Existence of solution for a class of nonlocal elliptic problem via sub-supersolution method
Claudianor O. Alves, Dragos-Patru Covei
证明了几类非局部问题解的存在性。我们的证明结合了伪单调算子理论的上下解的存在。
We show the existence of solution for some classes of nonlocal problems. Our proof combines the presence of sub and supersolution with the pseudomonotone operators theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A sub-supersolution approach for some classes of nonlocal problems involving Orlicz spaces
本文研究了涉及Orlicz-索伯列夫空间的某些非局部问题解的存在性。该方法是基于子上解。
Study of the existence of supersolutions for nonlocal equations with gradient terms
研究了非局部方程$(-Δ)^s u+ |\nabla u|^q=λf(u)$在外区域上正上解的存在性，其中在原点附近的基准$f$可以与$u^{p}$相比较.我们证明了有界上解的存在性依赖于$p$，$q$和$s$的值.
A sub-supersolution method for a class of nonlocal system involving the p(x)-Laplacian operator and applications
本文研究一类含有p（x）-Laplacian算子的非局部系统解的存在性。该方法是基于一个新的子上解的结果。
Some local properties of subsolutons and supersolutions for a doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equation
建立了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱子解的局部有界性估计.我们的论点依赖于能量估计和De Giorgi方法的抛物非局部版本。利用一个新的代数不等式，证明了正的弱上解满足一个逆的赫尔德不等式.最后，我们还证明了正上解的对数衰减估计。
Supersolutions and superharmonic functions for nonlocal operators with Orlicz growth
本文研究具有 Orlicz 增长的非局部算子对应的超解与超调和函数，建立其精细性质和相互关系，并证明非局部障碍问题的适定性及内、边界正则性估计。
Lower semicontinuity and pointwise behavior of supersolutions for some doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equations
讨论了一类双非线性抛物型分数阶$p$ -Laplace方程弱上解的逐点行为，其中包括分数阶抛物型$p$ -Laplace方程和分数阶多孔介质方程。更精确地说，我们证明了弱上解具有较低的连续代表性。我们还证明了在一个时刻的连续代表是由在以前的时间的值。这给出了在每一点上弱上解的逐点解释。相应的结果也适用于弱下解。我们的结果推广了最近的结果在局部抛物的情况下，在非局部椭圆的情况下，非局部抛物的情况下。我们证明了所需的能量估计和测量理论的De Giorgi型引理的分数设置。
Nonexistence of distributional supersolutions of a semilinear elliptic equation with Hardy potential
本文研究了一类含平方反比势的半线性椭圆型方程的非负分布上解的不存在性。
Nonexistence of Positive Supersolution to a Class of Semilinear Elliptic Equations and Systems in an Exterior Domain
本文主要考虑如下半线性椭圆型方程\begin{eqnarray*} \arraycolsep=1pt\left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle -Δu= h(x,u)\quad \ &{\rm in}\ Ω,\\[1.5mm] \phantom{ -Δ} \displaystyle u\ge 0\qquad &{\rm on}\ \partialΩ, \end{array}\right. \end{eqnarray*}，其中$Ω$是$R^N$中的一个外部区域，有$N\ge 3$，得到了正上解的最佳不存在性结果.我们的论证是基于一个带Hardy位势的线性椭圆型问题正上解的不存在性结果。我们还建立了一个椭圆型方程组正上解的不存在性结果。
On weak and viscosity solutions to a nonhomogeneous mixed local-nonlocal equation
研究有界Lipschitz域中非齐次混合局部-非局部p-Laplace方程的弱解与粘性解关系，利用比较原理证明连续弱上解是粘性上解（1<p<∞），并证明有界粘性上解是弱上解（p≥2）。
Polynomial decay in $W^{2,\varepsilon}$ estimates for viscosity supersolutions of fully nonlinear elliptic equations
我们证明了$W^{2,\varepsilon}$估计的粘性上解的完全非线性，一致椭圆型方程，其中$\varepsilon$衰减多项式的椭圆率比的方程。我们的结果与Armstrong-Silvestre-Smart [Comm. Pure Appl. Math.65（2012），no.8，1169- 1184]的猜想有关，该猜想预测了$\varepsilon$相对于方程的椭圆率的线性衰减。
Positivity sets of supersolutions of degenerate elliptic equations and the strong maximum principle
研究了完全非线性椭圆型方程$F(x,u,Du,D^2u)=0$在$Ω$中的非负上解的正性集，其中$Ω$是${\mathbb R}^N$的开子集，并讨论了$f\in\text{C}(Ω)$非正时$F(x,u,Du,D^2u)=f$在$Ω$中的强最大值原理的有效性.得到了非负上解$u$的正性集$\left\{x\inΩ\,:\, u(x)>0\right\}$的几何特征，并在一定的几何假设下建立了正性集$\left\{x\inΩ\,:\, f(x)=0\right\}$上的强最大值原理.
Regularity of weak supersolutions to elliptic and parabolic equations: lower semicontinuity and pointwise behavior
我们证明了一个测度理论方法来研究散度型椭圆型和抛物型方程弱上解的局部正则性。在第一部分中，我们证明了在零测度集上重新定义弱上解后，弱上解变为下连续的。该证明依赖于一个一般原理，即De Giorgi型引理，它为广泛的一类椭圆和抛物型方程，包括各向异性椭圆型方程、抛物型$p$ -Laplace方程和多孔介质方程提供了一个统一的方法。在第二部分中，我们将表明，抛物问题的下连续代表在一个瞬间可以恢复逐点从“esslimif”的过去的时间。我们还证明了它可以通过过去时间的某个积分平均的极限来恢复。证明依赖于弱上解的正性展开。我们的结果是偏微分方程的结构性质，与任何一种比较原理无关。
Explicit estimates on positive supersolutions of nonlinear elliptic equations and applications
本文考虑非线性椭圆型方程\[- Δu = ρ(x) f(u)|\nabla u|^p, \qquad \hfill \mbox{ in } Ω,\]的正上解，其中$0\le p<1$，$ Ω$是$ \IR^N$（$N\ge 2$）中的任意区域（有界或无界），$f: [0,a_{f}) \rightarrow \Bbb{R}_{+}$，$(0 < a_{f} \leqslant +\infty)$是非减连续函数，$ρ: Ω\rightarrow \IR$是正函数.利用极大值原理，给出了正上解$u$在每个点$x\inΩ$处的显式估计，其中$\nabla u\not\equiv0$在$x$的邻域内.作为结果，我们讨论了有界域上的超解的死核集，并得到了无界域上的Liouville型结果$Ω$，其性质是$\sup_{x\inΩ}dist (x,\partialΩ)=\infty$ .
Nonexistence of positive supersolutions of elliptic equations via the maximum principle
给出了一种新的方法，证明了椭圆型不等式在$\mathbb{R}^n$的无界区域上不存在正上解。我们的最大值原理为基础的参数的简单性和鲁棒性提供了它的适用性，许多椭圆不等式和系统，包括准线性算子，如$p$ -拉普拉斯算子，和nondivergence形式的完全非线性算子，如Bellman-Isaacs算子。我们的方法根据不等式中出现的非线性函数给出了新的和最优的结果，并适用于在整个空间以及外部区域和锥状区域上保持的不等式。
Nonexistence of positive supersolutions for semilinear fractional elliptic equations in exterior domains
本文研究ℝⁿ（n≥1）外区域中非线性分数阶椭圆不等式正解的不存在性，在极弱非线性项假设下得到新结果，且该结论在全空间情形下也具新颖性。
Weak Harnack inequality for a mixed local and nonlocal parabolic equation
本文证明了一类局部与非局部混合抛物型方程变号上解的一个带尾项的弱Harnack不等式。我们的论点纯粹是分析性的。它是基于能量估计和Moser迭代技术。代替抛物的John-Nirenberg引理，我们采用了一个引理的混合局部和非局部抛物的情况下。为此，我们证明了一个适当的逆赫尔德不等式和弱上解的对数估计。
Weak Harnack estimates for a doubly nonlinear nonlocal p-Laplace equation
针对双重非线性非局部p-Laplace方程的弱上解，建立了带最优抛物尾的新型弱Harnack估计，利用正性扩张和测度理论，仅需局部正性，凸显非局部特征。
On necessary conditions for the Comparison Principle and the Sub and Supersolutions Method for the stationary Kirchhoff Equation
在本文中，我们提出了一个反例的有效性的比较原则和上下解方法的非局部问题，如定常基尔霍夫方程。这个反例表明，在一般光滑有界域的任何维度，这些性质不能保持真实的，如果非线性非局部项$M(\|u\|^2)$是增加的地方，关于$H_0^1$ -范数的解决方案。与已有的结果相比，这填补了$M$上保证或阻止这些性质的已知条件之间的空白，并导致一个条件，这是必要的和充分的有效性的比较原则。
A note on the nonexistence of positive supersolutions to elliptic equations with gradient terms
证明了如果椭圆问题$-Δu+b(x)|\nabla u|=c(x)u$与$c\ge0$在$ \IR^{N\ge 3}$的区域$Ω$中有正上解，则$c,b$必须满足不等式\[\sqrt{ \int_Ωcϕ^2}\le \sqrt{ \int_Ω| \nablaϕ|^2}+\sqrt{ \int_Ω\frac{b^2}{4}ϕ^2},~~~ϕ\in C_c^\infty(Ω).\]作为应用，当$c(x)-\frac{b^2(x)}{4}>0$对大$|x|$时，我们得到了外区域上正上解的Liouville型定理，但与已知结果不同的是，我们允许$\liminf_{|x|\rightarrow\infty}c(x)-\frac{b^2(x)}{4}=0$的情况.此外，权重$b$和$c$允许是无界的。特别是，除其他事项外，我们表明，如果$τ:=\limsup_{|x| \rightarrow\infty}|xb(x)|<\infty$，那么这个问题不承认任何正超解，如果\[\liminf_{|x| \rightarrow\infty}|x|^2c(x)> \frac{(N-2+τ)^2}{4},\]和，当$τ=\infty, $，我们有相同的，如果\[\limsup_{R\rightarrow\infty} R\Big(\frac{ \inf_{R<|x|<2 R} (c(x)-\frac{b…
Liouville Theorems for the Lane-Emden Equation Involving a Mixed Local-Nonlocal Operator
研究混合局部-非局部Lane-Emden方程正上解存在的条件，证明当且仅当q>n/(n-2s)时存在分布上解，并建立了基本解的渐近估计、分布意义下的最大值原理和等价积分不等式。
Pointwise bounds for positive supersolutions of nonlinear elliptic problems involving the $p$-Laplacian and application
在$R^{N}$的光滑有界区域中，我们得到了具有零Dirichlet边界条件的$ - Δ_{p} u = ρ(x) f(u) $正上解的先验界，其中$p>1$和$Δ_{p}$是$p$ -Laplace算子.将所得结果应用于具有Dirichlet边界条件的非线性椭圆特征值问题$ - Δ_{p} u = λf(u) $，其中$ f $是$[0,\infty]$上的非减连续可微函数，使得$ f(0) > 0 $，$ f(t)^{\frac{1}{p-1}} $在无穷远处是超线性的，并给出了极值参数$ λ_{p}^{*} $的精确上下界.特别地，我们考虑了非线性项$ f(u) = e^u $和$ f(u) = (1+u)^{m} $（$ m > p-1 $），并给出了关于$ λ_{p}^{*} $的显式估计.作为我们的结果的副产品，我们得到了一个下界的$ p $ -拉普拉斯算子的主特征值，提高了在最近的文献中获得的结果，在一定范围内的$ p $和$ N $。
Wolff potential estimates for supersolutions of equations with generalized Orlicz growth
本文建立了拟线性椭圆型方程的上解关于Wolff型位势的逐点估计，该方程具有广义Orlicz增长的结构条件.因此，在额外的假设下，我们得到了上解满足Harnack不等式和局部Hölder连续性。
Sub-supersolutions method for singular quasilinear systems involving gradient terms
本文提出下上解方法，证明含梯度项的奇异拟线性椭圆系统解的存在性、正则性及位置，并应用于对流和吸收系统正解的存在性证明。
Regularity for Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
本文研究了Heisenberg群中混合局部与非局部退化椭圆方程的正则性，通过推导Caccioppoli型不等式和对数估计，证明了弱解的局部有界性、Hölder连续性及Harnack不等式。
On the regularity theory for mixed local and nonlocal quasilinear elliptic equations
考虑局部和非局部$p$ -Laplace方程的组合，讨论了弱解的几个正则性性质.更精确地说，我们建立了弱子解的局部有界性，弱解的局部Hölder连续性，弱解的Harnack不等式和弱上解的弱Harnack不等式.我们还讨论了弱上解的下半连续性和弱下解的上半连续性。我们的方法是纯粹的分析，它是基于德乔治-纳什-莫泽理论，积极性的扩展和估计涉及一个尾部项。主要结果适用于符号变化的解决方案，并捕获本地和非本地功能的方程。
The weak Harnack inequality for unbounded supersolutions of equations with generalized Orlicz growth
研究了具有广义Orlicz（Musielak-Orlicz）增长的椭圆型偏微分方程的无界弱上解.证明了当它们属于适当的Lebesgue空间或索伯列夫空间时，它们满足最优指数的弱Harnack不等式.此外，我们建立我们的中心假设的清晰度。
Sobolev gradients of viscosity supersolutions
我们研究了哪些椭圆型偏微分方程的粘性上解是$W^{1,q}_{loc}(Ω)$，$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$ .算子子水平集的渐近锥面似乎是必不可少的。事实证明，如果我们知道这个锥如何与与指数$q$相关的某个极小算子的子级集进行比较，就可以说很多。
Nonexistence and optimal decay of supersolutions to Choquard equations in exterior domains
考虑一类半线性椭圆问题，其非线性项为幂与幂的里斯位势的乘积。这个方程族包括Choquard或非线性薛定谔-牛顿方程。我们证明了对于某些参数值，方程在外部区域不存在非平凡的非负上解。当存在上解时，同样的技术产生最优的衰减率。
A sub-super solution method for a class of nonlocal problems involving the p(x)-Laplacian operator and applications
本文研究了一类含p（x）-Laplacian算子的非局部问题解的存在性。该方法基于一种新的上下解方法
Sub and supersolutions, invariant cones and multiplicity results for p-Laplace equations
对于一类含p-Laplace算子的拟线性椭圆型方程，我们建立了一个存在上下解的抽象临界点理论.我们的方法是基于在$W^{1,p}_0$拓扑的扩大锥的梯度流下的不变性的证明。利用这一点，我们证明了抽象的存在性和多重性定理的存在下，不同的序偶对的子超解。作为应用，我们给出了一个四解定理，其中一个解是变号的。
The sub-supersolution method for variable exponent double phase systems with nonlinear boundary conditions
本文研究了由变指数双相算子驱动的拟线性椭圆型方程组，该方程组具有完全耦合的右端和非线性边界条件。我们的工作的目的是建立一个封闭和存在的结果，这样的系统通过捕获区域形成的对上，超解。在非常一般的数据假设下，我们应用我们的结果得到无限多个解。此外，我们还讨论了齐次Dirichlet边界条件的情形，并给出了这类问题的存在性结果。
Partial regularity of semiconvex viscosity supersolutions to fully nonlinear elliptic HJB equations and applications to stochastic control
本文证明退化完全非线性椭圆HJB方程的半凸粘性上解沿二阶项系数值域方向可微，并应用于随机控制，构造最优反馈控制及证明值函数可微性。
Sharp Hessian integrability for fully nonlinear elliptic supersolutions in low dimensions
本文通过谱分辨接触几何机制，解决了平面及三维全非线性椭圆上解的尖锐Hessian可积性猜想，给出了最优指数并识别了剩余差距的谱配置。
Multiple solutions to Gierer-Meinhardt systems of elliptic equations
研究了一类具Neumann边界条件的Gierer-Meinhardt方程组多解的存在性.该方法结合了上下解和Leray-Schauder拓扑度的方法。
Multiple solutions for quasilinear elliptic systems involving variable exponents
研究了一类含$p(x)$ -Laplacian算子的非变分椭圆型方程组多解的存在性.该方法结合了Leray-Schauder拓扑度和上下解方法。
Singular quasilinear elliptic systems involving gradient terms
本文建立了一类含梯度项的奇异拟线性椭圆型方程组光滑正解的存在性。该方法结合了上下解方法和Schauder的不动点定理。
Sharp nonexistence results for a linear elliptic inequality involving Hardy and Leray potentials
本文研究了一类含有平方反比势和对数权的线性椭圆型方程的非负分布上解。我们证明了尖锐的不存在结果。
Nodal solutions for singular semilinear elliptic systems
本文证明了不具变分结构的奇异半线性椭圆型方程组节点解的存在性，其中两个分量都是变号的。我们的方法是基于上下解方法结合摄动参数涉及奇异项。
Positive solutions for a class of quasilinear singular elliptic systems
本文建立了一类拟线性奇异椭圆型方程组两个正解的存在性。主要工具是上下解方法和Leray-Schauder拓扑度。
Existence of solutions for a class of singular elliptic systems with convection term
研究了一类带对流项的奇异椭圆型方程组正解的存在性。该方法结合了伪单调算子理论、上下解方法和包含奇异项的摄动方法。
Existence, uniqueness and regularity of solutions to systems of nonlocal obstacle problems related to optimal switching
研究一类带连通障碍物的非线性退化抛物型偏积分微分方程组的黏性解。这种类型的问题发生在上下文中的最优切换问题时，基本的状态变量的动态描述的$n$维列维过程。我们首先建立了一个连续的依赖估计的粘性下，上解的系统温和的正则性，增长和结构的假设下的偏积分-微分算子和障碍和终端条件。利用连续相关估计，得到了空间变量下黏性解的比较原理和唯一性以及Lipschitz正则性.我们的主要贡献是建设合适的家庭的粘度子和上解，我们使用的障碍函数来证明Hölder连续性的时间变量，并通过Perron的方法，存在一个独特的黏性解。本文推广了Biswas，Jakobsen and Karlsen（2010）和Lundström，Nyström and Olofsson（2014）的部分结果，以适用于更一般的方程组。
On the regularity theory for mixed anisotropic and nonlocal $p$-Laplace equations and its applications to singular problems
建立了一类具有奇异非线性项的混合各向异性非局部$p$ -Laplace方程解的存在性结果.我们考虑常数和变量奇异指数。我们的论点是基于一种近似方法。为此，我们还讨论了相应的非奇异问题的弱解的必要正则性。更精确地说，我们得到了子解的局部有界性，解的Harnack不等式和上解的弱Harnack不等式。
The Liouville theorems for elliptic equations with nonstandard growth
研究了$\mathbb{R}^n$中具有非标准增长的齐次和非齐次$\mathcal{A}$ -调和方程的解和上解.证明了各种Liouville型定理和不存在性结果。通过一些例子说明了讨论。
Existence of solutions of degenerate semilinear elliptic boundary value problems
本文证明了一类退化和/或奇异的半线性椭圆边值问题的弱解的存在性，该问题位于给定的弱下解和给定的弱上解之间。它已被应用于一个类似问题的大解的存在性结果。
Positive solutions for infinite semipositone/positone quasilinear elliptic systems with singular and superlinear terms
研究了一类具有奇异项和超线性项的拟线性椭圆型方程组正解的存在性和正则性。该方法是基于拟线性奇异方程组的次上解方法和Schauder的不动点定理。
Nodal and constant sign solutions for singular elliptic problems
本文研究奇异拟线性椭圆问题，结合上下解方法与Leray-Schauder拓扑度，证明存在两个相反常号解和一个节点解。
Singular quasilinear elliptic systems with (super-) homogeneous conditions
本文建立了一类具（超）齐次条件的奇异拟线性椭圆型方程组正解的存在性、不存在性和正则性。该方法是基于拟线性奇异方程组的子-上解方法，并结合涉及奇异项的扰动参数。
Two alternative proofs of weak Harnack inequality for mixed local and nonlocal $p$-Laplace equations with a nonhomogeneity
本文研究了一类混合局部和非局部 $p$-拉普拉斯方程，给出了保证变号超解弱赫尔曼不等式尾项的 $f $ 的充分条件，采用两种不同方法避免了克里洛夫-萨夫诺夫覆盖引理和正性展开，一种通过约翰-尼伦伯格引理，另一种通过Bombieri-Giusti引理，并为超解的反向霍尔德不等式提供了新证明，同时通过局部有界性结果、尾估计和初始弱赫尔曼不等式建立了解的赫尔曼不等式。
Local and global solution for a nonlocal Fokker-Planck equation related to the adaptive biaising force processes
本文证明了在分子动力学计算的自适应重要抽样方法中产生的非线性Fokker-Planck方程的温和解、Lp解和经典解的整体存在性、唯一性和正则性.非线性项与条件期望相关，因此是非局部的。证明使用的工具，从理论的线性算子半群的局部存在的结果，和一个先验估计的基础上的一个超解的整体存在的结果。
Propagation of minima for nonlocal operators
本文针对涉及 $k$-th fractional truncated Laplacian 和 $k$-th fractional eigenvalue 的完全非线性积分算子，提出了精确的极大值原理，刻画了其方程上解极小值集合的几何特征。
Local existence of solutions and comparison principle for initial boundary value problem with nonlocal boundary condition for a nonlinear parabolic equation with memory
本文研究带记忆的非线性抛物方程在非线性非局部边界条件下的初值问题，建立了局部极大解的存在性，证明比较原理并给出解的正性条件，进而推出唯一性定理。
A critical phenomenon for sublinear elliptic equations in cone-like domains
研究椭圆型方程$(*)$：$-Δu=c|x|^{-s}u^p$，$p,s\in\bf R$在$\bf R^N$（$N\ge 2$）中锥状区域上的正超解.证明了在次线性情形$p<1$存在临界指数$p_*<1$使得方程$(*)$有正上解当且仅当$-\infty<p<p_*$ . $p_*$的值由$s$和圆锥的几何形状明确确定。
On the comparison principle for second order elliptic equations without first and zeroth order terms
本文考虑二阶椭圆型方程的连续粘性上下解的比较原理，其形式为$F(D^2 w,x) = 0$ .一个结构上的运营商的条件，似乎统一了现有的不同理论。得到了一个新的结果，并简化了经典结果的证明。
Singular quasilinear elliptic problems with convection terms
在本文中，我们提出了一些最近的结果，存在性，唯一性和多重性的拟线性椭圆型方程和系统，表现出奇异和对流反应项。边界条件（狄利克雷，诺依曼，或罗宾）的重要性也进行了讨论。通过次上解和截断技巧，不动点理论，非线性正则性和集值分析，而唯一性和多重性得到单调性参数。
A new result on the existence and non-existence of positive solutions for two-parametric systems of quasilinear elliptic equations
研究了一类具有依赖于两个参数的不定非线性项$(λ,μ)$的$(p, q)$ -Laplacian方程组正解的存在性和不存在性.利用上下解方法，结合\cite{AAS,CRMZ}中的思想，推广了已有的一些结果.
Existence of blow-up solutions for a class of elliptic system with convection term
研究了一类带对流项的椭圆型方程组爆破解的存在性。本文证明了一类非线性项依赖于解的梯度的椭圆型方程组的上下解的一个结果。这一结果使得研究一类大系统爆破解的存在性成为可能。
Regular solutions for nonlinear elliptic equations, with convective terms, in Orlicz spaces
建立了一类含偏微分算子的拟线性椭圆型方程狄利克雷问题依赖于解的梯度的存在性和正则性结果.我们的结果是在Orlicz索伯列夫空间和一般的对流项增长条件下的。上下解方法是证明结果存在性的重要工具。
Global integrability and boundary estimates for uniformly elliptic PDE in divergence form
我们发现，两个经典已知的性质的正上解的一致椭圆型偏微分方程，边界点原则（Hopf引理）和整体可积性，可以量化相对于彼此。对于散度型方程，我们得到了de Giorgi-Moser弱Harnack不等式的一个关于范数最优的边界推广.
How to break the uniqueness of $W^{1,p}_{loc}(Ω)$-solutions for very singular elliptic problems by non-local terms
本文证明了非常奇异的非局部$λ$ -问题$$ -{\Big(\int_Ωg(x,u)dx\Big)^r}Δ_pu={λ} \Big(a(x)u^{-δ} + b(x)u^β\Big) \ \ \mbox{in} \ \ Ω, \ \ \ \ u > 0 \ \ \ \mbox{in} \ Ω\ \ \ \mbox{and} \ \ u=0 \ \ \mbox{on} \ \partial Ω, $$的正$W^{1,p}_{loc}(Ω)$ -解分支的存在性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^N $是光滑有界区域，$δ>0$，$0 < β< p-1$，$a $和$b$是非负可测函数，$g$是正连续函数.我们的方法是基于次上解技术，不动点理论，在$ W^{1,p}_{loc}(Ω)$ -拓扑的研究中的解决方案的应用和一个新的比较原则，在$W^{1,p}_{loc}(Ω)$的次上解的问题与$p$ -拉普拉斯算子扰动由一个非常奇异的项在零和次线性在无穷远。
Symmetry via antisymmetric maximum principles in nonlocal problems of variable order
考虑开有界集$Ω\subset\mathbb{R}^{N}$中的非线性问题\[(P) \;\; I u=f(x,u) \text{ in $Ω$,} \;\; u=0 \text{ on $\mathbb{R}^{N}\setminusΩ$ }\]，其中$I$是一个非局部算子，它可以是各向异性的，并且可以具有不同的阶.对$I$、$Ω$和非线性方程$f$关于固定方向（如$x_1$）作了适度的对称性和单调性假设，证明了$(P)$的任何非负弱解$u$在$x_1$中是对称的.此外，我们有以下选择：要么是$Ω$中的$u\equiv 0$，要么是$|x_1|$中的$u$严格递减。证明依赖于新的最大值原理反对称上解的相关类线性问题。
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