A Supersymmetric SYK-like Tensor Model
考虑了一个无淬火无序的类SYK超对称模型，该模型是由两种费米子N=1张量值超场“夸克”和“介子”耦合而成。我们证明了该模型有一个定义良好的大N极限，其中（s）夸克2点函数由介子“甜瓜”图支配。我们将这些图相加得到Schwinger-Dyson方程，并表明在IR中，解与超对称SYK模型的解一致。
2017-04-28 cond-mat.str-el hep-th
High temperature expansion of double scaled SYK
本文研究双标度SYK模型自由能的高温展开，证明其为有限收敛半径的收敛级数，并揭示收敛半径由配分函数在虚β轴上的第一个零点决定，同时验证了半经典展开与高温展开的一致性。
2023-04-04 hep-th
2PI effective action for the SYK model and tensor field theories
本文讨论了SYK模型和张量场论的两粒子不可约（2PI）有效作用量。对于SYK模型，2PI有效作用再现了模型的双局部重构，而不使用副本。在一般的张量场论中，2PI形式主义是获得理论的双域重构的唯一途径，因此是识别软模式和可能的全息解释的宝贵工具。我们计算了几个模型的2PI作用，并将其推到四阶的$1/N$展开的模型提出的Witten在arXiv：1610.09758，揭示了一个单圈结构的辅助双局部作用。
2018-03-01 gr-qc hep-th
An introduction to the SYK model
这些笔记是对Sachdev-Ye-Kitaev模型的简短介绍。我们讨论：SYK和张量模型作为一类新的大N量子场论，近共形不变性在红外，计算关联函数，推广SYK，和应用到AdS/CFT和奇怪的金属。
2018-07-09 cond-mat.str-el gr-qc hep-th
SYK-like Tensor Models on the Lattice
研究了无无序格点上的大$N$张量模型。我们介绍的技术，可以应用到广泛的一类模型，并说明它通过研究一些特定的秩3张量模型。特别地，我们研究了格点上的Klebanov-Tarnopolsky模型，Gurau-Witten模型（将其视为四个位置上的张量模型）以及介于这两个模型之间的一个新模型。在每个模型中，我们评估了各种四点函数在大$N$和强耦合，并讨论了它们的频谱和长时间的行为。我们发现与SYK模型的相似之处，以及不同之处。我们还推广我们的分析秩$D$张量模型，我们得到类似的结果作为$D=3$的情况下，我们计算的四个点函数。对于$D>5$，我们能够计算特定四点函数的次前导${1 \over N}$校正。
2017-07-11 cond-mat.str-el hep-th
Vector models and generalized SYK models
通过研究一个张量场与向量场耦合的玩具模型，讨论了类SYK模型与向量模型之间的关系。通过对张量场的积分，玩具模型在1维中简化为Gross-Neveu模型。另一方面，可以打开一定的扰动，并且玩具模型在低能量下流动到类似SYK的模型。当微扰的符号改变时，会发生混沌-非混沌的相变。我们进一步研究类似的模型，具有混沌和增强的重参数化对称性。
2017-04-13 cond-mat.str-el hep-th
Contrasting SYK-like Models
我们对比了各种SYK类模型与大$N$ melonic行为的某些方面。首先，我们注意到无规范张量模型可以表现出对称性破缺，即使这些是0+1维理论。与此相关，我们表明，当衡量，他们中的一些承认没有单线态，是异常的。具有偶$N$的无色马约拉纳张量模型是一种简单的情况，其中规范单态可以存在于谱中。我们概述了一种解决单重态光谱的策略，利用arXiv：1706.05364中的结果，并重现了$N=2$中预期的单重态。在本文的第二部分中，我们对比了一些无规范张量模型，原始SYK模型和Gross和Rosenhaus模型的随机矩阵方面。后者，即使无序平均，显示出与Gurau-Witten模型的相似之处。特别地，两个模型作为$N$的函数落入相同的Andreev系综。在附录中，我们对比了AdS $_2$量子引力、SYK和类SYK张量模型的（预期）谱，以及黎曼Zeta函数的零点。
2017-12-28 cond-mat.stat-mech gr-qc hep-th
Large $N$ Tensor and SYK Models
由Sachdev，Ye和Kitaev提出的SYK模型由马约拉纳费米子组成，它们每次随机相互作用四个。该模型在基态以上形成了一个密集的光谱，因此该模型变得几乎共形。这表明全息对偶可能存在，这使得SYK模型在量子引力的研究中很有意义。已经发现，SYK模型类似于大$N$张量模型：在这两个模型中，只有melonic图在大$N$极限中存活。在这篇论文中，我们研究了在基本表象中含有两种马约拉纳费米子的具有$O(N)^3$对称性的大$N$张量模型。它的四次哈密顿量依赖于一个实参数$β$。我们推导出四个点函数的核。利用从核中得到的谱，我们计算了几种共形基色的标度维数。我们还发现了不同$β$值的两个哈密顿量之间的对偶关系。这不是一个完美的二元性，因为能量的正常化与变换成比例。然而，能量的比率是相同的，并且算子维数被保持。此外，我们发现，对于$β> 1$或$β< 0$的共形原色之一的缩放尺寸变得复杂，使模型不稳定。
2018-11-11 cond-mat.str-el hep-th
An SYK-Like Model Without Disorder
利用关于“张量模型”的已知事实，有可能构建一个没有淬火无序的量子系统，其关联函数和热力学与SYK模型具有相同的大$n$极限。这可能有助于进一步探索这种全息对偶的方法。
2016-11-03 hep-th
Combinatorial aspects of the Sachdev-Ye-Kitaev model
Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型是$q$相互作用费米子的模型，其大N极限由Melonic图控制。在这篇评论中，我们首先提出了一个图形证明的结果，直接，组合分析其费曼图。Gross和Rosenhaus提出了SYK模型的一个推广，其中包含了不同味道的费米子。就费曼图而言，这些色彩可以被看作是随机张量理论中使用的颜色。应用现代工具从随机张量到这样一个彩色SYK模型，所有的领先和次领先的顺序图的2点和4点的功能在大$N$扩展可以确定。然后，我们研究了在一个复杂的，有色版本的SYK模型的随机耦合的非高斯平均的效果。使用Polchinski方程和随机张量高斯普适性，我们表明，这种非高斯平均的效果导致修改的高斯分布的耦合在领先的顺序在$N$的方差。然后，我们推导出对所有订单的有效行动的形式。
2020-01-31 hep-th math-ph math.MP
Symmetry Breaking in Coupled SYK or Tensor Models
本文研究了具有$O(N)^3$对称性的大$N$张量模型，其中包含两种口味的Majorana费米子：$ψ_1^{abc}$和$ψ_2^{abc}$ .我们还研究了它的随机对应物组成的两个耦合Sachdev-Ye-Kitaev模型，每一个包含$N_{\rm SYK}$马约拉纳费米子。在这些模型中，我们假设四面体四次哈密顿依赖于一个真正的耦合参数$α$。我们发现了两个具有不同$α$值的哈密顿量之间的对偶关系，这使得我们可以将模型限制在$-1\leq α\leq 1/3$的范围内。费米子数算符$Q=iψ_1^{abc} ψ_2^{abc}$的标度维数是复杂的，并且在$-1\leq α<0$范围内具有$1/2 +i f(α)$的形式，表明共形相的不稳定性。使用Schwinger-Dyson方程求解格林函数，我们表明，在真正的低温阶段，该运营商获得一个期望值。这证明了反幺正粒子-空穴对称性和其他离散对称性的破缺。我们还计算光谱的耦合SYK模型的值$N_{\rm SYK}$精确的对角化是可能的。对于负的$α$，我们发现一个间隙分离的两个最低的能量状态从其余的频谱，这导致指数衰减的零温度相关函数。对于可被$4$整除的$N_{\rm SYK}$，两个最低状态具有小的分裂。它们在大的$N_{\rm SYK}$极限中退化，正如从$\mathbb{Z}_2$对称性的自发破缺所预期的那样。
2019-04-30 cond-mat.str-el hep-th
Half-wormholes in SYK with one time point
本文研究了Saad、Shenker、Stanford和Yao最近提出的单时间点SYK模型。在集体场描述中，他们得出了一个显著的恒等式：固定耦合的配分函数的平方可以很好地近似为一个“虫洞”鞍加上一对“相连的半虫洞”鞍。它解释了解耦系统的因式分解。在这里，我们推导出一个明确的公式的半虫洞的贡献。它是通过SYK耦合张量的一个超函数来表示的。然后，我们开发一个微扰膨胀周围的半虫洞鞍。这种展开式在有限阶截断，并给出了精确的答案。微扰展开的最后一项与虫洞的贡献相吻合。从这个意义上说，这个模型中的虫洞鞍不需要单独添加，而是可以被视为链接的半虫洞周围的大波动。
2021-10-13 hep-th
$\mathcal N=2$ SYK model in the superspace formalism
我们用超空间方法研究了一维具有$\mathcal N=2$超对称性的类SYK模型和二维类似模型。我们发现四点函数作为$su(1,1|1)$的Casimir的本征函数的基础上的扩展。我们还发现延迟内核和李雅普诺夫指数的两种情况下。
2018-02-13 hep-th
On 1/N diagrammatics in the SYK model beyond the conformal limit
在目前的工作中，我们讨论的SYK模型中的1/N扩展方面，制定的双局域场路径积分的半经典扩展。我们推导出切割规则，这是适用于所有的平面顶点的双局域场图。我们表明，这些切割规则导致新的身份，更高的点，这可能是用来限制他们的形式超出可解的共形限制。我们还演示了如何切割规则可以简化计算的振幅上的一个例子的六点函数。
2018-11-12 hep-th
Coadjoint orbit action of Virasoro group and two-dimensional quantum gravity dual to SYK/tensor models
SYK模型的Nambu-Goldstone（NG）玻色子用陪集空间Diff/ $\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$描述，其中Diff，或Virasoro群，是时间坐标在实直线或圆上的同态群。我们知道，在渐近平坦的时空中，在一定的规范下，Diff的余伴随轨道作用量自然地变成了没有宇宙学常数的二维Polyakov的量子引力作用量。基于这一发现，我们研究了具有宇宙学常数和边界项的Polyakov作用，并研究了这种二维量子引力模型成为SYK模型低能区AdS对偶的可能性.我们发现这种对偶性的强有力的证据：（a）体作用承认一个确切的家庭的渐近AdS $_2$时空，参数化的Diff/ $\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$，除了一个固定的共形因子的一个简单的功能形式;（b）体路径积分减少到一个路径积分的Diff/ $\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$与Schwarzian行动;（c）低温自由能定性同意的SYK模型。我们展示了，到二次阶，如何耦合一个无限系列的批量标量的Polyakov模型，并表明它再现了耦合的SYK模型与NG玻色子的高次模式。
2017-12-29 cond-mat.str-el hep-th
On large $q$ expansion in the Sachdev-Ye-Kitaev model
我们考虑Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型，其中相互作用每次涉及$q$费米子。在大的$q$展开式中，我们发现了热两点函数的次一阶修正。利用这个结果，我们找到了SYK自由能的下一阶修正。
2018-01-21 cond-mat.str-el hep-th
Uncolored Random Tensors, Melon Diagrams, and the SYK Models
Gurau及其合作者已经证明了具有秩- $3$张量自由度的某些模型具有新的大$N$极限，其中$g^2 N^3$保持固定。在这个极限中，四次耦合常数$g$的微扰展开由一类特殊的“甜瓜”图支配。我们研究这种类型的“无色”模型，其中包含一个真正的秩- $3$张量的副本。它的三个指标是可区分的，因此，该模型具有$O(N)^3$对称性的张量场变换的三基本表示。这样的无色模型也具有大的$N$极限，主要由甜瓜图。因此，实反对易张量的量子力学与威滕最近引入的模型具有类似的大$N$极限，该模型是不需要无序的萨赫德夫-叶-基塔耶夫（SYK）模型的实现。在我们的量子力学模型中，测量$O(N)^3$对称性去除了非单重态;因此，可以搜索其定义良好的引力对偶。然而，我们指出，该模型拥有大量的规范不变算子，涉及更高的张量场的权力，这表明完整的引力对偶将是错综复杂的。我们还讨论了具有$U(N)^2\times O(N)$对称性的复三指数反对易张量的量子力学，并论证了它在大$N$极限下等价于具有复费米子的SYK模型.最后，我们讨论了$d$维中交换张量的相似模型。当四次相互作用不是正定时，我们构造了两点函数的大$N$ Schwinger-Dyson方程，并证明了其解与共形不变性是一致的.我们使用$4-ε$展开对该结果进行微扰检查。
2017-01-31 cond-mat.str-el hep-th
The Tensor Track V: Holographic Tensors
本文综述了NAdS $_2$ /NCFT $_1$全息对应的张量模型这一快速发展的课题。我们包括一个简短的回顾Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型，然后专注于相关的量子力学张量模型（GW和CTKT）。我们研究他们的主要特点，以及他们如何与SYK比较。最后，我们讨论了不同的扩展：大$D$限制的矩阵张量模型，大$N$扩展的对称/反对称张量，使用探针，建设一个双局部行动张量，一些尝试将上述模型扩展到更高的维度和建议，以打破张量对称性。
2018-09-25 hep-th
Remarks on a melonic field theory with cubic interaction
根据最近对Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）和张量模型的研究，我们重新审视了Amit-Roginsky（AR）模型，它具有一些重要的特征。它是$N$标量场在$SO(3)$的$N$维不可约表示中变换的模型.最相关的（在重整化群意义上）不变相互作用是场的立方，并由维格纳$3jm$符号介导。后者可以被视为一个特殊的秩3张量耦合，从而突出了与SYK模型的相似性，其中张量耦合是随机的，并且是偶数秩的。正如在SYK和张量模型中一样，在大- $N$极限中，微扰展开由melonic图支配。随机性的缺乏，以及可以用$n$字段构建的不变量数量的快速增长，使得AR模型在某种程度上更接近张量模型。我们回顾了阿米特和罗金斯基的旧工作的结果与事后的最新发展，纠正和完成他们的一些声明，特别是关于频谱的算子乘积展开的两个基本领域。对于$5.74<d<6$，不动点理论定义了一个真实的CFT，而对于较小的$d$，在最低维与其阴影合并后，出现了复杂的维。我们还介绍和研究了一个远程版本的模型，立方相互作用是完全边际在大$N$，我们发现一个真正的和单一的CFT为任何$d<6$，无论是真实的和虚耦合常数，一些临界耦合。
2021-03-26 hep-th math-ph math.MP
NoRA: A Tensor Network Ansatz for Volume-Law Entangled Equilibrium States of Highly Connected Hamiltonians
本文提出一种非局域重整化拟设（NoRA）张量网络架构，旨在捕捉全对全相互作用量子模型（如SYK模型）的体律纠缠和基态简并，并探讨其作为变分拟设及随机稳定子码的潜力。
2024-05-20 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Discrete analogue of the Weil-Petersson volume in double scaled SYK
本文证明双标度SYK模型中配分函数的连通关联函数可分解为“喇叭”与Weil-Petersson体积的离散类比，显式计算了其亏格展开前几阶的值，并证实其在半经典极限下退化为Weil-Petersson体积。
2023-09-18 hep-th
Conformality of $1/N$ corrections in SYK-like models
Sachdev-Ye-Kitaev是$N$ Majorana费米子的量子力学模型，它显示出许多吸引人的特征-在强耦合区的可解性，近共形不变性和最大混沌-这使它成为AdS/CFT全息背景下黑洞的合适模型。在本文中，我们证明了色SYK模型和它的几个张量模型的表亲，在大$N$展开的次领先的顺序保持共形不变性的$2$点函数在强耦合制度，到贡献的伪戈德斯通玻色子由于显式破缺的对称性和已经看到的领先的顺序$4$点函数。我们还评论复合场方法计算关联函数在着色张量模型。
2019-12-13 cond-mat.str-el hep-th
Diagrammatics of the quartic $O(N)^3$-invariant Sachdev-Ye-Kitaev-like tensor model
最近，各种张量模型被证明具有与著名的Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型相同的性质。在本文中，我们详细研究了两个这样的SYK类张量模型：多定向（MO）模型，它具有$U(N) \times O(N) \times U(N)$对称性和四次$O(N)^3$不变模型，其相互作用具有四面体图案。证明了MO模型的Feynman图可以看作是具有可定向外套的$O(N)^3$ -不变模型的Feynman图。然后，我们提出了一个图形工具箱来分析$O(N)^3$不变图。这个工具箱允许一个简单的策略来识别$1/N$展开中给定顺序的所有图。我们将其应用于次-首序和次-首序，它们分别是度为$1$和$3/2$的图。
2019-03-05 hep-th math-ph math.CO
Quantum Chaos and Holographic Tensor Models
最近有一类张量模型被概述为全息术的潜在可计算例子：它们的微扰大$N$行为类似于Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型，但它们是完全量子力学的（在这个意义上没有淬火无序平均）。这些事实使它们成为量子黑洞有趣的试验模型。本文将最简单的非平凡Gurau-Witten张量模型显式对角化，并研究了它的谱性质和晚时性质。我们发现类似的（一个单一的样本）SYK，其中一些功能最近归因于随机矩阵行为和量子混沌。特别地，在运行时间平均之后，频谱形状因子表现出与SYK惊人的定性相似性。但我们也观察到，即使光谱有一个独特的基态，它有一个巨大的（准？）中间能态的简并，在SYK中看不到。然而，如果忽略由于简并而产生的δ函数，则在展开的间距分布中存在能级排斥，暗示混沌。此外，光谱具有间隙并且不是（线性）刚性的。该系统也有一个频谱镜像对称，我们追溯到一个酉运营商的存在下，与哈密尔顿anticommutes。我们用它来争辩说，在某种程度上，该模型表现出随机矩阵的行为，它不是由戴森合奏，但由BDI（手性正交）类Altland-Zirnbauer分类控制。
2017-05-03 cond-mat.stat-mech hep-th
Notes on Tensor Models and Tensor Field Theories
张量模型和张量场论允许一个$1/N$展开式和一个Melonic大$N$极限，它比随机矩阵的平面极限简单，比向量模型的大$N$极限丰富。它们提供了解析易处理但非平凡的强耦合量子场论的例子，并导致一类新的共形场论。我们提出了一个紧凑的介绍的主题，涵盖了一些经典的结果在该领域，如详细的$1/N$扩展，以及最近的事态发展。这些笔记大致基于在2019年里昂物理数学杂志上的四个讲座：随机张量和SYK模型。
2019-07-15 hep-th math-ph math.MP
Notes on Melonic $O(N)^{q-1}$ Tensor Models
最近的研究表明，在整体/规范对称群$O(N)^{q-1}$下带电的费米子模型的大N极限与SYK模型的大$N$极限一致。在这些笔记中，我们调查方面的动态$O(N)^{q-1}$理论，不同于他们的SYK同行。我们认为，在这些理论中的有限温度鞍点的波动谱有$(q-1)\frac{N^2}{2}$新的光模式，除了光Schwarzian模式，即使在SYK模型中存在，这表明，散装对偶描述的理论显着不同，如果它们都存在。我们还研究了SYK模型的质量变形版本的热配分函数。在大质量下，我们证明了这个理论的有效熵随着能量的增加而增加，就像$E \ln E$（即比哈格多恩快），直到能量达到$N^2$阶。该模型的正则配分函数在$1/\ln N$级的温度下显示出去禁闭或霍金-佩奇型相变。我们得出这些结果的大质量限制，但认为他们是定性的小修正$J/m$强大。
2018-01-25 cond-mat.str-el hep-th
$\mathcal{N}=(0,2)$ SYK, Chaos and Higher-Spins
研究了具有$\mathcal{N}=(0,2)$超对称性的二维SYK模型.该模型描述了具有$(q+1)$ -场相互作用的$N$手征超多重态和$M$费米超多重态。在$N\gg 1$，$M\gg 1$极限下，以$μ\equiv \frac{M}{N}$为自由参数，对模型进行了解析和数值求解.当$μ$参数接近其范围的两端时，出现两种不同的高自旋对称性。在两个极限下，守恒的高自旋算符的出现和混沌行为的消失证实了这一点。因此，这个模型提供了一个明确的实现，广泛认为SYK类模型和更高自旋理论之间的联系。此外，随着参数$μ$的变化，我们发现该模型的最大李雅普诺夫指数略大于非手征超对称模型。还介绍了一个没有随机耦合的张量模型，共享相同的红外物理。
2018-05-23 hep-th
Single-Instance Observables in the Sachdev-Ye-Kitaev Model
Brandeis University（布兰迪斯大学）
本文提出SYK模型中低权重马约拉纳弦热期望值的图解展开，按N^{-1/2}幂次组织，可高效计算，并应用于MQ模型以提升热场双态保真度。
2026-09-16 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Phase Diagram of Planar Matrix Quantum Mechanics, Tensor, and Sachdev-Ye-Kitaev Models
我们计算的$\text{U}(N)^{2}\times\text{O}(D)$不变的费米子平面矩阵量子力学[等效张量或复杂的Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型]在新的大$D$限制，占主导地位的melonic图的相图。Schwinger-Dyson方程可以有两个解，要么描述一个高熵的类SYK黑洞相，要么描述一个具有平凡IR行为的低熵相。在质温平面的强耦合区，在高熵相和低熵相之间存在一条一级相变线。这条线终止于一个新的临界点，我们详细研究数值。临界指数是非平均场的，并且在相变的两侧不同。我们还研究了纯玻色子不稳定和稳定的melonic模型。前者有一条Kazakov临界点线，超过这条临界点，Schwinger-Dyson方程就没有相容解。此外，在这两个模型中，方程的IR极限的类似SYK的解在完整的理论中不存在。
2018-02-08 cond-mat.str-el hep-th
The Bulk Dual of SYK: Cubic Couplings
SYK模型是$N \gg 1$ Majorana费米子$χ_i$与$q$体随机相互作用的量子力学模型，是全息术的一种新的实现.已知AdS $_2$对偶包含一个大质量粒子的塔，但目前还没有关于体理论的建议。由于SYK在$1/N$展开式中是可解的，因此可以系统地导出体。我们启动了这样一个程序，通过分析费米子的二，四和六点函数，从中我们提取的塔的单重态，大$N$主导，运营商，他们的尺寸，和他们的三点关联函数。这些决定了体场的质量和它们的立方耦合。我们介绍这些耦合，分析它们的结构并讨论大型$q$出现的简化。
2017-10-23 cond-mat.str-el hep-th
Majorana Fermion Quantum Mechanics for Higher Rank Tensors
我们研究量子力学模型，其中的动力学自由度是真正的费米子张量的秩5和更高。它们是Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型的非随机对应物，其中哈密顿耦合六个或更多个费米子。对于秩为5的张量，存在唯一的$O(N)^5$对称六阶哈密顿量，导致可解的大$N$极限由Melonic图支配。我们求解了该模型在$N=2$时的完整能谱，并推导出了所有本征值的精确表达式。规范不变的状态子集表现出与规范模型的离散对称性相关的简并性。我们还研究了张量模型的量子混沌性质，并与$q=6$ SYK模型的量子混沌性质进行了比较。对于$q>6$，$O(N)^{q-1}$不变张量相互作用的数量迅速增加。我们关注的是那些最大程度上是单迹的-当任何一组$q-3$颜色被擦除时，它们的搁浅图保持连接。我们提出了一个一般性的讨论，为什么张量模型与最大的单迹相互作用有大的$N$限制占主导地位的melonic图。我们解决了大$N$ Schwinger-Dyson方程的高阶马约拉纳张量模型，并表明他们匹配的相应SYK模型完全。我们还研究了张量模型中存在的其他规范不变算子。
2019-07-24 cond-mat.str-el hep-th
TASI Lectures on Large $N$ Tensor Models
这些课堂讲稿的第一部分主要是比较讨论三个基本的大$N$极限，它们适用于向量、矩阵或秩为3或更高的张量。在简要回顾了大$N$极限的一些物理应用之后，我们给出了零时空维中几个可解的例子。使用模型与领域的基本表示$O(N)$，$O(N)^2$，或$O(N)^3$对称性，我们比较它们的组合特性，并强调蜗牛和甜瓜图之间的竞争。我们展示了用于解决向量，矩阵和张量大$N$限制的不同方法。在后一个例子中，我们回顾了如何在一个特殊的“四面体”的相互作用时，melonic图的优势如下。讲座的第二部分主要是关于费米子量子力学张量模型，其大的$N$极限类似于Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型。最小马约拉纳模型与$O(N)^3$对称性和四面体哈密顿量进行了详细的审查，它是最接近的张量对应的SYK模型。还审查了复杂的费米子张量，包括一个模型与$SU(N)^2\times O(N)\times U(1)$对称性，这是一个张量对应的复杂SYK模型的概括。最后简要回顾了在连续时空维中形式上易于处理的玻色子大$N$张量模型。
2018-09-05 cond-mat.str-el hep-th
All-order fluctuating hydrodynamics of the SYK lattice
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Institute for Quantum Information and Matter, California Institute of Technology（加州理工学院量子信息与物质研究所）；Department of Physics and Astronomy, University of Kentucky（肯塔基大学物理与天文学系）
本文研究了SYK晶格的流体动力学，通过非线性伪Goldstone玻色子作用重构有效场论，计算高阶导数展开下的输运系数，揭示强关联量子多体系统微观描述与流体动力学的联系。
2026-04-20 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Spectra of Operators in Large $N$ Tensor Models
我们研究了大$N$张量模型中的算符，主要集中在具有$O(N)^3$对称性的费米子量子力学中，这种对称性可以是全局的，也可以是规范的。在具有整体对称性的模型中，我们研究了双线性算子的谱，这些算子是$O(N)$群的对称无迹表示或反对称表示。在对称无痕的情况下，标度维数的谱与实费米子的SYK模型相同，它包括$h=2$零模。对于在两个指数中反对称的算子，标度维数与复张量和SYK模型中发现的附加扇区中的标度维数相同;最低的$h=0$本征值对应于守恒的$O(N)$电荷。一类单态算符可以由$m$对称无迹或反对称两粒子算符的压缩组合构成。他们的两点函数接受$m$ melonic ladder的贡献。这种多阶梯是张量模型中的一种新现象，在SYK模型中似乎不存在。更典型的$2k$ -粒子算子不接受任何阶梯修正，并且具有量化的大$N$标度维度$k/2$。我们构建各种单线运营商的低$k$的图形表示。对于较大的$k$，我们使用可用的技术来计算运营商，并显示其数量增长为$2^k k!$。因此，该理论在大的$N$极限中在接近零的温度下具有哈格多恩相变。我们还研究了Gurau-Witten模型中具有$O(N)^6$对称性的低阶算子的大$N$谱。我们认为，它对应于Gross和Rosenhaus构建的广义SYK模型之一。本文还研究了具有各种对称性的大$N$张量积分的不变量。
2018-02-11 cond-mat.str-el hep-th
Sparse SYK and traversable wormholes
本文研究了两个稀疏的Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）系统，通过双线性项耦合作为低温极限下永恒可穿越虫洞的全息量子力学描述。每个SYK系统由$N$马约拉纳费米子组成，它们通过随机的$q$ -体相互作用耦合。稀疏度被正则超图以这样的方式捕获，即哈密顿量精确地包含$k\,N$独立项。我们改进的稀疏性的理论理解，通过使用超图膨胀的已知措施。我们证明了稀疏形式的双耦合SYK模型是带隙的，其基态接近于热场双态。使用Krylov子空间和并行化技术，我们模拟系统的$q=4$和$q=8.$的稀疏性的模型，使我们能够探索更大的值的$N$比文献中存在的所有对所有SYK。详细分析了两个系统之间的两点函数和信号传输幅度。我们确定了一系列的参数，其中复兴遵守全息预测的缩放和信号可以被解释为穿越虫洞。
2021-11-08 cond-mat.str-el hep-th
Gravitational collapse in SYK models and Choptuik-like phenomenon
SYK模型是费米子在强耦合下可解的量子力学模型，它可能是量子引力和黑洞的最简单的全息模型。本文考虑了变形SYK模型和形变参量中的突然量子猝灭。该系统，在未变形的情况下，允许一个低能量的描述在伪Nambu Goldstone模式。这样一个系统的体对偶表示一个引力坍缩，它的特征是体物质应力张量，其值在边界附近显示出在猝灭时的突然跳跃。只有当变形参数$Δε$超过某个临界值$Δε_c$时，引力坍缩才会形成黑洞，否则就会形成无水平几何。如果黑洞真的形成了，那么所得到的霍金温度由分数幂$T_{bh} \propto (Δε- Δε_c)^{1/2}$给出，这让人想起临界引力坍缩的“肖普图克现象”。
2019-08-29 gr-qc hep-th
Precise Low-Temperature Expansions for the Sachdev-Ye-Kitaev model
该研究通过勒让德多项式分解高精度求解SYK模型的大N Dyson-Schwinger方程，得到其低温能量展开至$T^{7.54}$的结果，修正了此前的幂次预测并验证了共形微扰论的适用性。
2022-12-24 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Spontaneous Breaking of $U(1)$ Symmetry in Coupled Complex SYK Models
如[1]所示，当两个大的$N$ Majorana SYK模型通过适当的四次项耦合时，它们可以产生$Z_2$对称性的自发破缺。在本文中，我们类似地研究了复SYK模型的两个副本由一个四次项耦合保持$U(1) \times U(1)$对称性。我们还提出了一个张量对应的耦合模型。当四次项的系数$α$在一定范围内时，耦合大$N$理论是近似共形的。我们计算了作为$α$函数的费米子双线性算符的标度维数。我们表明，运营商$c_{1i}^\dagger c_{2i}$，这是收费下的轴$U(1)$对称性，获得一个复杂的尺寸以外的线的不动点。我们推导出大的$N$戴森-施温格方程，并表明，在固定线之外，这$U(1)$对称性在低温下自发破缺，因为这个运营商获得的期望值。我们通过外推到大$N$的精确对角化来支持这些发现。
2020-10-26 cond-mat.str-el hep-th
Higher-Order Corrections to Scrambling Dynamics in Brownian Spin SYK Models
College of Physics Science and Technology, Hebei University（河北大学物理科学与技术学院）；Hebei Key Laboratory of High-precision Computation and Application of Quantum Field Theory（河北省量子场论高精度计算与应用重点实验室）；Hebei Research Center of the Basic Discipline for Computational Physics（河北省计算物理学基础学科研究中心）；Kavli Institute for Theoretical Sciences (KITS), University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学理论科学研究所（KITS））
本研究通过布朗运动自旋SYK模型，推导了算符大小分布的高阶修正，揭示了量子混沌的更精细探测机制。
2026-07-14 cond-mat.stat-mech hep-th quant-ph
Long-time tails in the SYK chain from the effective field theory with a large number of derivatives
我们在Schwinger-Keldysh有效场论的框架下研究了SYK链的非线性能量扩散。我们解析构造的相互作用的有效拉格朗日到$40^{th}$阶的导数展开。根据这个有效拉格朗日量，我们计算了以能量扩散的色散关系为极点的能量密度响应函数的一阶回路修正。正如预期的那样，我们看到色散关系的标准导数展开式$ω=-i D_{(1)} k^2- i D_{(2)} k^4+\mathcal{O}(k^6)$由于长时间拖尾而失效。然而，我们发现阶$n$对自能的非线性贡献与$\left(k^{2}\right)^{n+1/2}$成正比。这建议通过将色散关系分成两个色散关系来修改色散关系，并将任意阶的输运系数的数量加倍为$ω=-i k^2\big( D_{(1,1)}\pm i D_{(1,2)} \left(k^2\right)^{1/2}\big)-i k^4\big( D_{(2,1)}\pm i D_{(2,2)} \left(k^2\right)^{1/2}\big)+\mathcal{O}(k^6)$。我们发现，修改后的序列，其中包括长时间的尾巴的影响，是收敛的。收敛半径与导热系数与扩散常数之比成正比。
2021-12-23 cond-mat.str-el hep-th nucl-th
Deterministic Hypergraph SYK: Melonic Dominance and Maximal Chaos Without Disorder Averaging
Department of Physics and Computer Science, Dayalbagh Educational Institute, Agra, India（戴阿尔巴格教育学院物理与计算机系）
该研究提出确定性超图SYK模型，在无无序平均下实现melonic可解性与最大混沌，并通过谱条件与数值验证其核心特征，便于量子模拟。
2026-11-04 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Kinetic Equations and Turbulence in Large $N$ Vector and SYK-like Models
The Graduate Center, CUNY（纽约市立大学研究生中心）
本文通过大N展开技术，分别推导大N矢量模型与类SYK模型的动力学方程，发现类SYK模型的动力学方程无时间局域碰撞积分，并揭示出新型强湍流标度指数。
2026-10-15 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Wormhole calculus without averaging from $O(N)^{q-1}$ tensor model
SYK模型在近似$AdS_2$空间中对费米子耦合进行平均后得到了类虫洞解。即使当耦合是固定的，这些虫洞的贡献继续存在，并出现新的鞍点被解释为“半虫洞”。本文将研究这些虫洞在一个没有淬火无序的模型中的命运，即一个具有$O(N)^{q-1}$规范对称性的张量模型，其关联函数和热力学在大$N$极限下与SYK模型相同。我们将重申与虫洞线程威尔逊运营商的因式分解问题，在全球收费或非平凡的cobordism类与断开虫洞。因此，对于配分函数，特别是在短距离分解，必须存在一定的拓扑缺陷，打破了与虫洞相关的整体对称性，使理论缺乏整体对称性。我们将把这些具有拓扑缺陷的虫洞解释为我们的“半虫洞”。我们还将评论的光谱形状因子，特别是其领先和次领先的订单的贡献来自更高的属虫孔在引力扇区的后期行为。最后，我们将展示如何，其他非平凡的鞍从“半虫洞”占主导地位，并引起不寻常的热力学在散装部门由于非微扰效应。
2022-01-11 cond-mat.str-el gr-qc hep-th
Minkowski Conformal Blocks and the Regge Limit for SYK-like Models
本文利用共形分波分析和Regge极限讨论了CFT中的散射问题。本文的重点是理解与闵可夫斯基共形块的OPE。从t通道OPE开始，它导致s通道散射振幅在t通道交换方面的扩展。通过与欧几里得共形块的对比，我们看到了在两个极限中的共形块之间的精确关系，而不需要进行显式的解析延拓。我们讨论了具有奇异$F^{(M)}(u,v)\sim {u}^{-δ}\,$的CFT相关函数$δ>0$在极限$u \rightarrow 0$和$v\rightarrow 1$中的一般特征。这里，$δ=(\ell_{eff}-1)/2$，其中$\ell_{eff}$用作有效自旋，并且它可以通过OPE来确定。特别是，它是有界的，从上，$\ell_{eff} \leq 2$，为所有的CFTs与重力对偶，它可以与弦模式插值引力子在AdS。这个奇点在历史上被称为Pomeron。这个界限几乎饱和SYK类有效的$d=1$ CFT，其弦和热修正激起了当前的兴趣。我们的分析已经通过处理Wightman函数得到了方便。我们提供了一个直接处理对角化的动力学方程，通过调和分析的物理散射区域。作为一个例子，这些方法被应用到SYK模型。
2018-09-20 hep-th
The $1/N$ expansion of tensor models with two symmetric tensors
众所周知，不具有对称性的张量的张量模型允许由melonic图支配的$1/N$展开。该结果关键地依赖于识别\emph{jackets}，\emph{jackets}是嵌入在张量图中的全局定义的带状图。相比之下，由于不存在全局夹克，对称张量的这类结果至今尚未建立。在本文中，我们介绍了一种新的方法，适用于对称张量张量模型的$1/N$展开。特别是，我们不使用任何像夹克一样的全局结构。我们证明了对于任意秩的$D$，一个具有两个对称张量和相互作用的张量模型，完全图$K_{D+1}$允许$1/N$由melonic图支配的展开。
2017-10-28 hep-th math-ph math.MP
The 1/N Expansion of Tensor Models Beyond Perturbation Theory
我们在充分的数学严密性分析最一般的四次扰动不变的随机张量的概率测度。使用一个版本的循环顶点扩展（我们称之为混合扩展），我们表明，累积量写为明确的系列在1/N加上有界的休息条款。混合扩展重铸的问题，确定subleading更正1/N成一个简单的组合问题，计数树装饰有限数量的循环边缘。作为一个旁白，我们使用的混合膨胀表明，（发散）微扰张量模型的扩展是博雷尔可和的，并证明，累积量尊重一个统一的标度界。特别是四次扰动措施下降，在N到无穷大的限制，在高斯张量模型的普适性类。
2013-04-09 hep-th math-ph math.MP
A review of the 1/N expansion in random tensor models
矩阵模型是一个非常成功的框架分析研究随机二维表面的应用量子引力在二维，弦论，共形场论，统计物理在随机几何等，他们的成功依赖于所谓的1/N展开介绍了特胡夫特。在更高维度中，矩阵模型推广到张量模型。在缺乏可行的1/N展开张量模型已经很长一段时间不太成功地提供了一个分析控制理论的随机高维拓扑空间。这种情况最近发生了巨大变化。一般复张量的模型已被证明允许由任意维度的球形拓扑图主导的1/N展开，并经历到连续统理论的相变。
2012-09-14 hep-th math-ph math.MP
The full Ward-Takahashi Identity for colored tensor models
色张量模型（CTM）是量子引力的一种随机几何方法。我们仔细研究了一般CTM相互作用的连接关联函数的结构，并通过费曼图的边界来组织它们。对于秩-$D$相互作用，包括但不限于所有的melonic $φ^4$-顶点-也就是说，只有那些四次顶点，可以导致占主导地位的球形贡献，在大-$N$扩展-上述边界图被证明是精确的所有（可能断开）顶点二部规则边-$D$-着色图。引入CTM相容边界图自同构的概念，并发展了一个辅助图演算。借助这些结构，某些$\mathrm U(\infty)$-不变性的路径积分措施是充分利用，以获得一个强大的Ward-Takahashi恒等式的CTMs与破环动力学项。对于秩-$3$ $φ^4$-理论，我们得到了2点函数的精确类积分方程。类似地，从这个完整的沃德-高桥恒等式出发，可以很容易地得到更高多点函数的精确方程。我们的结果也适用于某些群场论。总而言之，我们的非微扰方法交易的分析方法的一些图论方法。我们相信，这些工具可以扩展到张量SYK模型。
2018-12-02 hep-th math-ph math.MP
Quantum chaos transition in a two-site SYK model dual to an eternal traversable wormhole
Maldacena和Qi最近提出，二维Anti de Sitter空间（${\rm AdS}_2$）中的永恒可穿越虫洞是两个Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型低温极限的引力对偶，并通过相关相互作用（我们称之为自旋算符）耦合。本文研究了这种耦合SYK模型的谱和本征态性质。我们已经发现，在频谱的尾部的水平统计，并为足够弱的耦合，随机矩阵理论表明，穿越虫洞不是量子混沌的显着偏差。相比之下，对于足够强的耦合，对应于黑洞阶段，水平统计很好地描述了随机矩阵理论。这一转变的水平统计大致符合以前报道的霍金-佩奇过渡弱耦合。我们已经明确表明，这种热力学转变变成一个尖锐的交叉耦合增加。同样地，该临界耦合也对应于基态和热场双态（TFD）之间的重叠最小的临界耦合。在严格对角化所能达到的尺寸范围内，基态仅在强耦合极限下才能很好地近似于TFD态。这是由于基态接近于自旋算符的本征态，而自旋算符的本征态对应于最低本征值，在无限温度下是精确的TFD态。在这个区域中，谱密度被分离成以自旋算符的本征值为中心的斑点。对于较弱的耦合，指数衰减系数在张量积的基础上，典型的TFD，成为幂律。最后，我们还发现，总哈密顿量有一个额外的离散对称性，这是以前没有报道过的。
2019-03-26 cond-mat.str-el hep-th
Two indices Sachdev-Ye-Kitaev model
本文研究了原Sachdev-Ye（SY）模型在其Majorana费米子表象下的性质，称之为双指数Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型。与原SY模型相比，$ SU(M) $复费米子表示的优点是它不需要局域约束，因此更容易进行$1/M $展开。与四指数SYK模型相比，它的优点是只有两个场点指数$ J_{ij} $，而不是四个指数$ J_{ijkl} $，因此它可以更好地拟合体弦理论。通过在$ N=\infty $上进行$1/M $展开，我们证明了量子自旋液体（QSL）态在有限的$ M $上保持稳定。$ 1/M $校正是精确的边际，因此系统在任何有限的$ M $上保持一致不变。四点时间外关联（OTOC）表明，在任意有限$ M $下的$ N=\infty $和任意有限$ N $下的$ M=\infty $都不存在量子混沌.通过观察非对角通道的副本，我们发现在$ M $中存在一个指数抑制温度下的量子自旋玻璃（QSG）不稳定性。我们给出了一个满足两个大数$ N $和$ M $的判据，从而避免了QSG的不稳定性。我们推测，在任意有限的$ N $下，量子混沌出现在$ 1/M^{0} $阶，这是$ 1/M $展开式中的次引导阶.当考虑任意有限$ M $上的$ 1/N $量子涨落时，从一般的重参数化对称破缺的观点出发，我们认为，eThis工作可能会激发未来的工作去研究2指数SYK模型可能的…
2018-09-18 cond-mat.str-el hep-th nlin.CD
The 1/N expansion of colored tensor models
本文对着色三维Boulatov张量模型进行了1/N展开。如同在矩阵模型中一样，我们得到了一个系统的拓扑展开，越来越复杂的拓扑被N的越来越高的幂所抑制。我们计算了展开式的第一阶，并证明了只有对应于三个球面S^3的图才对大N极限中的首阶有贡献。
2010-11-17 gr-qc hep-th math-ph
New 1/N expansions in random tensor models
虽然随机张量模型在20年前就被引入，但直到2011年，Gurau才证明了1/N展开的存在。在这里，我们表明，实际上有不止一个1/N扩展，这取决于维数。这些新的展开可以用来定义“矩形”张量（其索引具有不同的大小）的张量模型。在大N极限下，它们比Melonic图保留更多的信息。尽管如此，在大多数情况下，大N极限被发现是高斯的，因此扩展了大随机张量的普适性定理的范围。然而，导致非高斯大N限制的缩放，在偶数维，是首次确定。
2013-04-10 gr-qc hep-th math-ph
A New Large N Expansion for General Matrix-Tensor Models
我们定义了一个新的大$N$限制一般$\text{O}(N)^{R}$或$\text{U}(N)^{R}$不变张量模型，基于一个增强的大$N$缩放的耦合常数。由此产生的大的$N$扩展是按照与费曼图相关的半整数组织的，我们称之为索引。这个指数有一个自然的解释，在许多矩阵模型嵌入在张量模型。我们的新的缩放可以被证明是最佳的广泛的一类非melonic相互作用，其中包括所有的最大单迹项。我们的建设允许定义一个新的大$D$扩展的总和超过图的固定属矩阵模型与额外的$\text{O}(D)^{r}$全球对称性。当相互作用是$R+1$阶的完全顶点时，我们详细地确定了$R$是素数的导阶图.这个稍微令人惊讶的条件相当于完整的相互作用是最大的单迹。
2019-04-21 hep-th math-ph math.MP
A review of the large N limit of tensor models
随机矩阵模型编码了随机二维表面的理论，并应用于弦理论，共形场论，随机几何中的统计物理和二维中的量子引力。他们成功的关键在于特胡夫特提出的1/N扩展。随机张量模型将随机矩阵推广到随机高维空间的理论。很长一段时间以来，张量的1/N展开都是未知的，它们的成功是有限的。最近的一系列结果改变了这一状况，实现了1/N展开到张量的推广。我们在本文中回顾这些结果。
2012-09-19 hep-th math-ph math.MP
