Computing the endomorphism ring of an elliptic curve over a number field
本文提出确定性和概率性算法，可判断首一不可约多项式是否为希尔伯特类多项式、代数整数是否为CM椭圆曲线的j不变量，还能计算数域上椭圆曲线的自同态环，且实现简单、速度优于现有方法。
2023-12-15 math.NT
On the Correspondence between Supersingular Elliptic Curves and maximal quaternionic Orders
给出了计算超奇椭圆曲线自同态环的一个确定的显式算法。作为例子，我们计算了定义在特征p=29，.上的所有超奇椭圆曲线的自同态环，97.
2004-04-29 math.NT
Higher rank elliptic sieve via CM endomorphisms
University of Warwick（华威大学）；Warwick Mathematics Institute（华威数学研究所）
本文针对带复乘的椭圆曲线，将椭圆筛法应用于椭圆网，证明几乎所有非挠点倍点的y坐标不属于阿贝尔扩张的范数群，拓展了椭圆筛法的应用场景。
2026-10-14 math.NT
Functional graphs of rational maps induced by endomorphisms of ordinary elliptic curves over finite fields
本文研究了有限域上正常椭圆曲线的自同态诱导的有理映射的动力学性质。
2017-09-14 math.DS math.NT
Trace of Frobenius endomorphism of an elliptic curve with complex multiplication
设E是一条椭圆曲线，它与R作复乘，其中R是虚二次域K的判别式D<-4的阶.若素数p在与R相关的环类域上完全分解，则E在K的素理想P上有好约化，且存在正整数u和v使得4p=u^2-Dv^2.众所周知，E的模P约简的弗罗贝纽斯自同态的迹a_P的平方等于u^2。在R的类数为2或3，D被3，4或5整除的情况下，我们确定a_P=u还是a_P=-u。本文是作者预印本DMIS-RR-02- 5，2002的修订版。
2004-01-22 math.NT
On the construction of irreducible polynomials over finite fields via prime degree endomorphisms of elliptic curves
本文利用正常椭圆曲线的奇素数阶自同态所诱导的变换的反复应用，给出了有限域上不可约多项式的迭代构造.
2017-06-03 math.DS math.NT
Computing endomorphism rings of elliptic curves under the GRH
我们设计了一个概率算法来计算有限域上定义的正常椭圆曲线的自同态环，我们证明了在基域的大小上具有次指数运行时间，仅假设广义黎曼假设。此外，我们通过描述一个更快的同质性计算例程，提高了以前已知的，启发式，次指数方法的渐近复杂性。
2011-02-14 math.AG math.NT
On sign changes of cusp forms and the halting of an algorithm to construct a supersingular elliptic curve with a given endomorphism ring
Chevyrev和Galbraith最近设计了一种算法，该算法输入在一个素数和无穷远处分歧的四元数代数的一个最大阶，并构造一条超奇椭圆曲线，其自同态环正是这个极大序模。他们证明了他们的算法无论何时停止都是正确的，但没有证明它总是终止。然而，他们确实证明了该算法在一个合理的假设下会停止，他们认为这是真的。本文的目的是验证他们的猜想，并反过来证明他们的算法总是停止。更确切地说，Chevyrev和Galbraith研究了与两个极大序模的本原元的范数映射相关的θ级数。他们指出，如果这些θ级数中的一个“支配”另一个，即其中一个级数的$n$阶（傅立叶）系数总是大于或等于另一个级数的$n$阶系数，则极大序模实际上是相同的。我们证明了这一点。
2016-07-10 math.NT
Computing the endomorphism ring of an ordinary abelian surface over a finite field
给出了计算次指数有限域上普通阿贝尔曲面自同态环的一个新算法，推广了Bisson和Sutherland关于椭圆曲线的算法.该算法的正确性仅需要Biasse和Fieker算法在次指数时间内计算数域中阶的类群所需的启发式假设。因此，我们避免了多个启发式假设的等距图和极化类组，这是以前所需要的。算法的输出是自同态代数的极大全实子域中的理想，推广了椭圆曲线的情况。
2019-01-15 math.NT
A new approach in constructing isogenies of elliptic curves in characteristic three
本文针对椭圆曲线自同态显式构造难题，先在 Laurent 幂级数域中定义并刻画形式自同态，再将其与平面三次曲线的有理点子集联系起来，给出特征 3 下寻找全部形式可分自同态的方法。
2025-08-30 math.NT
The Q-curve construction for endomorphism-accelerated elliptic curves
我们给出了一个详细的说明使用$\mathbb{Q}$ -曲线约简构造椭圆曲线上的$\mathbb{F}\_{p^2}$与有效的可计算的自同态，它可以用来加速椭圆曲线为基础的密码系统中相同的方式Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）的自同态。像GLS（这是我们构造的退化情况）一样，我们提供了从更广泛的曲线范围中选择GLV的优势，从而在\(p\)固定以有效实现时找到安全的群阶。与GLS不同的是，我们还提供了构建扭曲安全曲线的可能性。构造了$\mathbb{F}\_{p^2}$上的几个单参数椭圆曲线族，并对每个$p \textgreater{} 3$配置了有效的自同态，给出了$\mathbb{F}\_{p^2}$上的扭安全曲线的例子，证明了有效的Mersenne素数$p = 2^{127}-1$ .
2015-03-24 cs.CR math.NT
The SEA algorithm for endomorphisms of supersingular elliptic curves
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）
针对超奇异椭圆曲线的自同态，提出一种推广的SEA算法，以O(n^4(log n)^2 + dLn^3)比特运算计算其迹，复杂度与SEA算法启发式复杂度匹配，且无需假设。
2026-06-15 math.NT
Sequences of irreducible polynomials over odd prime fields via elliptic curve endomorphisms, II
本文推广了我们以前关于奇特征有限域上不可约多项式的迭代构造的研究。特别是，我们展示了如何有可能迭代地构建不可约多项式通过两个家庭的变换，我们称之为$Q_k$和$\hat{Q}_k$ -变换，涉及到一定程度的两个椭圆曲线上的同源性，分裂乘$2$地图。
2015-03-30 math.DS math.NT
The Endomorphism Rings of Supersingular Elliptic Curves over $\mathbb{F}_p$ and the Binary Quadratic Forms
本文建立了 $\mathbb{F}_p$ 上超奇异椭圆曲线同构类与特定判别式的本原既约二元二次型间的一一对应，证明同源运算与二次型复合相容，并借此将 CSIDH 密码系统的安全性归约到显式计算该对应关系上。
2024-04-23 math.NT
Sequences of irreducible polynomials over odd prime fields via elliptic curve endomorphisms
本文给出并分析了奇素域上的不可约多项式的一种构造方法，对于奇素$p$和$k \in \mathbf{F}_p$的某些特定值，通过将任意正次多项式$n$变换为$\left(\frac{x}{k} \right)^n \cdot f(k(x+x^{-1}))$.
2014-05-10 math.DS math.NT
Endomorphism algebras of factors of certain hypergeometric Jacobians
对特征为零的域上某些超几何曲线的雅可比矩阵的因子的自同态代数进行了分类。除了少数例外情况，自同态代数要么是分圆域$E=\mathbb{Q}(ζ_q)$，要么是$E$的二次扩张，要么是$E\oplus E$。这个结果可以看作是$\mathbb{C}$上椭圆曲线自同态代数分类的著名结果的推广。
2013-04-23 math.NT
Computing endomorphism rings of abelian varieties of dimension two
推广了Sutherland和作者的椭圆曲线方法，设计了一个计算有限域上二维普通阿贝尔簇自同态环的次指数算法.虽然它的正确性和复杂性分析依赖于几个假设，我们报告的实际计算表明，它的表现非常好，可以很容易地处理以前棘手的情况。
2013-10-15 math.NT
Inseparable endomorphisms and rank-2 sublattices of the Gross lattice
Université de Toulon（土伦大学）；Aix Marseille Univ, UMR 7373 CNRS（艾克斯马赛大学）；University of Vermont（佛蒙特大学）
本文研究了超奇异椭圆曲线的不可分离内射与Gross晶格秩2子晶格之间的对应关系，证明迹为零时对应关系成立。
2026-02-05 math.NT
Constructing supersingular elliptic curves with a given endomorphism ring
设O是Q上四元数代数B_p在p和无穷远处分歧的一个极大序模.本文讨论的计算问题是：在F_p上构造一条超奇椭圆曲线E，使得End（E）= O。我们提出了一个算法，解决了这个问题，通过采取gcds的减少模p的希尔伯特类多项式。新的理论结果需要确定我们的算法的复杂性。我们的主要结果是，在一定条件下，O的秩为3的子格O^T上的序O可用O^T的三个连续极小点和另外两个短向量有效地刻画.当End（E）= O的椭圆曲线的j-不变量j（E）位于F_p中时，所需条件成立，然后我们可以证明在上述条件下，我们的算法以O（p^{1+ε}）的运行时间终止。作为进一步的应用，我们提出了一个算法，同时匹配所有的极大序模类型与其相关的j-不变量。该算法的运行时间为O（p^{2.5+ε}），比Cervino算法更有效.
2014-10-23 math.NT
Endomorphism rings of reductions of elliptic curves and abelian varieties
令$E$是在数域$K$上定义的没有CM的椭圆曲线。对于$K$的所有非阿基米德位$v$，存在$E$在$v$处的约化$E(v)$，该约化是在$v$处的剩余域$k(v)$上的椭圆曲线。具有普通$E(v)$的$v$的集合具有密度1（Serre）。对于这样的$v$，$E(v)$的自同态环$End(E(v))$是虚二次域中的阶。证明了对任意一对互质的正整数$N$和PDMATHAMT，存在无穷多个$N$的非阿基米德位置PDMATHAMO，使得$End(E(v))$的判别式$Δ(v)$可被$N$整除，且比率$Δ(v)/N$与$NM$互质.我们也讨论了类似的问题，约化的阿贝尔簇。本文的主题是启发了一个练习塞尔的“阿贝尔$\ell$ -进表示和椭圆曲线“和问题的Mijiang Papikian和Alina Cojocaru。
2016-03-06 math.AG math.NT
Arithmetic of split Kummer surfaces: Montgomery endomorphism of Edwards products
设$E$是椭圆曲线，$\mathcal{K}_1$是库默尔曲线$E/\{\pm1\}$，$E^2$是平方积，而$\mathcal{K}_2$是分裂的库默尔曲面$E^2/\{\pm1\}$。$E^2$上的加法律给出了一个大的自同态环，它诱导了$\mathcal{K}_2$的自同态.从$\mathcal{K}_1$标量乘法的实际应用出发，研究了$\mathcal{K}_2$的显式算法。
2016-01-14 math.NT
Irreducibility criteria for the preimages of a transverse variety under endomorphisms of products of elliptic curves
本文针对椭圆曲线乘积中横截子簇在对角自同态下的原像，给出了两种不可约性证明（算术与几何），并应用于多项式族不可约性、高度估计及本质极小值下界。
2024-09-19 math.AG math.NT
Finding Orientations of Supersingular Elliptic Curves and Quaternion Orders
本文研究了寻找超奇异椭圆曲线定向的困难度，证明判断曲线可定向性的预言机能为计算对应自同态提供非平凡信息，并提供了显式算法、复杂度分析及四元数代数中的嵌入算法与高效代码实现。
2023-08-22 math.NT
Endomorphism rings of supersingular elliptic curves over $\mathbb{F}_p$
设$p>3$是一个固定素数。对于具有$j$不变$j(E)\in \mathbb{F}_p\backslash\{0, 1728\}$的$\mathbb{F}_p$上的超奇异椭圆曲线$E$，已知Frobenius映射$π=((x,y)\mapsto (x^p, y^p))\in \mathrm{End}(E)$满足$π^2=-p$ . Ibukiyama的一个结果告诉我们，$\mathrm{End}(E)$是$\mathrm{End}(E)\otimes \mathbb{Q}$中的一个最大阶，它与一个满足$q\equiv 3 \bmod 8$的（最小）素数$q$相关联，而二次剩余$\bigl(\frac{p}{q}\bigr)=-1$根据$\frac{1+π}{2}\notin \mathrm{End}(E)$或$\frac{1+π}{2}\in \mathrm{End}(E)$ .令$q_j$表示具有$j=j(E)$的$E$的最小$q$。首先，我们确定了超奇异$\ell$ -等距图的顶点$[E]$的邻域，如果$\frac{1+π}{2}\notin \mathrm{End}(E)$和$p>q\ell^2$或$\frac{1+π}{2}\in \mathrm{End}(E)$和$p>4q\ell^2$ .特别是，在我们的假设下，我们表明，最多有两个顶点定义在$\mathbb{F}_p…
2019-07-29 math.NT
Endomorphism Rings of Supersingular Elliptic Curves and Ternary Quadratic Forms
本文研究了超奇异椭圆曲线的自同态环，提出一种通过求解有限域平方根，从 Eichler order 高效计算 $B_{p,\infty}$ 中极大阶的算法，并给出了核理想右阶的基。
2025-07-14 math.NT
Families of fast elliptic curves from Q-curves
我们构造了\(\FF_{p^2}\)上新的具有可有效计算的自同态的椭圆曲线族，它可以像Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）自同态一样用于加速基于椭圆曲线的密码系统.我们的结构是基于减少二次数域上的\(\QQ\) -curves-curves没有复乘，但与它们的伽罗瓦共轭模惰性素数同构。作为一般理论的第一个应用，我们构造，为每个\(p > 3\)，两个单参数家庭的椭圆曲线在\(\FF_{p^2}\)配备自同态，比加倍。像GLS（它是我们构造的退化情形）一样，我们提供了比GLV更大范围的曲线选择的优势，从而在\(p\)固定时找到安全的群序。与GLS不同的是，我们还提供了构建扭曲安全曲线的可能性。在我们的例子中，有素数阶曲线配备了快速自同态，几乎素数阶扭曲，在\(\FF_{p^2}\)为\(p = 2^{127}-1\)和\(p = 2^{255}-19\)。
2013-05-23 cs.CR math.NT
Complex Multiplication Tests for Elliptic Curves
本文研究了定义在给定数域上的椭圆曲线是否有复乘的问题。我们研究了两个多项式时间算法，一个随机的和其他确定性。随机化算法可以适于产生曲线的自同态环的判别式。
2004-09-26 math.NT
Hypergeometric functions over $\mathbb{F}_q$ and traces of Frobenius for elliptic curves
本文给出了某些椭圆曲线族的Frobenius自同态的迹与$\mathbb{F}_q$上的${_{2}}F_1$ -超几何函数的特殊值之间的显式关系，其中${_{2}}F_1$是$q \equiv 1 (\text{mod} 6)$和$q \equiv 1 (\text{mod} 4)$ .
2012-08-02 math.NT
The supersingular endomorphism ring problem given one endomorphism
本文在广义黎曼假设下，利用高维同源技术，将给定一个自同态的超奇异椭圆曲线自同态环计算复杂度降至经典时间约 disc(Z[α])^1/4 和量子亚指数时间，并证明 Primitivisation 问题及光滑理想作用可在多项式时间内解决。
2025-07-07 cs.CR math.NT
Formal Groups and Invariant Differentials of Elliptic Curves
本文给出了定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$的不变微分$ω_E$的一个幂级数展开式，其中$E$由某些Weierstrass方程族描述.此外，我们还引入了$E$的Frobenius自同态的迹所满足的几个同余关系.
2015-03-14 math.NT
Supersingular Elliptic Curves Without Inseparable Small Degree Endomorphisms
University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究将超奇异椭圆曲线的同源次数问题转化为二次型问题，利用Voronoi理论分析δ(p)的性质，得出大素数下δ(p)达上界的条件及几乎所有素数的δ(p)下界。
2026-09-04 cs.CR math.NT
On the Mertens Conjecture for Elliptic Curves over Finite Fields
我们介绍了一个类似的Mertens猜想的椭圆曲线上的有限域。利用Waterhouse的一个结果，我们根据有限域的大小和作用在曲线上的Frobenius自同态的迹对这个猜想成立的椭圆曲线的同构类进行了分类.
2013-01-11 math.NT
Galois theory of iterated endomorphisms
给定一个整体域$F$，$α\in A(F)$和一个素数$\ell$上的交换代数群$A$，$α$的所有原像在$[\ell]$的某个阶下的集合生成$F$的一个扩张，它包含所有的$\ell$ -幂扭点以及一个Kummer型扩张。我们分析了伽罗瓦群的这种扩展，并为几个类的$A$，我们给出了一个简单的表征时，伽罗瓦群是尽可能大的约束所施加的自同态环或Weil配对。该伽罗瓦群编码关于$F$的整数环中素数$\p$的密度的信息，使得$(α\bmod{\p})$的阶与$\ell$互质。我们计算这种密度在一般情况下的几个类的$A$，包括椭圆曲线和一维环面。例如，如果$F$是数域，$A/F$是具有满射2进表示的椭圆曲线，并且$α\in A(F)$具有$α\not\in 2A(F(A[4]))$，则具有奇数阶的（$α\bmod{\p}$）的$\mathfrak{p}$的密度是11/21。
2009-11-07 math.NT
Endomorphism algebras of geometrically split abelian surfaces over $\mathbb{Q}$
我们确定了定义在$\mathbb{Q}$上的几何可裂交换曲面的几何自同态代数的集合。特别是，我们发现这个集合的基数为92。分类的基本部分在于确定具有类群$\mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2$的二次虚域$M$的集合，对于该集合，存在定义在$\mathbb{Q}$上的阿贝尔曲面$A$，该曲面与具有CM的椭圆曲线的平方由$M$几何同构。我们首先研究了$A$的几何自同态的定义域与域$M$之间的相互作用。这将问题简化为$E$是Gross意义上的$\mathbb{Q}$曲线的情况。然后，我们可以通过采用Nakamura的方法来计算Gross $\mathbb{Q}$ -曲线的标量限制的自同态代数来结束我们的分析。
2023-03-14 math.NT
The supersingular Endomorphism Ring and One Endomorphism problems are equivalent
本文证明超奇异自同态环问题与单自同态问题在概率多项式时间归约下等价，并推导出哈希函数抗碰撞、协议可靠、任意同源计算等价及无条件O~(sqrt(p))算法等推论。
2023-10-16 cs.CR math.AG math.NT
Drinfeld-Stuhler modules
我们研究$\mathscr{D}$ -椭圆层的相关模，我们称之为Drinfeld-Stuhler模。证明了Drinfeld-Stuhler模及其自同态环的一些基本结果，并研究了具有大自同态代数的Drinfeld-Stuhler模的存在性和性质，这类模类似于CM模和超奇异Drinfeld模.最后，我们研究了Drinfeld-Stuhler模的模域。
2019-04-06 math.NT
The splitting of primes in division fields of elliptic curves
本文给出了椭圆曲线E的除域的Frobenius的整体描述，它严格类似于割圆的情形。然后，这被应用于确定素数p在这样的划分字段的子字段中的分裂。这些领域包括一大类不可解的五次扩展和我们的应用程序提供了一个算术对应克莱因的“解决方案”的五次方程使用椭圆函数。一个中心的作用是发挥判别环的自同态的椭圆曲线约化模p。
2001-03-24 math.NT
Gaussian Hypergeometric Evaluations of Traces of Frobenius for Elliptic Curves
给出了满足$j(E)\neq 0,1728$和$q\equiv 1 \pmod{12}$的椭圆曲线$E$在$\mathbb{F}_q$上的Frobenius自同态的迹用高斯超几何级数的特殊值表示的公式.本文利用Fuselier的单参数曲线族的工作中介绍的方法，将$E$的Frobenius迹表示为曲线的$j$ -不变量和判别式的函数，而不是曲线的一个参数，这是曲线更内在的特征。
2010-03-23 math.NT
Gross lattices of supersingular elliptic curves
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；University of Arizona（亚利桑那大学）；University of Auckland（奥克兰大学）；University of Alberta – Augustana Campus（阿尔伯塔大学奥古斯塔纳学院）；University of French Polynesia（法属波利尼西亚大学）；University of Vermont（佛蒙特大学）
本文研究了超奇异椭圆曲线的格的极小值，探讨了第三极小值D_3与曲线j不变量在有限域上的关系，以及当p≡3 mod 4时的更细致的环结构信息。
2026-05-19 math.NT
Efficiently computable endomorphisms for hyperelliptic curves
椭圆曲线有一个众所周知的和明确的理论，用于构造和应用自同态，可以应用于提高性能的标量乘法。最近的工作已经扩展这些技术的超椭圆雅可比，但一个障碍是缺乏明确的曲线模型，以及一个有效的可计算的自同态。在超椭圆曲线的情况下，有有限的例子，大多数方法集中在特殊的CM曲线或在一个小的字段上定义的曲线。在这篇文章中，我们描述了三个无限族的曲线，承认一个有效的可计算的自同态，并给出算法，其有效的应用。
2006-03-21 math.AG math.NT
Galois action on the $\bar\mathbb{Q}$-isogeny classes of abelian surfaces with quaternionic multiplication
数域上的阿贝尔簇称为L-阿贝尔簇，如果对于数域L的绝对伽罗瓦群的任何元素，共轭阿贝尔簇通过保持自同态环上伽罗瓦作用的同构与给定的阿贝尔簇同构。我们可以认为它们是定义在L上的阿贝尔簇的推广，其自同态也定义在L上。在一维情况下，定义在L上的椭圆曲线产生由其Tate模上的伽罗瓦作用提供的伽罗瓦表示。这种经典的伽罗瓦表示在过去的几十年里一直是数论研究的中心对象。此外，给定椭圆L-曲线，可以构造以前的伽罗瓦表示的投影模拟。在这项工作中，我们在二维情况下构建了类似的射影表示，即通过四元数乘法或假椭圆曲线附着到阿贝尔L曲面。此外，我们证明了这样的射影表示也描述了Galois作用的椭圆L-曲线的Isonite类，在经典的情况下，或阿贝尔L-曲面与四元数乘法，在一般情况下。
2014-04-10 math.NT
Square-free discriminants of Frobenius rings
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线。众所周知，$E_p$的自同态环，$E$模普通约化的素数$p$的约化，是由Frobenius元素$π_p$生成的二次虚域$Q(π_p)$的阶。当曲线有复数乘法（CM）时，这总是一个固定的字段，因为素数变化。然而，当曲线没有CM时，我们所知甚少，不仅关于阶，而且关于可能出现为改变素数的自同态代数的域。自同态环与Frobenius元的特征多项式的判别式$a_p^2-4p$的运算密切相关。在本文中，我们感兴趣的功能$π_{E,r,h}(x)$计数的素数$p$的数量$x$，使$a_p^2-4p$是无平方和在同余类$r$模$h$。本文给出了在有理数上定义的椭圆曲线上求平均时$π_{E,r,h}(x)$的精确渐近性，并讨论了这个结果与Lang-Trotter猜想以及与曲线模$p$有关的其它问题的关系.
2008-05-06 math.NT
On the properties of Northcott and Narkiewicz for elliptic curves
本文对定义在代数数上的椭圆曲线$E$和代数数的任意子域$F$，我们说$E$在$F$上具有Northcott性质，如果在$E$上至多有1/2个高度一致有界的$F$ -有理点，我们说$E$在$F$上具有性质（P），如果对于$E$上$F$ -有理点的任何无限子集$S$，对于$E$的$F$ -自同态$f$的$f(S) = S$意味着$f$是自同构.我们建立了这两个属性的一些标准，并提供了典型的例子。我们还证明了Northcott性质蕴涵性质（P）。
2022-03-27 math.NT
The CM class number one problem for curves of genus $2$
椭圆曲线的CM类数一问题要求求出所有定义在有理数上的具有非平凡自同态环的椭圆曲线。对于亏格2曲线，问题是确定定义在反射场上的亏格$2$的所有CM曲线。我们解决了这个问题，表明在Bouyer和Streng [LMS J. COMPUT.数学，18（1）：507{538，2015}已完成。
2018-06-13 math.NT
Algebraic relations over finite fields that preserve the endomorphism rings of CM $j$-invariants
本文刻画有限域上使几乎所有几何点坐标对应同构自同态环椭圆曲线 $j$-不变量的整仿射平面曲线，建立正特征版 André–Oort 型结果，并解决模支集问题。
2024-01-23 math.AG math.NT
Algebraic independence and difference equations over elliptic function fields
对于复平面上的格Λ，设K_Λ是Λ-椭圆函数的域.对于两个大于1的互素整数p（分别为q），考虑自同态p（分别为q）。K_Λ的K_Λ的K_Λ是通过乘以p（resp. q）在椭圆曲线\mathbb{C} /Λ上。我们证明，如果f（resp. g）是满足K_Λ上关于λ（分别为λ）的线性差分方程的复Laurent幂级数.（2）然后有一个二分法。或者，对于Λ的某个子格Λ'，f或g之一属于环K_{Λ'} [z，z^{-1}，n（z，n'）]，其中n（z，n '）是Weierstrass zeta函数，或者f和g在K_Λ上代数独立。这是一个椭圆模拟最近的定理Adamczewski，德雷福斯，Hardouin和Wibmer（在该领域的有理函数）。
2022-07-27 math.NT
A note on supersingular abelian varieties
本文证明了在不增加域扩张的条件下，任何超奇异阿贝尔簇都与超特殊阿贝尔簇同构。证明使用最小同源和伽罗瓦下降。然后我们构造了一个超特殊的阿贝尔簇，它不是直接定义在有限域上的。这否定地回答了作者的一个问题[J.Pure Appl.Alg.，[2013]关于志村曲线中出现的自同态代数。研究了任意域上超奇椭圆曲线的自同态代数。我们修正了作者论文[Math.Res.Let.，2010年]。
2017-06-10 math.NT
On discrepancy estimates for pseudorandom vectors constructed by the elliptic curve congruential generator
Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）
本文研究了由椭圆曲线同余生成器构造的伪随机向量的偏差估计问题，特别是在非平移情况下。研究得出了两个结果家族：首先，在由诱导一维线性同余生成器的相对最大周期条件（RMPC）特征的全余集 regime 中，证明了偏差 D、序列偏差 D_s 及在相应导出 RMPC 下的非重叠偏差 $\widetilde D_s$ 的上界为 $q^{1/2}/t$。其次，在一般子周期 regime 中，将 D、D_s 和 $\widetilde D_s$ 的上界减少到估计附着于一维线性同余生成器的可接受索引集的傅里叶 $\ell^1$ 质量，这隔离了进一步改进的算术瓶颈。
2026-05-20 math.NT
Fields generated by torsion points of elliptic curves
设K是数域，$\mathcal{E}$是定义在$K$上的椭圆曲线。令$m$为正整数。我们用$K(\mathcal{E}[m])$来表示通过将$\mathcal{E}$的$m$ -扭点的坐标添加到$K$而获得的数域。我们寻找$K(\mathcal{E}[m])$的生成器的小（有时是“最小”）集。对于$m=3$和$m=4$，我们描述了扩展$K(\mathcal{E}[m])/K$的显式生成元、度和伽罗瓦群.
2015-06-03 math.NT
Abelian varieties isogenous to a power of an elliptic curve over a Galois extension
给定一个椭圆曲线$E/k$和一个Galois扩张$k'/k$，我们构造了一个由自同态环${\rm End}(E_{k'})$上的无挠模到$k$上的交换簇的半线性${\rm Gal}(k'/k)$作用的正合函子，该交换簇是$k'$ -同构于$E$的幂.作为应用，我们证明了每个复乘的椭圆曲线在几何上与一个最大阶的复乘曲线在基域上同构。
2018-01-24 math.AG math.NT
Easy scalar decompositions for efficient scalar multiplication on elliptic curves and genus 2 Jacobians
基于标量分解的椭圆曲线标量乘法算法，包括Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）乘法，以及高维和高亏格的构造，其第一步是产生包含自同态特征值的整数格的短基.基向量越短，分解的标量系数越短，并且得到的标量乘法越快。通常情况下，特征值的知识允许我们写下一个长基，然后我们使用欧几里德算法，高斯约简，LLL，甚至更专门的算法来约简。在这项工作中，我们使用有关二次环的基本事实，立即写下一个简短的基础上的格的GLV，GLS，GLV+GLS，和Q-曲线结构的椭圆曲线，并为亏格2实乘结构。我们并不认为这代表了标量乘法中的一个重要优化，因为格约简步骤总是一个离线的预先计算-但它确实让我们更好地了解标量分解的结构。在任何情况下，使用现成的短基总是比计算新的短基更方便。
2013-10-19 cs.CR math.NT
The rank and generators of Kihara's elliptic curve with torsion $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ over $\mathbb{Q}(t)$
对于Kihara发现的$\mathbb{Q}(t)$上的椭圆曲线$E$，在挠群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$和秩$\geq 5$上，利用适当的内射特化，我们精确地确定了$E(\mathbb{Q}(t))$的秩和生成元.
2014-10-25 math.AG math.NT
On the Spectral theory of Isogeny Graphs and Quantum Sampling of Secure Supersingular Elliptic curves
University of Waterloo（滑铁卢大学）；McMaster University（麦克马斯特大学）
本文提出首个证明的量子多项式时间算法，用于高概率采样无内射环的奇异椭圆曲线，基于Booher等人的算法变种，在量子门复杂度上达到O(log^4 p)并基于广义黎曼假设达到O(log^13 p)，并提供安全的CGL哈希函数实例。
2026-09-23 math.NT quant-ph
Predicting the elliptic curve congruential generator
设$p$是素数，$\mathbf{E}$是定义在$p$元素的有限域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线。对于点$G\in\mathbf{E}(\mathbb{F}_p)$，椭圆曲线全等生成元（相对于第一坐标）是由关系$x_n=x(W_n)=x(W_{n-1}\oplus G)=x(nG\oplus W_0)$、$n=1,2,\dots$定义的序列$(x_n)$，其中$\oplus$表示$\mathbf{E}$中的群运算，并且$W_0$是初始点。在本文中，我们表明，如果一些连续元素的序列$(x_n)$是整数，那么可以计算在多项式时间的椭圆曲线同余生成器（其中曲线可能定义在有理数或剩余环），使所产生的序列是相同的$(x_n)$在显示部分。事实证明，在实践中，所有的秘密参数，从而整个序列$(x_n)$，可以计算从八个连续的元素，即使素数和椭圆曲线是私人的。
2016-09-12 cs.CR math.NT
