Symmetries, Hopf fibrations and supercritical elliptic problems
本文研究了半线性椭圆边值问题\[ -Δu=\left\vert u\right\vert ^{p-2}u\text{ in }Ω,\text{\quad }u=0\text{ on }\partialΩ, \]在$\mathbb{R}^{N}$的有界光滑区域$Ω$中的超临界指数$p>\frac{2N}{N-2}.$的存在性。一种方法已成功地应用于研究这个问题，包括在减少它到一个更一般的临界或亚临界问题，无论是考虑旋转对称性，或通过地图保留拉普拉斯算子，或两者的组合。本文的目的是说明这种方法，提出了一个选择最近的结果，它是用来建立存在性和多重性或研究的浓度行为的解决方案在超临界指数。
2015-01-14 math.AP
A limit equation and bifurcation diagrams of semilinear elliptic equations with general supercritical growth
研究了半线性椭圆型方程$Δu+f(u)=0$在$f$上较一般的增长条件下的径向解.我们构造了一个径向奇异解，并研究了奇异解与正则解的相交数。给出了椭圆型狄利克雷问题分歧问题的一个应用.为此，我们从无穷远处的原方程中导出了一个极限方程，使用了广义相似变换。通过广义Cole-Hopf变换，所有的极限方程可化为两种典型情况，即，$Δu+u^p=0$和$Δu+e^u=0$。
2019-12-24 math.AP
Non-existence and uniqueness results for supercritical semilinear elliptic equations
证明了几个含参数的半线性椭圆型方程局部和非局部超临界分歧问题解的不存在性和唯一性。域是星形的，但不需要其他对称性假设。当分歧参数在一定范围内时，唯一性成立。我们的方法可以被看作是，在某些情况下，作为一个扩展的非平凡的解决方案的不存在的结果。它是基于Rellich-Pohozaev型估计。半线性椭圆型方程在许多应用中自然出现，例如天体物理学、流体力学或热力学。我们简化了K. Schmitt和R. Schaaf在所谓的局部乘法的情况下，将它们扩展到对分歧参数的非局部依赖的情况和添加剂的情况下，在局部和非局部设置。
2009-08-22 math.AP
Semilinear elliptic problems on the half space with a supercritical nonlinearity
本文研究半空间上具Sobolev超临界非线性项和非齐次Dirichlet边界条件的标量场方程正解，在边界数据可积且非线性项满足Joseph--Lundgren次临界条件下，完整分类了正解的存在性，并通过分歧理论证明了多重正解的存在。
2023-10-25 math.AP
Boundary towers of layers for some supercritical problems
证明了在适当的类环面区域D中，当p从下往上逼近2* N，K时，某些超临界椭圆问题存在任意多个正负层交替的变号解，这些解以不同的速率沿D边界的k维子流形集中.
2013-05-05 math.AP
A new type of nodal solutions to singularly perturbed elliptic equations with supercritical growth
本文研究了一类奇摄动椭圆型方程$$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\varepsilon^2\triangle {u}+|x|^ηu =|x|^ηf(u)& \mbox{in}\,\, A, u=0 & \mbox{on}\,\, \partial A, \end{array} \right. $$，其中$\varepsilon>0$，$η\in\mathbb{R}$，$A=\{x\in\R^{2N}:\,\,0<a<|x|<b\}$，$N\ge2$和$f$是具有超临界增长的$C^1$类的非线性项.通过约化论证，证明了存在一个节点解$u_\e$，该解正好有两个正峰和两个负峰，它们集中在两个不同的正交球面上，其维数为$N-1$.特别地，我们建立了当参数$η>2$、$η=2$和$η<2$时四个峰的不同浓度现象。
2022-09-06 math.AP
On supercritical elliptic problems: existence, multiplicity of positive and symmetry breaking solutions
我们目前的工作的主旨是利用一个给定的问题，以获得改进的超临界问题的紧性，并证明存在新类型的解决方案的非常具体的特点。为此，我们将发展一种变分机制，以构造一大类超临界椭圆型偏微分方程的新型经典解。对称性和对称性破缺的问题是数学和物理学中具有挑战性和基础性的问题。对称性破缺是许多有趣的现象，即相变，不稳定性，隔离等的来源，作为我们的研究结果的结果，我们将建立几个对称性破缺解决方案的存在时，基本问题是完全对称的。我们的方法是变分的，我们不寻求非对称的解决方案，从对称的分叉。相反，我们构造了许多新的正解，通过发展一个极小化极大原理一般半线性椭圆问题限制到一个给定的凸子集，而不是整个空间。作为我们研究的一个副产品，几个新的Sobolev嵌入的函数具有轻度单调对称单调域上建立。
2022-06-26 math.AP
Bubble concentration on spheres for supercritical elliptic problems
考虑超临界Lane-Emden问题$$(P_\eps)\qquad -Δv= |v|^{p_\eps-1} v \ \hbox{in}\ \mathcal{A} ,\quad u=0\ \hbox{on}\ \partial\mathcal{A} $$，其中$\mathcal A$是$\rr^{2m},$、$m\ge2$和$p_\eps={(m+1)+2\over(m+1)-2}-\eps$、$\eps>0.$中的环.证明了$\eps\to0$维球面上的正解和变号解的存在性.使用还原方法（参见Ruf-Srikanth（2010）J. Eur. Math. Soc. and Pacella-Srikanth（2012）arXiv：1210.0782）我们将问题$(P_\eps)$转化为环中的非齐次问题$\mathcal D\subset \rr^{m+1}$，可以通过Ljapunov-Schmidt有限维约简来求解。
2013-02-12 math.AP
Supercritical elliptic problems involving a Cordes like operator
在这项工作中，我们得到的各种扰动的正有界解的\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lcl} \hfill -Δu - γ\sum_{i,j=1}^N \frac{x_i x_j}{|x|^2} u_{x_i x_j} &=& u^p \qquad \mbox{ in } B_1, \\ \hfill u &=& 0 \hfill \mbox{ on } \partial B_1, \end{array}\right. \end{equation}其中$B_1$是单位球在$ \IR^N$其中$N \ge 3$，$ γ>0$和$ 1<p<p_{N,γ}$其中\begin{equation*} p_{N,γ}:=\left\{ \begin{array}{lc} \frac{N+2+3 γ}{N-2-γ} & \qquad \mbox{ if } γ<N-2, \\ \infty & \qquad \mbox{ if } γ\ge N-2. \end{array}\right. \end{equation*}注意$γ>0$这允许超临界范围的$p$。
2020-04-16 math.AP
A supercritical elliptic problem in a cylindrical shell
我们考虑问题\[ -Δu=|u|^{p-2}u in Ω, u=0 on \partialΩ, \]其中$Ω:=\{(y,z)\in\mathbb{R}^{m+1}\times\mathbb{R}^{N-m-1}: 0<a<|y|<b<\infty\}$，$0\leq m\leq N-1$和$N\geq2$ .如果$m<N-2$为$2_{N,m}^{\ast}:=2(N-m)/(N-m-2)$，如果$m=N-2$或$N-1$为$2_{N,m}^{\ast}:=\infty$。我们表明，$2_{N,m}^{\ast}$是这个问题的真正的临界指数，并存在非平凡的解决方案，如果$2<p<2_{N,m}^{\ast}$，但没有这样的解决方案，如果$p\geq2_{N,m}^{\ast}$。
2013-04-06 math.AP
Bifurcation diagrams of semilinear elliptic equations for supercritical nonlinearities in two dimensions
本文研究二维单位球中一般超临界非线性Gelfand问题，证明小参数下不稳定解不存在、径向奇异解存在及有限Morse指标解一致有界，从而得出分岔曲线具有无穷多个转折点，并阐明分岔结构仅由非线性超临界性决定。
2024-08-12 math.AP
Nonexistence and multiplicity of solutions to elliptic problems with supercritical exponents
考虑超临界问题-Δu = |u| ^{p-2}u in Ω，u=0 on \partial Ω，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N},$ $N\geq3,$和$p\geq2^{*}:= 2N/(N-2).$中的有界光滑区域Bahri和Coron证明了如果$Ω$具有非平凡同调，则该问题对于$p=2^{*}.$有正解。对于$p\geq 2(N-1)/(N-3)$，Passaseo展示了携带一个非平凡同源类的结构域，其中不存在非平凡解。在这里，我们给出了域的例子，其同源性随着$p$的增加而变得更丰富。更准确地说，我们证明了对于具有$1\leq k\leq N-3$的$p> 2(N-k)/(N-k-2)$，在$\mathbb{R}^{N}$中存在有界光滑域，其杯长为$k+1$，其中该问题没有非平凡解。对于$N=4,8,16$，我们表明，有许多领域，所产生的霍普夫纤维化，其中的问题有一个规定的一些特定的超临界指数的解决方案。
2012-12-20 math.AP
Liouville results and asymptotics of solutions of a quasilinear elliptic equation with supercritical source gradient term
考虑椭圆型拟线性方程$Δ$ m u = u p| $\nabla$使用|其中q $\ge$ m且p > 0，1 < m < N。我们的主要结果是一个Liouville型性质，即RN中所有的正C1解都是常数.我们还给出了它们的渐近性质：在外部区域RN \B r 0中的所有解都是有界的. B r 0\ {0}中的解可以推广为B r 0中的一个连续函数。RN\ {0}中的解有一个有限极限l $\ge$ 0为|x| $\rightarrow$ $\infty$ .我们的主要论点是一个伯恩斯坦估计的梯度的权力的解决方案，结合一个精确的Osserman型估计的方程所满足的梯度。
2020-08-24 math.AP
Boundary trace of positive solutions of supercritical semilinear elliptic equations in dihedral domains
研究了（E）$-Δu+|u|^{q-1}u=0$在二面体区域$\Gw$中的广义边值问题，当$q>1$为超临界时.根据$\Gw$的几何形状，临界指数的值只能取有限个值。当$\gm$是k-楔形上的有界Borel测度时，给出了它是（E）解的边值的充要条件.给出了边界紧子集可去的条件。这些条件用贝塞尔电容$B_{s,q'}$在$\BBR^{N-k}$中表示，其中$s$取决于楔的特性。这使我们能够描述（E）的正解的边界迹
2014-07-02 math.AP
Nonexistence of solutions for elliptic equations with supercritical nonlinearity in nearly nontrivial domains
研究了一类非线性椭圆Dirichlet问题$${\rm div}(|D u|^{p-2}D u )+f(u)=0\quad\mbox{ in }Ω,\qquad u\in H^{1,p}_0(Ω) $$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^n$中的有界区域，$n\ge 2$，$p> 1$和$f$从Sobolev嵌入的观点出发具有超临界增长性.我们的目的是证明存在有界可收缩的非星形域$Ω$，任意接近非平凡拓扑的域，使得问题没有非平凡解。例如，我们证明了，如果$n=2$，$1<p<2$，$f(u)=|u|^{q-2}u$与$q>{2p\over 2-p}$和$Ω=\{(ρ\cosθ,ρ\sinθ)\ :\ |θ|<α,\ |ρ-1|<s\}$与$0<α<π$和$0<s<1$，那么对于所有的$q>{2p\over 2-p}$存在$\bar s>0$，使得问题只有平凡的解决方案$u\equiv 0$对所有的$α\in (0,π)$和$s\in (0,\bar s)$。
2019-02-06 math.AP
A supercritical elliptic equation in the annulus
本文在环域中研究超临界椭圆方程，利用变分与拓扑方法结合不变锥，构造了新的正轴对称解，并在常数系数情形下给出解非径向的充分条件。
2023-05-12 math.AP
On supercritical divergence-free drifts
对于具有次临界或临界漂移的二阶椭圆或抛物型方程，Harnack不等式成立，且其有界弱解是Hölder连续的.我们在具有任意小的$λ>0$的$L^{n-λ}(\mathbb{R}^n)$中构造了与时间无关的超临界漂移，使得Harnack不等式和Hölder连续性在椭圆和抛物情形下都失效，从而证实了Seregin，Silvestre，Sverak和Zlatos的一个猜想.这些结果是尖锐的，它们也适用于一个玩具模型的轴对称斯托克斯方程在空间维$3$。
2021-06-04 math.AP
Multiplicity and symmetry breaking for supercritical elliptic problems in exterior domains
本文研究外部区域中的半线性椭圆方程，在权重满足特定对称与单调性条件下，证明了超临界指数范围内正解的存在性、非径向解的多重性及对称性破缺现象。
2024-08-27 math.AP
Stability of entire solutions to supercritical elliptic problems involving advection
我们研究了由\begin{equation} \label{eq_abstract} -Δu + a(x) \cdot \nabla u = u^p \qquad \mbox{in $ \IR^N$,} \end{equation}给出的方程，其中$p>1$和$ a(x)$是满足某些衰减条件的光滑向量场.我们表明，对于$ p < p_c$，约瑟夫-Lundgren指数，有没有正稳定的解决方案（\ref{eq_abstract}）提供了一个小的条件$a$随着发散自由的条件。在另一个方向上，我们证明了对于$ N \ge 4$和$ p > \frac{N-1}{N-3}$，当$a$满足小性条件时，存在（\ref{eq_abstract}）的正解.对于$ p>p_c$，我们证明了（\ref{eq_abstract}）的正稳定解的存在性，条件是$a$是发散自由的并且满足一个小性条件.
2013-05-19 math.AP
Infinite concentration and oscillation estimates for supercritical semilinear elliptic equations in discs. II
本文基于第一部分的集中估计，研究圆盘上超临界半线性椭圆方程爆破解在原点附近的无限振荡现象，刻画渐近形状并给出分歧图无限振荡的充分条件，从而证明无穷多解的存在性。
2025-07-07 math.AP
Multiple solutions to weakly coupled supercritical elliptic systems
研究一类弱耦合超临界椭圆方程组\begin{equation*} \begin{cases} -Δu = |x_2|^γ\left(μ_{1}|u|^{p-2}u+λα|u|^{α-2}|v|^βu \right) & \text{in }Ω,\\ -Δv = |x_2|^γ\left(μ_{2}|v|^{p-2}v+λβ|u|^α|v|^{β-2}v \right) & \text{in }Ω,\\ u=v=0 & \text{on }\partialΩ, \end{cases} \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$，$N\geq 3$，$γ\geq 0$，$μ_{1},μ_{2}>0$，$λ\in\mathbb{R}$，$α, β>1$，$α+β= p$，和$p\geq 2^{*}:=\frac{2N}{N-2}$中的有界光滑区域.我们假设$Ω$在线性等距群$G$的作用下是不变的，$\mathbb{R}^{N}$是$G$不变线性子空间的和$F\oplus F^\perp$，$x_2$是点$x\inΩ$在$F^\perp$上的投影。然后，在对$Ω$和$F$的一些假设下，我们建立了这个系统对于$p\geq 2^*$直到某个依赖于对称性和$γ$的值的无穷多个完全非平凡$G$不变解的存在性.我们的结果特别适用于具有纯幂非线性项的系统（$γ=0$）…
2018-08-30 math.AP
Regularity of Weak Solutions of Elliptic and Parabolic Equations with Some Critical or Supercritical Potentials
本文证明了一致椭圆型和抛物型方程$Δu-\frac{A}{|x|^{2+β}}u=0,\,\,(β\geq 0)$，变二阶项系数情形$%% \begin{equation}\label{01} \partial_{i} (a_{ij}(x) \partial_{j}u(x)) - \frac{A}{|x|^{2+β}} u(x) =0\quad (A>0,\quadβ\geq 0), \end{equation} \begin{equation}\label{02} \partial_{i} (a_{ij}(x,t) \partial_{j}u(x,t)) - \frac{A}{|x|^{2+β}} u(x,t)-\partial_{t}u(x,t) =0\quad (A>0,\quadβ\geq 0), \end{equation} with critical or supercritical 0-order term coefficients which are beyond De Giorgi-Nash-Moser's Theory. We also prove, in some special cases, weak solutions are even differentiable. Previously P. Baras and J. A. Goldstein \cit…
2016-01-11 math.AP
Supercritical elliptic problems on nonradial domains via a nonsmooth variational approach
本文研究了\begin{equation} \label{eqx} \left\{\begin{array}{ll} -Δu = a(x) u^{p-1} & \mbox{ in } Ω, \\ u>0 & \mbox{ in } Ω, \\ u= 0 & \mbox{ on } \pOm, \end {array}\right. \end{equation}的正古典解，其中$Ω$是$\IR^N$ $(N \ge3)$中的有界环形区域（不一定是环），而$ a(x)$是非负连续函数.当问题具有一定的对称性和单调性条件时，我们证明了$p$在一定范围的超临界值下经典正解的存在性。作为结果的一个结果，我们将证明当$ a(x)=1$和$Ω$是一个具有一定半径假设的环时，（\ref{eqx}）有$\Bigl\lfloor\frac{N}{2} \Bigr\rfloor$（$\frac{N}{2}$的底）正的非径向解.在环形区域的情况下，我们也得到了正解的存在性。我们的方法是基于一个新的变分原理，允许一个处理超临界问题变分限制相应的功能上的一个适当的凸子集，而不是整个空间在一个温和的不变性财产为代价。
2021-06-22 math.AP
Monotonicity of the bifurcation curve for supercritical elliptic problems in the borderline dimension $N=10$
The University of Tokyo（东京大学）
研究单位球上超临界半线性椭圆Dirichlet问题分支图的全局结构，在临界维度N=10处，通过构造满足Hardy型稳定性条件的奇异次解，证明了一类非线性（包括指数型与迭代指数函数）的分支曲线单调，从而得到经典解的唯一性，并刻画了分支曲线单调性与抛物问题全局无界解存在性的等价关系。
2026-05-29 math.AP
Supercritical elliptic problems on the round sphere and nodal solutions to the Yamabe problem in projective spaces
给定$n$维圆球面上的等参函数$f$，我们考虑$u=w\circ f$形式的函数，将具有$λ>0$和$1<p$的半线性椭圆问题\[ -Δ_{g_0}u+λu=λ | u\ | ^{p-1}u\qquad\text{ on }\mathbb{S}^n \]化为形式为$w'' + \frac{h(r)}{\sin r} w' + \fracλ{\ell^2}\ (| w|^{p-1}w - w\ )=0$的$[0,π]$中的奇异常微分方程，其中$h$是严格递减函数，在此区间内恰好有一个零点，$\ell$是几何常数.利用双重打靶法，结合这类常微分方程的振荡解的结果，我们得到了第一个问题的一系列变号解，这些解在与$f$相关的等参超曲面上是常数，并且在生成等参族的一个或两个焦点子流形上爆破.我们的方法也适用于当$p>\frac{n+2}{n-2}$，即，在超临界的情况下。此外，使用减少通过调和态射，我们证明了存在性和多重性的符号变化的解决方案的Yamabe问题的复杂和四元数空间，有一个有限的不相交的工会等参超曲面作为定期的水平集。
2019-08-21 math.AP
Infinite concentration and oscillation estimates for supercritical semilinear elliptic equations in discs. I
本文在圆盘上超临界半线性椭圆方程中建立无限集中与振荡估计，将作者先前结果推广到一般超临界情形，并通过伸缩与逐点技巧对爆破解的无限集中行为进行分类，揭示多重指数增长下的新行为。
2025-07-07 math.AP
Supercritical Henon type equation with a forcing term
本文研究一类带强迫项的Henon型方程椭圆问题解的结构。在强迫项的适当假设下，我们给出了问题解的存在性/不存在性的完整分类。
2022-11-22 math.AP
An elliptic semilinear equation with source term and boundary measure data: the supercritical case
给出了一类具有超线性源项\begin{align*}-Δu = u^q ~~\text{in}~Ω,~~u=σ~~\text{on }~\partialΩ\end{align*}的方程弱解存在性的新判据，其中$Ω$是有界光滑区域或$\mathbb{R}\_+^{N}$，$q\textgreater{}1$，$σ\in \mathfrak{M}^+(\partialΩ)$是$\partialΩ$上的非负Radon测度.我们得到的标准之一是表示在$\partialΩ$上的一些贝塞尔容量。我们还给出了一类含源混合项方程弱解存在的一个充分条件。\begin{align*} -Δu = |u|^{q\_1-1}u|\nabla u|^{q\_2} ~~\text{in}~Ω,~~u=σ~~\text{on }~\partialΩ\end{align*}其中，$q\_1,q\_2\geq 0, q\_1+q\_2\textgreater{}1, q\_2\textless{}2$、$σ\in \mathfrak{M}(\partialΩ)$是$\partialΩ$上的氡测量值。
2015-09-09 math.AP
Positive normalized solutions to a singular elliptic equation with a $L^2$-supercritical nonlinearity
College of Data Science, Jiaxing University（嘉兴大学数据科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University（东北师范大学数学与统计学院）；Departamento de Matemática, Universidade de Brasília（巴西利亚大学数学系）
本文研究了具有 $L^2$-超临界非线性的奇异椭圆方程的正归一化解的存在性，通过变分方法和正则化泛函分析，证明了对于足够小的归一化参数，问题存在正解。
2026-01-28 math.AP
Positive solutions to a supercritical elliptic problem which concentrate along a thin spherical hole
考虑超临界问题\[ -Δv=|v|^{p-2}v in Θ_ε, v=0 on \partialΘ_ε, \]，其中$Θ$是$\mathbb{R}^{N}$，$N\geq3$，$p>2^{\ast}:=2N/(N-2)$中的有界光滑区域，$Θ_ε$是通过删除嵌入在$Θ$中的某个球的$ε$ -邻域得到的.在某些特定的情况下，我们表明，$ε>0$足够小，这个问题有一个积极的解决方案$v_ε$和这些解决方案集中和爆炸沿领域$ε$趋于0。我们的方法是通过一些霍普夫映射将这个问题简化为较低维度的打孔域$Ω_ε:=\{x\inΩ:|x-ξ_{0}|>ε\}$中形式为\[ -Δu=Q(x)|u|^{4/(n-2)}u in Ω_ε, u=0 on \partialΩ_ε, \]的临界问题。我们证明，如果$Ω$是一个有界光滑域$\mathbb{R}^{n}$，$n\geq3$，$ξ_{0} is inΩ,$ $Q is in C^{2}(\b{\Oarmega})$是积极的和$\nabla Q(ξ_{0})\neq0$，然后，对于$ε>0$足够小，这个问题有一个正解$u_ε$，这些解决方案集中和爆破$ξ_{0}$ $ε$走向0。
2013-04-06 math.AP
Blowing-up solutions concentrating along minimal submanifolds for some supercritical elliptic problems on Riemannian manifolds
设$(M,g)$和$(K,κ)$分别是维数为$m$和$k ,$的两个黎曼流形.设$ω\in C^2(N),$ $ω> 0.$翘曲积$ M\times _ωK$是具有度量$ g+ω^2 κ.$的$ (m+k)$维积流形$M\times K$我们证明了当实参数$\varepsilon$趋于零时，超临界问题$$-Δ_{g+ω^2 κ}u+h u=u^{ {m+2\over m-2} \pm\varepsilon},\ u>0,\ \hbox{in}\ (M\times _ωK,g+ω^2 κ)$$的解集中在$M\times _ωN$的$k$维极小子流形$Γ$上，只要函数$h$和沿$Γ$的截面曲率满足适当的条件.
2014-01-21 math.AP math.DG
Probabilistic global-wellposedness for the energy-supercritical Schrödinger equations on compact manifolds
针对所有维度下带一般非线性幂次的能量超临界薛定谔方程，在一般紧黎曼流形（含环面、佐尔流形）上构造奇异阶Sobolev空间不变测度，证明解的几乎必然全局适定性及时间增长界。
2025-02-12 math.AP
Supercritical elliptic problems on a perturbation of the ball
我们研究了Hénon方程$ -Δu =|x|^αu^p$在$ Ω\subset \mathbb{R}^N$与$u=0$在$ \partial Ω$，其中$ 0 < α$。我们证明了存在一个序列$ \{p_k\}_k \subset [ \frac{N+2}{N-2}, p_α(N)]$与$p_1 < p_2 <p_3 < ...$，$ p_k \nearrow p_α(N)$，使得对于任何$ \frac{N+2}{N-2} \le p < p_α(N)$，避免$ \{p_k\}_k $，存在一个正的经典解的Hénon方程，提供$ Ω$是一个足够小的扰动的单位球。我们还研究了莱恩-埃姆登-福勒方程的情况下，一个外部域，即。$ Ω$中的$ -Δu = u^p$，外部结构域，$ \partial Ω$上的$ u=0 $。我们证明了$ \frac{N+2}{N-2} \le p_1 < p_2 < p_3<...$与$ p_k \rightarrow \infty$的存在性，使得如果$ \frac{N+2}{N-2} < p$，避免了$\{p_k\}_k$，则存在正的\emph{fast decay}经典解，只要$ Ω$是单位球外部的足够小的扰动。
2013-10-25 math.AP
On a supercritical Hardy-Sobolev type inequality with logarithmic term and related extremal problem
本文研究带对数项的超临界 Hardy-Sobolev 型不等式，证明紧性丧失情形下极值函数存在，并用于确立一类相关椭圆偏微分方程弱解的存在性。
2024-06-27 math.AP
Uniform boundedness for finite Morse index solutions to supercritical semilinear elliptic equations
Academy of Mathematics and Systems Science, the Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文研究超临界半线性椭圆方程在凸域内有限莫尔斯指数解的统一有界性，证明了3≤n≤9维度范围内的L^∞界。
2026-01-08 math.AP
Lack of uniqueness for an elliptic equation with nonlinear and nonlocal drift posed on a torus
University of Milano（米兰大学）；University of Karlstad（卡尔斯特德大学）
研究了在环面上的非线性和非局部椭圆方程的非唯一性，通过分支定理证明了非常数周期解的存在，并构造了特定一维形式的显式多重解。
2026-07-17 math.AP
Positive and nodal single-layered solutions to supercritical elliptic problems above the higher critical exponents
我们研究问题%\[ -Δv+λv=| v| ^{p-2}v\text{ in }Ω,\text{\qquad}v=0\text{ on $\partialΩ$},\text{ }% \]的$λ\in\mathbb{R}$和超临界指数$p,$域的形式%\[ Ω:=\{(y,z)\in\mathbb{R}^{N-m-1}\times\mathbb{R}^{m+1}:(y,| z| )\inΘ\}, \]其中$m\geq1,$ $N-m\geq3,$和$Θ$是一个有界域的$\mathbb{R}% ^{N-m}$，其封闭包含在$\mathbb{R}^{N-m-1}\times(0,\infty)$。在对$Θ$的一些对称性假设下，证明了在包含$[0,\infty)$和$p>2$的区间内，对于每个$λ$，该问题有无穷多个解，直到某个大于$(m+1)^{st}$临界指数$2_{N,m}^{\ast}:=\frac{2(N-m)}{N-m-2}$的数.我们还展示了域与收缩孔，其中有一个积极的和一个节点的解决方案，集中在一个领域，开发一个单一的层，吹在$m$维领域包含在边界的$Ω,$孔收缩和$p\rightarrow2_{N,m}^{\ast}$从上面。正解的极限分布在浓度球的横向上是标准气泡的重新标度，而节点解的极限分布是问题%\[ -Δu=| u| ^{2_{n}^{\ast}-2}u,\tex…
2017-03-07 math.AP
Infinite multiplicity of positive solutions of an inhomogeneous supercritical elliptic equation on $\mathbb{R}^N$
本文研究 $\mathbb{R}^N$ 上含非齐次项的超临界椭圆方程，证明在 Sobolev 与 Joseph-Lundgren 指数之间奇异正径向解等价于无穷多个非一致有界正有界解。
2025-05-15 math.AP
Semilinear nonlocal elliptic equations with critical and supercritical exponents
本文研究的问题是\begin{eqnarray*} (-Δ)^s u &=& u^p - u^q \quad\text{in }\quad \mathbb{R}^N, u &\in& \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)\cap L^{q+1}(\mathbb{R}^N), u&>0& \quad\text{in}\quad\mathbb{R}^N, \end{eqnarray*}，其中$s\in(0,1)$是固定参数，$(-Δ)^s$是$\mathbb{R}^N$，$q>p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$和$N>2s$中的分数拉普拉斯算子.对于每一个$s\in(0,1)$，我们建立了上述方程解的正则性结果（当解存在时），并证明了每一个解都是经典解。其次，我们得到了所有$s\in(0,1)$的解的衰减估计和解在无穷远处的梯度。使用这些衰减估计，我们证明Pohozaev型恒等式在$\mathbb{R}^N$和显示，上述问题没有任何解决方案时，$p=\frac{N+2s}{N-2s}$。我们还讨论了解的径向对称性和递减性，证明了当$p>\frac{N+2s}{N-2s}$时，上述问题存在解。此外，如果我们在有界区域中考虑上述方程的Dirichlet边界条件，我们证明了它对每个$p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$都有解，并且每个解都是经典解.
2017-03-21 math.AP
Multiple solutions for coupled gradient-type quasilinear elliptic systems with supercritical growth
本文考虑如下耦合梯度型拟线性椭圆方程组\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} - {\rm div} ( a(x, u, \nabla u) ) + A_t (x, u, \nabla u) = G_u(x, u, v) &\hbox{ in $Ω$,}\\[10pt] - {\rm div} ( b(x, v, \nabla v) ) + B_t(x, v, \nabla v) = G_v\left(x, u, v\right) &\hbox{ in $Ω$,}\\[10pt] u = v = 0 &\hbox{ on $\partialΩ$,} \end{array} \right. \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$中的开有界区域，$N\ge 2$ .我们假设存在一些$\mathcal{C}^{1}$ -Carathéodory函数$A, B:Ω\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$使得$a(x,t,ξ) = \nabla_ξ A(x,t,ξ)$，$A_t(x,t,ξ) = \frac{\partial A}{\partial t} (x,t,ξ)$，$b(x,t,ξ) = \nabla_ξ B(x,t,ξ)$，$B_…
2022-10-13 math.AP
Concentration and oscillation analysis of positive solutions to semilinear elliptic equations with exponential growth in a disc
本文研究圆盘上具指数增长半线性椭圆方程正解的集中与振荡，在超临界情形 p>2 下发现无穷气泡序列并精确刻画其极限形态、能量和位置，进而证明解的无穷振荡及分岔图的无穷振荡现象。
2024-04-03 math.AP
Local minimizers in spaces of symmetric functions and applications
我们研究$H^1$与$C^1$局部极小定义在对称函数空间上的泛函，即函数是由$\mathcal{O}(N)$的一些子群的作用不变。这些泛函，在许多情况下，与一些椭圆偏微分方程，可能有超临界增长。因此，我们也证明了一类可能具有超临界增长的半线性椭圆型方程的对称弱解的经典正则性。然后我们应用这些结果证明了一类Hénon型凹凸椭圆型方程的大量经典正对称解的存在性.
2014-12-23 math.AP
Optimal regularity for supercritical parabolic obstacle problems
本文研究超临界区域 $s \in (0,1/2)$ 下由 $\partial_t + L$ 驱动的抛物型障碍问题，首次证明解在时空上具有最优的 $C^{1,1}$ 正则性，并得到自由边界正则性及边界点展开式。
2021-08-27 math.AP
Sign-changing blowing-up solutions for supercritical Bahri-Coron's problem
设$Ω$是$\R^n$，$n\ge 3$中的有界区域，具有光滑边界$\partialΩ$和一个小孔.我们给出了非线性椭圆问题$$ -Δu=|u|^{{n+2\over n-2} +\ve -1 } u \, \, \mbox{ in } Ω, \quad \quad u=0 \mbox{ on } \partial Ω, $$的变号{ \it冒泡}解的第一个例子，其中$\ve$是一个小的正参数。构造中的基本单元是临界Yamabe问题$$ -Δw = |w|^{\frac{4}{n-2}} w, \ \ w \in {\mathcal D}^{1,2} (\R^n) $$的变号节点解，该问题具有大量（$3n$）核。
2015-02-05 math.AP
Supercritical Moser-Trudinger inequalities and related elliptic problems
给定$α>0$，我们建立了以下两个超临界Moser-Trudinger不等式：\[ \sup\limits_{u \in W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B): \int_B |\nabla u|^n dx \leq 1} \int_B \exp\big( (α_n + |x|^α) |u|^{\frac{n}{n-1}} \big) dx < +\infty \]和\[ \sup\limits_{u\in W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B): \int_B |\nabla u|^n dx \leq 1} \int_B \exp\big( α_n |u|^{\frac{n}{n-1} + |x|^α} \big) dx < +\infty, \]，其中$W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B)$是具有$n\geq 2$的$\mathbb R^n$中$B$上径向对称函数的通常索伯列夫空间.在不限于函数类$W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B)$的情况下，我们应该强调上述不等式在$W^{1,n}_{0,{\rm rad}}(B)$中失败。还研究了上述不等式的尖锐性和最优函数的存在性问题。为了说明这一发现，应用到一类球上的边值问题。这是第二部分，在一组我们的工作有关的功能不平等的超临界政权。
2019-05-06 math.AP math.CA math.FA
Singular solutions of elliptic equations with iterated exponentials
我们构造正奇异解的问题$-Δu=λ\exp (e^u)$在$B_1\subset \mathbb{R}^n$（$n\geq 3$），$u=0$在$\partial B_1$，有一个指定的行为周围的起源。我们的研究推广了Y. Miyamoto [Y. Miyamoto，一般超临界增长半线性椭圆型方程的极限方程和分支图。J.微分方程\textbf{264}（2018），2684 - 2707]。我们的方法，然后进行椭圆型方程具有迭代指数。
2019-06-12 math.AP
Quantitative stratification and sharp regularity estimates for supercritical semilinear elliptic equations
针对超临界半线性椭圆方程，论文利用切函数、切测度及 Naber–Valtorta 的 Reifenberg 型定理，定量刻画奇异集分层，并得到导数的尖锐弱 $L^q$ 内部正则性估计。
2024-09-07 math.AP
Elliptic equations involving the $1$-Laplacian and a subcritical source term
本文研究一类含有$1$ -Laplacian算子和源项的椭圆型方程的狄利克雷问题.我们证明了，当增长的源是次临界的，存在两个有界的非平凡的解决方案，我们的问题。此外，证明了Pohozaev型恒等式，即使在超临界增长时也成立。我们还显示了我们的结果的明确的例子。
2017-07-06 math.AP
A supercritical Sobolev type inequality in higher order Sobolev spaces and related higher order elliptic problems
在$\mathbb R^n$，$n\geq 3$中的单位球$B$上的径向对称函数的Sobolev型嵌入到变指数Lebesgue空间$L_{2^\star + |x|^α} (B)$，$2^\star = 2n/(n-2)$，$α>0$中，由于J. M. doba，B. Ruf和P.Ubilla提出的不等式\[ \sup\Big\{\int_B |u(x)|^{2^\star+|x|^α} dx : u\in H^1_{0,{\rm rad}}(B), \|\nabla u\|_{L^2(B)} =1\Big\} < +\infty \]成立。本文将上述不等式推广到$B$上径向对称函数的高阶索伯列夫空间，即\[ H^m_{0,{\rm rad}}(B) \hookrightarrow L_{2_m^\star + |x|^α} (B) \]与$2\leq m < n/2$，$2_m^* = 2n/(n-2m)$，$α>0$的嵌入成立.还研究了该不等式的锐常数问题，包括最优函数的存在性。为了说明这一发现，一个应用程序的球驱动的多调和算子的边值问题。这是第一次在一组我们的工作有关的功能不平等的超临界政权。
2019-05-06 math.AP math.CA math.FA
Existence and orbital stability of the ground states with prescribed mass for the L^2-critical and supercritical NLS on bounded domains
研究了酉球上具有给定质量和Dirichlet齐次边界条件的半线性椭圆型方程的解。在有界区域上搜索具有Sobolev次临界幂非线性项的非线性薛定谔方程（NLS）的孤波解时，出现了这样的问题。给出了此类解存在的充要条件。此外，我们还证明了当非线性为L^2-临界和亚临界时，与最小能量解相关的驻波总是轨道稳定的，而在L^2-超临界区域它们几乎总是稳定的。证明是结合研究一个变分问题而得到的，该变分问题具有两个独立的约束条件：在具有规定的L^2和H^1_0-范数的函数中最大化L^{p+1}-范数。
2013-07-15 math.AP
Planar Schrödinger-Poisson system with steep potential well: supercritical exponential case
针对含陡势阱且非线性项具 Trudinger-Moser 超临界指数增长的平面 Schrödinger-Poisson 系统，本文借助山路定理与椭圆正则理论证明大参数时基态解存在并发生集中。
2024-01-19 math.AP
Non-topological solutions in a generalized Chern-Simons model on torus
本文考虑了广义自对偶Chern-Simons-Higgs规范理论中的一类带Dirac源项的拟线性椭圆方程。本文研究了具有任意涡位形的双周期涡。首先，我们证明了在双周期条件下，当耦合参数趋于零时，系统只有两种类型的解：拓扑解和非拓扑解。此外，我们成功地构造了非拓扑解的$k$泡，其中$k\in\mathbb{N}$是任何给定的数字。我们认为这是在广义自对偶Chern-Simons-Higgs规范理论中产生的拟线性椭圆方程的非拓扑双周期解存在性的第一个结果。为了找到合适的近似解，了解拟线性椭圆型方程的结构是很重要的。
2015-09-14 math.AP
Symmetry breaking and multiplicity for supercritical elliptic Hamiltonian systems in exterior domains
本文研究外部区域中超临界椭圆哈密顿系统正解的存在性与多重性，在权重满足对称性和单调性条件下证明超临界双曲线情形存在对称正解，并在常数权重时给出非径向解的数量下界。
2024-02-06 math.AP
A supercritical scalar field equation with a forcing term
研究了一类带强迫项\begin{equation} \tag{P}-Δu+u=u^p+ κμ\quad \mbox{in} \quad{\bf R}^N, \quad u>0 \quad \mbox{in} \quad {\bf R}^N, \quad u(x)\to 0\quad \mbox{as} \quad |x| \to \infty, \end{equation}的标量场方程的椭圆问题，其中$N\ge 2$，$p>1$，$κ>0$和$μ$是${\bf R}^N$中的Radon测度，且具有紧支集.在$μ$上适当的可积性条件下，给出了问题P的可解性的一个完全分类，即问题P的可解性是由$1<p<p_{JL}$给出的.这里$p_{JL}$是由$$ p_{JL} :=\infty\quad\mbox{if}\quad N\le 10, \qquad p_{JL}:=\frac{(N-2)^2-4N+8\sqrt{N-1}}{(N-2)(N-10)}\quad \text{if} \quad N\ge 11. $$定义的约瑟夫-伦德格伦指数
2019-02-05 math.AP
