Improving the Estimates for a Sequence Involving Prime Numbers
Christian Axler
基于素数计数函数的新的显式估计，我们改进了目前已知的特殊序列$C_n = np_n - \sum_{k \leq n}p_k$，$n \geq 1$，涉及素数的估计。
Based on new explicit estimates for the prime counting function, we improve the currently known estimates for the particular sequence $C_n = np_n - \sum_{k \leq n}p_k$, $n \geq 1$, involving the prime numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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An inequality involving primes and the product of primes
本文证明了一个涉及素数及连续素数乘积的不等式。
On a sequence involving the prime numbers
本文研究了一个包含素数的序列，得到了两个渐近公式，并找到了新的上界和下界，改进了现有的估计。
On an equation involving fractional powers with one prime and one almost prime variables
本文考虑方程$[p^{c}] + [m^{c}] = N$，其中$N$是一个充分大的整数，证明了如果$1 < c < \frac{29}{28}$，则它在一个素数$p$和一个至多含有$\left[ \frac{52}{29 - 28 c}\right] + 1 $素因子的几乎素数$m$中有解.
Combinatorial Identities Involving Mertens Function Through Relatively Prime Subsets
本文给出了涉及Mertens函数M（n）的几个恒等式.我们的证明是组合的互素子集作为一个主要工具。
Goldbach-Linnik type problems involving one prime, four prime cubes and powers of 2
研究Goldbach-Linnik型问题，证明任意一对充分大奇数均可由一个素数、四个素数立方及48个2的幂表示。
Ternary Goldbach's Problem Involving Primes of a Special Type
设$η$是二次无理性。本文解决了一个含有素数的三元Goldbach问题的变形，其中$a$和$b$是区间$(0,1)$中的任意数，且满足$a<\{ηp\}<b$.
Hua Loo Keng's Problem Involving Primes of a Special Type
设$η$是二次无理性。本文解决了Hua Loo Keng问题的一个变形，它涉及素数使得$a<\{ηp^2\}<b$，其中$a$和$b$是区间$(0,1)$中的任意实数.
On a problem of Erdős involving the largest prime factor of $n$
给出了使$n \le x$不整除$P(n)!$的数的渐近公式，其中P（n）是$n$的最大素因子.
On a recursively defined sequence involving the prime counting function
证明了由$a_n=π(n)-π\bigl(\textstyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k\bigr).$定义的序列$\{a_n\}_{n\ge1}$的一些性质
On a sum involving the prime counting function $π(x)$
导出了$π(n)$倒数和的一个精确渐近公式，其中$π(x)$是不超过$x$的素数个数.这个结果改进了De Koninck-Ivić和L.帕奈托波尔
A logarithmic inequality involving prime numbers
假设$N$是一个足够大的正数。本文证明了对于小常数$\varepsilon>0$，对数不等式\begin{equation*} \big|p_1\log p_1+p_2\log p_2+p_3\log p_3-N\big|<\varepsilon \end{equation*}在素数$p_1,\,p_2,\,p_3$中有解.
On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数（计数重数）。我们证明了$\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$，如果$3\nmid N$，那么$\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$。
On an equation involving fractional powers with prime numbers of a special type
我们考虑方程$[p_{1}^{c}] + [p_{2}^{c}] + [p_{3}^{c}] = N$，其中$N$是一个足够大的整数，并证明，如果$1 < c < \frac{17}{16}$，那么它有一个解决方案，在素数$p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$，使每一个数字$p_{1} + 2$，$p_{2} + 2$，$p_{3} + 2$有最多$\left [ \frac{95}{17 - 16c} \right ]$素因子，与重计数。
On a Diophantine inequality involving a prime and an almost-prime
证明了当$r=3,$、$τ=\frac1{118}$和$λ_0$为任意实数时，$$ |λ_0+λ_1p+λ_2P_r|<p^{-τ}, $$有无穷多个解，且$λ_1,λ_2\in\BR$、$λ_2\neq0$和$0>\frac{λ_1}{λ_2}$不在$\mathbb{Q}$中.这改进了Harman的一个结果。此外，我们还证明了对于某个正整数$n$，可以要求素数$p$的形式为$\floor{n^c}$，即$p$是Piatetski-Shapiro素数，$r=13$和$τ=ρ(c),$是由$\left(1, 1+\frac1{149}\right].$中支持的$c$显式确定的常数
On an additive problem involving fractional powers with one prime and an almost prime variables
本文研究分数次幂整数部分的二元加法表示，证明在指数范围内充分大整数可表为素数与素因子个数有界的殆素数之和，并改进已有结果。
General Solution of the Diophantine equation involving Mersenne Prime
该研究针对含梅森素数的指数丢番图方程$M_p^{x} + (M_q + 1)^{y}= (lz)^2$展开求解，给出了方程的解的相关示例与无解的情形，丰富了梅森素数相关丢番图方程的研究成果。
Conjectures on representations involving primes
我们提出了100个新的表述涉及素数或相关的东西，这可能会感兴趣的数论和刺激进一步的研究。下面是五个典型的例子：（i）对于任何正整数$n$，存在$k\in\{0,\ldots,n\}$使得$n+k$和$n+k^2$都是素数。(ii)每个整数$n>1$都可以写为$x+y$和$x,y\in\{1,2,3,\ldots\}$，使得$x+ny$和$x^2+ny^2$都是素数。(iii)对于任何有理数$r>0$，都有不同的素数$q_1,\ldots,q_k$和$r=\sum_{j=1}^k1/(q_j-1)$。(iv)每个$n=4,5,\ldots$都可以写成$p+q$，其中$p$是素数，$p-1$和$p+1$都是实用的，而$q$要么是素数，要么是实用的。(v)任何正有理数都可以写为$m/n$，其中$m$和$n$是正整数，$p_m+p_n$是平方（或$π(m)π(n)$是正平方），$p_k$是第$k$个素数，$π(x)$是素数计数函数。
Improving Roth's theorem in the primes
设A是素数的子集。设δ_P（N）= \frac{|\{n\in A: n\leq N\}|}{|\{\text{$n$ prime}: n\leq N\}|}。证明了：若δ_P（N）\geq C \frac{\log \log \log N}{(\log \log N)^{1/3}} for N \geq N_0，其中C和N_0是绝对常数，则A \cap [1，N]包含一个非平凡的三项等差数列.这比B更好。Green的结果，它需要δ_P（N）\geq C' \sqrt{\frac{\log \log \log \log \log N}{\log \log \log \log N}} .
Sums of squares with restrictions involving primes
著名的拉格朗日四平方定理指出，任何整数$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$都可以写成四个平方的和。最近，Z W. Sun研究了$n$作为$x^2+y^2+z^2+w^2$的表示，其中包含整数变量$x,y,z,w$的某些线性限制。本文利用二次型理论，进一步研究了二次型的表示$n=x^2+y^2+z^2+w^2$（分别为，$n=x^2+y^2+z^2+2w^2$），具有涉及素数的某些线性限制。例如，我们得到如下结果：（i）每个正整数$n>1$都可以写成$x^2+y^2+z^2+2w^2$（$x,y,z,w\in\mathbb N$），其中$x+y$是素数. (ii)每个正整数都可以写为$x^2+y^2+z^2+2w^2$（$x,y,z,w\in\mathbb N$），其中$x+2y$是素数。(iii)令$k$为任意正整数，令$d\ge 2^{k-1}$为正奇数，且$4d^2+1$为素数。那么任何足够大的整数都可以写成$x^2+y^2+z^2+2w^2$ $(x,y,z,w\in\mathbb N)$，其中对于某个素数$p$有$x+2dy=p^k$。
Improving bounds on prime counting functions by partial verification of the Riemann hypothesis
使用最近的验证黎曼假设高度$3\cdot 10^{12}$，我们提供强有力的估计$π(x)$和其他总理计数函数有限范围的$x$。特别地，我们得到了$2657\leq x\leq 1.101\cdot 10^{26}$的$|π(x)-\text{li}(x)|<\sqrt{x}\log x/8π$。我们还提供了较弱的界限，适用于更广泛的$x$，并应用到拉马努金不等式。
On the Lehmer's problem involving Euler's totient function
欧拉函数$ φ(n) $对与$ n $互质的正整数进行计数，直到给定整数$ n$。我们解决了一个问题，由于Lehmer，没有合数$ n $，使$ φ(n)\mid n-1 $。我们还注意到，有无穷多个素数不是苏菲·热尔曼素数。
Some determinants involving quadratic residues modulo primes
该研究计算了若干模素数二次剩余相关的行列式，证明了一类含正切函数的矩阵行列式在特定素数和整数条件下的精确取值公式，并提出了后续研究的相关猜想。
Congruences involving alternating multiple harmonic sum
我们表明，对于任何素数素数$p\not=2$ $$\sum_{k=1}^{p-1} {(-1)^k\over k}{-{1\over 2} \choose k} \equiv -\sum_{k=1}^{(p-1)/2}{1\over k} \pmod{p^3}$$通过表达l.h.s.作为交替的多个谐波和的组合。
On certain sums involving the largest prime factor over integer sequences
本文研究了整数序列中最大素因子相关的求和问题，推导了两个求和的渐进行为。
A remark on the distribution of $\sqrt{p}$ modulo one involving primes of special type II
研究特殊类型素数模一的平方根分布问题，证明不等式有无穷多素数解，改进了已有结果。
On a sequence involving sums of primes
对于$n=1,2,3,\ldots$，令$S_n$为前$n$素数之和。我们主要证明了序列$a_n=\root n\of{S_n/n}\ (n=1,2,3,\ldots)$是严格减的，而且序列$a_{n+1}/a_n\ (n=10,11,\ldots)$是严格增的.我们还制定了类似的代数涉及孪生素数或分区的整数。
On improving a Schur-type theorem in shifted primes
我们表明，如果$N \geq \exp(\exp(\exp (k^{O(1)})))$，那么任何$k$着色的素数，小于$N$包含一个单色的解决方案，以$p_1 - p_2 = p_3 -1$。
Quantitative $l^p$-improving for discrete spherical averages along the primes
我们展示了定量（在半径方面）$l^p$ -改进估计的离散球平均沿素数。这些平均算子是由Anderson、Cook、Hughes和Kumchev定义的，是Stein球面平均的离散素变体。证明使用傅立叶乘数的精确分解。
Improving riemann prime counting
素数定理断言（在大$x$下）素数计数函数$π(x)$近似于对数积分$\mbox{li}(x)$。在中间范围内，黎曼素计数函数$\mbox{Ri}^{(N)}(x)=\sum_{n=1}^N \frac{μ(n)}{n}\mbox{Li}(x^{1/n})$偏离$π(x)$的渐近消失和$\sum_ρ\mbox{Ri}(x^ρ)$取决于黎曼zeta函数$ζ(s)$的临界零点$ρ$。我们找到了一个合适的$π(x)\approx \mbox{Ri}^{(3)}[ψ(x)]$ [与$\mbox{li}(x)$相比有三到四个新的精确数字]，通过使用切比雪夫函数$ψ(x)$的Von Mangoldt显式公式。另一个等效拟合使用带有变量$ψ(x)$的Gram公式。这样做，我们评估$π(x)$的范围$x=10^i$，$i=[1\cdots 50]$的帮助下，第一个$2\times 10^6$黎曼零点$ρ$。在此背景下，给出了一些与黎曼假设（RH）有关的评论。
On primes and practical numbers
如果$[1,n]$中的每个整数都可以表示为$n$的正因子的子集和，则数$n$是实用的。我们考虑的分布的实际数字，也转移素数，改进郭和Weingartner定理。此外，还证明了Margenstern的一个猜想，即所有大奇数都是一个素数与一个实际数之和.我们还考虑了一个类似的总理$k$ -元组猜想的实际数字，证明了“正确的”上界，并为对，改进的下界Melfi。
A Diophantine inequality involving different powers of primes of the form $[n^c]$
研究在素数形式[n^c]下，不同幂的素数满足的丢番图不等式，证明存在无限多个素数三元组满足特定不等式条件。
A Curious Congruence Involving Alternating Harmonic Sums
设$p$是素数，${\mathcal{P}_{p}}$是与$p$互素的正整数的集合.我们建立了以下有趣的同余式\[\sum\limits_{\begin{smallmatrix} i+j+k={{p}^{r}} i,j,k\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{{{(-1)}^{i}}}{ijk}}\equiv \frac{{{p}^{r-1}}}{2}{{B}_{p-3}}\, (\bmod \, {{p}^{r}}).\]
On a binary Diophantine inequality involving primes of a special type
本文研究了涉及特殊类型素数的丢番图不等式可解性问题，证明了二元与四元情形下，满足对应素因子个数上界条件的素数解的存在性，给出了素因子数的具体上界公式。
On Improving Roth's Theorem in the Primes
设$A\subset\left\{ 1,\dots,N\right\} $是一组不含非平凡等差数列的素数。假设$A$具有相对密度$α=|A|/π(N)$，其中$π(N)$表示集合$\left\{ 1,\dots,N\right\} $中素数的数量。通过修改Helfgott和De Roton的工作，我们改进了他们的界，并证明了$$α\ll\frac{\left(\log\log\log N\right)^{6}}{\log\log N}.$$
On a polynomial involving quadratic residues modulo primes
本文通过伽罗瓦理论研究多项式G_p(x)在单位根处的值，验证了某些猜想，特别是针对特定素数模数的根单位情况，给出了多项式值的表达式。
Congruences Involving Multiple Harmonic Sums and Finite Multiple Zeta Values
设$p$是素数，${\mathfrak P}_p$是与$p$互素的正整数的集合.最近，Wang和Cai证明了：对每一个正整数$r$和素数$p>2$ $$ \sum_{\substack{i+j+k=p^r\\ i,j,k\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{ijk} \equiv -2p^{r-1} B_{p-3} \pmod{p^r}, $$，其中$B_{p-3}$是$(p-3)$ -rd Bernoulli数.本文证明了下列类似结果：设$n=2$或$4$ .然后，对每一个正整数$r\ge n/2$和素数$p>4$ $$ \sum_{\substack{i_1+\cdots+i_n=p^r\\ i_1,\dots,i_n\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{i_1i_2\cdots i_n} \equiv -\frac{n!}{n+1} p^{r} B_{p-n-1} \pmod{p^{r+1}}. $$，利用整数关系检测工具PSLQ，我们证明了对大整数$n$的推广应该包含由Bernoulli数生成的有限重zeta值.
On a Double Series Representation of the Natural Logarithm, the Asymptotic Behavior of Hölder Means, and an Elementary Estimate for the Prime Counting Function
我们在数论中提出了许多新的结果，包括自然对数的二重级数公式和基于黎曼ζ函数的函数方程的Hölder平均的证明。我们找到了一个调和平均模拟切比雪夫不等式的主要计数函数涉及的欧拉-Mascheroni常数。此外，我们定义了一个函数的所有正整数的Hölder平均到一个给定的数字，并研究其渐近行为，发现两个不同的模式是由调和平均分开。此外，还讨论了该函数在零点处的性质，发现了一个涉及黎曼ζ函数的公式，并利用黎曼函数方程证明了该函数的连续性.受交替调和级数的启发，我们找到了自然对数的二重级数公式，从而得到了涉及黎曼ζ函数、二项式系数和多项式的恒等式。
Parity results concerning the generalized divisor function involving small prime factors of integers
针对含整数小素因子的广义除数函数相关和式$S_{-k}(x,y)$，结合多种方法推导其渐近行为，揭示$k+1$素性对结果的关键影响，完善相关理论研究。
On Ramanujan's prime counting inequality
本文给出了数$N_{\mathcal{R}}$的一个新的上界，它被定义为最小正整数，使得Ramanujan的一个涉及素数计数函数$π(x)$的不等式对每个$x \geq N_{\mathcal{R}}$成立.
The largest prime factor of $X^3+2$
改进Heath-Brown定理，证明了如果$X$足够大，则正比例的值$\{n^3+2:n\in (X,2X]\}$的素因子大于$X^{1+10^{-52}}$ .
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
New estimates for some integrals of functions defined over primes
本文对定义在素数上的某些算术函数的积分给出了新的估计。这里的主要重点是素数计数函数$π(x)$和切比雪夫$\vartheta$函数。其中一些估计依赖于黎曼ζ函数$ζ(s)$的非平凡零点的黎曼假设的正确性。
Prime Sums
研究了某些涉及素数和的图的性质。它们的结构在很大程度上与质数间隔的分布有关，也可以在Cramér的模型中粗略地看到。我们还讨论了高斯整数的推广。
The Mixed Second Moment of Quadratic Dirichlet $L$-functions with Prime Conductors
本文在函数域语境下，针对首一不可约多项式平均的情况，建立了含完备L函数二阶导数的混合二阶矩的渐近公式。
A congruence involving harmonic sums modulo $p^αq^β$
在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式：对于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} Z(p^{r})\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*}，其中$ Z(n)=\sum\limits_{i+j+k=n\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{n}}}\frac{1}{ijk}$和$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文得到了不同奇素数$p,~q$与正整数$α,~β$，\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 2(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*}的一个同余关系，以及\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 0\pmod{p^αq^β}. \end{equation*}成立的充要条件。最后，我们提出了一个猜想：对于$n>1$与奇素数幂$p^α||n$，$α\geq1$，\begin{eqnarray} \nonumber Z(n)\equiv \prod\limits_{q|n\atop{q\neq p}}(1-\frac{2}{q})(1-\frac{1}{q^{3}})(-…
A New Super Congruence Involving Multiple Harmonic Sums
令${\mathcal{P}_{n}}$表示与$n$互素的正整数的集合。令$B_{n}$为第$n$个伯努利数。对任意的素数$p\ge 5$和$r\ge 2$，我们证明了\begin{equation} \sum\limits_{\begin{smallmatrix} {{l}_{1}}+{{l}_{2}}+\cdots +{{l}_{5}}={{p}^{r}} {{l}_{1}},\cdots ,{{l}_{5}}\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{1}{{{l}_{1}}{{l}_{2}}{{l}_{3}}{{l}_{4}}{{l}_{5}}}}\equiv -\frac{5!}{6}{{B}_{p-5}}{{p}^{r-1}} \pmod{{{p}^{r}}}. \end{equation}这给出了Wang，Cai和Zhao发现的一族超同余的推广.
Binomial coefficients involving infinite powers of primes
设p是素数，n是正整数，设v（n）表示p在n中的指数，u（n）=n/p^{v（n）}表示n的单位部分.如果k是不能被p整除的正整数，我们证明了（-1）^{pke} u（（kp^e）！）当e趋于无穷大时，是一个定义良好的p-adic整数，我们称之为z_k。在此基础上，我们给出了当e趋于无穷大时binom（a p^e +c，b p^e +d）的p进极限的公式，我们称之为binom（a p^ \infty +c，b p^ \infty +d）.这里a、\ge、b是正整数，c和d是整数。
On a congruence involving harmonic series and Bernoulli numbers
在2003年，Zhao发现了一个涉及调和级数和Bernoulli数的奇怪的同余式：对于任何奇素数$p$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,p)=1\ı+j+k=p}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3} \pmod{p},$$其中$B_n$是第$n$个Bernoulli数。Wang和Cai在2014年推广了这个同余式，Cai，Shen和Jia在2017年分别用奇素数幂和两个奇素数幂的乘积替换了求和和模中的奇素数$p$。特别地，蔡、沈和贾提出了一个代数同余：对任意正整数$n$，有一个奇素因子$p$，使得$p^r \parallel n$，其中$r\ge 1$，$$\sum_{\substack{i,j,k\ge 1\\\gcd(ijk,n)=1\ı+j+k=n}}\frac{1}{ijk}\equiv -2B_{p-3}\cdot \frac{n}{p}\cdot \prod_{\substack{\text{prime $q\mid n$}\\q\ne p}}\left(1-\frac{2}{q}\right)\left(1-\frac{1}{q^3}\right) \pmod{p^r}.$$本文建立了他们猜想的如下推广：对于具有奇素数因子$p$的任何正整数$n$，使得$p^r \parallel n$，其中$r\g…
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
Integers divisible by a large shifted prime
令$N(x,y)$表示可被移位素数$p-1$整除的整数数$n\le x$，其中$p>y$、$p$为素数。改进McNew，Pollack和Pomerance最近的界限，我们建立了所有$x\ge 2y\ge 4$的$N(x,y)$的增长的确切顺序。
Two Combinatorial Geometric Problems Involving Modular Hyperbolas
当模为素数幂时，给出了模双曲线所张成的寻常线个数的一个下界。我们也给出了一个部分回答Shparlinski的问题。
A conditional result on exponential sums over primes in short intervals
本文在广义 Riemann 假设及 Dirichlet L 函数密度假设同时成立的条件下，给出短区间中素数指数和的一个条件性结果。
Are there arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes? II
我们表明，如果除了素数的一些其他序列（包括刘维尔函数和素数）有一个共同的分布水平超过0.7231，然后为任何正偶数$h$有任意长的等差数列的素数$p$，使$p+h$也是素数的进展的每个元素。在$h=2$的情况下，这意味着，在关于素数和其他序列在等差数列中的规则分布的一些似是而非的未经证明的假设下，我们在孪生素数序列中真的有任意长的等差数列。
3-tuples have at most 7 prime factors infinitely often
设$L_1$、$L_2$、$L_3$是没有固定素除子的整数线性函数.我们证明了存在无穷多个$n$，且乘积$L_1(n)L_2(n)L_3(n)$至多有7个素因子，改进了Porter的一个结果.我们通过基于Diamond-Halbert-Richert多维筛子的加权筛子来实现这一点。
Supercongruences involving Domb numbers and binary quadratic forms
本文证明了孙志宏关于Domb数截断和的两个最近证明的超同余（模$p^3$，其中$p$是大于$3$的素数）.我们的证明涉及一些成分，如涉及专门的伯努利多项式，调和数，二项式系数，超几何求和和变换的同余。
A binary additive equation involving fractional powers
研究了二元加法方程$[m^c] + [p^c] = n$的可解性，其中$m$是整数，$p$是素数，$c$是$1 < c < 3/2$范围内的固定实数.
Proceedings Paper for REU Project Involving Counting Eta-Quotients
已知$SL_2(Z)$上的所有模形式都可以表示为$η(z)$、$η(2z)$和$η(4z)$中的有理函数。通过使用Gordon、Hughes和Newman的定理，并计算消失的阶，我们可以计算给定水平的$η$ -导数。使用这个计数，知道有多少$η$ -变量是线性无关的，并使用维数公式，我们可以计算出$η$ -变量如何跨越更高的水平。本文主要讨论了$N=p$为素数的情形，并对非素数的指数进行了一些讨论。
Improving and Maximal Inequalities for Primes in Progressions
假设$ y < N$是整数，并且$ (b,y) =1$ .定义一个沿直径$ y$级数中素数的平均值，由整数$ (b,y)=1 $给出。\begin{align*} A_{N,y,b} := \frac{ϕ(y)}{N} \sum _{\substack{n <N\\n\equiv b\pmod{y}}} Λ(n) f(x-n) \end{align*}在上面，$Λ$是von Mangoldt函数，$ϕ$是totient函数。我们建立这些平均值的改进和极大不等式。这些界限在级数的选择上是一致的。例如，对于$ 1< r < \infty $，存在整数$N _{y, r}$，使得\begin{align*} \lVert \sup _{N>N _{y,r}} \lvert A_{N,y,b} f \rvert \rVert_{r}\ll \lVert f\rVert_{r}. \end{align*}隐含常数仅是$ r$的函数。级数的一致性在证明中加入了几个新的元素。
On the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number
在本文中，我们将研究的椭圆曲线的整数点的数目表示的问题，模一个素数p。我们提出了一种方法来表示一个指数和，其中涉及多项式的三次，在显式的非指数项。在这个过程中，我们提出了明确的公式计算的一些系列涉及黎曼ζ函数。
Almost primes and primes that are sums of two squares plus 1
该研究用向量筛框架（含半线性筛、线性筛）得出满足p-1为两平方和且p+2素因子个数有界的素数p≤x的下界。
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