Weak KAM Theorem for a Class of Infinite-Dimensional Lagrangian systems
Guanghua Shi, Cheng Yang
本文研究了无穷维Lagrange系统，其中势函数是周期的，重排不变的，弱上连续的。证明了每个$M\in L^{2}(I)$都存在一条校准曲线。
In this paper, we study infinite-dimensional Lagrangian systems where the potential functions are periodic, rearrangement invariant and weakly upper semicontinuous. And we prove that there exists a calibrated curve for every $M\in L^{2}(I)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A selection of a weak KAM solution of the sub-riemannian Mañé Lagrangian
研究亚里桑德罗-马尼拉格朗日量的弱KAM解，基于托勒密结构和水平向量场的不变测度，探讨扰动趋于零时的解特性。
Constructive QP-Time-dependent KAM Algorithm for Lagrangian Tori
本文提出一种计算准周期哈密顿系统中纤维式拉格朗日环面的构造性QP时间依赖KAM算法，其收敛性已获证明，并通过Tokamak模型和涡度缺陷模型展示了应用。
Proximal aiming in weak KAM theory with nonsmooth Lagrangian
本文提出一种基于非光滑拉格朗日量的弱KAM理论扩展方法，通过近似瞄准方法构建近优反馈策略，并利用线性规划确定有效霍尔纳函数。
KAM theorems and open problems for infinite dimensional Hamiltonian with short range
介绍了有限维短程Hamilton算子的几个KAM定理，讨论了线性化算子的谱与不变环面的关系。特别地，本文引入了一个KAM定理（Cummun. Math.Phys.226，61-100（2002）），这表明对于一类具有短程和纯点谱的线性化算子的哈密顿量，存在丰富的KAM环面。这里也提出了几个开放的问题。
An abstract infinite dimensional KAM theorem with application to nonlinear higher dimensional Schrodinger equation systems
本文研究了具有周期边界条件的高维非线性Schrodinger系统。建立了一个抽象的无穷维KAM定理，并将其应用于具有实Fourier乘子的非线性Schrodinger方程组。通过建立块对角规范形，证明了无穷维动力系统对应于有限维不变环面的一类Whitney光滑小振幅拟周期解的存在性.
An infinite dimensional KAM theorem with application to two dimensional completely resonant beam equation
本文考虑L^2（\T^2）的一个子空间上具有立方非线性项的\T^2上的完全共振梁方程，这将在后面解释。建立了一个抽象的无限维KAM定理，并将其应用于完全共振梁方程。证明了一类对应于有限维环面的Whitney光滑小振幅拟周期解的存在性。
Full-dimensional KAM torus with frequency-preserving in infinite-dimensional Hamiltonian systems
本文针对无穷维哈密顿系统，利用生成函数法证明了非退化条件下不依赖谱渐近性的保频率全维KAM环面存续性，是该领域首个柯尔莫哥洛夫型结果，并肯定回答了Bourgain关于一维非线性薛定谔方程全维不变环面存在性的猜想。
Weak solutions of the Hamilton-Jacobi equation for time periodic lagrangians
在这项工作中，我们证明了存在的Fathi的弱KAM解的周期拉格朗日量，并给出了所有的建设。
Strict sub-solutions and Mañe potential in discrete weak KAM theory
在本文中，我们解释了弱KAM理论的离散情况下的一些事实。在该设置中，拉格朗日被替换为成本$c:X\times X \to \mathbb{R}$，在“合理”空间$X$上。这包括例如周期性的时间依赖拉格朗日的情况。众所周知，在这种情况下，可以适应大多数弱KAM理论。一个主要的区别是临界子解不一定是连续的。我们将展示如何定义Mañe势。与拉格朗日情形相反，这种势是不连续的。我们将从Mañe势的连续点集合以及临界子解中恢复Aubry集。
KAM theorem with large perturbation and application to network of Duffing oscillators
证明了由可积大Hamilton函数定义的一类哈密顿系统存在一个具有给定丢番图频率向量的不变环面.在应用方面，我们证明了具有周期外力的有限Duffing振子网络对几乎所有的初值都具有Lagrange稳定性。
Properties of action-minimizing sets and weak KAM solutions via Mather's averaging functions
研究了Tonelli Lagrange系统和哈密顿系统的作用极小不变集的性质以及Hamilton-Jacobi方程的弱KAM解.我们的主要发现是Mather α函数的暴露点和极值点与作用极小化不变集的不交性和图形性质密切相关，这也与系统的$C^0$可积性和Hamilton-Jacobi方程的光滑弱KAM解的存在性有关.
Stochastic Time-Periodic Tonelli Lagrangian on Compact Manifold
本文研究了紧致流形上的一类时间周期随机Tonelli Lagrange算子。更准确地说，我们讨论了随机Mane临界值，证明了相关Hamilton-Jacobi方程的随机弱KAM解的存在性。此外，我们调查的整体极小。
An Infinite-dimensional KAM Theorem with Normal Degeneracy
本文针对法向退化的无穷维哈密顿系统，提出用拓扑度条件和弱凸性条件替代传统非退化假设，从而在仅要求扰动小且解析的条件下证明了下维环面的保持性。
An infinite-dimensional Weak KAM theory via random variables
我们使用随机变量的方法发展了无限维弱KAM理论的几个方面。证明了无限维胞腔问题存在一个黏性解，该解是Lax-Oleinik半群的一个不动点.此外，我们证明了定义在R上的不变极小化测度和校准曲线的存在性。
KAM Theorem for a Hamiltonian system with Sublinear Growth Frequencies at Infinity
证明了一类频率在无穷远处次线性增长的哈密顿系统的无穷维KAM定理。作为应用，我们证明了具有拟周期含时强迫的线性分数阶薛定谔方程的约化。
A KAM Theorem for Higher Dimensional Reversible Nonlinear Schrödinger Equations
本文证明了无穷维可逆系统的一个抽象KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）定理。利用这个KAM定理，我们得到了$d-$环面$\mathbb{T}^d$上一类可逆（非Hamilton）耦合非线性薛定谔方程组拟周期解的存在性和线性稳定性.
A new kind of Lax-Oleinik type operator with parameters for time-periodic positive definite Lagrangian systems
本文引入了一类新的与正定拉格朗日系统有关的带参数的Lax-Oleinik型算子，它既适用于时间周期情形，也适用于时间无关情形。一方面，以任意$u\in C(M,\mathbb{R}^1)$为初始条件的新的Lax-Oleinik型算子族在时间周期情形下收敛于向后弱KAM解，而Fathi和Mather证明了Lax-Oleinik半群不存在这样的收敛性.另一方面，以任意$u\in C(M,\mathbb{R}^1)$为初始条件的新的Lax-Oleinik型算子族在时间无关情形下比Lax-Oleinik半群更快地收敛到向后弱KAM解.
KAM tori for the generalized Bejamin-Bona-Mahony equation
研究了一类具有周期边界条件的广义Benjamin-Bona-Mahony（gBBM）方程.基于一个新的无穷维Kolomogorov-Arnold-Moser（KAM）定理，证明了gBBM方程存在大量具有两个高模频率的时间拟周期解.
The existence of full dimensional KAM tori for infinite dimensional Hamiltonian systems with long range interactions
研究具有长程相互作用的无限维力学系统，在布尔甘型丢番图条件下，证明全维KAM环面存在，其不变环面半径有较慢衰减。
A KAM theorem for the Hamiltonian with finite zero normal frequencies and its applications
本文研究了具有有限个零简正频率的无限维哈密顿系统的KAM环面的存在性。通过构造一个常数，我们证明了对于勒贝格测度意义下的“大多数”频率，如果该常数为零，则存在KAM环面;如果该常数不为零，则在某个域中不存在KAM环面。作为应用，我们证明了具有零频率的非线性薛定谔方程存在多个拟周期解。
KAM theorem with normal frequencies of finite limit-points for some shallow water equations
通过构造一个无穷维KAM定理，证明了一些浅水方程如Benjamin-Bona-Mahony方程和广义$d$ -Dim. Pochhammer-Chree方程在某些边界条件下，存在多个（一族有限维正勒贝格测度的初值）时间上的拟周期光滑解.
Weak KAM theorem for Hamilton-Jacobi equations
本文将弱KAM定理从正拉格朗日系统推广到“真”Hamilton-Jacobi方程。引入了一个隐式定义的发展Hamilton-Jacobi方程解半群。通过研究解半群的性质，证明了定常方程\begin{equation*} H(x, u, d_x u)=0. \end{equation*}解半群的收敛性和弱KAM解的存在性
Weak KAM pairs and Monge-Kantorovich duality
拉格朗日系统的全局最小化轨道的动力学可以使用障碍函数来研究，就像马瑟第一次做的那样，或者使用Fathi引入的弱KAM解对。本文的中心观察是，Fathi弱KAM对正是Kantorovich问题的对偶Monge运输问题的障碍函数为成本的容许对。我们利用这一观察恢复障碍函数和一组弱KAM对之间的关系，在公理化和基本的方式。
On the Kolmogorov theorem for some infinite-dimensional Hamiltonian systems of short range
本文证明了对于无限自由度短程近似可积解析哈密顿系统$ H(I,θ) = H_{0}(I)+ εH_{1}(I,θ)$，在给定的$ I^{0}$的一个充分小邻域内存在具有给定频率的无限KAM环面.也就是说，我们将原来的Kolmogorov定理推广到无限维的短程情形。证明是基于有限维Kolmogorov定理的近似和一个改进的KAM机器，它适用于依赖于初始$ I^{0}$的规范型。
Weak KAM theory for discount Hamilton-Jacobi equations and its application
发展了折扣Hamilton-Jacobi方程和相应的折扣Lagrangian/Hamiltonian动力学的弱KAM理论。然后将其应用于消失折扣过程中黏性解的误差估计。主要特点是介绍和研究家庭的$α$ -极限点的最小化曲线，与一些细节方面的最小化措施。在误差估计中，利用相应的动力系统的性质，有效地利用了$α$ -极限点族.
KAM Theory. Part I. Group actions and the KAM problem
这是一本关于卡姆理论的书的第一部分。我们从基本的辛几何出发，回顾了达布-温斯坦定理、作用角坐标及其整体障碍。然后，我们解释了Kolmogorov的不变环面定理的内容，并使其更一般化，允许讨论一般Poisson代数上的任意不变拉格朗日簇。我们把它纳入一般的正规形和群作用问题中。我们解释的迭代法使用Kolmogorov通过给一个有限维模拟。第一部分解释了在这种情况下，我们适用的理论Kolmogorov空间将形成核心的第二部分。
KAM for Hamiltonian partial differential equations with weaker Spectral Asymptotics
本文建立了一个抽象的无穷维KAM定理，它涉及弱谱渐近性Ω_{i}（Ω）=i^d+o（i^{d}）+o（i^δ），其中$d>0, δ<0$可应用于一大类高维Hamilton偏微分方程.由此证明了薛定谔方程、具有指数非线性项的Klein-Gordon方程以及其他任意空间维的方程都存在许多不变环面，从而存在许多拟周期解.
The Lax-Oleinik semi-group: a Hamiltonian point of view
弱KAM理论是由Fathi为了研究凸哈密顿系统的动力学而发展起来的。它在某种程度上使哈密顿-雅可比方程的黏性解和哈密顿系统的马瑟不变集之间架起了一座桥梁，尽管这只是一个后验的理解。这些理论在凸性假设下趋于一致，应用的丰富性主要来自于这种显著的一致性。在本课程中，我们提供了弱KAM理论的一些基本概念的初步阐述。在一个同伴讲座，阿尔伯特法特希暴露方面，他的理论是更直接相关的黏性解。相反，这里我们关注的是动力学应用，即使我们也讨论了一些粘性方面，以强调与Fathi讲座的联系。关于弱KAM理论的基本参考是Albert Fathi \textit{Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics}尚未出版的书。虽然我们没有提供新的结果，但我们的论述在几个方面是原创的。我们只使用哈密顿量，不依赖拉格朗日量，即使有些证明直接来自经典拉格朗日证明。通过选择某种特定的设置，这种方法变得更容易。我们研究了$\Rm^d$，并对哈密顿量作了统一假设。这使得我们可以用明确的估计来代替一些紧性参数。然而，对于最有趣的动力学应用程序，紧凑的配置空间仍然是一个有用的假设，我们检索它考虑周期（在空间中）哈密顿。本文主要讨论Hamilton-Jacobi方程的Cauchy问题和与之相关的Lax-Oleinik发展算子，并通过考虑这些发展算子的不动点，即弱KAM解，得到动力学应用.演化算子…
Weak KAM theory in higher-dimensional holonomic measure flows
本文在高维完整测度流背景下建立弱KAM理论，构造弱KAM解并证明其常对应满足Hamilton-Jacobi方程的恰当形式，同时刻画了可最小化Lagrangian量。
Kolmogorov invariant torus theorem for weakly interacting particles I: Full dimensional tori
本文提出一个抽象KAM定理，用于研究无限多相互作用粒子系统，构建全维KAM tori以应对长程相互作用。
Minimizers of Dirichlet functionals on the n-torus and the Weak KAM Theory
给定$n-$环面$T^n$上的概率测度$μ$和旋转向量$k\in R^n$，我们问是否存在积分$\int_{T^n} |\gradϕ+k|^2 dμ$的极小元。这个问题导致，自然，一类椭圆型偏微分方程和最佳运输（蒙格-康托洛维奇）类问题的环面。它也与高维奥布里-马瑟理论有关，处理周期拉格朗日量的不变集，被称为“弱KAM理论”。
Constructive Approaches to QP-Time-Dependent KAM Theory for Lagrangian Tori in Hamiltonian Systems
本文提出一种构造性KAM方法，通过参数化降维与拟牛顿迭代，在周期或准周期时间依赖的哈密顿系统中计算拉格朗日不变环面，并给出可数值实现的收敛性证明。
Uniqueness of Invariant Lagrangian Graphs in a Homology or a Cohomology Class
给定余切空间$T^*M$上的光滑紧致黎曼流形$M$和Hamilton流形$H$，证明了在给定的同调类或上同调类内，某些遍历不变Lagrange图的唯一性.特别地，在拟可积的哈密顿系统的情况下，我们的结果意味着具有旋转向量$ρ$的拉格朗日KAM环面的全局唯一性。这个结果一般地推广到KAM环面的$C^0$ -闭包。
A KAM Theorem for Two-dimensional Nonlinear Schrödinger Equations
我们证明了一个无限维KAM定理。作为应用，我们研究了二维非线性薛定谔方程$$iu_t-\triangle u +|u|^2u+\frac{\partial{f(x,u,\bar u)}}{\partial{\bar u}}=0, \quad t\in\Bbb R, x\in\Bbb T^2$$的周期边界条件，其中非线性项$\displaystyle f(x,u,\bar u)=\sum_{j,l,j+l\geq6}a_{jl}(x)u^j\bar u^l$，$a_{jl}=a_{lj}$是原点附近的实解析函数.我们得到了该方程的小振幅部分双曲的拟周期解的Whitney光滑族。
KAM theorem with large twist and finite smooth large perturbation
本文讨论如下非退化哈密顿系统\begin{equation*} H(θ,t,I)=\frac{H_0(I)}{\varepsilon^{a}}+\frac{P(θ,t,I)}{\varepsilon^{b}}, \end{equation*}其中$(θ,t,I)\in\mathbf{T}^{d+1}\times[1,2]^d$（$\mathbf{T}:=\mathbf{R}/{2π\mathbf{Z}}$），$a,b$是给定的正常数，且$a>b$，$H_0: [1,2]^d\rightarrow \mathbf R$是实解析的，$P: \mathbf T^{d+1}\times [1,2]^d\rightarrow \mathbf R$是$C^{\ell}$，且$\ell=\frac{2(d+1)(5a-b+2ad)}{a-b}+μ$，$0<μ\ll1$ .证明了当$\varepsilon$足够小时，上述Hamilton系统存在具有给定丢番图频率向量的不变环面。在应用方面，我们证明了具有周期外力的有限Duffing振子网络对几乎所有的初值都具有Lagrange稳定性。
Whitney Smooth Families of Invariant Tori within the Reversible Context 2 of KAM Theory
我们证明了一个一般定理的持久性惠特尼无限光滑家庭不变环面的可逆上下文2的KAM理论。这个上下文是指dim Fix G <（codim T）/2的情况，其中Fix G是可逆对合G的不动点流形，T是所讨论的不变环面。我们的结果是作为H. W. Broer，M. C.Ciocci，H.Hanssmann和A.Vanderbauwhede在2009年关于可逆系统中具有奇异“正常”矩阵的不变环面的准周期稳定性。
KAM for high-dimensional nonlinear quantum harmonic oscillator
本文研究高维非线性量子谐振子方程，通过建立具有多个法向频率的抽象无穷维KAM定理，证明其存在许多时间拟周期解，关键在于Hamiltonian函数Hessian矩阵的衰减结构。
Existence of $C^{1,1}$ critical subsolutions in discrete weak KAM theory
在这篇文章中，继作者的第一个工作，我们研究临界下解的离散弱KAM理论。特别地，我们证明了如果光滑连通流形上的费用函数$c:M \times M\to \R{}$是局部半凹的，并且满足扭曲条件，则存在严格于极大集（即Aubry集之外）的$C^{1,1}$临界子解.我们还解释了如何适用于成本来自托内利拉格朗日。最后，以下的想法介绍了工作的法蒂-Maderna和马瑟，我们研究不变的费用函数，并将这项研究应用到某些覆盖空间，引入离散模拟马瑟的$α$功能上同调。
Long time stability for Lagrangian tori in infinite dimensional lattice systems
研究无限多个相互弱作用转子的力学系统，通过特定方法证明文献[CGP]中的无限维不变环面是拉格朗日的且长时间稳定。
Stability, periodic orbits and KAM tori in the dynamics of the three fixed centers problem
本文研究三固定中心问题中无穷小质点的空间运动，通过Lie-Deprit归一化简化哈密顿量，确定圆形周期轨道与KAM环面的存在条件，揭示系统长期稳定性。
Infinite dimensional invariant tori for nonlinear Schrödinger equations
本研究证明无外部参数的圆上非线性薛定谔方程存在大量概周期解，在Kuksin--Poschel 1996年构造的多数有限维KAM环面附近存在无穷维非共振克罗内克环面，回答了哈密顿PDE领域长期存在的问题。
KAM Theory. Part II. Kolmogorov spaces
这是我们关于KAM理论的书的第二部分。我们从定义函子分析开始，然后转向Kolmogorov空间的特殊情况。基于局部算子的概念，我们发展了谓词演算。这允许定义指数，从而在无限维上下文中定义李代数和李群作用之间的关系。然后引入有限维约化的概念，并利用它证明了Kolmogorov空间的一个不动点定理。最后，我们证明一般正常的定理。
Quasi-periodic solutions for perturbed generalized nonlinear vibrating string equation with singularities
{ \bf摘要}：利用无穷维KAM理论，借助部分Birkhoff规范形、奇异函数空间的特征和Legendre基积分的估计，证明了具有奇异性的扰动广义非线性振动弦方程$u_{tt}=((1-x^2)u_x)_x-mu-u^3$在一定边界条件下二维KAM环面的存在性.
KAM theorem on modulus of continuity about parameter
本文研究参数仅具连续性的哈密顿系统，在频率映射满足横截与弱凸条件下证明不变环面频率保持性，推导任意Hölder参数扰动的KAM定理并拓展至无穷维，为首项突破Hölder型参数限制的相关研究。
Finite dimensional invariant KAM tori for tame vector fields
讨论了构造{ \em tame}向量场不变环面的Nash-Moser/ KAM算法。类似的算法已被广泛研究，在有限和无限维的情况下：我们特别感兴趣的是在第二种情况下，驯服性质的向量场变得非常重要。我们专注于算法的形式方面，特别是收敛所需的最小假设。我们讨论各种应用程序，我们展示了我们的算法如何允许减少到只求解线性强迫方程。我们注意到，我们的算法工作在同一时间在分析和Sobolev类。
Quasi-Periodic solutions of Two Dimensional Completely Resonant Reversible Schrödinger d Systems
本文提出无穷维可逆 Schrödinger 系统的抽象 KAM 定理，并结合偏 Birkhoff 标准形方法，证明二维环面上一类完全共振耦合非线性系统存在拟周期解。
KAM Theory for almost-periodic equilibria in one dimensional almost-periodic media
本文针对一维几乎周期介质中的粒子链，提出并证明了两类后验格式的KAM定理，确立了几乎周期平衡态的存在性，无需接近可积假设，并引入逐步增加复杂度的方法辅助数值验证。
Infinite Lifting of an Action of Symplectomorphism Group on the set of Bi-Lagrangian Structures
本研究证明流形上的双拉格朗日结构可提升到平凡丛上，定义了辛同胚群作用下的动力系统，该系统与Hess联络相容、保持仿射结构且可迭代提升，可平行化流形的切/余切丛情形下结论仍成立。
Towards sharp regularity: Full-dimensional tori in $ C^\infty $ vector fields over $ \mathbb{T}^\infty $
研究无穷维环面上受扰向量场的线性化问题，提出带平衡序列的新 KAM 格式克服非多项式非共振，确定 KAM 适用所需的最弱正则性为 $ C^\infty $ 正则性。
A geometric approach to Mather quotient problem
本文通过微分几何方法估计非负Ricci曲率流形上弱KAM解的Laplacian，证明弱KAM解为常数当且仅当闭1-形式ω为调和1-形式，并应用于Mather商与Mañé Lagrangian。
Linearly Stable KAM Tori for One Dimensional Forced Kirchhoff Equations under Periodic Boundary Conditions
该研究证明了一个抽象无穷维KAM定理，可用于证明周期边界下一维受迫Kirchhoff方程小振幅拟周期解的存在性与线性稳定性，将拟线性扰动下的相关结果从单特征值推广到双特征值情形。
Comparing Finite-Time Lyapunov Exponents and Lagrangian Descriptors for identifying phase space structures in a simple two-dimensional, time-periodic double-gyre model
本文比较的优点，局限性和计算考虑使用的时间李雅普诺夫指数（FTLES）和拉格朗日描述符（LD）的工具，识别障碍和二维时间周期性流动中的流体输运机制。这些障碍和运输机制通常被称为“拉格朗日相干结构”，尽管这个术语经常根据作者或上下文而改变含义。本文将特别关注使用FTLE和LD来识别双曲停滞点的稳定和不稳定流形，以及与椭圆停滞点相关的Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）环面。这两种方法背后的背景和理论及其相关的相空间结构将被介绍，然后FTLE和LD的例子将显示基于一个简单的，周期性的，随时间变化的双回转玩具模型与不同的参数。
The Lagrangian Conley Conjecture
我们证明了一个拉格朗日模拟的康利猜想：给定一个1-周期Tonelli拉格朗日与全局流的封闭配置空间，相关的欧拉-拉格朗日系统有无穷多个周期解。更精确地说，我们证明了存在无穷多个具有先验有界平均作用的可压缩整数周期解，并且它们中的无穷多个要么是1-周期的，要么是无界周期的。
Existence and stability of quasi-periodic solutions for derivative wave equations
本文给出了一个新的KAM结果，证明了具有零李雅普诺夫指数且线性化方程可约化为常系数的微分波方程的小振幅、解析、拟周期解的Cantor族的存在性.反过来，这个结果是由一个抽象的KAM定理无穷维可逆动力系统。
A Multidimensional Birkhoff Theorem for some $C^0$ Lagrangians
本文证明了一类新的$C^0$拉格朗日子集的多维Birkhoff定理，推广了环面扭转映射的经典结果，并首次将其扩展到仅连续对象，结合Floer理论、变分解和弱KAM理论。
A Modified Parameterization Method for Invariant Lagrangian Tori for Partially Integrable Hamiltonian Systems
针对部分可积 Hamiltonian 系统，论文提出修正的参数化拟 Newton 方法并证明后验 KAM 收敛，改进了小性条件且适用于计算机辅助证明。
On the Lagrangian and Hamiltonian aspects of infinite -dimensional dynamical systems and their finite-dimensional reductions
本文给出了由无穷维泛函流形上的非线性动力系统的不变性结构所自然产生的拉格朗日和哈密顿形式。用于制定规范的辛结构的基本思想是借用从嘉当理论的微分系统相关的射流-流形。对微分和微分离散动力系统，给出了在非局部Euler-Lagrange泛函临界点的不变子流形上约化的对称结构.通过特殊的Backlund变换，得到了矩阵系数积分-微分算子李代数的对偶空间上一族Lax型方程的Hamilton表示，并将其推广到相应谱问题的本征函数和伴随本征函数的演化上.研究了该族与二维Lax可积系统的关系。
Singularities and their propagation in optimal transport
本文研究最优输运中势能泛函的奇异性，证明弱KAM解的奇异性全局传播，并揭示沿割迹由不规则拉格朗日半流控制的解的存在性。
On the infinite particle limit in Lagrangian dynamics and convergence of optimal transportation meshfree methods
研究拉格朗日系统中无穷粒子极限下离散作用泛函的Gamma收敛性，并证明最优输运无网格方法对粒子流近似的收敛性。
KAM for the Non-Linear Schrödinger Equation
本文考虑周期边界条件下的$d$维非线性薛定谔方程：$-i\dot u=-Δu+V(x)*u+\ep \frac{\p F}{\p \bar u}(x,u,\bar u), \quad u=u(t,x), x\in\T^d $其中$V(x)=\sum \hat V(a)e^{i\sc{a,x}}$是解析函数，$\hat V$是实数，$F$是$\Re u$，$\Im u$和$x$中的实数解析函数. (This方程是“实”NLS方程的一个流行模型，其中取代卷积项$V*u$的是势项$Vu$。）对于$\ep=0$，方程是线性的，并且具有时间准周期解$u$、$$ u(t,x)=\sum_{a\in Å}\hat u(a)e^{i(|a|^2+\hat V(a))t}e^{i\sc{a,x}} \quad (|\hat u(a)|>0), $$，其中$Å$是$\Z^d$的任何有限子集。我们将把$ω_a=|a|^2+\hat V(a)$、$a\inÅ$当作某个定义域$U\subset\R^Å$中的自由参数。这是一个无限自由度的哈密顿系统，退化但有外部参数，我们将描述一个KAM理论，在一般条件下，它将有以下结果：如果$|\ep|$足够小，则存在$U$的大子集$U'$，使得对于所有$ω\in U'$，解$u$持续为时间--准-周期解的所有Lyapounov指数等于零，其线性化方程可约为常系数。
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