Anisotropic, Mixed-Norm Lizorkin--Triebel Spaces and Diffeomorphic Maps
Jon Johnsen, Sabrina Munch Hansen, Winfried Sickel
本文给出了在欧几里得空间、开集和圆柱域上具有混合范数的各向异性Lizorkin-Triebel空间在坐标变换下的不变性的一般结果。
This article gives general results on invariance of anisotropic Lizorkin--Triebel spaces with mixed norms under coordinate transformations on Euclidean space, open sets and cylindrical domains.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Triebel-Lizorkin-Lorentz spaces and the Navier-Stokes equations
我们得到的Triebel-Lizorkin-Lorentz空间的基本性质的PDE的治疗中的重要。例如，我们证明了Triebel-Lizorkin-Lorentz空间是$\mathcal{HT}$类，具有$(α)$性质，并承认一个Mikhlin型乘子结果.利用这些性质，我们证明了Laplace算子和Stokes算子允许有界$H^\infty$ -演算.最后应用这一方法得到了相应的Triebel-Lizorkin-Lorentz基空间上Navier-斯托克斯方程的局部强适定性.
On the boundedness of Pseudo-differential operators on Triebel-Lizorkin and Besov spaces
在这项工作中，我们证明了$0<ρ<1$、$(ρ,ρ)$类型的伪微分算子在Triebel-Lizorkin和Besov空间上的端点有界性。我们的结果是尖锐的，他们也涵盖了复合符号定义的运营商。
Elliptic problems in Besov and Sobolev-Triebel-Lizorkin spaces of low regularity
在Besov和Sobolev-Triebel-Lizorkin低正则性空间中，特别是在任意负阶空间中，研究了边界条件中含有附加未知分布的椭圆问题.我们发现这些问题在适当的空间对上诱导出Fredholm有界算子。
Boundedness of pseudo-differential operators of type (0,0) on Triebel-Lizorkin and Besov spaces
本文建立了对应于$a\in\mathcal{S}_{0,0}^{m}$的伪微分算子在Triebel-Lizorkin空间$F_p^{s,q}$和Besov空间$B_p^{s,q}$上的有界性.
Persistence of the solution to the Euler equations in the end-point critical Triebel-Lizorkin space $F^{d+1}_{1, \infty}(\mathbb{R}^d)$
阐明了理想不可压缩流体的Euler方程解在端点Triebel-Lizorkin空间$F^s_{1, \infty}(\mathbb{R}^d)$和$s \geq d + 1$中的局部滞留.
Domains of type 1,1 operators: a case for Triebel--Lizorkin spaces
证明了当阶为d时，1，1型伪微分算子从Triebel-Lizorkin空间$F^d_{p,1}$到$L_p$（对于$1\le p<\infty$）是连续的，这是Besov和Triebel-Lizorkin空间中最大的可能域. Hörmander的条件扭曲的对角线上扩展到这个框架，使用一般的支持规则的傅立叶变换的伪微分算子。
Anisotropic Lizorkin--Triebel Spaces with Mixed Norms --- Traces on Smooth Boundaries
本文研究光滑边界圆柱域上具有混合范数的各向异性Lizorkin-Triebel空间上的迹算子。作为准备，我们对流形上的Lizorkin-Triebel空间进行了相当独立的阐述，并将这些结果扩展到欧几里得空间中柱体上的混合范数Lizorkin-Triebel空间。此外，还证明了半空间上的Rychkov泛扩张算子关于混合范数是有界的，并且明确给出了迹的一个保持右逆的支集，并证明了它在混合范数Lizorkin-Triebel空间的尺度上是连续的.作为应用，在这些空间中考虑了热传导方程，并推导出了必要的相容条件。
Remarks on the well-posedness of the Euler equations in the Triebel-Lizorkin spaces
本文证明了在（临界）Triebel-Lizorkin空间中Euler方程解映射的连续依赖性，这在以前的工作（\cite{Ch02, Ch03, ChMiZh10}）中是没有证明的.证明依赖于经典的Bona-Smith方法\cite{GuLiYi18}，其中在临界Besov空间$B^1_{\infty,1}$中得到了类似的结果.
Local and global estimates for hyperbolic equations in Besov-Lipschitz and Triebel-Lizorkin spaces
本文建立了线性双曲型偏微分方程解的局部和整体最优Besov-Lipschitz和Triebel-Lizorkin估计。这些估计是基于局部和整体估计的傅里叶积分算子，跨越所有可能的尺度（特别是Banach和拟Banach尺度）的Besov-Lipschitz空间$B^s_{p,q}(\R^n)$，和某些Banach和拟Banach尺度的Triebel-Lizorkin空间$F^s_{p,q}(\R^n)$
A direct proof of Sobolev embeddings for quasi-homogeneous Lizorkin--Triebel spaces with mixed norms
本文给出了Lizorkin-Triebel空间（包含$L_p$ -索伯列夫空间$H^s_p$作为特例）中Sobolev嵌入定理的一个简化证明.该方法推广到基于混合$L_p$ -范数的一般Lizorkin-Triebel空间的相应事实的证明。本文证明了满足几何矩形条件的函数列的Nikol'skij-Plancherel-Polya不等式。结果也推广到空间的拟齐型。
Regularity properties of semilinear boundary problems in Besov and Triebel--Lizorkin spaces
本文研究了具有乘积型非线性项的半线性椭圆边值问题，特别是定常Navier-Stokes方程斯托克斯方程。正则性和存在性的结果处理在Besov和Triebel-Lizorkin空间，并解释了如何发生的困难的边界条件的高类可能会被处理。
Domains of pseudo-differential operators: a case for the Triebel--Lizorkin spaces
主要结果是：从Triebel-Lizorkin空间$F^d_{p,1}$到$L_p$，$1\le p<\infty$，每一个1，1阶伪微分算子都是连续的，并且在Besov和Triebel-Lizorkin尺度下是最优的，证明了$s>d$的已知连续性，而对于所有的实$s$，Hörmander条件在扭对角线上的充分性被带到Besov和Triebel-Lizorkin框架中。为了实现这一点，1，1型算子被扩展到具有紧谱的分布，并且这种类型的傅立叶变换算子在这样的分布上被证明满足支持规则，推广了卷积的规则。因此，使用减少的符号，介绍了Coifman和迈耶，取代直接应用的paradifferential方法。文献中的一些缺陷已被发现和纠正。
Well-posedness and ill-posedness of the 3D generalized Navier-Stokes equations in Triebel-Lizorkin spaces
本文研究了三维广义不可压Navier-斯托克斯方程（gNS）在Triebel-Lizorkin空间$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$中的Cauchy问题，该空间具有$(α,r)\in(1,5/4)\times[2,\infty]$和$q_α=\frac{3}{α-1}$ .我们的工作建立了依赖于$r=2$或$r>2$的适定性和不适定性的{ \it二分法}。具体地，通过结合$L^{q_α}_x L^2_T$中新的端点双线性估计和Triebel-Lizorkin空间的分数半群刻画，证明了gNS在$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$中对于$r=2$的适定性.另一方面，对于任何$r>2$，我们表明，解决方案的gNS可以开发{ \it范数膨胀}的意义上说，任意小的初始数据在空间$\dot{F}^{-α,r}_{q_α}(\mathbb{R}^3)$可以导致相应的解决方案，成为任意大后，任意短的时间。特别地，Triebel-Lizorkin空间的这种二分法对于经典的N-S方程也是成立的，即\，\，$α=1$。因此，Triebel-Lizorkin空间框架自然地提供了著名的Koch-Tataru的$BMO^{-1}$适定工作和Bourgain-Pavlović的$\dot{B}_\infty^{-1,\infty}$不适定…
Well-posedness and no-uniform dependence for the Euler-Poincaré equations in Triebel-Lizorkin spaces
本文研究 Euler-Poincaré 方程在 Triebel-Lizorkin 空间中的柯西问题，证明了局部时间唯一存在性，并指出解映射连续但非一致连续。
Transport equation theory in the Triebel-Lizorkin spaces and its applications to the ideal fluid flows
本文在Triebel-Lizorkin空间中发展了输运方程理论，通过交换子估计和特征方法证明了局部适定性，并应用于理想流体流动模型。
Bilinear pseudodifferential operators with symbol in $BS_{1,1}^m$ on Triebel-Lizorkin spaces with critical Sobolev index
本文得到了符号在$BS_{1,1}^m$类中的双线性伪微分算子的新的估计，当两个变元都属于$F_{p,q}^{n/p}(\mathbb{R}^n)$型的Triebel-Lizorkin空间时.作为一个经典的Sobolev嵌入$F^{n/p}_{p,q}(\mathbb{R}^n)\hookrightarrow\mathrm{bmo}(\mathbb{R}^n)$，其中我们取代$\mathrm{bmo}(\mathbb{R}^n)$由一个适当的子空间，其中包含$L^\infty(\mathbb{R}^n)$的细化的结果得到的不等式。作为应用，我们研究了当$1<p<\infty$不为乘法代数时，$F_{p,q}^{n/p}(\mathbb{R}^n)$上函数的乘积。
On the trace problem for Triebel--Lizorkin spaces with mixed norms
本文的主题是欧几里得空间上具有混合Lebesgue范数的索伯列夫空间的迹。具体来说，限制超平面的第一个和最后一个坐标适用于功能属于准齐次，混合范数Lizorkin-Triebel空间;索伯列夫空间从这些特殊情况下获得。空间承认痕迹的分布意义上的特点，除了边界的情况下，这些也包括在第一个变量的情况下。对于第一个变量，证明了迹空间是具有特定和指数的混合范数Lizorkin-Triebel空间.对于最后一个变量，它们被类似地定义为Besov空间。处理包括连续右逆和高阶迹。结果依赖于序列版本的Nikolskij不等式，Marschall不等式的伪微分算子（和傅立叶乘数断言），以及并矢球准则。
Hardy inequalities in Triebel-Lizorkin spaces II. Aikawa dimension
本文证明了域$G\subset\mathbb{R}^n$上Triebel-Lizorkin空间$F^s_{pq}(G)$中函数的Hardy型不等式，该域的边界具有严格小于$n-sp$的Aikawa维数.
Temporal regularity of the solution to the incompressible Euler equations in the end-point critical Triebel-Lizorkin space $F^{d+1}_{1, \infty}(\mathbb{R}^d)$
本文证明不可压缩欧拉方程的解在端点临界Triebel-Lizorkin空间中存在时间不连续性，从而说明该柯西问题不适定，并进一步讨论了相关空间中解的连续性与弱型连续性。
Elliptic boundary problems and the Boutet de Monvel calculus in Besov and Triebel--Lizorkin spaces
伪微分边界算子的Boutet de Monvel演算被推广到Besov和Triebel-Lizorkin空间的全尺度上（尽管后者具有有限的整指数）。本文证明的连续性和Fredholm性质推广了Franke和Grubb以前的结果，关于满射椭圆Green算子的值域补的结果改进了以前的结果，甚至对于具有$1<p<\infty$的经典空间也是如此.处理的符号类是一致估计的。给出了0类迹和奇异Green算子的一般定义的一些精确化。
Traces of anisotropic Besov--Lizorkin--Triebel spaces---a complete treatment of the borderline cases
包括以前未处理的边界的情况下，迹空间的分布意义上的Besov-Lizorkin-Triebel空间确定的各向异性（或准齐次）的版本，这些类。迹线的范围在所有情况下都被证明是近似空间，并且在先前未处理的情况下，这些近似空间与通常的空间完全不同。为了分析这些新的空间，我们继承了J.~弗兰克和B.~各向异性的尺度。
On the well-posedness and non-uniform continuous dependence for the Novikov equation in the Triebel-Lizorkin spaces
本文研究Novikov方程在Triebel-Lizorkin空间中的Cauchy问题，证明局部唯一解存在性，并揭示数据到解映射连续但非一致连续。
Best constants for Hardy inequalities in Triebel--Lizorkin spaces
本文研究了Triebel-Lizorkin空间中分数Hardy不等式最佳常数的问题，推广了加权分数Hardy不等式并给出了新的结果。
Sharp regularity for the periodic Camassa--Holm equation in critical Triebel--Lizorkin spaces
该研究针对周期Camassa–Holm方程，在临界Triebel–Lizorkin空间中建立了尖锐适定性与范数膨胀理论，补充了临界Besov空间等的局部适定性，为相关方程的正则性研究提供了关键结果。
Fourier multipliers for Triebel-Lizorkin spaces on graded Lie groups
在这项工作中，我们研究了与分次李群上的正Rockland算子相关的Triebel-Lizorkin空间上的傅里叶乘子的有界性。所发现的标准表示在Hörmander-Mihlin条件的傅立叶乘法器的全球符号。
Classifying Triebel-Lizorkin capacities in metric spaces
本文研究度量测度空间中的非局部容量，厘清三类 Triebel-Lizorkin 容量与 Riesz 容量的关系，并据此给出 Hajlasz-Triebel-Lizorkin 容量密度条件的刻画。
Gevrey regularity solution for initial data in Triebel-Lizorkin-Lorentz spaces via single norm defined by nonlinearity of frequency
本文通过引入单一范数迭代空间并利用 Fefferman-Stein 不等式，在临界 Triebel-Lizorkin-Lorentz 空间中建立了 Navier-Stokes 方程的全局适定性与 mild 解的 Gevrey 正则性，推广了已有的 Besov 空间结果。
On Besov and Triebel-Lizorkin spaces associated with the Grushin operator
本文针对Grushin算子（含或不含漂移）定义经典与非经典Besov和Triebel-Lizorkin空间，建立其多种刻画，并研究复插值、嵌入性质及分数阶Leibniz法则。
Pointwise Characterization of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces on Spaces of Homogeneous Type
本文通过阐明Hajerasz-Sobolev空间、Hajerasz-Besov和Hajerasz-Triebel-Lizorkin空间、大Besov和Triebel-Lizorkin空间、Besov和Triebel-Lizorkin空间之间的关系，建立了齐型空间上Besov和Triebel-Lizorkin空间的点态特征.本文的一个主要创新之处在于，本文给出的所有结果都摆脱了对测度的反向加倍条件和拟度量的度量条件的依赖.此外，即使底层空间是RD-空间，非齐次版本的点态特征也是新的。
Complex Interpolation of Lizorkin-Triebel-Morrey Spaces on Domains
本文研究Sobolev-Morrey空间的复插值及其推广Lizorkin-Triebel-Morrey空间。这两种尺度被认为是有界域。在一定的参数条件下，结果属于所谓的钻石空间的规模。
Composition operators on Herz-type Triebel-Lizorkin spaces with application to semilinear parabolic equations
设$G:\mathbb{R\rightarrow R}$是一个连续函数。本文第一部分研究了$G$上\begin{equation*} \{G(f):f\in \dot{K}_{p,q}^{α}F_{β}^{s}\}\subset \dot{K}_{p,q}^{α}F_{β}^{s} \end{equation*}成立的充分条件。这里$\dot{K}_{p,q}^{α}F_{β}^{s}$是Herz型Triebel-Lizorkin空间。这些空间统一和推广了许多经典的函数空间，如Lebesgue空间，Sobolev空间和Triebel-Lizorkin空间。本文的第二部分研究了Herz型Triebel-Lizorkin空间中半线性抛物型方程\begin{equation*} \partial _{t}u-Δu=G(u) \end{equation*}的局部和整体Cauchy问题。我们的结果覆盖了在某些已知的函数空间如分数索伯列夫空间中用初始数据得到的结果。给出了一些极限情况。
Besov and Triebel--Lizorkin spaces on Lie groups
本文发展了具有次黎曼结构的一般非紧李群上的Besov和Triebel-Lizorkin空间理论。这样的空间被定义的亚椭圆次拉普拉斯算子与漂移，并赋予一个措施，其密度相对于右哈尔措施是一个连续的积极特征的群体。我们证明了它们的范数的几个等价刻画，建立了与最近引进的索伯列夫空间的比较结果，并研究了它们的复插值和代数性质.
Second Order Operators Subject to Dirichlet Boundary Conditions in Weighted Triebel-Lizorkin Spaces: Parabolic Problems
本文考虑光滑区域上二阶抛物型偏微分方程的Dirichlet边界条件。本文在加权Triebel-Lizorkin空间中建立了具有非齐次边界的抛物型方程的加权$L_{q}$ -极大正则性。我们考虑的权重是时间和空间中的幂权重，并且在初始边界数据的最佳规则性中产生灵活性，允许避免边界处的相容性条件并提供平滑效果。特别地，我们可以处理粗糙的非齐次边界数据。
Time-refined Triebel--Lizorkin Estimates and Applications to Keller--Segel Type Equations
研究二维凯勒-塞格尔型方程，通过在临界齐次特里贝尔-利佐金空间发展热流估计，引入时间精细化空间，建立多种估计，得到该方程在临界空间的局部和全局适定性，相关双分量系统也有类似结果。
On the well-posedness for the Ideal MHD equations in the Triebel-Lizorkin spaces
本文证明了理想MHD方程在Triebel-Lizorkin空间中的局部适定性，得到了光滑解的爆破准则.特别地，我们填补了\cite{Chae1}中不可压缩Euler方程局部适定性适定性证明的一个空白。
Wavelet Characterization of Besov and Triebel--Lizorkin Spaces on Spaces of Homogeneous Type and Its Applications
本文在Coifman和Weiss意义下建立了齐型空间$(X,d,μ)$上Besov和Triebel-Lizorkin空间的小波特征.在$X$上的Besov和Triebel-Lizorkin数列空间上引入了几乎对角算子，并得到了它们的有界性.利用这一小波特征和几乎对角算子的有界性，作者得到了Besov和Triebel-Lizorkin空间的分子特征。应用这一分子刻画，进一步建立了$X$上Triebel-Lizorkin空间的Littlewood-Paley刻画.本文的主要创新之处在于，充分利用了$X$的几何性质，这些结果摆脱了对$μ$的反向加倍性质和$d$的三角不等式的依赖，而$X$的几何性质是由它的拟度量$d$、并元参考点、并元立方体和小波表示的
Some results on Gaussian Besov-Lipschitz spaces and Gaussian Triebel-Lizorkin spaces
本文在高斯调和分析和Hermite多项式展开式的调和分析的背景下定义了Besov-Lipschitz和Triebel-Lizorkin空间。我们研究了它们之间的包含关系，一些重要算子（Ornstein-Uhlenbeck和Poisson-Hermite半群以及Bessel势）在它们上的插值结果和连续性结果。我们还证明了高斯索伯列夫空间$L^p_α(γ_d)$包含在其中。的证明是一般的，足以让这些结果的情况下，拉盖尔或雅可比扩展，甚至进一步扩散半群的一般框架中的扩展。
Fourier multipliers for Triebel-Lizorkin spaces on compact Lie groups
研究了Fourier乘子在紧李群上作用于Triebel-Lizorkin空间时的有界性.根据Hörmander-Mihlin-Marcinkiewicz条件给出了判据。在我们的分析中，我们使用了紧李群的酉对偶的差结构。我们的结果涵盖了Lebesgue空间上的Hörmander-Mihlin定理以及其他关于这个问题的历史结果。
Global smoothness of quasiconformal mappings in the Triebel-Lizorkin scale
本文研究平面区域上拟共形映射在Sobolev、Bessel位势和Triebel-Lizorkin尺度下的全局正则性，利用边界几何和Beltrami系数光滑性建立最优条件，并证明在光滑性低于1的Triebel-Lizorkin类中该条件同样保证主解的全局正则性。
Regularity of Characteristic Functions in Besov-Type and Triebel--Lizorkin-Type Spaces
本文在边界δ邻域测度受限的条件下，确定了Besov型与Triebel--Lizorkin型空间中特征函数的最优正则性，并得到雪花域和螺旋型域特征函数属于这些空间的充要条件。
Real-Variable Characterizations and Their Applications of Matrix-Weighted Triebel--Lizorkin Spaces
令$α\in\mathbb R$、$q\in(0,\infty]$、$p\in(0,\infty)$和$W$为$A_p(\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^m)$矩阵权重。利用Peetre极大函数、Lusin面积函数和Littlewood-Paley $g_λ^{*}$ -函数刻画了矩阵加权Triebel-Lizorkin空间$\dot{F}_{p}^{α,q}(W)$.作为应用，在广义Hörmander条件下，建立了矩阵加权Triebel-Lizorkin空间上Fourier乘子的有界性.这些结果的主要新颖之处在于，它们的证明需要充分利用矩阵权的加倍性质和与矩阵权相关的约化算子，这与经典Triebel-Lizorkin空间的相应情形的证明有本质的不同，后者强依赖于Lebesgue空间上的Febriman-Stein向量值极大不等式.
Pointwise multipliers for Triebel--Lizorkin and Besov spaces on Lie groups
在局部维数为$d$的具有次黎曼结构的一般李群$G$上，刻画了Triebel-Lizorkin空间$F^{p,q}_α$对$p,q\in (1,\infty)$和$α>d/p$的逐点乘子，以及Besov空间$B^{p,q}_α$对$q\in [1,\infty]$，$p>d$和$d/p< α<1$的逐点乘子.当$G$分层时，我们将后者的表征扩展到所有$p,q\in [1,\infty]$和$α>d/p$。
Besov and Triebel-Lizorkin Spaces on Spaces of Homogeneous Type with Applications to Boundedness of Calderón-Zygmund Operators
本文在Coifman和Weiss意义下的齐型空间上引入了Besov空间和Triebel-Lizorkin空间，证明了这些（非）齐型Besov空间和Triebel-Lizorkin空间与exp-ATI（或exp-IATI）及其下的分布空间的选择无关，并给出了它们的一些基本性质.作为应用，证明了某些已知的函数空间与Besov和Triebel-Lizorkin空间的某些特殊情形相一致，并进一步得到了Calderón-Zygmund算子在这些Besov和Triebel-Lizorkin空间上的有界性.所有这些结果强烈依赖于几何性质，反映通过其并矢立方体，所考虑的空间的齐型。与已知的度量测度空间上的这类空间的理论相比，本文的主要创新之处在于，本文所给出的所有结果摆脱了对所考虑的基础空间的测度的反向加倍假设的依赖，从而给出了齐型空间上这类函数空间的最终实变量理论.
Pseudo-multipliers and smooth molecules on Hermite Besov and Hermite Triebel--Lizorkin spaces
我们得到了新的分子分解和分子合成估计Hermite Besov和Hermite Triebel-Lizorkin空间，并使用这些工具来证明这些空间上的Hermite伪乘子的有界性。分子的概念，我们开发导致有界的伪乘子符号的Hörmander型适应的Hermite设置空间上的非正光滑性，特别是，我们获得连续性的结果，这样的运营商勒贝格和厄米局部哈代空间。作为我们伪乘子有界性结果的一个副产品，我们证明了Hermite Besov空间和Hermite Triebel-Lizorkin空间在非线性下是封闭的。
Difference Characterization of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces on Spaces of Homogeneous Type
本文在Coifman和Weiss意义下引入齐型空间上的Lipschitz型空间，并讨论了它们与Besov和Triebel-Lizorkin空间的关系.作为应用，建立了齐型空间上Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的差分特征.本文的一个主要创新之处在于，本文中的所有结果通过利用${\mathcal X}$的并元参考点、并元立方体和（局部）下界所表示的几何性质，摆脱了对所考虑的底层空间${\mathcal X}$的测度的反向加倍假设的依赖.此外，当$p\le 1$但接近$1$时，即使当${\mathcal X}$是RD-空间时，一些结果也是新的.
Pointwise multiplication of Besov and Triebel--Lizorkin spaces
它示出，para-multiplication适用于一定的产品$π(u,v)$定义为适当的温带分布$u$和$v$。研究了各向异性Besov和Triebel-Lizorkin空间中$π(\cdot,\cdot)$的有界性，更精确地说，研究了$B^{M,s}_{p,q}$和$F^{M,s}_{p,q}$与$s\in\mathbb{R}$、$p$和$q\in\,]0,\infty]$的有界性，尽管$p<\infty$是在$F$ -情形下的有界性.一般以及各种边缘情况下处理。$π(\cdot,\cdot)$适用的空间$B^{M,s_0}_{p_0,q_0}\oplus B^{M,s_1}_{p_1,q_1}$和$F^{M,s_0}_{p_0,q_0}\oplus F^{M,s_1}_{p_1,q_1}$在情况$\max(s_0,s_1)>0$中确定。对于一般各向同性空间$F^{s_0}_{p_0,q_0}\oplus F^{s_1}_{p_1,q_1}$的接收$F^{s}_{p,q}$空间的特点。证明了当$f\cdot g$局部可积时，$π(f,g)=f\cdot g$对函数$f$和$g$成立.此外，当$f$是多项式增长的并且$u$是温和的时，$π(f,u)=fu$。此外，对于欧氏空间中的任意开集$Ω$，通过提升到$\mathbb{R}^n$来定义乘积$π_Ω(\cdot,\cdot)$。…
Pointwise Characterizations of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces and Quasiconformal Mappings
本文利用点态不等式刻画了经典Besov空间$\dot B^s_{p,\,q}$和Triebel-Lizorkin空间$\dot F^s_{p,\,q}$，其中$\dot B^s_{p,\,q}$和$\dot F^s_{p,\,q}$是${\mathbb R}^n$和度量测度空间中的所有$s\in(0,\,1)$和$p,\,q\in(n/(n+s),\,\infty],$的二重和反二重性质.应用这一刻画，证明了对所有的$s\in(0,\,1)$和$q\in(n/(n+s),\,\infty]$，拟共形映射保持$\dot F^s_{n/s,\,q}$在$\rn$上.还建立了上述态射性质的度量测度空间形式。
Matrix-Weighted Besov-Triebel-Lizorkin Spaces of Optimal Scale: Real-Variable Characterizations, Invariance on Integrable Index, and Sobolev-Type Embedding
本文利用增长函数引入广义矩阵加权Besov-Triebel-Lizorkin型空间，通过多种函数刻画该空间并建立几乎对角算子有界性以获得分子和小波刻画，证明了该框架的最优性，并给出关于可积指数不变性和Sobolev型嵌入的充要条件。
Relations between Kondratiev spaces and refined localization Triebel-Lizorkin spaces
本文研究了Kondratiev空间与Triebel-Lizorkin精细局部化空间的密切关系，利用Scharf的刻画方法大幅改进了Hansen的嵌入定理，该嵌入对自适应逼近格式的收敛率研究具有重要意义。
Fractional Leibniz rules for the Dunkl Laplacian in Besov and Triebel--Lizorkin spaces
针对归一化根系和多重函数下的 Dunkl Laplacian 的分数幂，在 Besov 和 Triebel--Lizorkin 空间中建立了 Leibniz 型法则，通过谱乘子与 Dunkl 变换的相互作用以及 Dunkl 平移相关分布的支持性质，将 L^p 空间上的估计推广到更广泛的函数空间。
Besov--Triebel--Lizorkin-Type Spaces with Matrix $A_\infty$ Weights
本文利用此前建立的矩阵 $A_{p,\infty}$ 权刻画，系统研究相应非齐次 Besov 型与 Triebel–Lizorkin 型空间，给出多种刻画并证明多类算子的有界性。
Bourgain-Brezis-Mironescu Convergence via Triebel-Lizorkin Spaces
利用Triebel-Lizorkin空间研究了Bourgain-Brezis-Mironescu（BBM）的一个收敛结果.众所周知，作为空间$W^{s,p} = F^{s}_{p,p}$和$H^{1,p} = F^{1}_{p,2}$。当$s\to 1$时，$F^{s}_{p,p}$范数变为$F^{1}_{p,p}$范数，但BBM表明$W^{s,p}$范数变为$H^{1,p} = F^{1}_{p,2}$范数。简单地说，对于$p \neq 2$，这似乎是一个矛盾，但我们通过为$q \in \{p,2\}$提供$W^{s,p}$到$F^{s}_{p,q}$的嵌入来解决这个问题，其中$q \in \{p,2\}$相对于$s \in (0,1)$具有尖锐的常数。因此，我们得到一个$\mathbb{R}^N$版本的BBM-结果，并获得更多的嵌入和收敛定理的BBM型，尽我们所知是未知的。
Matrix-Weighted Besov-Type and Triebel--Lizorkin-Type Spaces III: Characterizations of Molecules and Wavelets, Trace Theorems, and Boundedness of Pseudo-Differential Operators and Calderón--Zygmund Operators
本文为矩阵加权Besov型与Triebel--Lizorkin型空间系列研究的收官之作，建立了分子与波lets刻画，并应用几乎对角算子尖锐有界性，得到迹算子、伪微分算子及Calderón--Zygmund算子的最优有界性，改进了既有结果。
The Molecular Characterizations of Variable Triebel-Lizorkin Spaces Associated with the Hermite Operator and Its Applications
本文引入了与Hermite算子相关的非齐次变指数Triebel-Lizorkin空间，建立了其分子刻画，并将其应用于分数阶Hermite方程的正则性研究与谱乘子的有界性分析。
Bourgain--Brezis selection maps for Hodge systems in Besov and Triebel--Lizorkin spaces
该论文通过结合无迹 Beurling--Ahlfors 变换与非线性对偶方法，在 Besov 和 Triebel--Lizorkin 空间中扩展了 Hodge 系统的 Bourgain--Brezis 选择映射的适用范围，显著拓宽了已知解范围。
An Intersection Representation for a Class of Anisotropic Vector-valued Function Spaces
本文的主要结果是在Hedberg $\&$ Netrusov的公理化环境下，得到了一类各向异性向量值函数空间的交表示，其中包括加权各向异性混合范数Besov空间和Lizorkin-Triebel空间.在经典的Lizorkin-Triebel空间的特殊情况下，交表示给出了著名的Fubini性质的改进。主要结果在抛物型边值问题的加权$L_{q}$ - $L_{p}$ -极大正则性问题中有应用，其中加权各向异性混合范数Lizorkin-Triebel空间作为边界数据空间出现.
Modelled distributions of Triebel-Lizorkin type
为了在点$x$的小邻域中提供正则函数的局部描述，根据泰勒定理，只需知道函数的值以及在点$x$本身的所有导数，直到所需的阶数。换句话说，可以说正则函数由多项式集局部建模。Hairer的正则性结构理论概括了这一观察，并提供了一个抽象的设置，在奇异SPDE的应用中，通过构造的泛函扩展了多项式集，例如，白噪声。在这种情况下，泰勒多项式的概念被提升到所谓的模型化分布的概念。著名的重建定理，这反过来又启发了Gubinelli的缝纫引理，是最重要的理论。它使得能够将建模的分布重建为$R^d$上的真实分布，该真实分布由该扩展的模型集或"单项式"局部近似。在Hairer的原始工作中，误差是基于Hölder范数测量的。Hairer和Labbé在随后的论文中将其推广到Besov空间的全尺度。这是这项工作的目的，以适应分析部分的理论的正则结构的规模Triebel-Lizorkin空间。
Matrix-Weighted Besov-Type and Triebel--Lizorkin-Type Spaces II: Sharp Boundedness of Almost Diagonal Operators
本文在矩阵加权Besov型与Triebel--Lizorkin型序列空间上建立了几乎对角算子的锐界有界性，覆盖全部指数范围，改进了已有结果。
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