arXiv 1612.047762016-12math.GTmath.AT

非simply-connected四维流形在7维空间中的嵌入II。关于光滑分类

Embeddings of non-simply-connected 4-manifolds in 7-space. II. On the smooth classification

D. Crowley, A. Skopenkov

备注：: 19 pages, exposition improved
发表信息：: Proc. A of the Royal Soc. of Edinburgh, 52:1 (2022), 163--181
DOI：: 10.1017/prm.2020.103

摘要：

我们的工作是平稳的。设$N$是一个闭连通可定向四维流形，其$H_1$无挠，其中$H_q := H_q(N; \mathbb Z)$ .我们的主要结果是一个容易计算的分类嵌入$N\to\mathbb R^7$的合痕，具有不确定性。这样的分类以前只知道$H_1=0$从2008年我们的早期工作。当$H_2=0$或$N$的签名既不能被64也不能被9整除时，我们的分类是完整的。纽结群$S^4\to\mathbb R^7$通过嵌入连通和作用于嵌入集$N\to\mathbb R^7$直到合痕。在第一部分中，我们对这种作用的商进行了分类。本文的主要新颖之处在于描述了$H_1\ne0$的这种作用，具有不确定性。除了第一部分的不变量，检测节点的动作涉及到我们2008年工作中的Kreck不变量的改进。对于$N=S^1\times S^3$，我们给出了一个几何定义的1- 1之间的对应关系的集合的同伦类的嵌入和一定的明确定义的商的集合$\mathbb Z\oplus\mathbb Z\oplus\mathbb Z_{12}$。

英文摘要：

We work in the smooth category. Let $N$ be a closed connected orientable 4-manifold with torsion free $H_1$, where $H_q := H_q(N; \mathbb Z)$. Our main result is a readily calculable classification of embeddings $N\to\mathbb R^7$ up to isotopy, with an indeterminancy. Such a classification was only known before for $H_1=0$ by our earlier work from 2008. Our classification is complete when $H_2=0$ or when the signature of $N$ is divisible neither by 64 nor by 9. The group of knots $S^4\to\mathbb R^7$ acts on the set of embeddings $N\to\mathbb R^7$ up to isotopy by embedded connected sum. In Part I we classified the quotient of this action. The main novelty of this paper is the description of this action for $H_1\ne0$, with an indeterminancy. Besides the invariants of Part I, detecting the action of knots involves a refinement of the Kreck invariant from our work of 2008. For $N=S^1\times S^3$ we give a geometrically defined 1--1 correspondence between the set of isotopy classes of embeddings and a certain explicitly defined quotient of the set $\mathbb Z\oplus\mathbb Z\oplus\mathbb Z_{12}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

摘要：

英文摘要：

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