Complexity of Road Coloring with Prescribed Reset Words
根据路染色定理（Trahtman，2008），任何具有常数出度的非周期有向多重图的边都可以被染色，使得所得到的自动机允许重置字。还可能需要允许特定的复位字。对于某些词，判定一个给定的多重图是否存在合适的染色是NP-完全的。我们提出了一个分类的所有单词的二进制字母表，这些单词分开，使问题在多项式时间可解决的。我们表明，分类变得不同，如果我们只考虑强连通重图。在这种受限的环境中，分类仍然不完整。
2014-12-02 cs.FL
A Fast Algorithm Finding the Shortest Reset Words
本文提出了一种新的寻找有限同步自动机最小复位字的快速算法。这个问题在计算上是困难的，我们的算法是指数的。然而，它比迄今为止使用的算法更快，并且在实践中运行良好。其主要思想是使用双向BFS和基数（Patricia）尝试存储和比较结果子集。我们给出了理论和实践的参数表明，分支因子有效地减少。作为一个实际的测试，我们进行了实验研究的长度最短的复位字的随机自动机与$n$状态和2个输入字母。我们遵循Skvorsov和Tipikin，他们使用SAT求解器进行了这样的研究，并考虑自动机到$n=100$状态。与我们的算法，我们能够考虑更大的样本自动机高达$n=300$状态。特别是，我们得到了一个新的更精确的估计的最短复位字$\approx 2.5\sqrt{n-5}$的预期长度。
2014-12-12 cs.DS cs.FL
Algebraic synchronization criterion and computing reset words
我们改进了一个统一的代数方法推导上界同步自动机的复位阈值。用线性代数的方法给出了自动机同步的条件，并得到了小秩短字自动机的复位阈值的上界。研究结果被应用于该领域的几个改进。我们改进了有限前缀码（霍夫曼码）的复位阈值的最佳一般上界：我们表明，$n$状态同步解码器具有长度至多为$O(n \log^3 n)$的复位字。除此之外，我们证明了一个均匀随机同步二进制$n$状态解码器的期望复位阈值至多是$O(n \log n)$。我们还表明，对于任何非一元字母存在解码器的复位阈值是在$\varTheta(n)$。证明了一个字母秩至多为$\sqrt[3]{6n-6}$的$n$ -状态自动机的Černandt猜想.在另一个推论中，根据Nicaud最近的结果，我们证明了对于随机同步二进制自动机，Černandi猜想不成立的概率在状态数方面是指数小的，并且$n$状态随机同步二进制自动机的复位阈值的期望值至多是$n^{3/2+o(1)}$。此外，在我们所有的范围内的长度的复位字是可计算的多项式时间。我们提出了合适的算法，这一任务的各类自动机，如（准）一簇和（准）欧拉自动机，我们的结果可以应用。
2015-12-18 cs.FL
The Černý conjecture for small automata: experimental report
我们提出了一个报告，从一系列的实验，涉及计算最短的复位字的自动机具有少量的状态。我们确认，Čern猜想是真实的所有自动机与最多11个国家的2个字母。同时也得到了一些新的有趣的结果，包括最短复位字分布的第三间隙和新的慢同步自动机类。
2013-01-10 cs.FL
Complexity of checking whether two automata are synchronized by the same language
一个确定性的有限自动机被称为同步，如果它有一个复位字，即一个字，使自动机的所有状态到一个特定的。我们证明了这是一个PSPACE-完全问题，检查是否语言的重置字为一个给定的自动机与语言的重置字为某些特定的自动机。
2014-05-14 cs.FL
Length of the Shortest Word in the Intersection of Regular Languages
本文给出了一个构造，它为两个状态复杂度为m和n的正则语言的交集中的最短字的长度提供了一个紧下界mn-1。
2009-10-08 cs.FL
Synchronizing Automata with Extremal Properties
我们提出了几个类的同步自动机表现出一定的极值性质的同步。第一种是一系列的自动机，其子集的最短扩展字的长度为$\varTheta(n^2)$，其中$n$是自动机的状态数。这就否定了强连通同步自动机中的每个子集对某个常数$c$都是$cn$ -可扩的猜想，特别地，证明了最短复位字长度的立方上界一般不能通过扩张方法得到改进.详细的分析表明，该系列中的自动机具有子集，这些子集需要与$n^2/4+O(n)$一样长的字，以便至少扩展一个元素。我们还讨论了可能放宽的猜想，并提出了图像扩展猜想，这将导致最短的复位字的长度上的二次上界。在这方面，我们提出了另一类自动机，这原来是反例的一个关键要求，在最近的一次尝试，以提高平-弗兰克尔界重置字。最后，我们提出了两个新的三进制字母表上的慢不可约同步自动机系列，它们的最短复位字长分别为$n^2-3n+3$和$n^2-3n+2$。这些是第一个例子，这样的一系列自动机的字母大小大于两个。
2016-08-03 cs.FL
Synchronizing automata and the language of minimal reset words
我们研究了同步自动机和它的最小复位字集$M$之间的联系，即，使得没有适当的因子是复位字。我们首先表明，任何同步自动机具有一组最小的复位字，其一组因素不包含一个字的长度最多$\frac{1}{4}\min\{|u|: u\in I\}+\frac{1}{16}$有一个复位字的长度最多$(n-\frac{1}{2})^{2}$在最后一部分的文件中，我们专注于存在一个给定的理想$I$，作为一组复位字的同步自动机。为此，我们引入了（不一定是正规的）理想$I=Σ^{*}MΣ^{*}$的尾部结构的概念。有了这个工具，我们首先证明了存在一个无限强连接的同步自动机$\mathcal{A}$具有$I$作为一组复位字，使每一个其他强连接的同步自动机具有$I$作为一组复位字是一个同态图像的$\mathcal{A}$。最后，我们表明，对于任何非一元正规理想$I$有一个强连接的同步自动机有$I$作为一组复位字与最多$(km^{k})2^{km^{k}n}$状态，其中$k=|Σ|$，$m$是最短的字在$M$的长度，$n$是识别$M$（状态复杂度$M$）的最小自动机的尺寸。这个自动机是可计算的，我们展示了一个算法来计算它的时间$\mathcal{O}((k^{2}m^{k})2^{km^{k}n})$。
2017-08-16 cs.FL math.CO
A quadratic upper bound on the reset thresholds of synchronizing automata containing a transitive permutation group
针对Černý猜想相关的同步自动机重置阈值问题，本文证明含传递置换群且每字母作用像至少含n-1个状态的n状态同步确定型自动机，存在长度不超过2n²-7n+7的同步字，给出了这类自动机重置阈值的二次上界。
2024-07-11 cs.FL
Synchronizing Automata: Open Problems
Institute of Computer Science, University of Wroc aw, Wroc aw, Poland
本文围绕Černý猜想，综述同步自动机理论的开放问题，探讨相关方法、判定复杂度等内容并给出新辅助结果，丰富该领域研究进展。
2026-08-26 cs.FL
The Shortest Interesting Binary Words
本文指出长度为4和6的两个二进制词在字组合学众多问题中具有特殊地位，并通过其在数十篇论文中的出现论证它们是“最短的有趣二进制词”。
2025-02-05 cs.FL math.CO
Synchronizing Automata on Quasi Eulerian Digraph
在1964年，Černetzen证明了每个$n$状态同步自动机都有一个长度最多为$(n-1)^2$的复位字。另一方面，复位长度（复位字的最小长度）的最佳已知上限在$n$中是立方的。因此，这里的主要问题是证明二次（在$n$中）上界。自1964年以来，这个问题已经解决了\sa的几个特殊类。这个结果之一是由于卡里\cite{Ka03}自动机与欧拉有向图。在本文中，我们介绍了一种新的方法来证明二次上界，并解释它的马尔可夫链和Perron-Frobenius理论。使用这种方法，我们得到一个推广的欧拉自动机的二次上界。
2012-03-15 cs.FL
An Extremal Series of Eulerian Synchronizing Automata
我们提出了一个无限序列的$n$状态的欧拉自动机，其复位字的长度至少为$(n^2-3)/2$。这改进了当前欧拉自动机中最短复位字长度的下限。我们猜想，$(n^2-3)/2$也形成了这个类的上界，我们实验验证它的小自动机的穷举计算。
2016-08-03 cs.FL
Shortest Repetition-Free Words Accepted by Automata
我们考虑以下问题：假定$N$状态的有限自动机$M$接受至少一个无功率的$k$（分别为，最短的这个词的长度是多少？我们给出的上限和下限，不幸的是，是广泛分离。
2013-04-10 cs.DM cs.FL math.CO
DFAs and PFAs with Long Shortest Synchronizing Word Length
1964年，Černelo提出，$n$状态上的同步DFA总是有一个最短的同步字，其长度最多为$(n-1)^2$，他给出了一个达到这个界限的DFA序列。到目前为止，只有$n \leq 4$给出了达到此界限的所有DFA的完整分析，并且$n \leq 10$给出了符号数量的界限。在这里，我们给$n \leq 6$的全面分析，没有限制的符号数量。对于PFAs，结合要高得多。对于$n \leq 6$，我们进行与DFA类似的分析，并找到最大最短同步字长，超过了$n =4,5,6$的$(n-1)^2$。对于任意的n，我们给出了一个PFA的建设三个符号的指数最短同步字长，给显着更好的界限比以前的指数建设。我们给出了一个变换的PFA的PFA的两个符号保持指数最短的同步字长，产生一个更好的约束比应用类似的已知的变换。
2017-06-16 cs.FL math.CO
An Improved Algorithm for Finding the Shortest Synchronizing Words
确定性有限完全自动机的同步字是其动作将每个状态映射到单个状态的字。寻找一个最短的或短的同步字是同步自动机理论中的一个中心计算问题，并应用于其他领域，如基于模型的测试和代码理论。因为寻找最短同步字的问题在计算上是困难的，所以在\emph{exact}算法中，只有指数算法是已知的。我们重新设计了以前最快的已知的精确算法的基础上的双向广度优先搜索，并改善它在时间和空间上的实际意义。我们开发了新的算法增强功能，并使算法适应多线程和GPU计算。实验结果表明，新算法比原算法快了数倍，且其优势随着问题实例的难度而迅速增长。在适当的时间限制下，我们计算了多达570个状态的随机二进制自动机的最短同步字的长度，大大超过了之前的记录。我们改进了这些自动机的平均重置阈值的实验估计。最后，我们开发了一个通用的计算软件包，致力于这个问题，其中包括我们的算法的有效和实用的实现，以及几个著名的算法。
2022-07-03 cs.DS cs.FL
Experiments with Synchronizing Automata
本文改进了一种产生具有大长度最短复位字的同步自动机的算法。这已经通过改进一些已知的结果，关于复位长度的界限。我们的改进使得有可能考虑一些acquitures和开放的问题，同步自动机，检查它们的自动机与少量的状态和讨论的结果。特别是，我们已经验证了Čern猜想的所有二元自动机与最多12个状态，和所有三进制自动机与最多8个状态。
2016-07-14 cs.FL
Adversarial Synchronization
Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics（克拉索夫斯基数学力学研究所）；Ural Federal University（乌拉尔联邦大学）
本文研究了一种有限确定自动机上的同步游戏变种，证明了Alice有获胜策略时自动机存在更短的重置词，并提供了多项式时间算法来决定游戏胜负。
2026-01-26 cs.FL cs.GT
Composing short 3-compressing words on a 2 letter alphabet
一个有限的确定性（半）自动机$\mathcal{A} =(Q,Σ,δ)$是$k$ -可压缩的，如果存在某个字$w\in Σ^+$，使得在$w$的自然作用下，其状态集$Q$的映像至少减少了$k$状态。如果存在这样的字，则将其称为用于$\mathcal{A}$的$k$压缩字。如果一个字是$k$ -可压缩自动机的$k$ -压缩，则它是$k$ -折叠。我们计算一组短单词的$W$，使得两个字母表上的每个$3$ -可压缩自动机至少被$W$中的单词压缩。然后，我们构造一个最短的共同超串的话，在$W$，并进一步细化，我们得到一个$3$ -折叠字的长度$53$。此外，如前所述，我们表明，最短的$3$ -同步字是不是$3$ -折叠，说明了新的界限$34\leq c(2,3)\leq 53$的长度$c(2,3)$的最短的$3$ -折叠字的两个字母表。
2015-08-14 cs.FL math.CO
Lower Bounds for Synchronizing Word Lengths in Partial Automata
1964年，Černelo提出，$n$态上的同步DFA总是有一个长度最多为$(n-1)^2$的同步字，他给出了一个达到这个界限的DFA序列。到目前为止，只有$n \leq 5$给出了达到此界限的所有DFA的完整分析，并且$n \leq 12$给出了符号数量的界限。在这里，我们给$n \leq 7$的全面分析，没有限制的符号数量。对于PFAs（部分自动机）的$\leq 7$状态，我们做了类似的分析DFAs和找到最大的最短同步字长，超过$(n-1)^2$为$n \geq 4$。在具有长同步的DFA通常具有非常少的符号的情况下，对于PFA，我们观察到更多的符号可以增加同步字长度。对于PFAs的$\leq 10$状态和两个符号，我们调查所有发生的同步字长。我们给出了一系列的PFAs上的两个和三个符号，达到最大可能的长度为一些小值的$n$。对于$n=6,7,8,9$，在两个符号上的构造是达到最大长度的唯一构造。对于这两个系列，增长都快于$(n-1)^2$，尽管仍然是二次增长。基于字符串重写，对于任意大小，我们构建了一个PFA的三个符号的指数最短的同步字长度，给显着更好的界限比以前的指数建设。我们给出了一个变换的PFA的PFA的两个符号保持指数最短的同步字的长度，产生一个更好的约束比应用类似的已知的变换。两个PFA都是可传递的。最后，我们表明，指数长度甚至是可能的，只有一个单一的未定义的过渡，…
2018-09-17 cs.FL
Finding Short Synchronizing Words for Prefix Codes
本文研究了给定前缀码的最短同步字及其长度问题。这在两种不同的设置中完成：当代码由识别其星形的任意解码器定义时，以及当代码由其文字解码器定义时（其大小多项式地等于代码中所有字的总长度）。对于第一种情况，我们证明了$\varepsilon > 0$-不可逼近的可识别的二元极大前缀码，$Θ(\log n)$ -不可逼近的有限二元极大前缀码和$n^{\frac{1}{2} - \varepsilon}$ -不可逼近的有限二元前缀码。这里的$c$ -不可逼近性是指在假设P $\ne$ NP的情况下不存在$c$ -逼近多项式时间算法，而$n$是指输入中解码器的状态数。对于第二种情况，我们提出了近似算法和精确算法，并推测对于有限极大前缀码，问题可以在多项式时间内解决。我们还研究了相关的问题，找到一个最短的凡人和最短的避免字。
2018-06-16 cs.CC cs.FL
Absent Subsequences in Words
Institute for Computer Science, Georg-August University Göttingen（哥廷根大学计算机科学研究所）
研究词中缺失子序列的性质与算法，包括最短和最小缺失子序列的识别与计算。
2023-10-11 cs.DS cs.FL
Characteristic Parameters and Special Trapezoidal Words
根据Aldo de Luca等人的早期工作，我们研究了梯形词及其前缀的特征参数$K$和$R$（最短不重复后缀的长度和最短无特殊因子的长度），以及它们的对称形式$H$和$L$。我们认为封闭（即，和非。我们的主要结果特征的权利特殊和严格双特殊梯形的话，所做的德卢卡和Mesquisi Sturmian的话。
2019-06-04 cs.DM cs.FL math.CO
The triple rendezvous time of a synchronizing automaton can be floor(4n/3)
University of Toronto Scarborough（多伦多大学士嘉堡校区）
该论文构造了强连通双字母同步自动机，证明其三重会合时间可达 floor(4n/3)，并给出下界证明与显式词。
2026-09-18 cs.FL
A Myhill-Nerode Characterization and Active Learning for One-Clock Timed Automata
IMDEA Software Institute（IMDEA软件研究所）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；CNRS IRL 2000, ReLaX（法国国家科学研究中心国际研究联系单元2000，ReLaX）
本文提出了一类单时钟确定性时序自动机的语言Myhill-Nerode特征，通过分析时钟重置信息，发展出L*算法以学习标准自动机。
2026-04-14 cs.FL cs.LO
On synchronization of partial automata
本文的一个目的是介绍一种新的结构的自动机与最短的同步字的长度$O(d^{\frac{n}{d}})$，其中$d \in \mathbb{N}$和$n$是该自动机的状态数。此外，我们还介绍了从$n$状态的任意可同步DFA或谨慎可同步PFA到$d \cdot n$状态的谨慎可同步PFA的新的转换，其同步字长度为$Ω(d^{\frac{n}{d}})$。
2020-06-22 cs.DM cs.FL
A New Heuristic Synchronizing Algorithm
我们提出了一个新的启发式算法寻找重置字。该算法称为CutOff-IBFS是基于一个简单的思想，逆广度优先搜索的权力自动机。我们进行了实验研究的有效性相比，现有的其他算法在文献中，这产生我们的方法一般发现一个较短的词在平均情况下，并在实践中工作良好。
2013-08-08 cs.DS cs.FL
The Černý Conjecture for One-Cluster Automata via Annular Spectral Descent
Independent Researcher（独立研究者）
研究同步单簇自动机的切尔尼猜想，通过特定方法证明对于相关条件下存在特定单词，给出复位单词长度上界，构造示例说明界的紧性，证明借助与OpenAI Codex交互并经作者验证。
2026-07-23 cs.FL
Shortest paths in one-counter systems
本文证明单计数器自动机若语言非空，则存在长度$O(n^2)$的接受词，填补了$O(n^3)$上界与$Ω(n^2)$下界间的差距，并推广到任意配置间最短路径的紧上界。
2019-03-04 cs.FL cs.LO
The Frobenius and factor universality problems of the Kleene star of a finite set of words
我们解决了公开的问题，关于Kleene星$L^*$的有限集$L$的话在一个字母表$Σ$。\emph{Frobenius monoid}问题是对于给定的有限词集$L$，语言$L^*$是否是上有限的问题。我们证明它是PSPACE完备的。我们还展示了一个无限系列的集$L$，使最长的话，而不是在$L^*$（当$L^*$是上限时）的长度是指数的最长的话，在$L$和次指数的总和中的字的长度在$L$。\emph{factor universality}问题是对于给定的有限词集$L$，是否$Σ$上的每个词都是来自$L^*$的某个词的因子（子串）的问题。我们证明了它也是PSPACE完备的。除此之外，我们展示了一个集合$L$的无限族，使得不作为$L^*$中任何单词的因子的最短单词的长度在$L$中的最长单词的长度中是指数的，并且在$L$中的单词的长度的总和中是次指数的。这基本上否定了长期存在的Restivo猜想（1981）及其弱变式。我们所有的解决方案都基于一个共享的结构，作为一个辅助的通用工具，我们引入了\emph{set rewriting systems}的概念。最后，我们补充的结果与上界。
2021-04-01 cs.FL
Systems of word equations, polynomials and linear algebra: A new approach
我们开发了一种新的工具，即多项式和线性代数方法，用于研究系统的字方程。我们说明它的有用性，基本上简单的几个困难的问题的证明。同时证明了这些结果的推广。最后，我们得到了独立系统最大规模基本问题的第一非平凡上界。这些界限二次依赖于最短方程的大小。以前没有已知的具有这样的界限的方法。
2014-01-29 cs.FL math.CO
Sets Represented as the Length-n Factors of a Word
在本文中，我们考虑以下问题：有多少不同的子集Sigma^n可以出现作为一个有限字的所有长度为n的因素的集合？如果一个子集是可表示的，我们需要用多长的词来表示它？有多少个这样的子集由长度为t的单词表示？对于第一个问题，我们给出了二元情形下的形式alpha^（2^n）的上界和下界。对于第二个问题，我们给出了一个弱上界和一些实验数据。对于第三个问题，在n <= t < 2n的情况下，我们给出了一个封闭形式的公式。这些问题的数学变体以前被称为“最短公共超弦”。
2013-04-12 cs.DM cs.FL math.CO
Synchronizing non-deterministic finite automata
在本文中，我们证明了每一个D3定向CNFA可以唯一地映射到一个DFA具有相同的同步字长。这意味着Černe的猜想推广到CNFA和一般的上界的长度最短的D3-定向字是等于Pin-Frankl界的DFA。作为第二个后果，几类CNFAs更清晰的界限建立。最后，我们的研究结果使我们能够检测到最多6个国家的所有关键CNFA。事实证明，只有很少的关键CNFA存在。
2017-03-23 cs.FL math.CO
Quadratic bounds for uncompletable words and matrix mortality
Efficient Computation Inc.；Rexion Intelligence
该研究为不可补全词和矩阵死亡性建立了二次长度上界，并给出多项式时间构造算法，在 Lean 中完成形式化证明。
2026-09-30 cs.FL math.CO
Lower Bounds on Words Separation: Are There Short Identities in Transformation Semigroups?
单词分离问题最初由Goralcik和Koubek（1986）提出，如下所述。设$Sep(n)$是最小数，使得对于任何两个长度为$\le n$的字，存在具有$Sep(n)$状态的确定性有限自动机，只接受其中之一。问题是要找到函数$Sep$的渐近性。这个问题与求全变换半群$T_k$中最短单位元长度的渐近性是逆的。$Sep$的已知下界源于$T_k$中的一元恒等式。我们发现的第一系列的身份在$T_k$这是短于相应的一元身份的无限多个值的$k$，从而稍微提高了下界$Sep(n)$。然后给出了对称群中的一些短的正恒等式，并通过增加一个乘法常数改进了置换自动机分离字的下界。最后，我们给出了小$k$的短恒等式的计算机搜索结果。
2016-09-11 cs.FL math.CO math.GR
Careful synchronisation and the diameter of transformation semigroups with few generators
本研究改进了小字母表下n状态部分DFA最短精细同步单词的长度下界，还证明常数阶大字母表的部分DFA直径渐近匹配任意字母表的上界，推广了相关构造并给出应用方向。
2025-06-16 cs.DM cs.FL math.CO
