证明，当-n+3<p<1时，特定赋范空间嵌入L_p与嵌入L₁等价，还得出n≥5时原点对称满维凸多面体为交形体当且仅当它是带状多面体的极的结论。
2026-08-19 math.FA math.MG
A Concentration Inequality for Random Polytopes, Dirichlet-Voronoi Tiling Numbers and the Geometric Balls and Bins Problem
我们的主要贡献是一个浓度不等式的对称体积差的$ C^2 $凸体与正高斯曲率和一个外切随机多面体与有限数量的方面，任何概率测度的边界上的正密度函数。我们还证明了Dirichlet-Voronoi镶嵌数满足$ \text{div}_{n-1} = (2πe)^{-1}(n+\ln n) + O(1)$，这将Zador的一个经典结果改进了$o(n)$ .此外，我们提供了一个显着的开放问题，这是自然的几何推广著名的和基本的“球和箱子”问题的概率。这个问题与高维随机多面体的最优性密切相关。
2020-02-27 math.MG
Logarithmic Voronoi cells
我们研究Voronoi细胞在统计环境中考虑的最大似然估计，镶嵌一个开放的概率单纯形的原像。一般来说，对数Voronoi单元是凸集。然而，对于某些代数模型，即有限模型，ML度为1的模型，线性模型，对数线性（或复曲面）模型，我们表明，对数Voronoi细胞是多面体。作为一个推论，代数矩映射有多面体的纤维和它的形象，当限制到单形。我们还计算非多面体对数Voronoi细胞使用数值代数几何。最后，我们确定对数Voronoi多面体的有限模型组成的所有经验分布的一个固定的样本量。这些多面体是对偶的对数根多面体的李型A，我们刻画他们的脸。
2020-06-16 math.AG math.MG math.ST
Explicit Construction of the Voronoi and Delaunay Cells of W(An) and W(Dn) Lattices and Their Facets
构造了Coxeter-外尔群W（an）和W（dn）的根格和权格的Voronoi和Delaunay（Delone）胞腔.面心立方（fcc）和体心立方（bcc）晶格是在这种情况下获得的。介绍了平行六面体、基本单形、接触多面体、根多面体、Voronoi胞、Delone胞、n-单形、n-八面体（十字多面体）、n-立方体和n-半立方体等基本概念，并计算了它们的体积。根格的Voronoi胞被构造为根多面体的对偶，而根多面体的对偶是Delone胞的并。证明了以根格An的原点为中心的Delone胞是基本权w1，w2，.，wn和根格Dn的Delone单元是从权重w1，wn-1，...，wn获得的多面体。一个简单的机制解释了Delone细胞的根晶格的镶嵌。我们证明了根格An的Voronoi胞的（n-1）-刻面是（n-1）维菱面体，类似地，根格Dn的Voronoi胞的（n-1）-刻面是以（n-2）-立方体为底的双棱锥. Voronoi单元的体积通过其（n-1）-小平面计算，该小平面又可以从基本单形获得。用Voronoi和Delone胞格的根格的镶嵌通过从低维给出的例子来解释。对于权格An* 和Dn* 也进行了类似的考虑。
2018-08-23 cond-mat.other math-ph math.MG
Monotonicity of expected $f$-vectors for projections of regular polytopes
令$P_n$是来自三个无穷级数（正则单形、正则交叉多面体和立方体）之一的$n$维正则多面体。将$P_n$投影到维度为$d\geq 2$的随机、均匀分布的线性子空间上。我们证明了所得到的随机多面体的$k$维面的期望数目是$n$的增函数。作为一个推论，我们表明，预期数量的$k$面的高斯多面体是一个增函数的点的数量用于生成多面体。对对称高斯多面体和高斯带形也得到了类似的结果。
2017-04-18 math.MG math.PR
Deep lattice points in zonotopes, lonely runners, and lonely rabbits
研究格zonotope的不对称系数，证明存在内部格点使其不对称系数被 $Θ(d \log\log d)$ 界定，并与Wills的孤独的跑步者猜想建立联系。
2023-01-28 math.CO math.MG math.NT
Some six-dimensional rigid forms
人们总是可以将格的Dirichlet-Voronoi多面体非平凡地分解为刚性格的Dirichlet-Voronoi多面体的Minkowski和。在这份报告中，我们展示了如何可以列举出所有刚性半正定二次型（从而刚性格）的一个给定的尺寸d。通过这种方法，我们发现所有刚性半正定二次型d = 5确认名单7刚性格Baranovskii和Grishukhin。进一步，我们发现当d <= 5时，本原L型整环的邻接图是GL_d（Z）作用于其上的无限树。另一方面，我们证明，在d = 6，我们面临着一个组合爆炸。
2005-01-04 math.CO math.MG
The typical cell of a Voronoi tessellation on the sphere
研究了由$d$维单位球面$\mathbb S^d$上均匀分布的随机点生成的Voronoi曲面的典型胞元。它的$f$ -矢量在分布上与由$\mathbb R^d$中的$n$随机点产生的β '多表位的$f$ -矢量一致.给出了任意$d$和低维情形$d\in\{2,3,4\}$的$f$ -向量的显式表达式。这也意味着在球面Voronoi曲面细分中$k$维面的总数的显式公式。
2021-02-08 math.MG math.PR
Proof of the Voronoi conjecture for 3-irreducible parallelotopes
本文在3-不可约平铺的特殊情况下证明了平行体上的Voronoi猜想。凸多面体是凸多胞体，它们通过其平移副本平铺欧几里得空间，就像平面上六边形的蜂窝排列一样。平行拓扑的一个重要例子是平移格的Dirichlet-Voronoi域。对于平移格中的每个点$x$，我们定义其Dirichlet-Voronoi（DV）域为空间中至少与$x$和任何其他格点一样接近的点的集合。乌克兰数学家乔治·沃罗诺伊（George Voronoi）在1908年提出的沃罗诺伊猜想（英语：Voronoi conjecture）指出，任何一个平行六面体都是某个格的DV-整环的仿射等价。本文证明了任意维3-不可约平行六面体的Voronoi猜想：定义3-不可约平行六面体为只有不可约对偶3-胞室的性质。这个结果推广了Zhitomirskii（1927）的一个定理，并给出了在一般情况下解决该猜想的一种方法.
2017-02-02 math.MG
Perfect Delaunay Polytopes and Perfect Quadratic Functions on Lattices
顶点属于秩为$d$的格的多面体$D$是Delaunay，如果存在外切$d$维椭球$E$，其内部没有格点，使得$D$的顶点位于$E$上.此外，如果椭球$E$由$D$唯一确定，我们称之为$D$完美。也就是说，完美Delaunay多面体是具有外接空椭球$E$的格多面体，其中二次曲面$\partial E$都包含$D$的顶点并且由它们确定。我们已经能够构造完全德洛内多面体的无穷序列，从某个初始维开始，在每个连续维中有一个完全多面体;我们已经能够构造无限数量的这样的无穷序列。完备Delaunay多面体在Delaunay多面体理论和Voronoi格型理论中起着重要的作用。
2006-12-30 math.MG math.NT
Generalized angle vectors, geometric lattices, and flag-angles
本文通过几何格的代数组合理论证明了广义角向量 Euler--Poincaré 型关系的存在性与唯一性，并引入多面体旗角，利用关联代数确定了内/外旗角向量的线性关系。
2024-09-27 math.CO math.MG
A polynomial time algorithm for solving the closest vector problem in zonotopal lattices
本文给出了求解带极晶格类中最近向量问题的一个多项式时间算法。带蛋白石晶格的Voronoi单元是带形，即规则立方体的投影。带蛋白石晶格的例子包括Voronoi第一类晶格和A型根晶格的张量积。带蛋白石格的组合结构可以用正则拟阵/全幺模矩阵来描述。我们观察到，线性代数版本的最小平均周期取消方法可以应用于有效地解决最近的矢量问题的zonotopal晶格，如果晶格是作为一个完全么模矩阵的积分核。
2021-06-18 cs.DS math.MG math.OC
Lifting properties of maximal lattice-free polyhedra
研究了极大无格多面体的割母函数的极小提升的唯一性。证明了一般极大无格多面体的唯一极小提升的一个基本不变性。推广了Basu，Cornuéjols和Köppe~ \cite{bcm}关于{ \em单纯}极大无格多面体的一个结果，从而完全解决了极大无格多面体提升的基本问题.我们进一步给出了一个非常一般的迭代构造，以得到任意维的具有唯一提升性质的极大无格多面体。这个单一的构造不仅获得了所有先前已知的具有唯一提升性质的多面体，而且进一步大大扩展了已知的这种多面体的列表。最后，我们将~ \cite{bcm}关于极大无格单形提升的刻画推广到更一般的多面体。这些非平凡的推广依赖于一些结果从离散几何，包括文科夫-亚历山德罗夫-麦克马伦定理的平移平铺和zonotopes的表征方面的中心对称他们的脸。
2015-01-18 math.CO math.MG math.OC
Perfect Delaunay Polytopes and Perfect Inhomogeneous Forms
一个格Delaunay多面体D被称为完美的，如果它有一个唯一的外切椭球，其内部没有格点，并且其表面只包含那些是D的顶点的格点。一个非齐次二次型被称为完全型，如果它是由这样一个外切的“空椭球”唯一确定的，直到一个比例因子。完美非齐次形式与完美Delaunay多面体的关系，就像完美齐次形式与完美点格的关系一样。我们已经能够构造一些完全德洛内多面体的无穷序列，从某个初始维开始，在每个连续维中有一个完全多面体;我们已经能够构造无限个这样的无穷序列。完美Delaunay多面体与Delaunay多面体理论和Voronoi的格型理论密切相关。
2005-03-06 cs.CC cs.CG math.MG
Tight frames and related geometric problems
本文研究紧框架的性质，证明向量集为紧框架当且仅当其叉积集也为紧框架，并用紧框架重述正多胞体投影体积问题，给出极大值的一阶必要条件，应用于带状多面体体积最大化。
2019-09-26 math.FA math.MG
Beta polytopes and Poisson polyhedra: $f$-vectors and angles
我们研究随机多面体的形式$[X_1,\ldots,X_n]$定义为凸包的独立和同分布的随机点$X_1,\ldots,X_n$在$\mathbb{R}^d$以下密度之一：$$ f_{d,β} (x) = c_{d,β} (1-\|x\|^2)^β, \qquad \|x\| < 1, \quad \text{(beta distribution, $β>-1$)} $$或$$ \tilde f_{d,β} (x) = \tilde{c}_{d,β} (1+\|x\|^2)^{-β}, \qquad x\in\mathbb{R}^d, \quad \text{(beta' distribution, $β>d/2$)}. $$这种设置还包括均匀分布的单位球和标准正态分布的极限情况。对于任意$k\in\{0,1,\ldots,d-1\}$，我们导出了$[X_1,\ldots,X_n]$的$k$ -面的期望个数的精确和渐近公式.我们证明，对于任何这样的$k$，这个预期的数字是严格单调递增的$n$。此外，我们计算预期的内部和外部的角度，这些多面体在每一个维度的面，更一般地说，预期的圆锥曲线的切线锥的内在体积。通过传递到beta'情形下的大$n$极限，我们计算了具有幂律强度函数的Poisson点过程凸包的期望$f$ -向量。利用凸对偶，我们得到了$\mathbb R^d$中一类各向同性Pois…
2020-02-02 math.MG math.PR
