曲面上 $C^2$ Mañé 猜想的证明
Proof of the $C^2$ Mañé's conjecture on surfaces
AI总结：
本文证明了 $C^2$ 通用双曲 Mañé 集包含周期轨道，并结合已有结果在二维情形下证明了 Mañé 猜想：对紧曲面上的 Tonelli 拉格朗日量，经 $C^2$ 开稠密集的小扰动后，其 Mañé 集为一条双曲周期轨道。
摘要：
我们证明了 $C^2$ 通用双曲 Mañé 集包含一条周期轨道。在二维情形下，结合 Contreras、Figalli、Rifford 的一个结果——该结果指出 $C^2$ 通用 Mañé 集是双曲的——我们得到了 $C^2$ 拓扑下曲面的 Mañé 猜想：给定紧曲面 $M$ 上的 Tonelli 拉格朗日量 $L$，存在一个 $C^2$ 开且稠密的函数集合 $f:M\to\mathbb{R}$，使得拉格朗日量 $L+f$ 的 Mañé 集是一条双曲周期轨道。
英文摘要：
We prove that $C^2$ generic hyperbolic Mañé sets contain a periodic periodic orbit. In dimension 2, adding a result by Contreras, Figalli, Rifford, which states that $C^2$ generic Mañé sets are hyperbolic; we obtain Mañé's Conjecture for surfaces in the $C^2$ topology: Given a Tonelli Lagrangian $L$ on a compact surface $M$ there is a $C^2$ open and dense set of functions $f:M\to\mathbb{R}$ such that the Mañé set of the Lagrangian $L+f$ is a hyperbolic periodic orbit.
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