Counting Zeros in Random Walks on the Integers and Analysis of Optimal Dual-Pivot Quicksort
我们提出了一个平均的情况下分析的两个变种的双枢轴快速排序，一个非算法的比较最优分割策略，其他密切相关的算法策略。对于这两个，我们计算的预期数量的比较，以及渐近，特别是，我们提供了精确的表达式的线性，对数，和常数项。一个重要的步骤是在一定的概率模型中分析格路的零点。一路上证明了一个组合身份。
2016-05-11 cs.DS math.CO
Packing Odd Walks and Trails in Multiterminal Networks
令$G$是具有终端$T \subseteq V(G)$和边缘容量$cap: E(G) \rightarrow \mathbb{R}_+$的可区分集合的无向网络。奇数$T$ -游动指的是在$G$中的游动（可能有顶点和边的自相交），它连接两个不同的终端，并且由奇数条边组成。受Schrijver和Seymour关于两个终端的奇路径包装的工作的启发，我们考虑包装的奇$T$ -散步受容量$cap$。首先，我们提出了一个强多项式时间算法来构造奇$T$ -游动的最大分式填充。对于偶数容量，我们的算法构造了一个半整数的包装。此外，如果$cap(δ(v))$可被4整除的任何$v \in V(G) - T$，我们的算法构造一个整数包装。其次，我们建立并证明了相应的极大极小关系。第三，如果$G$是内欧拉（即在$V(G) - T$的所有节点的程度是偶数）和$cap(e) = 2$的所有$e \in E$，我们表明，存在一个整数包装的奇数$T$ -trails（即奇数$T$-行走没有重复的边缘）的情况下，在奇数$T$ -行走相同的值，这种包装可以在多项式时间内找到。为了实现上述目标，我们建立了一个连接包装的奇数$T$ -行走和$T$ -线索和某些多流问题的无向和双向图。
2023-03-01 math.CO
Hamiltonians of Bipartite Walks
在本文中，我们介绍了一个离散的量子行走模型称为二分行走。二部行走包括许多已知的离散量子行走模型，如弧反转行走，顶点面行走。对于量子行走的转移阵，有一个与之相联系的哈密顿量，我们将研究二分行走的哈密顿量。设$S$是反对称矩阵。我们主要对形式为$iS$的哈密顿量感兴趣。我们证明了当且仅当二部图的邻接矩阵是可逆的时，Hamilton算子可以写成$iS$.我们证明了弧反转行走和顶点面行走是二部行走的特殊情况。通过哈密尔顿算子，二部游动现象导致连续游动现象。我们详细展示了如何使用二分行走的路径，以构建通用的完美状态转移连续行走。
2022-07-04 math.CO quant-ph
Periodicity of bipartite walk on biregular graphs with conditional spectra
本文研究了一类离散量子游动，称为二部游动。其中包括著名的Grover's Walks。任何离散量子行走都是由酉矩阵$U$的幂给出的，该酉矩阵由底层图的弧或边索引。如果对某个正整数$k$有$U^k=I$，则游动是周期性的。Kubota在正则二部图上定义了Grover游动，当游动的特征值不超过5个时，给出了Grover游动的周期性的一个刻画.我们推广了Kubota的结果--如果一个双正则图$G$的特征值的平方是次数不超过2的代数整数，我们用它的谱来刻画在$G$上的二部游动的周期性.利用二部游动的周期性结果，得到了正则图上Grover游动周期性的一个刻画.
2022-12-14 math.CO quant-ph
Slow Recurrences
对于正整数$α$和$β$，我们将$(α,β)$ -walk定义为满足$w_{k+2}=αw_{k+1}+βw_k$的任何正整数序列。如果$w_s=n$与$s$尽可能大，我们说$(α,β)$ -漫步是$n$ -慢。慢$(1,1)$行走已经由几位作者研究过。本文考虑任意正$α,β$的$(α,β)$ -游动.我们推导出这些行走的特征定理，并证明了几个结果的总数$n$ -慢行走给定的$n$。除此之外，我们还研究了所有可能的$α,β$中给定$n$的最慢$n$ -慢速行走。
2019-09-14 math.CO math.NT
Algebraic area enumeration for open lattice walks
本文扩展算符方法，计算方形格点上固定长度与代数面积的开放行走数量，并推导端点位于特定直线及完全固定端点情形的计数方法。
2022-06-24 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Cutoff phenomena for random walks on random regular graphs
截断现象描述了一族遍历有限马氏链收敛到平衡点的急剧转变。许多自然家族的链被认为表现出切断，但建立这一事实往往是极具挑战性的。一类重要的链是$\G(n,d)$上的随机游动，$\G(n,d)$是$n$顶点上的随机$d$正则图。众所周知，几乎每一个这样的图$d\geq 3$是一个扩展，甚至本质上Ramanujan，这意味着混合时间的$O(\log n)$。根据Peres的猜想，对于这样的$d$，在$\G(n,d)$上的简单随机游走应该以高概率表现出截止。作为其特例，Durrett证明了随机3-正则图上的惰性随机游动的混合时间为w. h. p. $(6+o(1))\log_2 n$ .在这项工作中，我们证实了上述的结构，并建立截断的全变差，它的位置和它的最佳窗口，无论是简单的和非回溯随机游动$\G(n,d)$。也就是说，对于任何固定的$d\geq3$，$\G(n,d)$ w. h. p.上的简单随机游走在窗口顺序为$\sqrt{\log n}$的$\frac{d}{d-2}\log_{d-1} n$处截止。令人惊讶的是，$\G(n,d)$ w. h. p.上的非回溯随机游走已经在具有恒定窗口顺序的$\log_{d-1} n$处截止。我们进一步将这些结果推广到$\G(n,d)$，对于任何随$n$增长的$d=n^{o(1)}$（超过该值，混合时间为O（1）），我们在两个连续整数之一上建立混合时…
2009-11-05 math.CO math.PR
Explicit expanders with cutoff phenomena
截断现象描述了遍历有限马尔可夫链收敛到平衡点的急剧转变。特别感兴趣的是理解这种收敛的简单随机游动上的有界度扩展图。第一个例子的家庭的有界度图的随机游动展品切断全变差是最近才提供的，当作者表明这是一个典型的随机正则图。然而，没有一个例子是已知的显式（确定性）家庭的扩张与这种现象。在这里，我们构建了一个家庭的立方扩张的随机游动从最坏的情况下的初始位置表现出全变差截止。这种构造的变体给出了没有截止的三次扩张器，以及在任何指定时间点截止的三次图。
2010-03-18 math.CO math.PR
Oriented or signed Cayley graphs with all eigenvalues integer multiples of $\sqrtΔ$
本文刻画了所有特征值为某无平方因子整数平方根整数倍的有限阿贝尔群上的定向或符号凯莱图，此类图等价于连续量子游走具有周期性的图，并应用于均匀混合与完美态转移研究。
2024-05-23 math.CO
Turán problems for digraphs avoiding distinct walks of a given length with the same endpoints
设$n \ge 5$和$k\ge 4$为正整数。我们确定的最大尺寸的有向图的顺序n，避免不同的行走长度k相同的端点。我们还刻画了当$k \ge 5$ .
2016-08-22 math.CO
Random vicious walks and random matrices
锁步walker模型是离散时间的一维整数lattice walker模型。假设最初在非负偶数点上有无穷多个步行者。在每一个时间点，每个步行者都以相等的概率向左或向右移动。唯一的限制是，没有两个步行者可以同时占据同一地点。证明了在大时限内，最左行走者位移的某个条件概率与随机GOE矩阵适当标度的最大特征值的极限分布（GOE Tracy-Widom分布）是一致的.证明是基于路径配置和半标准的杨tableaux最近建立的Guttmann，Owczarek和Viennot之间的双射。统计半标准杨tableaux分析使用汉克尔行列式表达式的概率从工作的雨和作者。将Deift-Zhou最速下降法应用于黎曼-希尔伯特问题，得到了Hankel行列式关于相关正交多项式的渐近性.
2000-01-04 math.CO math.PR
Slow Fibonacci Walks
对于正整数$n$，研究了满足$a_{k+2}=a_{k+1}+a_k$递归性的起始对$a_1$和$a_2$通过{ \it Fibonacci walk}到达$n$的步数.最早由理查德·斯坦利提出的斐波那契慢走的问题是确定以$n$为终点的斐波那契慢走的最大步数$s(n)$。Stanley解释说，对于大多数$n$，有一个缓慢的斐波那契行走到达$n = a_s$，其属性是$a_{s+1}$是最接近$ϕn$的整数，其中$ϕ=(1+\sqrt{5})/2$。我们证明，这是真的，只有一个积极的部分$n$。通过给出一个特征定理，我们给出了起始对的选择和$s(n)$的确定的显式公式。我们还得出了一些密度的分布情况下和上的结果（即，那些$n$与$a_{s+1}=\lfloor ϕn\rfloor$或$\lceil ϕn \rceil$，分别），以及更一般的“矛盾”的情况下。
2019-03-19 math.CO math.NT
Grossberg-Karshon twisted cubes and hesitant jumping walk avoidance
设$G$是秩为$r$的复单缀半单代数群，$B$是Borel子群.令$\mathbf i \in [r]^n$是一个字，令$\mathbf \ell = (\ell_1,\dots,\ell_n)$是一个非负整数序列。Grossberg和Karshon介绍了一种与$\mathbf i$和$\mathbf \ell$相关的虚格多面体，称为扭曲立方体，其格点编码$B$ -表示的特征。更精确地说，扭曲立方体中的格点，根据一定的密度函数用符号计数，产生由$\mathbf i$和$\mathbf \ell$确定的广义Demazure模的特征。在最近的工作中，作者和原田精确地描述了Grossberg-Karshon扭曲立方体何时解扭，即，在整数序列$\mathbf \ell$来自$G$的权重$λ$的情况下，扭曲立方体是闭凸多面体。然而，并非每个整数序列$\mathbf \ell$都来自$G$的权重。本文利用$\mathbf i$和$\mathbf \ell$的组合学，研究了任意词$\mathbf i$和任意整数序列$\mathbf \ell$对应的Grossberg-Karshon扭立方体的无扭性.事实上，我们证明了Grossberg-Karshon扭曲立方体是untwisted正是当$\mathbf i$是犹豫-跳跃- $\mathbf \ell$ -步行避免。
2020-01-10 math.CO math.RT
Some Hecke Algebra Products and Corresponding Random Walks
令$\bm{i}=1+q+...+q^{i-1}$。对某些正整数序列$(r_1,...,r_l)$，我们证明了在对称群$\mathfrak{S}_n$的Hecke代数$\mathscr{H}_n(q)$中，乘积$(1+\bm{r_1}T_{r_1})... (1+\bm{r_l}T_{r_l})$关于标准基$\{T_w\}$有一个简单的显式展开.给出了解释的随机游动$\mathfrak{S}_n$。
2009-06-05 math.CO
Truncated Groebner fans and lattice ideals
我们概述了广义的Groebner风扇的齐次理想与最大细胞参数化截断Groebner基地。这个“截断的”Groebner扇通常比完整的Groebner扇小小于，并为截断的Groebner基之间的转换提供了自然框架。一般的Groebner行走通过使用在刻面上截断的Buchberger算法自然地推广到这种设置。我们专注于格理想的设置。这里，沿着通用行走的小面由唯一的（小面）二项式给出。这与二项式作为整数向量的表示一起给出了通用Groebner行走的特别简单的版本。计算经验与特殊的Aardal-Lenstra整数规划背包问题的报告。
2005-09-11 math.AC math.AG math.CO
Heat-bath random walks with Markov bases
研究了格点上的图，其边来自任意长度的允许移动的有限集。我们表明，这些图的纤维上的一个固定的整数矩阵的直径可以有界从上面的一个常数。然后，我们研究了这些图上的热浴随机游动的混合行为。我们还状态明确的条件下设置的移动，使热浴随机游动，推广的Glauber动力学，是一个扩展器在固定的尺寸。
2016-05-26 math.CO math.ST stat.TH
