On O-Minimal Expansions of $(\mathbb{Q},<,+,0)$
Pablo Cubides Kovacsics, Françoise Delon
设$f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$是可定义在$(\mathbb{Q},<,+,0)$的o-极小展开式中的函数。我们证明了$f$最终是线性的。此外，我们还证明了这在每一个初等等价结构中都成立。
Let $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ be a function definable in an o-minimal expansion of $(\mathbb{Q},<,+,0)$. We show that $f$ is eventually linear. In addition, we show that this holds in every elementary equivalent structure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on o-minimal flows and the Ax--Lindemann--Weierstrass theorem for abelian varieties over $\mathbb{C}$
本文给出交换簇和半阿贝尔簇的Ax-Lindemann-Weierstrass定理的初等证明。证明使用的想法皮拉，Ullmo，Yafaev，Zannier和是基于基本性质的集合可定义的O-最小结构。它不使用皮拉-威尔基计数定理。
Dp-minimal expansions of $(\mathbb{Z},+)$ via dense pairs via Mordell-Lang
这是对$(\mathbb{Z},+)$的dp-极小展开的分类问题的贡献。设$S$是$(\mathbb{Z},+)$上的稠密循环群序.我们使用“密集对”的结果来构造$(\mathbb{Z},+,S)$的不可数的许多dp-极小展开式。这些构造是Mordell-Lang猜想的应用，并且是$(\mathbb{Z},+)$的“非模”dp-极小展开的第一个例子。我们将$(\mathbb{R},+,\times)$的o-最小展开$\mathcal{R}$、$\mathcal{R}$可定义的圆群$\mathbb{H}$和字符$\mathbb{Z} \to \mathbb{H}$与$(\mathbb{Z},+,S)$的“非模”dp-最小展开关联起来。我们还构造了$(\mathbb{Z},+,\mathrm{Val}_p)$的一个“非模”的dp-极小展开式，它由特征标$\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^\times_p$，$k \mapsto \mathrm{exp}(pk)$构成.
The Lefschetz coincidence theorem in o-minimal expansions of fields
本文利用域的o-极小奇异同调和上同调证明了域的o-极小展开式中的Lefschetz重合定理。
Characterizing o-minimal groups in tame expansions of o-minimal structures
我们为可在o-极小结构的温和展开中定义的群建立了第一个全局结果。设$\mathcal N$是O-极小结构$\mathcal M$的一个扩展，它允许一个好的维数论.该设置包括o-最小结构的稠密对，通过Mann群或椭圆曲线的子群或稠密独立集的$\mathcal M$的扩展。我们证明：（1）一个Weil群块定理，它保证了一个具有o-极小群块的可定义群是o-极小的，（2）一个充分刻画了那些具有最大维数的可定义群是o-极小的，即它们的维数等于它们的拓扑闭包的维数，（3）如果$\mathcal N$用一个稠密的独立集扩张$\mathcal M$，则每个可定义群都是o-极小的.
Expansion of a semi-bounded o-minimal structure by a geometric progression
本文研究在实数有序群的半有界 o-minimal 扩张中加入递增几何级数，并证明所得结构仍具有局部 o-minimal 性。
The Choice Property in tame expansions of o-minimal structures
我们建立的选择属性，一个弱类似的可定义的选择，为某些驯服的o-极小结构的扩展。最值得注意的是，实封闭的域的稠密对具有这种性质。
Grothendieck rings of o-minimal expansions of ordered abelian groups
通过引入有界欧拉示性数的概念，我们完全计算了序阿贝尔群的O-极小扩张的Grothendieck环在一阶逻辑意义下的性质.
Hamel Spaces and Distal Expansions
在本文中，我们构造了结构$(\mathbb{R}; +,<,H)$的一个远端展开，其中$H\subseteq \mathbb{R}$是$\mathbb{R}$的一个稠密的$\mathbb{Q}$ -向量空间基（一个所谓的Hamel基）。我们的构造也是稠密对$(\mathbb{R}; +,<,\mathbb{Q})$的扩展，并且在自然语言中具有完全的量词消除。
Dp-minimal expansions of discrete ordered abelian groups
若$\mathcal{Z}$是离散序阿贝尔群$(Z,<,+)$的dp-极小展开，且$\mathcal{Z}$不允许非平凡可定义凸子群，则$\mathcal{Z}$与$(Z,<,+)$可互定义，且$(Z,<,+)$初等等价于$(\mathbb{Z},<,+)$ .
A family of dp-minimal expansions of $(\mathbb{Z};+)$
我们表明，循环有序阿贝尔群扩展$(\mathbb{Z};+)$包含一个连续大小的家庭的dp-极小结构，使没有两个成员定义相同的子集的$\mathbb{Z}$。
Expansions of the real field by discrete subgroups of Gl$_n(\mathbb{C})$
设$Γ$是G1 $_n(\mathbb{C})$的一个无限离散子群.然后，对于某些$λ\in \mathbb{R}$，$(\mathbb{R}, <, +, \cdot, Γ)$与$(\mathbb{R}, <, +, \cdot, λ^\mathbb{Z})$可相互定义，或者$(\mathbb{R}, < , +, \cdot, Γ)$定义整数集。当$Γ$不是实质上的阿贝尔时，第二种情况成立。
Algebraic and o-minimal flows on complex and real tori
本文研究紧致复环面的覆叠映射$π:\mathbb{C}^n\to \mathbb{T}$。给定一个代数簇$X\subseteq \mathbb{C}^n$，我们刻画了$π(X)$在$\mathbb T$中的拓扑闭包.当$\mathbb{T}$是一个实环面，而$X\subseteq \mathbb{R}^n$是一个在实数上的o-极小结构中可定义的集合时，我们得到了类似的描述.
There is no maximal decidable expansion of the $\langle \mathbb{N} ,\{ < \} \rangle$ structure
我们将证明：如果结构$\mathcal M=\langle \mathbb{N}, Σ\rangle$的理论是可判定的，并且自然数$\mathbb{N}$上的标准阶$<$在$\mathcal M$中是可定义的，则存在$\mathcal M$的非平凡可判定展开
Stable groups and expansions of $(\mathbb{Z},+,0)$
证明了如果$G$是一个有限权的充分饱和稳定群，且不含无限指数的可定义子群链，则$G$是有限$U$秩的超稳定群.结合Palacin和Sklinos最近的工作，我们得出结论：$(\mathbb{Z},+,0)$不存在有限权的适当稳定展开式.这个结果的一个推论是，如果$P\subseteq\mathbb{Z}^n$在$(\mathbb{Z},+,0)$的有限dp秩展开式中是可定义的，并且$(\mathbb{Z},+,0,P)$是稳定的，则$P$在$(\mathbb{Z},+,0)$中是可定义的。特别是，这回答了一个问题的标记稳定的扩大组的整数集定义在Presburger算术。
Expansions of real closed fields which introduce no new smooth functions
证明了如下定理：设$\widetilde{\mathcal R}$是实域$\overline{\mathbb R}$的一个扩张，使得每个可定义集（I）是半代数集的一致可数并，（II）包含一个“半代数块”.则每个可定义的光滑函数$f:X\subseteq \mathbb R^n\to \mathbb R$都是半代数的.条件（I）和（II）对于实数域的各种d-最小展开$\widetilde{\mathcal R} = \langle \overline{\mathbb R}, P\rangle$成立，例如当$P=2^\mathbb Z$或$P\subseteq \mathbb R$是迭代序列时。将该定理推广到$\mathbb R_{an}$的d-极小展开$\widetilde{\mathcal R}$失败了。另一方面，我们证明了任意实封闭的域的展开式$\widetilde{\mathcal R}$的定理。此外，它的结论对某些具有d-极小开核的结构，如$\langle \overline{\mathbb R}, \mathbb R_{alg}, 2^\mathbb Z\rangle$也成立.
Expansions of the ordered additive group of real numbers by two discrete subgroups
如果$a$是二次的，则$(\mathbb{R},<,+,\mathbb{Z},\mathbb{Z} a)$的理论是可判定的。如果$a$是黄金比例，则$(\mathbb{R},<,+,\mathbb{Z},\mathbb{Z} a)$定义乘以$a$。利用基于$a$的连分数展开的Ostrowski计数系统定义一个后继的一元二阶逻辑中的上述结构，建立了这些结果.逆命题$(\mathbb{R},<,+,\mathbb{Z},\mathbb{Z} a)$定义了一个后继的一元二阶逻辑。
Multiplicative structure in stable expansions of the group of integers
定义了$(\mathbb{Z},+,0)$的两类一元谓词展开式，并证明了它们的理论是$U$ -秩$ω$的超稳定性.第一类由展开式$(\mathbb{Z},+,0,A)$组成，其中$A$是$\mathbb{N}$的一个非线性生成的乘法子幺半群的无限子集。利用这一结果，我们还证明了稳定的扩展$(\mathbb{Z},+,0)$的形式$\{q^n:n\in\mathbb{N}\}$为某些$q\in\mathbb{N}_{\geq 2}$的所有一元谓词。第二族由集合$A\subseteq\mathbb{N}$组成，其渐近地增长接近于$\mathbb{Q}$ -线性无关的递增序列$(λ_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb{R}^+$，使得$\{\frac{λ_n}{λ_m}:m\leq n\}$是封闭的和离散的。
On the Topology of Metric Spaces definable in o-minimal expansions of fields
研究了可定义在序域的o-极小扩张中的度量空间的拓扑。证明了一个可定义的度量空间要么包含一个无限可定义的离散集，要么与一个具有欧氏拓扑的可定义集可定义同胚。这意味着一个可分的度量空间，它是在实域的一个o-极小展开式中可定义的，是可定义的同胚到一个装备有它的欧几里德拓扑的可定义集。证明了在可定义度量空间中几乎每一点都有一个邻域与欧几里得空间的开可定义子集可定义同胚。
Towards Trans-Exponential O-minimal Expansion of $(\mathbb{R},+,\cdot, 0, 1 <)$
本文通过添加解析超越指数函数φ到$\mathbb{R}_{an,\exp}$，探讨其O-最小性，并将其归结为某些可定义函数系统存在
There exists a d-minimal expansion of the $\mathbb R$-vector space over $\mathbb R$ which defines every sequence
本文证明实数有序向量空间或有序群可由可数集与有限 Cantor-Bendixson 秩紧集扩张为 d-极小结构，并由此得到能定义所有序列的 d-极小扩张。
Automata and tame expansions of $(\mathbb{Z},+)$
问题的特点，自动集的整数是稳定的，在这里解决。给定一个正整数$d$和一个子集$A\subseteq \mathbb{Z}$，其表示基$d$的集合被一个有限自动机所识别，得到了$x+y\in A$是$\operatorname{Th}(\mathbb{Z},+,A)$中稳定公式的一个必要条件.结合Moosa和Scanlon的一个定理，给出了$d$的一个组合特征-自动$A\subseteq \mathbb{Z}$，使得$(\mathbb{Z},+,A)$是稳定的.这个特征是根据Moosa和Scanlon所称的“$F$ -集合”和Derksen所称的“初等$p$ -嵌套集合”。自动机理论的方法也被用来产生一些NIP扩展的$(\mathbb{Z},+)$，特别是扩展的幺半群$(d^\mathbb{N},\times )$。
On dp-minimal expansions of the integers
本文证明，若整数的dp-minimal扩张定义了自然数的无限子集，则其与带序结构的整数群相互可定义，此结论同样适用于不消除无穷存在量词的扩张。
The Hausdorff dimension of metric spaces definable in o-minimal expansions of the real field
设$R$是实域的O-极小展开。证明了$R$可定义度量空间的豪斯多夫维数是定义度量空间的参数的$R$可定义函数.我们还证明了$R$ -可定义度量空间的豪斯多夫维数是$R$的幂域的元素.证明使用一个基本的拓扑二分法可定义的度量空间由于第二作者，以及工作的第一作者和盐田测度论的nonarchimedean o-极小结构。
Defining new linear functions in tame expansions of the real ordered additive group
我们探讨任意有序群的\emph{semibounded}展开，即不定义整个宇宙的场的展开。我们介绍的概念，一个\emph{semibounded}扩展的任意有序组，从O-最小设置扩展通常的概念。对于半有界o-极小结构$\mathcal{R}=( \mathbb{R}, <, +, \ldots)$和满足一定驯服条件的集合$P\subseteq \mathbb{R}$，讨论了在什么条件下$(\mathcal R,P)$定义了\mathcal{R}中不可定义的全线性函数.定义新的全线性函数的这种结构的例子包括$\mathcal{R}$是$(\mathbb{R},<,+,\cdot_{\upharpoonright (0,1)^2},(x\mapsto λx)_{λ\in I\subseteq \mathbb{R}})$的约简，以及$P= 2^\mathbb{Z}$或$P$是迭代序列（对于任何$I$）或$P=\mathbb{Z}$，对于$I=\mathbb{Q}$的情况。
Orthogonality and domination in o-minimal expansions of ordered groups
本文分析了有序群o-极小扩张中不变类型的支配关系，证明支配偏序集分解为实闭域o-极小扩张与线性o-极小结构的偏序集直积，并利用短闭包预几何证明可定义类型支配等价于1-类型积，依全局域可定义性分为两类或四类。
Externally definable quotients and NIP expansions of the real ordered additive group
令$\mathcal{R}$是$(\mathbb{R},<,+)$的$\mathrm{NIP}$扩展，由$\mathbb{R}^n$的闭子集和连续函数$f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$构成。则$\mathcal{R}$是一般局部o-极小的.由此可见，如果$X \subseteq \mathbb{R}^n$在$\mathcal{R}$中是可定义的，则对于任何$k \geq 0$，$X$的$C^k$ -点在$X$中是稠密的。这是从一个更一般的定理$\mathrm{NIP}$扩展的局部紧群，这本身是从一个结果的可定义集的等价关系，这是外部可定义和$\bigwedge$ -可定义。我们还表明，$\mathcal{R}$是强依赖的当且仅当$\mathcal{R}$是O-最小或$(\mathbb{R},<,+,α\mathbb{Z})$ -最小的一些$α> 0$。
Connectedness in structures on the real numbers: o-minimality and undecidability
我们开始调查的结构上的集合的实数具有的属性，路径组件的可定义集是可定义的。$(\mathbb{R},<)$上的所有o \hspace{0pt}极小结构都具有性质，$(\mathbb{R},+,\cdot,\mathbb{N})$的所有展开也是如此。我们的主要分析几何的结果是，任何这样的扩展$(\mathbb{R},<,+)$的布尔组合的开放集（任何arities）要么是O \nobreakdash - \hspace{0pt}最小或定义同构的$(\mathbb N,+,\cdot\,)$。我们还表明，任何给定的扩展$(\mathbb{R}, <, +,\mathbb{N})$的子集的$\mathbb{N}^n$（$n$允许变化）的财产，当且仅当它定义所有的算术集。通过考虑连通分量或拟分量而不是路径分量，会产生变化。
Definable Tietze extension property in o-minimal expansion of ordered group
本文证明在有序群的o-极小扩张中，有界与无界区间存在可定义双射等价于可定义闭集上的连续函数具有可定义连续扩张，即Tietze扩张性质。
Expansions of the $p$-adic numbers that interprets the ring of integers
设$\widetilde{\mathbb{Q}_p}$是环语言中$p$ -进数的域。本文考虑由乘法子群$α^\mathbb{Z}$和$β^\mathbb{Z}$解释的两个谓词扩展的$\widetilde{\mathbb{Q}_p}$的理论，其中$α, β\in\mathbb{N}$是乘法独立的.我们表明，这种结构的理论解释皮亚诺算法，如果$α$和$β$有积极的$p$ -adic值。如果$α$或$β$的赋值为零，我们证明了$(\widetilde{\mathbb{Q}_p}, α^\mathbb{Z}, β^\mathbb{Z})$的理论不能解释Peano算术。在这种情况下，我们还证明了理论是可判定的当且仅当理论$(\widetilde{\mathbb{Q}_p}, α^\mathbb{Z}\cdot β^\mathbb{Z})$是可判定的。
Structure theorem for i-minimal expansions of the real additive ordered group
证明了：对于实加法群$\cal R$的一个O-极小扩张和一个维数为$0$的集合$P\subseteq \mathbb{R}$，使得$\langle\mathcal{R},P\rangle$是稀疏的，有可定义的选择，且每个可定义的集合都有内部或无处稠密，则对于每个可定义的集合$X$，存在一个可定义在\Cal R中的族$\{X_t:\; t\in A\}$和一个维数为$0$的集合$S\subseteq A$，使得$X=\bigcup_{t\in S}X_t$ .此外，在d-最小设置中，存在$X$到先前形式的集合的有限分解，使得对于每个$t\in S$，$X_t$在$\bigcup_{t\in S}X_t$中相对开放。
Coarse dimension and definable sets in expansions of the ordered real vector space
假设$E \subseteq \mathbb{R}$无处稠密。如果$(\mathbb{R},<,+,(x \mapsto λx)_{λ\in \mathbb{R} }, E)$不定义每个$\mathbb{R}^n$的每个有界Borel子集，则对于每个$s > 0$，对于足够大的$m \in \mathbb{N}$，我们有$$ | \{ k \in \mathbb{Z}, -m \leq k \leq m - 1 : [k,k+1] \cap E \neq \emptyset \} | < m^s $$。然后有一个$n \in \mathbb{N}$和一个线性$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，使得$T(E^n)$是稠密的。因此，如果$E$另外无处稠密，则$(\mathbb{R},<,+,0,(x \mapsto λx)_{λ\in \mathbb{R}}, E)$定义每个$\mathbb{R}^n$的每个有界Borel子集。
On differentiability in weakly o-minimal expansions of fields
本文证明弱o-极小域扩张中可定义函数泛型可微，导数取值为柯西完备化中的非赋值截断，并由此推出可定义域必同构于原域或其代数闭包。
The complexity of topological conjugacy of pointed Cantor minimal systems
本文从描述集合论的角度分析了点Cantor极小系统拓扑共轭的复杂性。证明了点Cantor极小系统上的拓扑共轭关系是Borel双可约的，其Borel等价关系是由$x Δ_{\mathbb{R}}^+ y \Leftrightarrow \{x_i:i \in \mathbb{N}\}=\{y_i:i \in \mathbb{N}\}$定义的$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$上的$Δ_{\mathbb{R}}^+$.证明了$Δ_{\mathbb{R}}^+$是Cantor极小系统拓扑共轭的Borel复杂性的一个下界.最后，我们解释我们的结果在适当有序的Bratteli图，并讨论了一些应用。
Non-expansion in polynomial automorphisms of $\mathbb{C}^2$
本文研究了 Aut(C^2) 作用于 C^2 情形下的高维 Elekes-Szabó 问题，探讨了多项式自同构中的非扩张性。
Expansions of the real field by canonical products
我们考虑实数域上的o-极小结构的展开，通过对与序列如$(-n^s)_{n>0}$（对于$s>0$）和$(-s^n)_{n>0}$（对于$s>1$）相关联的规范Weierstrass乘积的正实数线的限制的集合，以及通过相关函数如对数导数的展开.对于所得到的结构，已知只有三种可能的结果：（i）~ o-极小性;（ii）~ d-极小性（但不是o-极小性）;（iii）~ $\mathbb{Z}$的可定义性。
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