The Conley Conjecture and Beyond
这是（主要）的调查最近的结果问题的存在性无穷多个周期轨道的Hamilton同构和Reeb流。我们专注于康利猜想，证明了广泛的一类封闭的辛流形，断言在某些自然条件下的流形上的每一个哈密尔顿的单同态有无穷多个（简单）的周期轨道。我们详细讨论了建立的情况下的猜想和相关的结果，包括模拟的猜想Reeb流的情况下，猜想是已知的失败，问题的通用存在的无限多个周期轨道，和当地的几何条件，迫使存在的无限多个周期轨道。我们还展示了如何最近建立的康利猜想的Reeb流的变体可以应用于证明存在无穷多个周期轨道的低能量电荷在非零磁场的表面上，而不是一个球。
2014-11-28 math.DS math.SG
The Conley Conjecture
证明了闭辛非球面辛流形的Conley猜想：这样的流形的Hamilton双同态有无穷多个周期点。更准确地说，我们证明了具有有限个不动点的Hamilton微分同胚具有任意大周期的简单周期点。这个定理推广，例如，最近的结果欣斯顿建立康利猜想环面。
2009-06-23 math.DG math.DS math.SG
Corrigendum: The Conley conjecture for Hamiltonian systems on the cotangent bundle and its analogue for Lagrangian systems
在\cite的第8-11行[pp. 2977]{Lu}我们写道：“对于整数$m\ge 3$，如果$M$是$C^m$ -光滑的，并且$C^{m-1}$ -光滑的$L:\R\times TM\to\R$满足假设（L1）-（L3），则泛函${\cal L}_τ$是$C^2$ -光滑的，下有界，满足Palais-Smale条件，并且它的所有临界点都有有限的Morse指数和零点（参见\cite [Prop.4.1，4.2]{AbF}和\cite{Be}）。然而，正如在\cite{AbSc1}中证明的那样，${\cal L}_τ$是$C^2$ -光滑的断言是真的，当且仅当对于每个$(t,q)$，函数$v\mapsto L(t,q,v)$是次数至多为2的多项式。因此，\cite{Lu}中的论证仅对（1.2）中的物理哈密顿量和其中相应的拉格朗日量有效。本文将用在\cite{Lu2}中得到的一个新的分裂引理来修正我们在\cite{Lu}中的论点。
2011-02-10 math.DS math.SG
The Conley conjecture for irrational symplectic manifolds
我们证明了Conley猜想的一个推广：如果第一类Chern类在第二个基本群上为零，则闭辛流形的每个Hamilton双同态都有无穷多个周期轨道.特别是，我们从类似的结果中删除了合理性条件。无理情形下的证明涉及到几个新的思想，包括无理流形上Hamilton算子的滤弗洛尔同调的定义和性质。我们还开发了一种方法，本地化的过滤弗洛尔同调短的动作间隔使用直和分解，其中的一个被加数只取决于在一个固定的开集的哈密尔顿的行为。
2010-10-10 math.DS math.SG
The $E$-cohomological Conley Index, Cup-Lengths and the Arnold Conjecture on $T^{2n}$
本文给出了环面上哈密顿系统的$1$ -周期解的强Arnold猜想的一个新的证明。Conley和E. 1983年的Zehnder。我们的证明使用了其他方法，并且比前一个更短。我们首先表明，$E$ -上同调Conley指数，这是最近推出的第一作者，有一个自然的模块结构。这产生了一个新的杯长和一个下界的临界点的泛函的数量。然后存在的结果的$E$ -上同调康利指数，适用于设置的阿诺德猜想，铺平了道路，一个新的证明它的环面。
2017-08-31 math.CA math.DS math.SG
On the Conley decomposition of Mather sets
在Mather的拉格朗日系统理论的背景下，我们研究了Mather不变集在链传递类中的分解。作为应用，我们证明，在适当的假设下，所谓的奥布里集的拉格朗日函数的半连续性。
2010-05-31 math.DS
Conley Conjecture Revisited
我们证明了：当闭辛流形中存在一个具有1/4个简单周期轨道的Hamilton同同态时，该流形存在一个具有正辛面积和第一类Chern积分的二次球面同调类.这个定理包括Conley猜想的所有已知情况（辛CY和负单调流形），也包括一些新的情况（例如，具有非零第一Chern类的弱正合辛流形）。证明铰链一般Lusternik-Schnirelmann型的结果，在一些自然的附加条件下，序列的平均谱不变量的迭代的哈密顿同胚从来没有稳定。我们还表明，对于迭代的哈密顿同胚与许多周期轨道之间的“最大”和“最小”的谱不变量的序列的行动差距仍然有界，因此，建立一些新的情况下的$C^\infty$ -通用存在无穷多个简单的周期轨道。
2016-11-13 math.DS math.SG
The Conley conjecture for Hamiltonian systems on the cotangent bundle and its analogue for Lagrangian systems
本文讨论了最近由Franks和Handel \cite{FrHa}证明的Conley猜想（对于正亏格曲面），Hingston \cite{Hi}（对于托里）和金兹伯格\cite{Gi}（对于闭辛非球面流形），对无边界$C^3$ -光滑紧致流形$M$的余切丛上的$C^1$ -哈密顿系统，证明了的时间1-周期$C^2$ -光滑哈密顿量$H:\R\times T^\ast M\to\R$，它是强凸的，在纤维上具有二次增长。也就是说，我们表明，这样的哈密顿系统有一个无限序列的可收缩的积分周期解，使他们中的任何一个不能从其他的迭代。若对任何$(t,q, p)\in\R\times T^\ast M$，$H$也满足$H(-t,q, -p)=H(t,q, p)$，则证明了Hamilton系统的时一映射（若存在）有无穷多个周期点位于$T^\ast M$的零区.若$M$是$C^5$ -光滑的，且$\dim M>1$，$H$是$C^4$类的，且与时间$t$无关，则对任何$τ>0$，相应的系统都有无穷多个周期为$τ$整数倍的可收缩周期解序列，使得其中任何一个都不能通过迭代或旋转从其它解中得到.这些结果是通过证明$H$的Fenchel变换的Lagrangian系统$L:\R\times TM\to\R$的类似结果而得到的，它被证明是强凸的，并且在速度上具有二次增长。
2008-06-30 math.DS math.SG
The random Arnold Conjecture: a new probabilistic Conley-Zehnder Theory for symplectic maps
本文首次在概率框架下发展 Arnold 猜想的 Conley-Zehnder 理论，证明了在类似经典条件成立时，维度大于2的准周期辛扭转映射几乎必然具有无穷多个不动点，并提供了相关概率定理。
2023-07-31 math.DS math.PR math.SG
Keplerian orbits through the Conley-Zehnder index
Gordon在1977年发现，平面上的开普勒椭圆是拉格朗日作用量的极小值，并且作为相关哈密顿流的周期点是谱稳定的。本文的目的是通过一个独立的，明确的和简单的计算的Conley-Zehnder指数给出同伦理论证明这些结果。本文中开发的技术可以用来调查更高的维的开普勒椭圆的情况下，经典的变分证明不再适用。
2023-01-09 math-ph math.DS math.MP
Graded differential groups, Cartan-Eilenberg systems and conjectures in Conley index theory
本文定义了偏序集上的Cartan-Eilenberg系统，证明自由P-分次微分群间的过滤链同构等价于关联系统同构，解决了关于连接矩阵唯一性的公开猜想并证明三种理论等价。
2024-06-28 math.AT math.DS
Totally Non-coisotropic Displacement and Its Applications to Hamiltonian Dynamics
本文在一定的自然假设下，证明了环境辛流形上无处余迷向闭子流形邻域中的Conley猜想和几乎存在定理.必要的证明是一个位移原则，这样的子流形。也就是说，我们证明了一个拓扑位移无处余各向同性子流形也是可位移的哈密顿同构，部分扩展了著名的非拉格朗日位移性质。
2007-02-05 math.DG math.DS math.SG
Computational symplectic topology and symmetric orbits in the restricted three-body problem
本文提出计算方法证明限制性三体问题的伯克霍夫猜想，通过验证数值技术证明广泛参数下近似圆形直接轨道存在，提供严格计算Conley-Zehnder指标的方法，为开发计算弗勒尔同调及证明猜想奠基，并应用于对称轨道。
2025-02-15 math.DS math.SG
Action-Index Relations for Perfect Hamiltonian Diffeomorphisms
本文证明了如果周围流形的量子上同调满足射影空间、Grassmannian流形和许多其它流形所满足的代数要求，则具有n个周期点的Hamilton复同态的不动点的作用和指数必须满足一定的关系.我们还改进了以前的结果Conley猜想负单调辛流形，由于第二和第三作者，并表明，这样的流形的Hamilton的非同态必须有简单的周期轨道的任意大的周期时，其不动点是孤立的。
2011-10-31 math.DS math.SG
Symplectic fixed points and Lagrangian intersections on weighted projective spaces
本文证明了在加权射影空间$\CP^n({\bf q})$上，Hamilton映射的Arnold猜想仍然成立;当加权$q_i\in {\bf q}=\{q_1,..., q_{n+1}\}$为奇数时，$\CP^n({\bf q})$的Lagrange交的Arnold猜想也成立.
2006-01-12 math.DS math.SG
Lagrangian intersections and a conjecture of Arnol'd
该研究提出新版本拉格朗日Ljusternik–Schnirelman理论，证明了Floer与Hofer研究之外的退化同调Arnol'd猜想，引入基本量子分解给出经典例子的拉格朗日相交数下界，并研究了单调拉格朗日与其哈密顿微分同胚像的相交规模。
2024-09-12 math.DG math.DS math.SG
A counterexample to Lagrangian Poincaré recurrence
该研究构造了反例，证伪了6维及更高维情形下Ginzburg和Viterbo提出的拉格朗日庞加莱回归猜想。
2024-10-07 math.DS math.SG
Viterbo's conjecture for Lagrangian products in $\mathbb{R}^4$ and symplectomorphisms to the Euclidean ball
本文利用拉格朗日积的EHZ容量的广义Minkowski台球刻画，重新证明了$4$维Viterbo猜想对拉格朗日积（$\mathbb{R}^2$中的任意三角形）$\times$（$\mathbb{R}^2$中的任意凸体）成立，并将这一事实推广到拉格朗日积（$\mathbb{R}^2$中的任意梯形）$\times$（$\mathbb{R}^2$中的任意凸体）.在此基础上，我们分类的平等情况下，这个版本的维泰博猜想，并证明他们中的大多数可以被证明是symplectomorphic欧几里德球。作为一个副产品，我们证明了尖锐的收缩Minkowski台球/蠕虫问题不等式。此外，我们讨论了拉格朗日产品（任何凸四边形在$\mathbb{R}^2$）$\times$（任何凸体在$\mathbb{R}^2$），我们表明，维特博猜想的真理将遵循一个具有挑战性的欧几里德覆盖问题的正解。最后，我们表明，流相关的等式情况下的维泰博的猜想拉格朗日产品在$\mathbb{R}^4$ -这原来是凸多胞体-不是佐尔一般，但较弱的佐尔属性，即每一个特点几乎处处远离低维面是封闭的，行动最小化，不适用。
2022-09-21 math.DS math.MG math.SG
Floer homologies, with applications
Floer在80年代中期为了证明Arnol'd关于Hamilton超同态和Lagrange交的不动点个数的定理而提出了他的理论。在过去的30年里，已经构建了许多版本的弗洛尔同调。在辛和接触动力学和几何，他们已成为一个主要的工具，与应用程序，远远超出了Arnol的布局：Conley猜想的证明和Weinstein猜想的许多例子，关于拉格朗日子流形和辛同胚群的刚性结果，Reeb流的拓扑熵的下界和辛嵌入的障碍只是Floer的开创性思想的一些应用。其他的弗洛尔同调是拓扑性质的。在他们的应用是性质P的结和建设紧凑的拓扑流形的尺寸大于五是不triangulisable。这决不是对目前已知的弗洛尔同调及其应用的全面综述。这样一份调查报告需要几百页。我们只是描述了一些最经典的版本和应用程序，以及我们知道或最喜欢的结果。这本书是为非专业人士写的，重点是思想而不是一般性。两个中间部分回顾了辛动力学和几何学的基本概念和概念。
2017-09-01 math.DG math.DS math.SG
Two remarks about Mañé's conjecture
我们证明了Mañé的猜想，如{ \em拉格朗日流：全局最小化轨道的动力学}，波尔。Soc. Brasil. Mat.（未注明）28（1997），no.2，141- 153，包含Mañé的另一个猜想，在{ \em Generic properties and problems of minimizing measures of Lagrangian systems} Nonlinearity 9（1996）273-310中陈述。
2009-09-18 math.DS
Differentiability of Mather's $β$-function vs Mañé's conjecture
证明了如果闭流形$M$上的时间周期Tonelli拉格朗日量满足Mather $β$ -函数的强可微性问题，则有理同调类的Legendre变换在$M$的第一上同调中是稠密的，这是迈向Mañé猜想的第一步.
2013-04-03 math.DS
Multiple orthogonal geodesic chords and a proof of Seifert's conjecture on brake orbits
利用非光滑临界点理论，证明了一类具有强凹边界的黎曼圆盘中至少存在N条正交测地线弦。这证明了H.Seifert关于自然拉格朗日/哈密顿系统势阱中制动轨道数目的著名猜想。
2022-06-04 math.DS
Proof of the $C^2$ Mañé's conjecture on surfaces
本文证明了 $C^2$ 通用双曲 Mañé 集包含周期轨道，并结合已有结果在二维情形下证明了 Mañé 猜想：对紧曲面上的 Tonelli 拉格朗日量，经 $C^2$ 开稠密集的小扰动后，其 Mañé 集为一条双曲周期轨道。
2024-08-02 math.DS
Exponential convergence to the stationary measure for a class of 1D Lagrangian systems with random forcing
本文证明了一类具有随机强迫的一维Lagrangian系统在空间周期背景下指数收敛于平稳测度：$$ ϕ_t+ϕ_x^2/2=F^ω, x \in S^1 = \mathbb{R}/\mathbb{Z}. $$这证实了文[9]中提出的一个猜想的一部分.我们的结果是[5，7]中所得结果的一个推论（和自然随机PDE对应物）。它也是确定性结果[11]的自然模拟，其在一般设置中成立。
2016-08-04 math-ph math.AP math.DS
