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arXiv 1607.07584math.AP
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非局部椭圆型方程共振问题的可解性

On the solvability of resonance problems for nonlocal elliptic equations

Sarika Goyal

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摘要：

本文考虑如下问题：$$ \quad \left\{ \begin{array}{lr} \quad (-Δ)^s u = αu^+ -βu^{-} + f(u) + h \; \text{in}\;Ω\quad \quad \quad \quad u =0 \; \text{on}\; \mathbb{R}^n\setminus Ω, \end{array} \right. $$其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$是具有Lipschitz边界的有界域，$n> 2s$，$0<s<1$，$(α, β) \in \mathbb{R}^2$，$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$是有界连续函数，$h\in L^2(Ω)$ .我们证明存在的结果在两种情况下：第一，非共振的情况下，其中$(α,β)$是不是一个元素的Fučik谱。第二，共振情况，其中$(α,β)$是Fučik谱的元素。我们的存在性结果作为鞍点定理的一个应用。它将Laplace算子的一些结果推广到非局部算子。

英文摘要：

In this article, we consider the following problem: $$ \quad \left\{ \begin{array}{lr} \quad (-Δ)^s u = αu^+ -βu^{-} + f(u) + h \; \text{in}\;Ω\quad \quad \quad \quad u =0 \; \text{on}\; \mathbb{R}^n\setminus Ω, \end{array} \right. $$ where $Ω\subset \mathbb{R}^n$ is a bounded domain with Lipschitz boundary, $n> 2s$, $0<s<1$, $(α, β) \in \mathbb{R}^2$, $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is a bounded and continuous function and $h\in L^2(Ω)$. We prove the existence results in two cases: First, the nonresonance case, where $(α,β)$ is not an element of the Fučik spectrum. Second, the resonance case, where $(α,β)$ is an element of the Fučik spectrum. Our existence results follows as an application of the Saddle point Theorem. It extends some results, well known for Laplace operator, to the nonlocal operator.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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