Cantor series expansions of rational numbers
Symon Serbenyuk
本文综述了有理数可由Cantor级数表示的必要且充分条件，针对任意序列$(q_k)$给出了相应条件表述。
本综述致力于研究有理数可由Cantor级数表示的必要且充分条件。对于任意序列$(q_k)$的情形，给出了必要且充分条件的表述。
This survey is devoted to necessary and suffcient conditions for a rational number to be representable by a Cantor series. Necessary and suffcient conditions are formulated for the case of an arbitrary sequence $(q_k)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Modeling rational numbers by Cantor series
在本文中，建模某些有理数，这是表示在康托级数，进行了说明。证明了用康托级数表示有理数时（对于任意序列$(q_k)$）的数位关系的陈述。
The distribution of rational numbers on Cantor's middle thirds set
我们给出了一个启发式的康托的中间三分之一集的减少有理数，与一个固定的分母上的限制。我们还描述了广泛的数值计算支持这种启发式。
Rational numbers represented by sign-variable Cantor series
本文主要研究有理数的符号变量康托展开式表示。主要关注的是J. Galambos在[4]中给出的讨论之一。
Cantor series and rational numbers
本文研究了用康托级数表示有理数的方法。给出了任意序列$(q_k)$的有理数可用正Cantor级数表示的充要条件，并讨论了它的一些推论.这篇文章的结果是由这篇文章的作者在国际会议上代数致力于100周年的S。M. Chernikov（www.researchgate.net/publication/311415815，www.researchgate.net/publication/301849984）。一些报告也介绍了这项调查（报告链接：www.researchgate.net/publication/303736670、www.researchgate.net/publication/303720573等）。
$p$-adic fractal strings of arbitrary rational dimensions and Cantor strings
实数和$p$ -adic分形弦的复维数的局部理论描述了阿基米德和非阿基米德分形弦的几何、动力学和谱所固有的振荡。我们的目标是发展一个整体理论的复维数的adèlic分形弦，以揭示的振荡性质的adèlic分形弦和理解的黎曼假设的振动和共振的分形弦。本文给出了闭单位区间$[0,1]$上任意有理维数的自相似$p$-adic分形串的一个简单而自然的构造。此外，作为第一步的全球理论的复维数的adèlic分形字符串，我们构建了一个adèlic康托字符串的集合中的有限adèles $\mathbb{A}_0$作为一个无限的笛卡尔积的每一个$p$ -adic康托字符串，以及一个adèlic康托-史密斯字符串的环中的adèles $\mathbb{A}$作为一个笛卡儿积的一般康托字符串和adèlic康托字符串。
Construction of numbers with almost all convergents in a Cantor set
1984年，K.马勒问如何以及元素在康托中间第三集可以近似的有理数从该集，并由有理数以外的这一套。我们考虑更一般的缺失数字集$C$和构造数在$C$中任意很好地近似的有理数在$C$中，但不好地近似的有理数以外的$C$。更确切地说，我们构造它们，使得它们的几乎所有可转换性都位于$C$中。
On intrinsic and extrinsic rational approximation to Cantor sets
我们对K. Mahler在1984年提出了关于分形集的有理逼近的理论，分别用有理数在集内和集外逼近。其中一些结果是Broderick、Fishman和Reich以及Fishman和Simmons最近结果的自然延续和改进。一个关键的特点是，我们的许多新的结果适用于更一般的，多维分形集，只需要温和的假设迭代函数系统。此外，我们提供了一个非平凡的下界的距离的有理数$p/q$以外的康托中间第三集$C$的集合$C$，在分母$q$。进一步讨论了分形集上的有理数的模式。我们想强调其中的两个：第一，一个上界的数量的合理（代数）的数字在一个分形设置到一个给定的高度（和程度）的广泛类的分形集。其次，我们发现了“缺位”Cantor集合中有理点的分母结构的性质，推广了Nagy和Bloshchitsyn的结论。
Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part II
我们研究了非零有理乘法和有理加法如何影响$Q$ -Cantor级数展开式的正态性。特别地，我们证明了存在一个$Q$，使得满足$Q$ -正态分布但不满足$Q$ -正态分布的实数集，并且当它与有理数相乘和相加时仍具有这个性质的实数集具有全豪斯多夫维数.此外，我们给出了这样一个数字，这是明确的意义上，它是可计算的。
Unexpected distribution phenomenon resulting from Cantor series expansions
我们深入探讨了一些理论和统计性质的某些集合所产生的康托级数展开。作为我们的主要定理的直接结果，我们推出了许多新的结果，以及加强已知的。
On the Hausdorff dimension of some sets of numbers defined through the digits of their $Q$-Cantor series expansions
继P. Erdens和A. Rényi我们计算的豪斯多夫维数的数字集的数字就其$Q$ -康托级数展开满足各种统计性质。特别是，我们认为差集与各种概念的正常性和一组数字与规定的数字范围。
Normality preserving operations for Cantor series expansions and associated fractals part I
众所周知，有理乘法在基$b$中保持正规性。我们研究了$Q$ -Cantor级数展开式的相关保正态运算。特别是，我们表明，虽然整数乘法保持$Q$ -分布的正态性，它不能保持$Q$ -正常的一个特别强大的方式。我们还表明，$Q$ -分布的正态性是不保持非整数有理数乘法的零措施和充分的豪斯多夫维数。
Gaussian rational numbers in Cantor sets in the complex plane
本文研究了复平面上康托集的高斯有理数分布，证明当Hausdorff维数小于1时，此类数的分母素因子有限。
Mahler's question for intrinsic Diophantine approximation on triadic Cantor set: the divergence theory
本文考虑了三进康托尔集$\mathcal{K}$上的内在丢番图逼近，即用$\mathcal{K}$内的有理数逼近$\mathcal{K}$中的点，这是K.马勒利用$\mathcal{K}$中有理数的另一个高度函数，即由其周期3-adic展开式得到的分母，给出了这种变本征丢番图逼近的完备度量理论，从而得到了Mahler原问题的发散理论.
Construction of normal numbers with respect to the $Q$-Cantor series expansion for certain $Q$
A. Renyi \cite{Renyi}在$Q$ -Cantor级数的背景下给出了简单正规性的一个推广。同样，本文给出了$Q$ -Cantor级数正规性概念的一个推广定义.我们将证明一个定理，它允许我们将具有特殊性质的数字序列连接起来，以给出某个$Q$的$Q$ -正常数的数字。然后我们将使用这个定理来构造一个Q和一个$Q$ -正规的实数$x$。
Counting rationals and diophantine approximation in missing-digit Cantor sets
本文通过傅里叶ℓ^1维度方法，研究了缺失数字康托集中的有理数计数和丢番图逼近问题，并对多个猜想做出了进展。
A Cantor set type result in the field of formal Laurent series
我们证明了一个欣钦型定理的康托尔集的元素的逼近，作为一个子集的正式洛朗级数在$\mathbb{F}_3$，由有理函数的一个特定类型。进一步构造了具有任意给定无理性指数$\geq 2$的康托尔集中的元素.
An analogue of Solomyak's theorem for periodic Cantor real expansions in alternate bases
本文研究交替进制下单位区间上的康托尔实数展开，针对γ+1展开为周期的情形，计算了进制所对应的非平凡伽罗瓦共轭的范数界，从而将Solomyak关于经典beta展开的结果推广到交替进制框架。
Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion
固定整数序列$Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$，使所有$n$的$q_n$都大于或等于2。本文改进了J. Galambos和F. Schweiger证明了对于满足一定条件的序列$Q$，几乎所有（在勒贝格测度意义下）$[0,1)$中的实数相对于$Q$ -Cantor级数展开是$Q$ -正规的.我们还提供了渐近描述的数字块中的$Q$ -康托级数展开的一个典型的数字的出现次数。引入了强$Q$ -正规性的概念，它满足一个类似的典型性结果.这两个概念对于$b$ -元展开是等价的，但是对于康托级数展开，强正规性比正规性更强。为了证明这一点，我们提供了一个显式的结构序列$Q$和一个实数，是$Q$ -正常的，但不是强$Q$ -正常的。我们利用本文的结果证明了在序列$Q$上的一个较弱的条件下，A. \cite{Renyi}中的Rényi将在$[0,1)$中密集。
Approximating elements of the middle third Cantor set with dyadic rationals
设$C$是中间三分之一康托尔集，$μ$是限制于$C$的$\frac{\log 2}{\log 3}$维Hausdorff测度.本文研究了$C$中元素的并矢有理数逼近。我们的主要结果意味着，对于$μ$几乎每一个$x\in C$，我们有$$\#\left\{1\leq n\leq N:\left|x-\frac{p}{2^n}\right| \leq \frac{1}{n^{0.01}\cdot 2^{n}}\textrm{ for some }p\in\mathbb{N}\right\}\sim 2\sum_{n=1}^{N}n^{-0.01}.$$这改善后，最近的结果艾伦，周，和余，它给出了一个次对数改善平凡的近似率。
Intrinsic approximation for fractals defined by rational iterated function systems - Mahler's research suggestion
继K。Mahler关于Cantor三元集上内在逼近的进一步研究的建议，得到了有理迭代函数系极限集的一个Dirichlet型定理。我们进一步研究了这些近似函数在随机平移下的行为。我们连接的信息有关的分布在系统中编码的极限集的分布的理性的减少形式证明一个欣钦型定理。最后，利用S. Ramanujan，我们证明了一个定理，激发了一个猜想，关于分布的理性在减少形式的康托三元集。
On faithfulness and DP-transformations generated by arithmetic Cantor series expansions
本文研究了由算术康托系列展开生成的DP变换的信仰度条件及其在单位区间上的维数保持特性。
Non-periodicity of the sequence of the last nonzero digits of factorials and its applications to transcendence
该研究证明了任意大于2的整数基下阶乘最后非零数字序列非最终周期，将Adamczewski–Bugeaud准则推广到周期Cantor基展开，并据此证明满足条件的Cantor基展开实数为超越数。
Exact approximation order of real numbers in Cantor series expansions
研究Cantor级数展开中精确逼近阶的概念，定义并分析了由部分和精确ψ逼近的点集的度量性质。
Shrinking targets for non-autonomous dynamical systems corresponding to Cantor series expansions
给出了区间$[0,1)$上的非自治动力系统生成的一个非常一般的收缩目标格式的豪斯多夫维数的Bowen型闭公式，称为$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，对应于给定的Cantor级数展开方法.我们还研究了广泛的一类例子，利用我们的定理。特别是，我们提供了一个丢番图逼近解释我们的计划。
The Theory of Normality for Dynamically Generated Cantor Series Expansions
研究动态生成康托尔级数展开的正则性理论，发现其与基数g展开理论有相似之处，并提出热点定理。
Computing Expansions in Infinitely Many Cantor Real Bases via a Single Transducer
本文提出用单一转换器对无穷多个康托尔实数基计算固定实数的展开式，并在Pisot数假设下证明转换器仅访问有限部分，从而算法上可判定展开式的贪婪性与周期性。
Normality of different orders for Cantor series expansions
设$S \subseteq \mathbb{N}$具有这样的性质：对于每个$k \in S$，集合$(S - k) \cap \mathbb{N} \setminus S$具有渐近密度$0$。证明了存在一个基本序列$Q$，其中$Q$ -正规于$S$中的所有阶，但不正规于$S$中的所有阶的数集$Q$具有全Hausdorff维数.如果函数$k \mapsto 1_S(k)$是可计算的，则存在可计算的例子。例如，存在可计算基本序列$Q$，其中所有偶数阶正规而所有奇数阶不正规的数的集合具有全Hausdorff维数。这与$b$ -元展开式有很强的相似性，在$b$-元展开式中，任何对于$k$阶正规的实数也必须对于$1$和$k-1$之间的所有阶正规。此外，我们构造的所有数字都满足一个不寻常的条件，即沿着非平凡算术级数采样的块频率不会收敛到期望值。这也与$b$元展开的情况形成强烈对比，但更类似于连分数展开的情况。作为推论，当沿着任何非平凡算术级数采样时不正常的$Q$ -正常数的集合具有全Hausdorff维数。
Representation of real numbers by the alternating Cantor series
这篇文章专门讨论交替康托级数。本文证明了任何属于$[a_0-1;a_0]$的实数，其中$a_0=\sum^{\infty} _{k=1} {\frac{d_{2k}-1}{d_1d_2...d_{2k}}} $，至多有两个级数表示，且只有实数的可数子集中的数才有两个表示.研究了表示的几何、圆柱集和半圆柱的性质、最简单的度量问题。给出了该级数在分形理论中的一些应用以及正康托级数与交错康托级数的关系。研究了一个移位算子及其应用，不完全和集.给出了用交错康托级数表示有理数的充要条件。
Normal number constructions for Cantor series with slowly growing bases
令$Q=(q_n)_{n=1}^\infty$是具有$q_i\ge 2$的碱基序列。在$q_i$缓慢增长且满足某些附加弱条件的情况下，我们给出了一个数的构造，它的$Q$ -Cantor级数展开式是$Q$ -正态和$Q$ -分布正态的.此外，这种结构将导致一个可计算的数字，只要我们有一些额外的条件上的$Q$的可计算性，并从这个结构，我们可以提供可计算的数字结构与非典型的正常性质。
Rational Points in Translations of The Cantor Set
本文将Schleischitz关于Cantor集与有限进制有理数交集有限性的结论推广至任意有理缩放和实数平移的情形。
Cantor series expansions and packing dimension faithfulness
本文通过引入< >的概念和Billingsley维数的packing类似物，发展了packing测度和维数的一般理论<faithfulness of a packing family for $\dim_P$ calculation>.为此，我们研究等价的定义包装尺寸和证明定理，可以被认为是包装类似物的著名的比林斯利定理。本文的主要结果给出了由Cantor级数展开生成的圆柱族的填充维数忠实的充要条件。据我们所知，这是第一个已知的尖锐条件的包装维忠实一类包装家庭包含忠实和不忠实的。
Intrinsic Diophantine approximation by rationals of height with a bounded number of distinct prime factors
本文研究了由具有有限不同素因子数的有理数逼近的自相似集的Hausdorff维数，修正了前一版本中引理3.8的证明错误。
Hankel determinants of the Cantor sequence
本文给出了Cantor序列的Hankel行列式的递归方程，并证明了Hankel行列式作为二重序列是3-自动的.利用Hankel行列式证明了Cantor数即以Cantor序列为b元展开式的超越数的无理指数等于2.
Hausdorff Dimension of Cantor Series
1996年Y. Kifer得到了Cantor级数展开式中数字的频率所对应的点集的豪斯多夫维数的变分公式。在本说明中，我们提出了一个略有不同的方法来解决这个问题，使我们能够解决的变分问题的Kifer公式。
Metric Diophantine approximation on the middle-third Cantor set
设$μ\geq 2$为实数，$\Mcal(μ)$表示至少在$μ$阶上可由有理数逼近的实数集。80多年前，雅尼克和贝西科维奇分别建立了$\Mcal(μ)$的豪斯多夫维数等于$2/μ$。研究了区间$[0, 1]$上$\Mcal(μ)$与Ahlfors正则紧子集的交集的大小.特别地，我们提出了一个猜想的$\Mcal(μ)$维数的确切值与中间三分之一的康托尔集，并给出了支持这个猜想的几个结果。我们特别表明，猜想持有的自然概率模型，旨在模仿分布的有理数。我们的研究的核心在很大程度上依赖于尺寸估计有关的一组点躺在一个Ahlfors定期设置和近似在一个给定的速率由一个系统的随机点。
Number theoretic applications of a class of Cantor series fractal functions, II
众所周知，所有在基$b$中$k$阶正规的数也是小于$k$阶正规的数。另一个基本事实是，每个实数在基$b$中是正规的，当且仅当它在基$b^k$中对所有$k$都是简单正规的。这可以解释为，当且仅当所有数字块沿着每个无限等差数列以期望的相对频率出现时，一个数在基$b$中是正常的。我们重新解释这些定理的$Q$ -康托级数展开，并表明，他们不再是真的，在一个特别强的方式。本文的主要理论成果是将构造具有某些病态性质的正规数的问题归结为求解丢番图关系系统的问题。
Number theoretic applications of a class of Cantor series fractal functions,I
设$(P,Q) \in \mathbb{N}_2^{\mathbb{N}} \times \mathbb{N}_2^{\mathbb{N}}$和$x=E_0.E_1E_2\cdots$是$x \in \mathbb{R}$的$P$ -Cantor级数展开式.我们定义了$ψ_{P,Q}(x):=\sum_{n=1}^\infty \frac {\min(E_n,q_n-1)} {q_1 \cdots q_n}$。函数$ψ_{P,Q}$用于构造许多正常数的病态例子。这些结构是用来给$Q$ -正常，$Q$ -比正常，$Q$ -分布正常的号码和它们的两两相交的完全发散$Q$是无限的极限之间的包含关系。我们分析了Hölder连续性的$ψ_{P,Q}$限制到一些明智地选择分形。这使我们能够计算通过限制其康托级数展开定义的某些数集的Hausdorff维数。特别地，Y. Wang { \it等人}改进了\cite{WangWenXi}。分析了函数$ψ_{P,Q}$的性质。多重分形分析给出了一个大类的这些功能和连续性充分的特点。我们还研究了$ψ_{P,Q}$在有理和无理点、单调性和有界变差上的行为。对于不同类别的遍历移位不变的Borel概率措施$μ_1$和$μ_2$ $\mathbb{N}_2^{\mathbb{N}}$，我们研究这些属性$ψ_{P,Q}$满足$μ_1 \times μ_2$ -几乎…
Descriptive complexity in Cantor series
实数$x$关于基本序列$Q=(q_1,q_2,\dots)$的康托级数展开式，其中$q_i \geq 2$是$x=a_0 + \sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{q_1q_2\cdots q_i}$形式的表示，其中$0 \leq a_i<q_i$。这些推广了普通的基本$b$扩展，其中$q_i=b$。Ki和Linton证明了对于普通的基本$b$展开式，正规数的集合是一个$\boldsymbolΠ^0_3$ -完备集，建立了这个集合的精确复杂性。在康托级数的情况下，有三个自然的正态性概念：正态性，比率正态性和分布正态性（这些概念对于基本$b$展开是等价的）。我们证明了对于任何$Q$，分布正态数的集合$\mathscr{DN}(Q)$是$\boldsymbolΠ^0_3$ -完备的，如果$Q$是$1$ -发散的（即，$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{q_i}$发散）则正规数和比率正规数的集合$\mathscr{N}(Q)$和$\mathscr{RN}(Q)$是$\boldsymbolΠ^0_3$ -完全的。我们进一步证明，所有五个非平凡的差异，这些集是$D_2(\boldsymbolΠ^0_3)$ -完全的，如果$\lim_i q_i=\infty$和$Q$是$1$ -发散（平凡的情况下是$\mathscr{N}(Q)\setminus \ma…
Normal numbers in sparse Cantor sets
研究豪斯多夫维数为零的康托型集合中正规数，通过扩展施密特方法，证明独立非均匀分布伯努利数字诱导测度赋予奇基数下正规数全质量，并给出显式算法构造，支持相关猜想。
Rational points in Cantor sets in the complex plane
本文研究复平面上虚二次域中坎托集与有理点的交集问题，证明在特定条件下该交集为有限集，扩展了实线上相关结果。
Periodicity and pure periodicity in alternate base systems
该研究针对Cantor实数基记数系统中的交替基$B$展开，解答了相关公开问题，并探究了使小有理数具纯周期展开的基的条件。
Periodicity of p-adic Expansion of Rational Number
本文提出计算有理数p-adic展开系数的算法，并判定其展开是周期或最终周期。
Rational numbers with odd greedy expansion of fixed length
研究奇贪婪展开的有限性问题，找到了展开长度为2的既约分数、给定前缀长度为m的有理数及无穷族有理数。
On digit patterns in expansions of rational numbers with prime denominator
我们证明了，对于任何固定的$\varepsilon > 0$和几乎所有的素数$p$，任何分数$m/p$与$\gcd(m,p) = 1$的$g$ -ary展开包含几乎所有长度为$k < (5/24 - \varepsilon) \log_g p$的$g$ -ary串.这补充了J. Bourgain，S.科尼亚金和我。E. Shparlinski断言，对于几乎所有的素数，所有长度为$k < (41/504 -\varepsilon) \log_g p$的$g$元串都出现在$m/p$的$g$元展开式中.
Effective Erdős-Wintner theorems for digital expansions
在1972年德朗格观察类比的经典Erd \H奥斯-温特纳定理，$q$ -添加剂功能$f(n)$有一个分布函数，当且仅当两个系列$\sum f(d q^j)$，$\sum f(d q^j)^2$收敛。本文的目的是提供定量版本的这个定理以及推广到其他类型的数字扩展。除了$q$ -ary和康托的情况下，我们专注于Zeckendorf扩展是基于斐波那契序列，在那里我们提供了一个充分和必要条件存在的分布函数，即两个系列$\sum f(F_j)$，$\sum f(F_j)^2$收敛（以前只有一个充分条件是已知的）。
Digit expansions in rational and algebraic basis
本研究提出以高斯数域中模大于1的代数数为基的α-展开方法，推广了有理基数系统，证明其几乎处处唯一性，并结合p-进完备化与复平面平铺完成刻画。
Sparsity of curves and additive and multiplicative expansion of rational maps over finite fields
对于$p$元的有限域$\mathbb{F}_p$上的素数$p$和多项式$F(X,Y)$，我们给出了$$ F(x,y)=0, \quad x\in\mathcal{A}, \ y\in \mathcal{B}, $$的解的个数的上界，其中$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是很小的区间或子群.这些界可以被认为是正的特征类似的结果Besieri和皮拉（1989年）的稀疏曲线上的整点。作为应用，我们证明了由多个有理函数合成生成的序列中的不同连续元素不包含在任何短区间或小子群中。
Rational points in Cantor sets and spectral eigenvalue problem for self-similar spectral measures
本文证明了当 $\gcd(p,q)=1$ 时，有限 $p$ 进制有理数与 Cantor 集 $K(q,A)$ 的交集有限当且仅当该集维数小于 1，并据此为自相似谱测度构造了在 $[0,+\infty)$ 稠密的谱特征值类，其对应特征子空间均为无限维。
Counting rational points on hypersurfaces and higher order expansions
本文研究了整数n=F（x_1，...，x_s）的齐次形式。这是数论中的一个经典问题，圆方法已成功地应用于此问题，给出了这种表示数的渐近解，其中整数向量（x_1，.，x_s）被限制在边长为P的盒子中，其中P足够大。在Waring问题的特殊情况下，Vaughan和Wooley最近首次建立了相应渐近公式的高阶展开式。通过一种不同的和更一般的方法，我们得到了这个问题的一般形式F（x_1，...，x_s），并对出现的低阶项给出了解释。作为应用，我们得到了射影超曲面F（x_1，.，上有界反正则高的有理点个数的高阶展开式. x_s）=0的形式F在足够多的变量。
Rational approximation to values of G-functions, and their expansions in integer bases
在Andr{é}和Chudnovsky的工作的基础上，我们证明了关于任意具有有理Taylor系数的G-函数F在有理点a/b处的值用形式为n/（B $\times$ b^m）的分数逼近的一般结果，其中整数B是固定的.作为推论，我们证明了如果F不在Q（z）中，则对于任何$ε$ > 0，|F（a/b）-- n/b^m| $\ge$ 1/b^{m（1+ $ε$）}，条件是b和m相对于a、$ε$和F足够大。这使我们能够获得当b $\ge$ 2时F（a/b）的b元展开中模式重复的新结果。特别地，定义N（n）为F（a/b^s）从第n位开始的b元展开式中连续相等位数的个数，证明了lim sup N（n）/n $\le$ $ε$，只要整数s $\ge$ 1使得bs相对于a，$ε$和F足够大.这是一个步骤的猜想，这一限制应等于0时，F（a/b）是一个无理数。我们所有的结果都是有效的。
Equidistribution of divergent orbits and continued fraction expansion of rationals
在平面格空间的椭圆扩张中，我们建立了某些局部有限代数测度的推进的等分布结果。作为我们分析的应用，我们得到了关于大部分高分母有理数的连分数展开式的渐近正态性的新结果以及关于它们的连分数展开式的长度的估计.通过类似的方法，我们还建立了Zaremba猜想的一个补充结果。也就是说，我们证明了给定一个有界M，对于任意大的q，p/q的连分数展开式的系数由M有界的有理数$p/q\in [0,1]$的个数是$o(q^{1-ε})$，对于某些依赖于M的$ε>0$。
On $q$-real and $q$-complex numbers
该研究证明了q-有理数[x]_q在特定q范围内收敛，建立了相关不等式与映射性质，还提出了q-复数的定义，拓展了q-数理论的相关结果。
Rational numbers with purely periodic $β$-expansion
我们研究实数$β$与好奇的性质，$β$ -扩展的所有足够小的正有理数是纯周期的。众所周知，这样的实数必须是皮索数，皮索数是它们生成的数域的单位。我们完成已知的结果，由于秋山的特点代数数的程度3，享受这一属性。这扩展了Schmidt、Hama和Imahashi在2度情形下的结果。令$γ(β)$表示$(0,1)$中实数$c$的上确界，使得所有小于$c$的正有理数都有纯周期$β$ -展开式。证明了对于一类含有最小Pisot数$η$的三次Pisot单位元，$γ(β)$是无理数.这一结果是由Akiyama和Scheicher的观察所激发的，即$γ(η)=0.666 666 666 086 ...$令人惊讶地接近2/3。
The difference between the Hurwitz continued fraction expansions of a complex number and its rational approximations
对于正则连分数，若实数$x$及其有理逼近$p/q$满足$|x-p/q|<1/q^2$，则在删除$p/q$的最后一个整数的部分行列式后，剩余的部分行列式序列是$x$的前缀.在本文中，我们表明，情况是完全不同的，如果我们考虑一个复数的Hurwitz连分数展开及其有理逼近。更具体地说，我们考虑的集合$E(ψ)$的复数，这是很好地近似与给定的绑定$ψ$，并有很大不同的Hurwitz连分数展开，从他们的有理逼近。确定了这类集合的Hausdorff维数和packing维数。证明了对于任何给定的逼近界$ψ$，它的填充维数总是满的，并且它的Hausdorff维数等于复数的$ψ$ -可逼近集$W(ψ)$的Hausdorff维数.作为结果，我们还得到了经典Jarnik定理在实际情况下的一个类似。
Beta-expansions of rational numbers in quadratic Pisot bases
研究了具有纯周期Rényi $β$ -展开的有理数.对于基$β$满足$β^2=aβ+b$且$b$除$a$，我们给出了$γ(β)=1$的一个充要条件，即，所有具有$\gcd(q,b)=1$的有理数$p/q\in[0,1)$都有纯周期的$β$ -展开式。本文给出了一个确定所有二次Pisot数$β$的$γ(β)$值的简单算法。
Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in $π^{-2}$ and into the formal enveloping series with rational coefficients only
本文给出了广义欧拉常数（Stieltjes常数）$γ_m$的两个新的级数展开式。第一个扩展涉及第一类斯特林数，包含多项式$π^{-2}$与合理的系数和收敛略优于欧拉级数$\sum n^{-2}$。第二种展开式是仅含有理系数的半收敛级数。这种展开特别简单，并且涉及具有广义调和数的非线性组合的伯努利数。它还允许得到一个有趣的估计广义欧拉常数，这是更准确的比几个众所周知的估计。最后，在附录A中，读者还可以找到第一类斯特林数的两个简单的积分定义，以及它们的上界。
Rational approximation with generalised $α$-Lüroth expansions
本文研究广义 $\alpha$-Lüroth 展开产生的有理逼近系数 $\theta_n$，给出其分布与期望均值，确定最优展开，并刻画期望均值取值集合的结构。
On digit frequencies in β-expansions
研究了[0，1]中数的β-展开式的位频集合DF（β）.证明了DF（β）是一个紧凸集，具有可数个随β连续变化的极值点;存在一个非平凡的闭区间的满测度集，在每个区间上DF（β）模锁定到一个有理顶点的常数多面体上;一般的数字频率集具有无穷多个极值点，这些极值点聚集在一个其分量有理独立的非有理极值点上.
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