Removing Type II singularities off the axis for the 3D axisymmetric Euler equations
证明了三维不可压Euler方程光滑轴对称解的局部爆破准则。如果对于远离对称轴的球$B(x_{ \ast}, R_0)$，涡度满足$ \intl_{0}^{t_*} (t_*-t) \| ω(t)\|_{ L^\infty(B(x_{ \ast}, R_0))} dt <+\infty$，则在由球$B(x_{ \ast}, R_0)$绕轴旋转产生的环面$T(x_*, R)$中的$t=t_*$处不存在奇点。这意味着，如果涡量满足$γ<2$和环面$T(x_*, R)$不接触轴的吹胀率$ \|ø(t)\|_{L^\infty (T(x_*, R))}= O\left(\frac{1}{(t_*-t)^γ}\right)$，那么环面$T(x_*, R)$中$t=t_*$处可能的奇异性就被排除了。
2018-09-26 math.AP
On 2d incompressible Euler equations with partial damping
我们考虑各种问题的二维不可压缩Navier-Stokes方程和Euler方程的环面时，耗散被删除或添加到一些傅立叶模式。
2015-11-08 math.AP
Long-term regularity of the periodic Euler--Poisson system for electrons in 2D
本文研究了一个基本的等离子体物理模型--方形圆环上的单流体欧拉-泊松系统，其中可压缩电子流体在其自身的静电场作用下流动。本文证明了该系统在二维空间中周期解的长期正则性。我们的主要结论是，在边长为$R$的正方形环面上，如果初始数据足够接近常数解，则该解至少在$R/ε^2(\log R)^{O(1)}$内是适定的，其中$ε$是初始数据的大小.
2019-10-04 math.AP
Sharp dimension estimates of the attractor of the damped 2D Euler-Bardina equations
本文证明了环面上带阻尼和驱动的二维Euler-Bardina方程的整体吸引子的存在性，并给出了其维数的一个明确的双边估计，其精确度为$α\to0^+$ .
2020-11-01 math.AP
A model for studying double exponential growth in the two-dimensional Euler equations
我们介绍了一个模型的二维欧拉方程，其目的是研究是否双指数增长性可以实现在一个内点的流动。
2014-03-26 math.AP
Floquet instability near a stationary Euler flow in 3D
University of Illinois at Chicago（芝加哥伊利诺伊大学）
本文研究三维欧拉流线性化方程，利用Baldi坐标图识别临界环面，证明其Floquet指数为正，并通过几何光学构造将不稳定性提升，导致指数增长。
2026-09-28 math.AP
Maximal Double-Exponential Growth for the Euler Equation on the Half-Plane
本文研究半平面 Euler 方程光滑解的涡量梯度增长，证明其可达双指数级，确定最大增长率并构造饱和解。
2025-09-30 math.AP
Quasi-periodic incompressible Euler flows in 3D
证明了三维环面$\T^3$上不可压缩Euler方程在小的时间拟周期外力作用下时间拟周期解的存在性。这些解是常（丢番图）向量场的扰动，它们是通过可逆拟线性偏微分方程的规范形和KAM技巧构造的。
2020-03-31 math.AP
Remark on single exponential bound of the vorticity gradient for the two-dimensional Euler flow around a corner
本文研究了单位正方形$D=\{(x_1,x_2):0<x_1+x_2<\sqrt{2},0<-x_1+x_2<\sqrt{2}\}$中具有双曲结构的简单对称条件下的二维欧拉流动。结果表明，在驻点附近，边界涡量的Lipschitz估计至多是单指数增长性。
2014-10-01 math.AP
Dissipative continuous Euler flows in two and three dimensions
最近，其中两位作者构造了三维环面$\mathbb T^3$上不可压缩Euler方程的耗散连续（弱）解。在他们的证明中，构建块是Beltrami流，它本质上是三维的。本说明的目的是表明，这些技术仍然可以适用于二维情况。
2012-05-06 math.AP
Well-posedness and exponential decay for the Euler-Bernoulli beam conveying fluid equation with non-constant velocity and dynamical boundary conditions
本文考虑一类具有时变内流的Euler-Bernoulli梁方程。我们假设流体以非恒定速度运动，并满足动力学边界条件。在对梁的张力和问题的参数作适当的假设下，证明了整体解的存在唯一性。然后，通过引入适当的李雅普诺夫泛函，证明了解的指数稳定性。
2020-10-31 math.AP
Cauchy problem for dissipative Hölder solutions to the incompressible Euler equations
我们考虑三维环面上不可压缩Euler方程的Cauchy问题的解，这些方程对任意指数$θ<\frac{1}{16}$是连续的或Hölder连续的.利用在\cite{DS12}和\cite{DS12H}中引入的技巧，我们证明了无穷多个（Hölder）连续初始向量场的存在性，从该向量场出发，存在无穷多个（Hölder）连续解，且总动能预先给定.
2013-02-05 math.AP
Exponential stability of the Euler-Bernoulli microbeam and thermal effect
在这项工作中的主要目标是证明与热弹性系统组成的Euler-Bernoulli型方程，模型的横向振荡的均匀微梁与轴向运动，并在其中的粘性阻尼作用的半群的指数衰减。此外，该微束被赋予了由Coleman-Gurtin模型给出的热效应，该模型基本上取决于过去的历史，代表了对傅立叶，Cattaneo和Green-Naghdi模型的改进。为了实现这些目标，我们将主要使用乘法技术和泛函分析的标准工具。
2021-10-01 math.AP
No Local Double Exponential Gradient Growth in Hyperbolic Flow for the Euler equation
本文考虑了二维欧拉方程在$[-1, 1)^2$中具有周期边界条件的光滑双奇解。人们很容易想到，流动的对称性在原点处引起涡度梯度随时间的可能的双指数增长性，特别是当流动是“双曲线”时。这是因为具有$C^{1, γ}$正则性的解的例子已经由A.兹拉托斯我们分析了在一个小盒子周围的起源在一个强双曲制度的流动，并证明了由双曲流单独引起的流体的压缩是不足以创建双指数增长性的梯度。
2016-01-15 math.AP
Exponential Stability of a Degenerate Euler-Bernoulli Beam with Axial Force and Delayed Boundary Control
Université Nangui Abrogoua（南圭·阿布鲁瓜大学）；Université Félix Houphouët-Boigny（费利克斯·乌弗埃-博瓦尼大学）
本文研究退化爱因斯坦-伯努利梁体在非均匀轴向力和延迟反馈控制下的指数稳定性，通过构造新型Lyapunov函数证明了系统的均匀指数衰减特性。
2026-02-20 math.AP
Small scale creation for solutions of the incompressible two dimensional Euler equation
本文构造了一个圆盘中二维Euler方程的初始数据，使涡度梯度在任何时刻都随时间呈双指数增长性。这一估计是众所周知的尖锐-双指数增长性是最快的可能增长率。
2014-09-01 math.AP
Exponential elliptic boundary value problems on a solid torus in the critical of supercritical case
本文研究了定义在$\mathbb{R}^3$的实心环面$\bar{T}$上的非线性指数椭圆模型问题，当数据在群$G=O(2)\times I \subset O(3)$下不变时，正解和非径向对称解的存在性.模型问题的兴趣如下所述：${ll} {\bf(P_1)} & \displaystyle Δ\upsilon+γ=f(x)e^\upsilon, \upsilon>0\quad \mathrm{on} \quad T, \quad\upsilon |_{_{\partial T}}=0.$和${ll}\bf{(P_2)} & \displaystyle Δ\upsilon+a+fe^\upsilon=0, \upsilon>0\quad \mathrm{on}\quad T, [1.3ex] &\displaystyle \frac{\partial \upsilon}{\partial n}+b+ge^\upsilon=0\quad \mathrm{on} \quad{\partial T}.$我们证明存在的解决方案是$G-$不变，这些表现出没有径向对称性。为了解决上述问题，我们需要在例外情况下找到Sobolev不等式中的最佳常数。
2009-12-22 math.AP
Weak-strong uniqueness and vanishing viscosity for incompressible Euler equations in exponential spaces
本文在指数可积函数空间假设下，证明了不可压缩欧拉方程容许弱解的弱-强唯一性，并由此得到纳维-斯托克斯方程消失粘性解的收敛性。
2023-05-19 math.AP
Finite-energy spacetimes with torus symmetry. Cauchy stability of Einstein-Euler and Einstein-Navier-Stokes areal flows
Sorbonne Université（索邦大学）；Centre National de la Recherche Scientifique（法国国家科学研究中心）
本文针对T³上具有T²对称性的真空和物质时空，在满足特定条件的本构方程下，通过JKL形式等方法建立爱因斯坦-欧拉和爱因斯坦-纳维-斯托克斯面积流的有限能量柯西稳定性，结果覆盖多种情况且与相关机制无关。
2026-09-01 math.AP
Sharp upper and lower bounds of the attractor dimension for 3D damped Euler-Bardina equations
研究了三维阻尼Euler-Bardina方程整体吸引子的分形维数与正则化参数$α>0$和Ekman阻尼系数$γ>0$的关系.我们提出了明确的上界的情况下，整个空间，周期边界条件，和有界域的Dirichlet边界条件。当$α\to0$和$γ\to0$（其对应于经典欧拉方程的极限）在环面上的3D Kolmogorov流上被证明时，这些估计的锐度。
2021-06-16 math.AP
Existence of Eulerian solutions to the semigeostrophic equations in physical space: the 2-dimensional periodic case
本文利用G.De Philippis和A.Figalli建立的Monge-Ampere方程Alexandrov解的新的正则性和稳定性估计，在对初始数据非常温和的假设下，给出了二维环面上半地转方程分布解的整体时间存在性.与拉格朗日解的链接也进行了讨论。
2012-10-13 math.AP
Global dissipative solutions of the defocusing isothermal Euler-Langevin-Korteweg equation
我们构造了三维以下环面上的离焦等温Euler-Langevin-Korteweg系统的整体耗散解，该系统对应于具有等温压力律和关于速度的线性阻力项的可压缩量子流体的Euler-Korteweg系统.特别地，等温特征防止能量和BD熵为正。采用标准近似方法，我们首先证明了一类离焦等温Navier-Stokes-Langevin-Korteweg方程组整体弱解的存在性.通过引入满足Gronwall型不等式的相对熵函数，利用无粘极限得到了Euler-Langevin-Korteweg系统耗散解的存在性.
2020-10-14 math.AP
h-Principles for the incompressible Euler equations
最近，De Lellis和Székelyhidi构造了环面$\mathbb T^3$中不可压缩欧拉方程的Hölder连续耗散（弱）解。该构造包括在平凡解中加入快速振荡。我们通过在二维和三维空间中建立最优h-原理来扩展这一结果。具体来说，我们确定所有的子解（定义在一个合适的意义上），可以近似的$H^{-1}$ -规范的精确解。此外，我们证明了这样构造的流在$\mathbb T^3$上是真正的三维的，而不是平凡地从$\mathbb T^2$上的解得到的。
2012-09-26 math.AP
Superlinear gradient growth for 2D Euler equation without boundary
本文在环面和全平面中研究二维欧拉方程涡量梯度的超线性增长，通过构造接近轨道稳定鞍点稳态的初值及利用Lamb-Chaplygin偶极子扰动，首次在开集光滑初值和平面紧支撑涡量情形下证明超线性增长。
2025-07-21 math.AP
Exponential and algebraic decay in Euler--alignment system with nonlocal interaction forces
本文研究无压力Euler系统在非局部对齐与相互作用力下的大时间行为，证明在一般凸势下，有界通信权重导致指数衰减，弱奇异权重导致代数衰减，密度收敛至能量极小值，速度对齐至常数。
2025-10-27 math.AP
Multifractal scaling and the Euler equations on R^3/Z^3
研究不可压缩流体在立方环面上的 Euler 方程，构造 Fourier 侧解，证明即使在高度正则初始数据下也会有限时间内失去正则性，且可能恢复，并与多重分形标度相关。
2024-03-15 math.AP
Global Existence and Nonlinear Diffusion of Classical Solutions to Non-Isentropic Euler Equations with Damping in Bounded Domain
研究了多维带阻尼非等熵可压缩Euler方程初边值问题的经典解。在小数据假设下，得到了非等熵阻尼Euler方程及其非线性扩散方程的经典解的整体先验估计和整体存在性结果.我们证明了压力和速度指数衰减到常数，而熵和密度不能接近常数。最后证明了当时间趋于无穷大时，带阻尼的非等熵Euler方程的压力和速度指数收敛于其非线性扩散方程的压力和速度.
2014-07-09 math.AP
On Vorticity Gradient Growth for the Axisymmetric 3D Euler Equations Without Swirl
本文考虑了三维轴对称Euler方程在有界轴对称区域上的无旋解。在这种情况下，适定性是众所周知的，由于基本上是2D几何。量$ω^θ/r$在2D中起着涡量的作用。首先，我们证明了$ω^θ/r$的梯度可以增长最多的两倍指数提高先验界接近对称轴。接下来，在单位球上，我们证明了在边界处，可以实现$ω^θ/r$的梯度的双指数增长性。
2019-03-30 math.AP
Energy conservation for inhomogeneous incompressible and compressible Euler equations
研究了在环面或有界区域中具有一般压力律的非齐次不可压和可压Euler方程的能量守恒性。给出了弱解能量守恒的充分条件。通过利用适当的检验函数，密度的空间正则性在不可压缩情况下仅要求为$2/3$阶，在可压缩情况下仅要求为$1/3$阶.当密度为常数时，我们恢复了经典不可压Euler方程的已有结果。
2019-09-20 math.AP
Growth of vorticity gradient for the Euler equation on the sphere
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Institute of Applied Mathematics, AMSS, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所）
研究欧拉方程在球面上涡度梯度的最大双指数增长，并通过构造具有奇对称性的显式解证明该上界是紧致的，同时将结果扩展到旋转球体的情况。
2026-04-21 math.AP
On the rate of merging of vorticity level sets for the 2D Euler equations
我们表明，两个不同的水平集的涡度的二维欧拉方程的解决方案，在一个磁盘上可以相互接近，沿着一条曲线在任意大的指数率。
2017-04-17 math.AP
An Eulerian-Lagrangian Form for the Euler Equations in Sobolev Spaces
在2000年，Constantin证明了不可压缩的欧拉方程可以写成“欧拉-拉格朗日”的形式，其中涉及到回标签映射（每个固定时间的轨迹映射的逆）。在同一篇文章中，我们证明了在某些Hölder空间$C^{1,μ}$中的局部存在性结果.我们回顾了方程的欧拉-拉格朗日公式，证明了在给定$H^s$中$n\geq2$和$s>\frac{n}{2}+1$的初始数据时，在$n$ -环面上存在唯一的时间局部解，该解连续到$H^s$和$C^1$到$H^{s-1}$ .这些解自动具有$C^1$轨迹。这里的证明是直接的，并不诉诸于经典公式中已知的结果。此外，这些解决方案是足够的规则，经典和欧拉-拉格朗日公式是等价的，因此，我们提出的一些标准理论的替代方法。
2016-01-19 math.AP
Double exponential growth of the vorticity gradient for the two-dimensional Euler equation
对于环面上的二维Euler方程，我们证明了涡度梯度的一致范数可以在任意长但有限的时间内以双指数形式增长，只要在时间为零时它已经足够大.我们的结果等价于对任意时间t>0，Euler发展在Lipschitz范数下线性无界的陈述。
2012-05-03 math-ph math.AP math.MP
On the universality of the incompressible Euler equation on compact manifolds, II. Non-rigidity of Euler flows
紧致黎曼流形$(M,g)$上的不可压缩欧拉方程采用\begin{align*} \partial_t u + \nabla_u u &= - \mathrm{grad}_g p \\ \mathrm{div}_g u &= 0, \end{align*}的形式，其中$u: [0,T] \to Γ(T M)$是速度场，$p: [0,T] \to C^\infty(M)$是压力场。在本文中，我们表明，如果一个被允许扩展的基础流形$M$采取任意翘曲产品与环面，然后这个方程的解决方案的空间成为“非刚性”的意义上说，一个非空的开集的光滑不可压缩流$u: [0,T] \to Γ(T M)$可以近似的光滑拓扑结构（的水平分量）的解决方案，这些方程。我们认为这是对欧拉流的“普遍”性质的进一步证据。
2019-03-31 math.AP
Infinite superlinear growth of the gradient for the two-dimensional Euler equation
对于环面上的二维Euler方程，证明了对于某些无限光滑的初值，梯度的一致范数可以超线性增长。我们还证明了有限时间梯度的指数增长性。
2009-08-24 math-ph math.AP math.MP
Uniform Exponential Stabilisation of Serially Connected Inhomogeneous Euler-Bernoulli Beams
考虑一系列具有空间相关的质量密度、弹性模量和面积矩的Euler-Bernoulli梁，它们以耗散或保守的方式相互连接，并证明了在一端适当的耗散边界条件和另一端适当的保守边界条件下，耦合系统的能量是一致指数衰减的。从而推广了G. Chen，M.C. Delfour，A.M. Krall和G. Payre从20世纪80年代开始研究空间依赖性的情况下的参数。
2020-06-22 math.AP math.OC
Time almost-periodic solutions of the incompressible Euler equations
本文针对环面上的不可压缩 Euler 方程，在三维及偶数维情形构造了具有有限正则性的时间全局殆周期解。
2023-12-16 math-ph math.AP math.MP
Periodic orbits of analytic Euler fields on 3-manifolds
在任何非环面丛的闭黎曼三维流形上，定常欧拉方程的每个非零分析解都有周期轨线。这个结果最初是由于A. Rechtman（arXiv：0904.2719）和K. Cieliebak和E. Volkov（arXiv：1402.6484）;在这里，我们提出了另一种证明。
2019-11-05 math.AP math.DG math.DS
The sharp corner formation in 2d Euler dynamics of patches: infinite double exponential rate of merging
对于二维Euler动力学的补丁，我们研究了收敛到奇异平稳解的存在下的一个规则的应变。证明了在任何时候都可以使合并率为双指数。
2013-01-20 math-ph math.AP math.MP
Strong uniqueness for Dirichlet operators related to stochastic quantization under exponential/trigonometric interactions on the two-dimensional torus
我们考虑具有指数/三角相互作用的时空量子场。在欧几里德量子场论中，前者和后者分别被称为Hoegh-Krohn模型和Sine-Gordon模型。本文的主要目的是构造无限维扩散过程，利用Dirichlet形式方法求解二维环面上这些量子场的修正随机量子化方程，并证明相应Dirichlet算子的强唯一性.
2020-04-26 math-ph math.AP math.MP
Strong convergence of the vorticity and conservation of the energy for the $α$-Euler equations
该研究针对二维环面上的$α$-Euler方程，证明了其涡量解在$L^\infty_tL^p_x$空间中强收敛于Euler方程的拉格朗日能量守恒解，并得到了有界初始涡量下$L^p$空间的定量收敛速率。
2023-06-11 math.AP
Gevrey regularity for the Euler-Bernoulli beam equation with localized structural damping
研究了具有局部不连续结构阻尼的Euler-Bernoulli梁方程。作为我们的主要结果，我们证明了相应的$C_0$ -半群$(S(t))_{t\geq0}$对于$t>0$是Gevrey类$δ>24$，因此是立即可微的.此外，我们证明了$(S(t))_{t\geq0}$是指数稳定的。
2022-12-14 math.AP
Global regularity for the unidirectional Euler-alignment system with supercritical dissipation
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）
本文证明了任意维度下具有超临界耗散的单向Euler-alignment系统在Sobolev初值下的全局适定性，通过同时传播密度和势梯度的临界尺度连续性模量，并建立了速度的指数对齐和密度的指数收敛。
2026-09-23 math.AP
The pressureless damped Euler-Riesz equations
本文分析了$\mathbb{R}^d$和$\mathbb{T}^d$中的无压阻尼Euler-Riesz方程。我们构造了系统在一个常数背景态下经典解的整体存在性和唯一性。我们还建立了大时间行为的经典解显示的解决方案，朝着平衡的时间走向无穷大。对于整个空间的情况下，我们首先显示了额外的假设下的初始数据的存在性理论相比，解决方案的代数衰减率。然后，我们改进参数，使其在整个空间中具有指数衰减的收敛速率。在周期域的情况下，没有任何进一步的正则性假设的初始数据，我们提供了指数收敛的解决方案。
2021-04-12 math.AP
Exponential mixing for the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation on the 1D torus
Northeast Normal University（东北师范大学）；University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）
本文研究加性高斯噪声扰动下一维环面随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的大时间行为，证明其唯一不变概率测度具指数吸引力，无需反扩散系数小性条件，成果推进了该方程的遍历性研究。
2026-08-04 math.AP math.PR
A lower bound on blowup rates for the 3D incompressible Euler equation and a single exponential Beale-Kato-Majda type estimate
我们证明了一个Beale-Kato-Majda型准则的正则性损失的解决方案的不可压缩欧拉方程$H^{s}({\mathbb R}^3)$，$s>\frac52$。代替Beale-Kato-Majda型的双指数估计，我们得到了包含P.Constantin在\cite{co1}中引入的长度参数的$\|u(t)\|_{H^s}$的单指数界.特别地，我们得到了此类解的爆破速率的下界。
2016-08-13 math-ph math.AP math.MP
Exponential Time Decay Estimates for the Landau Equation on Torus
研究了当初始扰动不一定光滑时环面上线性化Landau方程的时间衰减估计。我们的结果揭示了动力学和流体方面的方程。我们设计了一个Picard型迭代和Mixture引理来构造越来越规则的类动力学波，它们由输运方程携带，具有指数时间衰减率。类流体波被构造为空间变量的傅立叶模式的频谱中的长波展开的一部分，并且时间衰减率取决于域的大小。混合引理在本文中起着重要的作用，该引理与玻尔兹曼方程是平行的，但证明更具挑战性。
2013-01-04 math-ph math.AP math.MP
Exponential Mixing for 2D Stochastic Damped Euler Equation Driven by Bounded Noise
Durham University（杜伦大学）；Shandong University（山东大学）
本文研究有界随机强迫驱动的二维环面上随机阻尼欧拉方程的长时间行为，通过建立涡量全局一致W^{1,∞}估计，证明当阻尼系数足够大时，马尔可夫半群存在唯一不变测度并指数收敛到平衡态，首次获得无粘随机欧拉型方程的指数混合结果。
2026-07-07 math.AP math.PR
Limit theorems and fluctuations for point vortices of generalized Euler equations
本文证明了二维环面上点涡系统在正温度下平衡时的平均场极限、大数定律和中心极限定理。点涡是推广欧拉方程的一类方程的形式解，在文献中也称为广义无粘SQG。平均场极限是方程的稳定解，CLT极限是方程的平稳分布。
2018-10-30 math-ph math.AP math.MP
Fredholm determinants, continued fractions, Jost and Evans functions for a Jacobi matrix associated with the 2D-Euler equations
本文针对二维环面欧拉方程单向流稳定性导出的二阶差分方程，证明了Fredholm行列式、Jost函数、Evans函数及前后向连分数五者相等且零点对应离散特征值，并据此改进了广义Kolmogorov流的不稳定性结果。
2024-01-25 math-ph math.AP math.MP
Eigenvalues of the linearized 2D Euler equations via Birman-Schwinger and Lin's operators
本文研究了环面上线性化二维Euler方程的定常态谱不稳定性，该方程采用Birman-Schwinger型算子$K_λ(μ)$及其2-修正摄动行列式$\mathcal D(λ,μ)$ .我们的主要结果刻画了线性化涡度算子$L_{\rm vor}$的不稳定本征值的存在性，该不稳定本征值是关于与$μ=0$的Hilbert Schmidt算子$K_λ(μ)$相关的2-修正弗雷德霍姆行列式$\mathcal D(λ,0)=\det_{2}(I-K_λ(0))$的零点.因此，我们也能够提供一个替代证明的不稳定性定理首先证明林志武，其中涉及存在的不稳定本征值的$L_{\rm vor}$的负本征值的数量的极限椭圆色散算子$A_{0}$。
2018-02-06 math.AP math.SP
Convergence of a fully discrete approximation for the stochastic 2D Euler equations with Kraichnan transport noise
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）
本文针对带Kraichnan输运噪声的二维Euler方程，提出全离散逼近收敛性证明，通过有限维强制不等式和紧致性策略，得到弱鞅解。
2026-09-28 cs.NA math.AP math.NA
