Dynamics of Voter Models on Simple and Complex Networks
S. Redner
这是一个简短的教程回顾选民模型的动力学和复杂网络上的入侵过程。
This is a brief tutorial review of the dynamics of the voter model and the invasion process on complex networks.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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How a minority can win: Undemocratic outcomes in a simple model of voter turnout
选举的结果不仅取决于哪个候选人更受欢迎，还取决于有多少选民实际投票。在这里，我们考虑一个简单的模型，其中选民弃权投票，如果他们认为他们的投票无关紧要。具体地说，如果他们确信他们喜欢的候选人无论如何都会获胜（我们称之为自满），或者如果他们确信他们的候选人无论如何都会失败（我们称之为沮丧），他们就不会投票。选民基于对他们当地网络的短视评估做出这些决定，他们将其视为整个选民的代理人：选民知道他们的邻居更喜欢哪个候选人，他们假设-也许是错误的-这些邻居会投票，所以他们自己投票，当且仅当它会在当地社区产生平局或他们首选的候选人获胜时。我们探讨了各种网络结构和选民偏好的分布，并发现某些结构和参数制度有利于不民主的结果，其中一个少数派别获胜，特别是当当地首选的候选人是不代表选民作为一个整体。
Mapping the $q$-voter model: From a single chain to complex networks
我们提出并比较了六种不同的映射方式的修改后的$q$ -选民模型的复杂网络。考虑到正方形格子，巴拉巴西-阿尔伯特，瓦特-斯特罗加茨和真正的Twitter网络，我们问的问题，如果总是一个特定的选择组的影响，一个固定的大小$q$导致不同的行为在宏观层面上。使用蒙特卡罗模拟，我们表明，答案取决于网络的相对平均路径长度和现实生活中的拓扑结构之间的差异所考虑的映射可以忽略不计。
Adversarial attacks on voter model dynamics in complex networks
这项研究调查了在复杂网络中扭曲选民模型动态的对抗性攻击。具体而言，提出了一种简单的对抗性攻击方法，以使个人的意见状态更接近选民模型动态中的目标状态。这表明，即使一个意见是多数，投票结果也可以逆转（即，结果可以倾向于另一个意见）。对抗性攻击在复杂（大型和密集）网络中相对更有效。这些结果表明，观点动力学可以在不知不觉中被扭曲。
The charm of independent voters
本文研究了独立选民的灵活性如何影响极化选民中的意见形成，发现开放性参数的微小变化能显著改变政治竞争结构，解释了选举结果的振荡及不稳定中间派联盟的出现。
A generalized voter model on complex networks
我们研究了复杂网络上的选民模型的推广，重点是平均退出时间的缩放。以前的工作已经定义了一个最初选择的节点和一个随机选择的邻居，这使得它很难理清随机过程本身的影响相对于网络结构的投票模型。我们介绍了一个过程，有两个步骤，一个是选择一对相互作用的节点和一个确定的相互作用的方向作为两个节点的程度的函数和一个参数$α$，它设置的可能性较高的程度节点给出其状态。传统的投票者模型行为可以在模型中恢复。我们发现，在一个完全的二部网络，传统的选民模型是最快的过程。在幂律度分布的随机网络上，我们观察到两个区域。对于$α$的适度值，退出时间由系统状态的扩散漂移主导，但是随着高节点变得更有影响力，退出时间变得由挫折效应主导。对于某些选择过程，在指数混合后退出的地方会出现一个短暂的中间状态。
Markov Chain Aggregation for Simple Agent-Based Models on Symmetric Networks: The Voter Model
对于基于代理的模型，特别是选民模型（VM），开发了一个通用的聚合框架，它利用了代理网络$G$的对称性。根据加权代理网络的对称群$Aut_ω (N)$，代理配置的某些集合可以互换，而不影响VM的动态特性。这些配置可以聚合成相同的宏观状态和动态过程投影到这些状态，相反，一般情况下，仍然是一个马尔可夫链。该方法有利于微观过程之间的关系的分析和他们的聚合到宏观层面的描述和通知有关的复杂性系统引入的异构相互作用关系。在某些情况下，宏链是可解的。
Pair approximation for the q-voter model with independence on complex networks
本文研究了复杂网络上具有独立性随机噪声的q-选民模型。使用对近似，我们提供了一个全面的，数学描述其行为，并推导出临界点的公式。通过蒙特卡罗实验验证了分析结果。对近似预测表现出实质性的协议与模拟，特别是对网络的弱聚类和大的平均度。尽管如此，对于接近q的平均度，还是产生了一些差异。这是我们第一次意识到，所提出的方法已被应用到非线性选民动态噪声。到目前为止，分析结果只得到了一个完整的图。我们表明，在限制的情况下，对近似的预测与已知的解决方案完全连接的网络。
Opinion control in complex networks
在许多选举中，选民似乎是党派选民和独立选民的混合体。鉴于党派人士不太可能转变为另一个政党，一个政党的主要目标可能是在强有力的领导、大众媒体、党派人士和同侪影响力的帮助下动员独立选民支持该党。基于存在完全党派选民的经典选民模型动态的精确解（即，狂热者），我们提出了一种计算方法，以最大限度地提高党的份额在社会网络中的独立选民的牵制控制策略。对应于控制者或狂热者的政党在给定关于独立选民的连通性和对手政党控制的节点集合的信息的情况下优化要控制的节点。我们表明，控制枢纽通常是一个很好的策略，而优化的策略甚至更好。当独立选民是作为有向网络而非无向网络连接时，优化策略的优越性尤为突出。
Machine learning for the prediction of voter model opinions through complex network structures
从系统的结构特征推断动态过程的结果是网络科学的一项重要工作。最近的研究提出了一种基于机器学习的方法来解释复杂网络系统中出现的动态模式。本研究将假设应用于复杂网络的拓扑特征，以显示意见可以在投票模型中进行分类。首先使用来自投票者模型的2（0或1）个意见进行分析，然后扩展到来自同一模型的3个意见，然后是4个意见。提供了用于估计的关键网络拓扑特征的分解，并且以高精度按照重要性的顺序对网络度量进行排名。我们的推广方法适用于复杂网络上运行的动态过程。这项研究是机器学习方法应用于复杂网络系统的动态模式研究的一步。
Multiscale Voter Model on Real Networks
我们引入了多尺度选民模型（MVM）来调查多尺度上的宗族影响-家庭，邻里，政党...... --在真实复杂网络上的意见形成。由相似节点组成的宗族是使用网络嵌入的粗粒度过程构建的，这允许我们控制交互的长度尺度。我们进行了数值模拟，以监测真实和合成网络中MVM动态的演变，并确定了完全共识的最后阶段和混合二元意见之间的过渡。这种转变取决于氏族的规模及其影响力。我们发现，增强群体多样性促进共识，而强烈的亲属收益率相同的意见亚稳定集群。隔离域，信号的意见极化，是可辨别的空间模式中的双曲线嵌入的网络。我们的多尺度框架可以很容易地应用到其他动力学过程的规模和群体的影响。
Complex dynamics of a nonlinear voter model with contrarian agents
研究了一类具有聚集者和反向者的非线性意见形成模型的平均场动力学。每一个代理人假定两个可能的状态之一。聚集者模仿其他代理人的状态，其速率随着处于相反状态的其他代理人的数量而增加，如线性投票模型和非线性多数投票模型。在同一个状态下，随着其他代理人的数量增加，代理人会以一定的速度翻转状态。非线性控制多数表决的强度，并被用作一个主要的分歧参数。我们发现，该模型经历了丰富的分歧的情况下，包括平等主义的平衡，两个对称的不平衡的平衡，极限环，并共存的不同类型的稳定平衡与交织的吸引盆地。
Generalized voter-like models on heterogeneous networks
我们描述了一个概括的复杂网络，包括不同来源的度相关的异质性，这是适合于直接的分析解决方案，通过应用标准方法的异质平均场论的选民模型。我们的形式主义允许一个紧凑的描述以前提出的异构选民样模型，并代表一个基本框架内，我们可以合理化的选民样模型的异质性的影响，以及实现新的异质性来源，以前没有考虑在文献中。
Analytical and numerical study of the non-linear noisy voter model on complex networks
我们研究了嘈杂的选民模型，使用一个特定的非线性依赖率，考虑到个人之间的集体互动。该模型在全对全耦合配置下得到了精确解，在随机网络环境下得到了近似解。在所有对所有的设置，我们发现，非线性相互作用诱导“真正的”相变，相反的线性版本的模型，生存在热力学极限。复杂网络的主要作用是改变过渡线和修改有限大小依赖，这种修改可以通过引入有效系统大小来捕获，该有效系统大小随着网络的度异质性而减小。虽然一个非平凡的有限大小的依赖性的概率分布的时刻是来自我们的治疗，平均场指数，但在热力学极限。这些理论预测很好地证实了随机过程的数值模拟。
Machine learning-based prediction of Q-voter model in complex networks
本研究利用机器学习算法，基于网络拓扑度量预测复杂网络中Q-voter模型的共识时间与意见变化频率，发现聚类系数和信息中心性为关键预测因子，并揭示极化效应机制。
The noisy voter model on complex networks
我们提出了一种新的分析方法来研究复杂网络上的随机二态模型。超越通常的平均场论，这种替代方法是基于引入退火近似不相关的网络，允许处理网络结构的参数异质性。作为一个例子，我们研究了噪声选民模型，修改的原始选民模型，包括随机变化的状态。所提出的方法是能够展开的依赖模型不仅对平均度（平均场预测），但也对更复杂的平均度分布。特别是，我们发现，程度的异质性-方差的基础程度分布-有很强的影响噪声引起的，有限大小的过渡发生在模型中的临界点的位置上，在本地订购的系统，并在其时间相关性的函数形式。最后，我们展示了后一点如何打开的可能性，推断的程度异质性的底层网络，只观察系统的整体行为，一个感兴趣的问题，只有宏观的，人口水平的变量可以测量的系统。
Compartmental voter model
观点动力学中的许多模型关注单个选举单位内的时间动力学（例如，国家）。另一方面，经验观察往往是在多个选举单位（例如，投票站）在单个时间点（例如，选举）。这些观察结果的汇总虽然在许多应用中非常有用，但忽略了意见中潜在的异质性。为了解决这个问题，我们建立了一个简单的基于代理的模型，其中所有代理都有固定的意见，但能够改变他们的选举单位。我们证明，该模型是能够产生的秩大小分布与经验数据相一致。
Heterogenous mean-field analysis of a generalized voter-like model on networks
我们提出了一个广义的框架，研究复杂网络中的选民模型在异质平均场（HMF）水平，（i）产生一个统一的图片现有的复制/入侵过程，（ii）允许通过度选择性规则引入进一步的异质性。在HMF近似的背景下，我们的模型能够提供简单的估计，如退出概率和共识/固定时间，仅基于复杂网络的统计特性。HMF方法的优点是也容易适用于那些难以得到精确解的情况。最后，统一的形式主义，使人们能够理解以前提出的选民一样的过程作为简单的限制的广义模型。
Voter models with conserved dynamics
我们提出了一个修正的具有局部守恒磁化强度的投票模型，并通过数值模拟研究了它在二维空间中的相序动力学。对动力学施加局部约束具有加速相排序过程的惊人效果。该系统表现出的缩放制度，其特征在于代数域的增长，在与对数粗化的标准选民模型不一致。一个唯象的方法的基础上集群扩散和类似的Smoluchowski成熟正确预测所观察到的标度制度。我们的分析揭示了在没有热力学势的相序动力学意想不到的复杂性。
Averager-copier-voter models for hybrid opinion dynamics in complex networks
本文提出了一种混合意见动态模型，其中一些连续值代理通过平均邻居意见来更新自身意见，而其他离散值代理则使用随机复制和投票协议。通过对模型进行统计和图论分析，证明了当网络矩阵是遍历的时，达成共识是可能的，并且共识所需的时间在不同类型的代理分布和网络结构方面得到了表征。
Partisan voter model on complex networks: Dynamics of local ordering
研究复杂网络上党派选民模型的局部有序过程，通过配对近似分析无关联随机网络，并探讨偏好依赖网络中的同配/异配连接对稳态的影响。
Heterogeneous pair approximation for voter models on networks
对于在网络上演化的模型，通常有必要通过明确考虑平均量的度依赖性（非均匀平均场）来增强平均场方法。在这里，我们介绍了度依赖的对近似（异构对近似）分析不相关网络上的投票模型。这种方法给出了一个基本上准确的动态描述，纠正了以前的方法的一些不准确的结果。这里介绍的异质对近似可以完全通用于复杂网络上的许多其他过程。
Phase transitions in the q-voter model with noise on a duplex clique
我们研究了一个非线性q-选民模型与随机噪声，解释在社会背景下的独立性，在一个双工网络。为了研究多层次性的作用，我们提出了三种方法将模型从单通道网络转移到多通道网络。它们考虑到两个标准-一个与独立地位有关（独立与全球），一个与同侪压力有关（和与或）。为了研究在社会网络中存在多个级别的影响，我们对一个特别简单的多重-双工集团，它由两个完全重叠的完整图（集团）组成的模拟。数值求解速率方程，同时进行蒙特卡罗模拟，我们提供的证据表明，即使是一个简单的重新排列成一个双工拓扑结构可能会导致显着的变化所观察到的行为。然而，在相变的定性变化可以观察到只有一个所考虑的规则-与和。对于这个规则，当q=5时，相变变得不连续，而对于单重体，当q=6时观察到这种行为。有趣的是，只有这条规则允许构建模型的现实变体，与最近的社会实验一致。
Dynamical properties of the herding voter model with and without noise
在观点动力学的标准模型中，集体领导和羊群行为可能是人口内部时间尺度的强烈分离及其等级组织的相互作用。使用选民模型作为一个简单的意见形成模型，我们表明，在羊群阶段，一组代理成为有效的领导者的动态，而其余的人口盲目遵循他们的意见。有趣的是，在某些情况下，这种羊群效应加速了达成共识的时间，然后变得与规模无关，或者相反，使共识几乎不可能。这些新的行为有重要的后果时，外部噪声被添加到系统，使共识（吸收）状态消失。我们分析这个新的模型，它显示了一个有趣的相图，一个纯粹的扩散相，放牧（或两个状态）相，和混合相，这两种行为都是可能的。
Joint effect of ageing and multilayer structure prevents ordering in the voter model
投票者模型规则很简单，代理复制随机邻居的状态，但它们会导致非平凡的动态。除了意见过程，该模型也有催化和物种竞争的应用。受人类交互中发现的时间不均匀性的启发，可以在代理中引入老化：更新的概率随着自上次更改以来所经过的时间而降低。这种修改后的动态诱导的方法，通过粗化在复杂网络的共识。此外，多层网络在模型的动力学方面产生了深刻的变化。在这项工作中，我们研究了多层结构如何影响一个老化的选民模型的动态。该系统被研究作为一个功能的节点共享状态跨层（复用参数q）的分数。我们发现，系统的动力学遭受一个显着的变化在中间值q*。在它之上，投票者模型总是有序的吸收配置。而下面，一部分实现落入与自发对称性破缺相关的动力学陷阱，其中不同层中的大多数意见采取相反的符号，并且由于老化无限期地延迟到达吸收状态。
Aging in coevolving voter models
本文研究老化效应对共演化选民模型的影响，提出链接老化模型和节点老化模型，发现老化使相变点反向移动且可能消除吸收相变。
Voter model can accurately predict individual opinions in online populations
本文评估了带狂热者的多状态选民模型在Twitter数据集中捕捉个体意见的能力，发现模型平衡态分布与用户真实政治倾向高度一致，验证了该模型在用户层面的有效性。
Stochastic pair approximation treatment of the noisy voter model
我们提出了一个完整的随机描述的对近似方案研究异构网络上的二态动力学。在这个一般的方法，我们得到一组方程的动力学相关性，波动和有限尺寸的影响，以及所有相关变量的时间演化。我们测试这个方案的一个原型模型的观点动力学被称为嘈杂的选民模型，有一个有限大小的临界点。使用封闭方法的基础上系统的大小扩展随机动力学吸引子周围，我们得到非常准确的结果，与数值模拟相比，静态和时间相关的数量是否低于，在临界区域内或以上。我们还表明，在复杂网络中的有限大小的影响不能被捕获，因为经常建议，只是取代了实际的系统大小$N$由一个有效的网络相关的大小$N_{\rm eff}$
Beyond Individual Influence: The Role of Echo Chambers and Community Seeding in the Multilayer three state q-Voter Model
研究揭示多层三态q-投票模型中回音室与社区播种的影响机制，指出拓扑熵最大化优于局部集群强化，VoteRank在复杂传染中表现更优。
Voter Models on Heterogeneous Networks
我们研究了异构网络上的简单相互作用粒子系统，包括投票模型和入侵过程。这两种模型都是两状态模型，在更新事件中，个体改变状态以与邻居达成一致。对于选民模型，一个人从随机选择的邻居“导入”其状态。在这里，对于一个具有不相关度分布的N个节点的网络，达到共识的平均时间T_N为N mu_1^2/mu_2，其中mu_k是度分布的第k阶矩。因此，在具有广泛度分布的网络上，迅速达成共识。我们还确定了守恒定律，其特点是达成共识的路线。并行结果来自入侵过程中，代理的状态是“出口”到一个随机的邻居。我们进一步推广到偏置动力学，其中一个状态是有利的。位于k度节点的单个适应突变体覆盖种群的概率-固定概率-与投票者模型的k成正比，与入侵过程的1/k成正比。
Accurate mean-field equation for voter model dynamics on scale-free networks
本文提出改进的平均场近似方法，通过度加权份额和相关因子提升无标度网络上投票模型的动力学建模精度，减少近似误差。
Discord in the voter model for complex networks
本文提出一种精确计算方法，用于分析带或不带狂热者的多状态选民模型中任意智能体间不和谐概率的演化，适用于任意有向加权图，并揭示了聚类对极化网络中不和谐行为的影响。
A veritable zoology of successive phase transitions in the asymmetric $q$-voter model on multiplex networks
我们分析了一个非线性$q$ -选民模型与随机噪声，解释在社会背景下的独立性，在一个双工网络。大厅$q$的大小（即，压力群）是改变系统行为的关键参数。$q$ -表决器模型已被应用于多路复用网络在以前的工作[物理。92. 052812.（2015）]，并且已经表明，相变的特性取决于复用网络中的电平的数量以及$q$的值。在这里，我们研究的情况下，在网络的每一层上的大厅大小是不同的相变特性，导致两个参数$q_1$和$q_2$。我们发现连续的相变的证据时，一个连续的相变之后是一个不连续的一个或两个连续的不连续的阶段出现，这取决于参数。在分析这个系统时，我们甚至会遇到混合阶（或混杂）相变。我们进行模拟，并获得支持一个简单的多重情况下的解析解-一个双工团，它由两个完全重叠的完全图（团）。
Spontaneous Opinion Swings in the Voter Model with Latency
本文在标准voter模型中引入恒定延迟时间以刻画智能体对意见改变的抗拒，发现该修改使随机扩散行为转变为确定性动力学振荡，并通过数学公式与数值模拟揭示了振荡机制及模型相空间特征。
Stochastic Dynamics of the Multi-State Voter Model over a Network based on Interacting Cliques and Zealot Candidates
在一类由非重叠集团组成的复杂网络上研究了多状态选民模型的随机动力学，每个集团都有一个政治候选人，并通过Erdens-Rényi链路与其他成员相互作用.该模型的数值模拟解释的一个特设的平均场论，专门调整，以解决间/内集团的相互作用。在热力学极限的适当定义下（在增加网络大小的同时，代理的平均度保持固定），该模型被发现显示了由Alberto和Castellano发现的经验标度（Phys Rev Lett 99（13）：138701，2007），而选票分布大致类似于在巴西选举中观察到的。
Fitness voter model: damped oscillations and anomalous consensus
我们研究了完全图上的异质选民模型中的意见形成动力学，其中每个代理被赋予一个整数适应度参数$k \ge 0$，除了它的$+$或$-$意见状态。$k$ -值的分布的演化和意见动态耦合在一起，以便允许系统以简单的方式动态地开发异质性和内存。当两个不同意见的代理交互时，它们的$k$ -值进行比较，并且具有概率$p$的较低值代理采用具有较高值的代理的意见，而概率$1-p$则相反。获胜的代理然后将其$k$ --值加1。我们研究了整个$0 \le p \le 1$范围内的系统动力学，并与$p=1/2$的情况下，这对应于标准的选民模型进行比较。当$0 \le p < 1/2$时，系统以指数速度接近初始多数意见的共识状态。平均共识时间$τ$的增长与代理$N$的数量，它是大大减少相对于在选民模型中发现的线性行为$τ\sim N$。当$1/2 < p \le 1$时，系统最初会放松到一个观点均匀共存的状态，但最终会通过有限大小的波动达成共识。对于$1/2 < p < 0.8$，共存的方法是单调的，而对于$0.8 \le p \le 1$，在共存值附近存在阻尼振荡。最终的共存方法在两种状态下近似为幂律$t^{-b(p)}$，其中$b$随$p$增加。此外，$τ$增加了对投票者模型的尊重，尽管它仍然与$N$线性缩放。$p=1$的情况比较特殊，它具有一个扩展为$t^{-2.73}$的共存松弛和一个扩展为$τ\s…
On the exit probability of the one dimensional q-voter model. Analytical results and simulations for large networks
我们讨论了一维$q$ -选民模型的退出概率，并提出了工具，通过模拟在大型网络（周围$10^7$网站）和analyticaly在网络是无限大的限制，以获得这种概率的估计。我们认为，结果$E(ρ) = \frac{ρ^q}{ρ^q + (1-ρ)^q}$，这是发现在3个以前的作品（2008年EPL 82 18006和2008年EPL 82 18007，$q=2$和2011年PRE 84 031117，$q>2$）使用小网络（周围$10^3$网站），是一个很好的近似，但有明显的偏差较大的系统大小。我们还证明了，在一些简单而直观的假设下，退出概率必须服从不等式，$\frac{ρ^q}{ρ^q + (1-ρ)} \leq E(ρ) \leq \fracρ{ρ+ (1-ρ)^q}$，在无限大小的限制。我们相信这否定了（2011 EPL 95 48005）的建议，即这个结果将是有限大小效应，退出概率实际上是一个阶梯函数。我们还展示了如何的结果，即退出概率不能是一个阶梯函数，可以调和的Galam统一框架，这也是一个争议的来源。
Local and global ordering dynamics in multi-state voter models
我们调查的时间演化的密度的活动链接和代理商之间的意见在多状态的选民模型与所有到所有的相互作用和不相关的网络中的分布的熵。个别的实现经历了一系列的意见消除，直到达成共识。在每次消除之后，种群保持在亚稳定状态。在这些状态中，活跃链接的密度和熵随实现的不同而变化。做一些简单的假设，我们就能够解析地计算出活跃链接的平均密度和每个状态的平均熵。我们还表明，平均超过realisations，活跃链接的密度呈指数衰减，与时间尺度设置的大小和几何图形，但独立的初始数量的意见状态。平均熵的衰减只有在人口中最多只剩下两种意见的长时间内才是指数级的。最后，我们展示了如何亚稳态组成的只有一个子集的意见，可以人为地工程引入正是一个狂热者在每个流行的意见。
A multi-opinion evolving voter model with infinitely many phase transitions
我们考虑一个理想化的模型，在这个模型中，个人不断变化的意见和他们的社会网络共同进化，网络中邻居之间的分歧要么通过模仿对方的意见，要么通过重新分配不和谐的边缘来解决。具体地，$x$与其邻居$y$之一之间的交互导致$x$以概率$(1-α)$模仿$y$，否则（即，概率$α$）$x$切断其与$y$的联系，以便改为连接到随机选择的个体。基于以前的工作的两个意见的情况下，我们研究了多意见的情况下，发现该模型有无限多个相变。此外，当表示为$β= α/(1-α)$的函数时，描述这些过程的最终状态的公式非常简单。
Identifying a set of influential spreaders in complex networks
在复杂网络中识别一组有影响力的传播者对有效的信息传播起着至关重要的作用。一种简单的策略是根据影响力排名方法（例如PageRank、QuantiterRank和$k$ -壳分解）选择排名最高的$r$节点作为传播者。此外，还提出了爬山法、SPIN法、度折扣法和基于独立集的探试法。然而，这些方法存在这样的可能性，即一些传播器如此靠近，以至于它们重叠影响范围或耗时。在这份报告中，我们提出了一个简单而有效的迭代法命名为VoteRank，以确定一组分散的传播者的最佳传播能力。在该方法中，所有节点在每一轮中对一个扩展器进行投票，而被选出的扩展器的邻居节点的投票能力将在随后的轮中降低。在4个真实网络上的实验结果表明，在SIR模型下，VoteRank在传播速度和最终影响规模上均优于传统的基准方法.此外，VoteRank算法在计算时间上也优于其他群体传播者识别方法。
Ordering in voter models on networks: Exact reduction to a single-coordinate diffusion
我们研究了任意复杂网络结构上的选民模型和相关的随机复制过程。通过一个粒子反应过程的动态表示，我们表明，在一定条件下，在有限系统中的一个量测量的程度的顺序，正是由一个普遍的扩散方程。每当这种减少发生时，网络结构和随机复制过程的细节只影响扩散方程中的一个参数。还原的有效性可以用比人们预期的少得多的信息来建立：只需要知道一对反应粒子的动力学中的两个特征时间尺度就足够了。我们开发的方法来识别这些时间尺度，并将其应用到确定性和随机网络结构。我们特别关注度相关性对排序时间的影响，因为现有的理论方法很难获得这种影响。
Polyadic Opinion Formation: The Adaptive Voter Model on a Hypergraph
本文将自适应投票者模型扩展至超图以研究群体同侪压力对集体决策的影响，发现双相动态在不同意见传播机制下会分别导致网络碎片化或长期亚稳态。
Competition between group interactions and nonlinearity in voter dynamics on hypergraphs
针对超图上多元关系对社会动力学的影响，构建群体驱动选民模型（GVM），分析非线性与群体规模竞争，发现其共识达成速度更快且存在最优退出时间，揭示了该竞争对GVM动力学的塑造作用。
Voter-like dynamics with conflicting preferences on modular networks
本文研究含两个对立偏好群体的模块网络类选民模型，结合解析近似、模拟与真实网络检验，揭示模块结构对共识与极化的影响。
Voter models on weighted networks
我们研究了复杂网络基底上运行的选民和莫兰过程的动态，其中每个边缘都有一个权重取决于它所连接的节点的程度。对于每个基本的动态步骤，第一个节点是随机选择的，第二个节点是以与连接边的权重成比例的概率选择的。我们提出了一个异质平均场的方法，允许确定守恒律和计算退出概率以及共识时间。在特定情况下，当权重由节点的度的幂θ的乘积给出时，我们得到一个丰富的相图，共识时间表现出各种缩放律，取决于θ和度分布γ的指数。数值模拟给出了非常好的协议为小值的|theta|。一个额外的分析处理（异质对近似）提高了与数值的协议，但在大|theta|的极限行为的理论理解仍然是一个开放的挑战。
Scaling and universality in proportional elections
过去几年最有争议的话题是简单的统计物理模型是否可以解释社会动力学的集体特征。在这方面的努力中，一个必要的步骤是找到涉及大规模社会现象的数据，如规模和普遍性。我们表明，在比例选举中，候选人获得的选票数的分布是一个普遍的尺度函数，在不同的国家和年份相同。这一发现揭示了存在于投票过程中的一般微观动态，不依赖于选民操作的历史，政治和/或经济背景。选民行为的一个简单的动力学模型，类似于一个分支过程，再现了普适分布。
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