Positive harmonic functions of transformed random walks
Behrang Forghani, Keivan Mallahi-Karai
本文研究了离散群上随机游动的正调和函数空间在随机停时改变概率测度时的行为。我们表明，这个空间保持不变后，应用有界随机停时。
In this paper, we will study the behavior of the space of positive harmonic functions associated with the random walk on a discrete group under the change of probability measure by a randomized stopping time. We show that this space remains unchanged after applying a bounded randomized stopping time.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Asymptotic entropy of transformed random walks
考虑由马氏停时决定的群上的随机游动的一般变换，证明了渐近熵（分别为，逃逸率）等于渐近熵（分别，逃逸率）乘以相应的停时的期望。这是来自遍历论的著名的阿布拉莫夫公式的类似物，其特定情况由Kaimanovich [1983]和Hartman，Lima，Tamuz [2014]建立。
Positive harmonic functions for semi-isotropic random walks on trees, lamplighter groups, and DL-graphs
我们确定了一类“半各向同性”随机游动的所有正调和函数，即，q阶循环群与无限循环群的圈积积。这是可能的，通过几何实现的凯莱图，该组作为迪斯特尔-领导者图DL（q，q）。更一般地说，DL（q，r）是两个具有各自度$q+1$和$r+1$的齐次树的horocyclic积，我们的结果适用于所有DL-图。这是基于一个仔细研究的最小调和函数的半各向同性走在树上。
Lamplighters, Diestel-Leader graphs, random walks, and harmonic functions
$\mathbb Z$上的点灯者群是圈积$\mathbb Z_q \wr \mathbb Z$。对于一个自然生成集，它的Cayley图是Diestel-Leader图$DL(q,q)$ .我们研究了“简单”Laplacian在这个图上的调和函数，更一般地说，对于一类随机游动在$DL(q,r)$，其中$q,r \ge 2$。DL-图是两棵树的满圈积，我们利用这两棵树的边界给出了所有正调和函数的完整刻画。特别地，我们确定了最小Martin边界，即最小正调和函数的集合。
Discrete random walks on the group Sol
Kaimanovich描述了与离散随机游动规律$μ$相关的群$Sol$边界上的调和测度$ν$。我们研究了它关于勒贝格测度何时是绝对连续的或奇异的。利用熵与速度之比，证明了任意可数非交换子群都存在一个具有奇异调和测度$ν$的有限一阶矩非退化$μ$.另一方面，我们证明了某些具有阶支撑步分布的随机游动允许正则调和测度。最后，我们构造了一些特殊的随机游动具有任意小的速度，但奇异的调和测度。后两个结果是通过比较伯努利卷积，使用结果埃尔德什和Solomyak。
Conditioned random walks on linear groups I: construction of the target harmonic measure
本文构造了目标调和测度，并利用逆序恒等式引入依赖于未来观测的扰动对偶随机游走，通过有限尺寸逼近方法将问题简化为递增维度的马尔可夫链阵列，为建立条件局部极限定理奠定基础。
Conditioned two-dimensional simple random walk: Green's function and harmonic measure
本文研究二维简单随机游动关于其势核的Doob $h$变换，它可以被看作是二维简单随机游动的条件是不到达原点.我们导出了这种随机游动的格林函数的一个显式公式，并证明了在有限集上（条件）入口测度收敛到（条件游动的）调和测度的速度的一个定量结果.
Existence of the harmonic measure for random walks on graphs and in random environments
本文给出了权图上瞬态随机游动的无穷远调和测度存在的一个充分条件。特别地，当电导为i.i.d.时，该条件通过$\Z^d$上的随机电导模型$d\geq 3$来验证。并且具有正电导的键渗透。对于$\Z^2$超临界团簇上的随机游动，也存在无穷远的调和测度.这是由Barlow（2004）的结果证明的。
Alternative constructions of a harmonic function for a random walk in a cone
对于在离开锥时被杀死的随机游动，我们提出了正调和函数的两种新构造。这些构造允许人们去除相当强的可扩展性假设，这在我们之前的论文中已经被强加（Denisov和Wachtel，2015，锥中的随机游动）。因此，所有的限制结果，从该文件仍然是正确的锥，无论是凸或星形和$C^2$。
Dimension drop of harmonic measure for some finite range random walks on Fuchsian Schottky groups
本文研究Fuchsian Schottky群上有限程随机游动的调和测度，证明其维数严格低于对应极限集的Hausdorff维数，揭示了维数下降现象。
Harmonic measure for biased random walk in a supercritical Galton-Watson tree
我们考虑Galton-Watson树上的随机游动$λ$ -偏向根，其后代分布$(p_k)_{k\geq 1}$是非退化的，并且具有有限均值$m>1$ .在瞬态状态$0<λ<m$中，偏置随机游动的环擦除轨迹定义了$λ$ -调和射线，其定律是Galton-Watson树边界上的$λ$ -调和测度。本文通过证明$λ$ -调和测度具有a. s，回答了Lyons，Pemantle和Peres的一个问题.严格大于可见性测度的豪斯多夫维数，可见性测度是对应于简单向前随机游动的调和测度。我们还证明了沿$λ$ -调和射线顶点的平均子代数为a.s.其下以$m$为界，其上以$m^{-1}\sum k^2 p_k$为界。此外，至少对于$0<λ\leq 1$，沿着$λ$ -谐波射线的顶点的子节点的平均数量是a.s.严格大于$λ$偏置的随机游动轨迹。我们观察到，后者是不是单调的偏置参数$λ$。
Large deviations and wandering exponent for random walk in a dynamic beta environment
动态同分布中的随机游动β随机环境，以非典型速度逃逸为条件，收敛到原始行走的Doob变换。Doob变换的环境在时间上是相关的，i.i.d.它的边缘密度函数是β密度和超几何函数的乘积。在其平均分布下，变换行走服从游荡指数2/3，符合Kardar-Parisi-Zhang普适性. Doob变换中的调和函数来自Busemann型极限，并且对于猝灭的大偏差速率函数，在变分问题中作为极值出现。
Harmonic polynomials and other exactly computable characteristics for $2$-dimensional random walks in cones
本文研究了二维随机游走在锥体中的行为，证明当开角α=π/m时存在调和多项式，并给出了退出时间的精确表达式。
On harmonic Functions of killed Random Walks in two dimensional convex Cones
本文证明了当二维凸锥的顶点为0时，在具有非零漂移的欧氏格上的随机游动存在可数个正的调和函数。我们的证明是一个适应的证明正象限从[Ignatiouk-Robert，Loree]。我们还对一般二维凸锥的Martin边界作了自然猜想。这仍然是一个悬而未决的问题，在这里我们只指出了正象限的证明技术在哪里失败了。
Harmonic functions for singular quadrant walks
我们考虑局限于四分之一平面的离散（时间和空间）随机游动，仅在具有$i+j \geq 0$的$(i,j)$方向上跳跃，以及小的负跳跃，即，$i,j \geq -1$。这些行走被称为奇异的，最近从组合的角度进行了深入的研究。在本文中，我们展示了如何补偿的方法介绍了在90年代的Adan，Wessels和Zijm可能适用于计算正调和函数与Dirichlet边界条件。特别地，在随机游动具有正坐标漂移的情况下，我们导出了逃逸概率的显式公式，逃逸概率是趋向无穷大而不到达边界轴的概率。这些公式通常涉及著名的递归序列，如斐波那契数。作为第二步，我们提出了一个概率解释先前构建的调和函数，并证明它们允许计算所有这些奇异行走的正调和函数。为此，我们推导了四分之一平面上各个方向上的格林函数的渐近性，并利用Martin边界理论。
Harmonic functions of random walks in a semigroup via ladder heights
本文研究了可数群上随机游动的调和函数和比序列$(P_x(τ_\vartheta {>} n)/P_e(τ_\vartheta {>} n))$的收敛性，该随机游动在$τ_\vartheta$第一次从某个含单位元$e$的半群中退出的时刻终止.将一维随机游动在正半线第一个出口处死亡的经典更新理论的几个结果推广到多维情形。为此，引入了阶梯高度过程的模拟和相应的更新函数$V$。结果适用于多维随机游动杀死后，第一次退出凸锥。我们的方法结合了大偏差估计和Choquet-Deny理论的扩展。
Singularity of harmonic measure for finitely supported random walks
本文通过构造测地流并利用边界傅里叶分析，证明了余紧富克斯群上有限支撑非退化随机游走的调和测度具有奇异性。
The ratio set of the harmonic measure of a random walk on a hyperbolic group
本文研究非顺从双曲群上有限程随机游走对应的Gromov边界调和测度的轨道等价关系，通过Martin核生成值确定其比值集，证明该等价关系为III型但绝非III₀型。
Invariance principles for random walks in cones
我们证明了多维随机游动的条件是留在一个锥的不变原理。我们的第一个结果涉及收敛到布朗曲流的锥。进一步证明了$h$ -变换随机游动到布朗运动的相应$h$ -变换的泛函收敛性.最后证明了锥上随机游动桥的一个不变原理。
Random walks in the quarter plane, discrete harmonic functions and conformal mappings
本文提出了一种新的方法来寻找具有Dirichlet条件的四分之一平面上的离散调和函数。它是基于求解由调和函数所取值的母函数所满足的函数方程。作为我们的结果的第一个应用程序，我们得到一个简单的表达的调和函数，管辖的渐近尾分布的第一个退出时间的随机游动从四分之一平面。作为另一个推论，我们证明了，在零漂移的情况下，离散调和函数的唯一性。
Harmonic measures versus quasiconformal measures for hyperbolic groups
建立了双曲群上双支撑对称随机游动的调和测度的维数公式。我们还刻画了这个维度是最大的随机游动。我们的方法是基于绿色度量，度量，它提供了一个几何的角度来看，随机游动，特别是，它允许我们解释调和测度作为\qc措施的边界上的组。
On Transformations of Markov Chains and Poisson Boundary
一个离散时间马尔可夫链可以通过观察它的状态沿着几乎必然有限的停时的迭代而转化为一个新的马尔可夫链。根据选择停止定理，关于原链的转移函数的任何有界调和函数关于变换链的转移函数是调和的。相反的包含一般是不正确的。我们的主要结果提供了一个关于停时的充分条件，保证了变换链的有界调和函数空间嵌入原链的有界调和序列空间.在某些附加条件下，我们还得到了正无界调和函数的类似结果。我们的工作是由Forghani-Kaimanovich，充分研究的情况下，当马尔可夫链是一个离散群上的随机游动的动机和类似。
Equivariant discretizations of diffusions, random walks, and harmonic functions
本文研究了扩散、随机游走和调和函数的协变离散化方法，探讨了Lyons-Sullivan离散化与相关函数理论。
Harmonic maps on amenable groups and a diffusive lower bound for random walks
证明了无限传递图上随机游动的逃逸率的扩散下界。类似的估计也适用于有限图，直到步行的松弛时间。我们的方法使用取值于希尔伯特空间的非常数等变调和映射。对于离散的，顺从的群体的特殊情况下，我们提出了一个更明确的证明Mok-Korevaar-Schoen定理的存在，这样的调和映射，通过构建他们从热流的Følner集。
Boundaries and harmonic functions for random walks with random transition probabilities
群（在时间和空间上都是齐次的）上通常的随机游动由群上的概率测度决定。在具有随机转移概率的随机游动中，这个单一的测度被一个平稳的测度序列所取代，这样得到的（随机）马尔可夫链仍然是空间齐次的，但不再是时间齐次的。我们研究了与此模型相关的测量理论边界的各种概念，并建立了（随机）有界调和函数的泊松公式的模拟。在自然条件下的转移概率，我们确定了这些边界的几类群的双曲性质，并证明了边界平凡（即，不存在非常数的随机有界调和函数）的次指数增长群，特别是幂零群。
Random Walks on Simplicial Complexes and Harmonics
本文引入了单纯复形上具有吸收状态的随机游动。给定一个$d$维的单纯复形，定义了一个具有吸收状态的随机游动，它与$1 \leq k \leq d$的$d$维Laplacian的谱有关，并且与范涌定义的图上的局部随机游动有关.我们还研究了随机游动在单纯复形的半监督学习问题的应用。具体来说，我们考虑一个标签传播算法的定向边缘，这适用于推广的部分标记分类问题的图。
Discrete harmonic functions in the three-quarter plane
在这篇文章中，我们感兴趣的是寻找正的离散调和函数的Dirichlet条件在三个象限。而平面格（随机）行走的象限已经得到了很好的研究，行走的情况下，避免了一个象限最近已经发展。我们扩展的方法在四分之一平面-通过边值问题使用共形映射的函数方程的决议-四分之三平面应用的战略分裂域成两个对称的凸锥。我们得到了与避开象限的随机游动相关的调和函数的代数母函数的一个简单的显式表达式。
Harmonic problems arising from continuous time random walks limit processes
本文提出一种确定连续时间随机游走极限过程非局部控制演化方程的通用方法，证明了Feller过程经从属子过程超调时间变换情形下的适定性，并统一了文献中多种相关研究思路。
Harmonic analysis of finite lamplighter random walks
最近，几篇论文已经致力于分析点灯随机游动，特别是当底层图是无限路$\mathbb{Z}$。本文研究了有限图上点灯随机游动的谱分析。在一般情况下，我们使用的$C_2$ -对称性，以减少频谱计算的一系列本征值问题的基础图。在图有传递等距群$G$的情况下，我们还用圈积$C_2\wr G$的表示论描述了谱分析。我们将我们的理论应用于完全图和离散圆上的点灯随机游动。这些例子已经被哈格斯特龙和乔纳森用概率方法研究过了。
Harmonic Reduction of Spin-Coupled Grover Walks on Hypercubes via Quantum Bernoulli Noises
该研究在量子伯努利噪声框架下，通过对称群表示论对超立方体上自旋耦合Grover行走进行谐波约化，得到八维约化动力学与显式长时间概率行为，明确了其同型结构与约化谱。
Absolutely continuous Furstenberg measures for finitely-supported random walks
本文将有限支撑对称测度的Bourgain构造从$\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$推广到一般的单李群上，其Furstenberg测度具有光滑密度.证明是相同的Bourgain的，除了使用傅里叶级数是取代调和分析上的一个极大紧子群。
Random walks in cones revisited
在本文中，我们继续我们的研究多维随机游动具有零均值和有限方差杀死离开一个锥。本文提出了一种新的方法，在极小矩条件下，可以在Lipschitz锥中构造一个正的调和函数。这种方法还允许获得关于离圆锥边界不远的调和函数的行为的更精确的信息。在新的矩条件下证明了极限定理。
Matrix random products with singular harmonic measure
本文证明了$SL(d,R)$的任意Zebraki稠密可数子群都带有一个非退化的带支撑的对称随机游动，使得它在标志空间上的调和测度是奇异的.证明的主要内容是：（1）一个新的上估计的豪斯多夫维数的投影的调和测度到格拉斯曼在$R^d$在相关的微分熵和差异之间的李雅普诺夫指数;（2）一个明确的建设随机游动一致有界熵和李雅普诺夫指数走向无穷大。
Harmonic functions, h-transform and large deviations for random walks in random environments in dimensions four and higher
本文考虑了一致椭圆同分布中最近邻随机游动的大偏差。$\mathbb{Z}^d$上的环境。存在分别由Rosenbluth和Varadhan得到的猝灭和平均速率函数$I_q$和$I_a$的变分公式。$I_q$和$I_a$不完全相等。然而，当$d\geq4$和行走满足Sznitman的所谓（T）条件时，它们在开集$\mathcal{A}_{\mathit {eq}}$上是相等的。对于每一个$ξ\in\mathcal{A}_{\mathit {eq}}$，我们证明了包含$ξ$和原迁移核的Laplace型方程正解的存在性.然后，我们使用这个解决方案来定义一个新的过渡内核通过h变换技术的Doob。这个新的内核对应于唯一的最小值Varadhan的变分公式在$ξ$。它也对应于Rosenbluth的变分公式的唯一极小，只要后者稍微修改。
Transition probabilities for infinite two-sided loop-erased random walks
无限双侧环擦除随机游动（英语：infinite two-sided loop-erased random walk，LERW）是一种关于无限自避免游动的测度，它可以被看作是给出了一个通过0和无穷大的无限LERW环的“中间部分”的定律。在本文中，我们推导出该模型在二维及二维以上的转移概率的表达式。在平面中，该公式可以进一步表示为拉普拉斯算子，其具有作用于行走的尖端处的某些离散调和函数的带符号权重，并且取行列式。离散调和函数与复数平方根的离散形式密切相关。
Boundary values, random walks and $\ell^p$-cohomology in degree one
顺从群的约化$\ell^2$ -上同调的消失可以追溯到Cheeger和Gromov的工作。这里的主题是$p \in ]1,\infty[$的约化$\ell^p$-上同调，特别是它的消失.例如，当$p \in ]1,2]$和$G$服从时;当$p \in ]1,\infty[$和$G$是Liouville（特别是中间生长）时，得到显示其平凡性的结果。这是通过回答一个问题的潘苏假设图满足等周轮廓。也就是说，简化的$\ell^p$ -上同调的平凡性等价于在$\ell^q$中不存在具有梯度的非常数有界（等价地，不一定有界）调和函数（$q$取决于轮廓）。特别是，一个减少问题的非线性分析（$p$ -调和函数）的线性（调和函数与限制性增长条件）。
Scaling Limits of Random Walks, Harmonic Profiles, and Stationary Non-Equilibrium States in Lipschitz Domains
本文研究有界 Lipschitz 区域中开放 SEP/SIP 及其对偶随机游走，证明不同边界条件下的 Brown 极限与调和剖面收敛，并导出流体动力学、流体静力学极限及稳态非平衡涨落。
On the inclusion of bounded harmonic functions of random walks
本文研究了随机游走中概率测度间有界调和函数的包含性条件，通过鞅收敛技术证明渐近交换性可保证包含性，并应用至nilpotent群的Choquet-Deny定理证明。
Green function of a random walk in a cone
研究了多维随机游动离开光滑边界的凸锥时的格林函数的渐近性态。我们的结果意味着唯一性，直到一个乘法因子，正调和函数的杀死随机游动。
Discrete harmonic polynomials in multidimensional orthants
本文研究多维象限中随机游走的离散调和多项式存在性与锥体几何性质（是否为Weyl chamber）的关系，证明前者蕴含后者，并在二维情形下给出逆命题及其与概率调和函数的一致性。
Isotropic random walks on affine buildings
本文应用球调和分析的技巧证明了不可约型正则建筑物上各向同性随机游动的局部极限定理、逃逸率定理和中心极限定理。
Percolation Perturbations in Potential Theory and Random Walks
我们证明了在一个非顺从群的Cayley图上，Bernoulli渗流的无限簇对于简单随机游动几乎必然是瞬态的，在这些簇上的简单随机游动具有正速度，并且这些簇允许有界的调和函数.一个主要的新发现，这些结果的基础是，这样的集群承认不变的随机子图正等周常数。我们还表明，在任何顺从凯莱图的渗流集群几乎肯定不承认非常数调和狄利克雷函数。相反，在一个含有非常数调和Dirichlet函数的Cayley图上，当$p$充分接近1时，几乎必然$p$ -Bernoulli渗流的无限簇也含有非常数调和Dirichlet函数.提出了许多问题和建议。
Martin boundary of a killed random walk on $\Z_+^d$
研究了d维随机游动的Martin紧化，当至少有一个坐标为零或为负时，该游动被杀死。马丁核的极限表示在相关的诱导马尔可夫链的调和函数。证明了满足lim_nPDMATHABMM = \infty和lim_nx_n/ |x_n| = q的任意点列x_n在Martin紧化中是基本的，如果直到常数乘为止，对应于方向q的诱导马氏链有唯一的正调和函数.对一维随机游动的笛卡儿积得到了完全Martin紧化.该方法涉及比例极限定理和标度过程样本路径的大偏差原理，导致格林函数的对数渐近性。
The difference between a discrete and continuous harmonic measure
考虑离散时间连续状态随机游动，其步数均匀分布在$h$半径的圆盘上。对于平面中的单连通域$D$，令$ω_h(0,\cdot;D)$为与该随机游走相关联的$0\in D$处的离散调和测度，并且$ω(0,\cdot;D)$为$0$处的（连续）调和测度。对于具有解析边界的区域$D$，证明了存在$\partial D$上的有界连续函数$σ_D(z)$，使得对于某些$α>0$ $$ \lim_{h\downarrow 0} \frac{\int_{\partial D} g(ξ) ω_h(0,|dξ|;D) -\int_{\partial D} g(ξ)ω(0,|dξ|;D)}{h} = \int_{\partial D}g(z) σ_D(z) |dz|. $$，对于$C^{2+α}(\partial D)$中的函数$g$，我们给出了$σ_D$关于从$D$到单位圆盘的共形映射的显式表达式.证明依赖于一些精细的近似的潜在的内核和格林函数的随机游动的连续的同行，这可能是独立的利益。
Ordered exponential random walks
本文研究分量保持有序的指数增量随机游走，通过Doob h-变换构造有序过程，给出尾部概率渐近、局部极限定理及极值粒子分布的Fredholm行列式表示。
Continuity for random walks in hyperbolic percolation: drift, entropy, and dimension
本文证明了双曲群Cayley图渗流无限簇上随机游走的漂移和渐近熵随渗流参数连续变化，进而推出调和测度Hausdorff维数的连续性。
Random walks in time-inhomogeneous random environment conditioned to stay positive
考虑了非时齐随机环境$ξ$中的随机游动$\{S_n\}_{n\in \mathbb{N}}$.对于$ξ$的几乎每一个实现，我们制定了一个淬火的调和函数，基于此，我们可以定义的随机环境中的随机游动条件下保持积极的Doob的$h$ -变换。此外，我们证明了淬火不变原理的条件随机游动几乎每一个实现的$ξ$。
Dimension formula for harmonic measures in invariant random graphs on Gromov hyperbolic spaces
本文证明双曲群渗流团簇上简单随机游走的调和测度具有精确维数，其豪斯多夫维数等于熵除以速度，方法基于Gaboriau的团簇关系，适用于广泛随机环境。
Lamplighter Random Walks and Entropy-Sensitivity of Languages
本论文的主要目的是研究无限图的几何性质与其上的转移算子、调和函数和随机游动等分析和概率对象之间的相互作用。对于瞬态随机游动，有几个问题是人们感兴趣的：例如，研究其收敛性，描述随机游动的有界调和函数，描述其Poisson边界，或研究随机游动的转移概率的指数衰减参数。在论文的第一部分中，我们处理的背景下，所谓的点灯图，这是图的圈积的随机游动类似的问题。研究了不同图下的点灯随机游动的收敛性和Poisson边界，所用的方法大多是几何性质的.在论文的第二部分，我们考虑有向标号图上的马尔可夫链。与这样的图，我们在一个自然的方式相关联的一类无限的语言（集标签的路径图），我们研究的增长敏感性（或熵敏感性），这些语言使用马尔可夫链。
Discrete harmonic functions in Lipschitz domains
证明了在$\mathbb{Z}^d$中，当离开全局Lipschitz域时，满足有限值域、中心和椭圆性条件的随机游动的离散非负调和函数的存在唯一性.我们的方法是基于比较参数和离散潜在的理论技术的系统使用。
A note on the Martin boundary of the simple random walk on an example of directed graph
本文研究了一类有向图上简单随机游动的Martin边界。更准确地说，马丁边界被证明是平凡的，即不存在非常数正调和函数。证明涉及精细估计的格林函数，这是总结在本说明。
The Exit Distribution for Smart Kinetic Walk with Symmetric and Asymmetric Transition Probability
证明了智能动能行走（SKW）的出区点的分布在六角格子上按分布收敛于调和测度。对于其他的格，相信这个结果仍然成立，并且有很好的数值证据支持这个猜想。在这里，我们检查的对称性和不对称性的转移概率的SKW上的每一步的正方形格子的效果和测试，如果出口分布收敛于调和测度以及分布。从我们的模拟，有限的出口分布的SKW与非均匀的，但对称的转移概率的晶格间距为零是调和测度。这个结果不适用于非对称的转移概率。我们还对具有对称转移概率出口分布的SKW与调和测度的区别感兴趣。我们的模拟提供了强有力的支持，明确的猜想，这个一阶差。下面将给出该猜想的显式公式。
Harnack inequality for subordinate random walks
本文研究了整数格$\mathbb{Z}^d$上的一大类从属随机游动$X$，其从属子的Laplace指数是在零处满足一定的低标度条件的完全Bernstein函数.建立了一步转移概率、格林函数和球的格林函数的估计，证明了非负调和函数的Harnack不等式.
Invariant Measures, Hausdorff Dimension and Dimension Drop of some Harmonic Measures on Galton-Watson Trees
我们考虑无限无叶Galton-Watson树和i.i.d.~随机变量在它们的每个顶点上称为标记。我们定义了一类流规则标记的Galton-Watson树，我们能够在一些代数假设下，建立明确的不变测度。我们应用这一结果，连同遍历理论的Galton-Watson树在\cite{LPP95}开发，计算豪斯多夫维数的调和测度在两种情况下。第一个是Galton-Watson树上的（瞬态）$λ$ -有偏随机游动的调和测度，其中的不变测度和维数都是未知的.第二种情况是一个具有随机长度的Galton-Watson树上的随机游动模型，我们计算了其调和测度的维数，并对边界上的自然度量和另一个依赖于随机长度的度量给出了降维现象.
Random walks in Weyl chambers
研究 C 型和 D 型 Weyl 室中零均值有限方差随机游走，在最优矩条件下构造正调和函数，并给出退出时间的尾部渐近性。
Harmonicity of Gibbs measures
本文将具有给定Poisson边界的随机游动的构造推广到广义吉布斯态类测度的情形。放弃$α$ -拟共形假设的代价是我们必须将注意力限制在CAT（$-κ$）群上。除了所需的新的估计，我们证明了一个新的逼近计划，提供一个积极的基础，在度量测度空间的正函数。
Central limit theorems for non-symmetric random walks on nilpotent covering graphs: Part II
本文从Kotani和Sunada离散几何分析的观点出发，研究了幂零覆盖图上非对称随机游动的另一类中心极限定理.我们引入了一个单参数的随机游动族，它是在原来的非对称随机游动和对称化后的随机游动之间插值的。首先，通过离散调和映射将幂零覆盖图实现为幂零李群，证明了随机游动族的一个半群CLT。极限扩散半群是由幂零李群上的均匀化子拉普拉斯算子在渐近方向上具有常数漂移而生成的，它具有与对称化随机游动相关的Albanese度量.我们接下来证明一个功能性的CLT（即，Donsker型不变原理）在幂零李群上的Holder空间中的推广.应用校正方法，我们最后扩展这些CLTs的情况下，实现不一定是谐波。
$t$-Martin boundary of killed random walks in the quadrant
我们计算了二维小步长随机游动在四分之一平面的边界处被杀死的$t$ -Martin边界。我们进一步提供了离散$t$ -调和函数的生成函数的显式表达式。我们的方法是统一的$t$，并表明，有三个制度的马丁边界。
A Furstenberg type formula for the speed of distance stationary sequences
证明了距离平稳随机序列的速度公式。一个特殊的情况是经典公式的最大李雅普诺夫指数的独立同分布。在射影空间上，二乘二矩阵关于平稳测度的乘积。我们将这个结果应用到黎曼对称空间上的Poisson-Delaunay随机游动。特别是，我们得到尖锐的估计双曲Poisson-Delaunay随机游动的速度的渐近行为时，强度的泊松点过程趋于零。这使我们能够证明，一个降维现象发生的调和测度与这些随机游动。用同样的技术，我们给出的例子co-compact富克斯群的调和测度的简单随机游动的维数小于1。
Dimension conservation of harmonic measures in products of hyperbolic spaces
本文研究双曲空间乘积上随机游走的调和测度，证明在有限一阶矩和非初等边缘分布条件下，边界乘积上的调和测度满足维数守恒。
Central limit theorems for non-symmetric random walks on nilpotent covering graphs: Part I
本文从离散几何分析的角度研究了幂零覆盖图上非对称随机游动的中心极限定理.建立了幂零覆盖图上非对称随机游动的半群CLT。通过离散调和映射将幂零覆盖图实现为幂零李群，给出了幂零李群上极限半群的一个几何刻画。更精确地说，我们证明了极限半群是由具有非平凡漂移的次拉普拉斯算子在具有Albanese度量的幂零李群上生成的。漂移项由随机游动的非对称性引起，当随机游动对称时漂移项消失。此外，通过施加“中心条件”，我们建立了一个功能性的交际法（即，Donsker型不变性原理）在幂零李群上的Hoelder空间中。功能CLT的情况下，实现不一定是谐波。我们还得到了幂零李群上极限扩散过程的一个显式表示，并讨论了它与粗糙路理论的关系。最后，我们给出了几个幂零覆盖图上的随机游动的例子，并给出了显式计算。
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