Locally Recoverable codes from rational maps
Carlos Munuera, Wanderson Tenório
本文给出了一种构造局部可恢复纠错码的方法。该方法基于仿射空间之间的有理映射的使用。擦除的恢复进行拉格朗日插值一般和简单的一个除了在一些好的情况下。
We give a method to construct Locally Recoverable Error-Correcting codes. This method is based on the use of rational maps between affine spaces. The recovery of erasures is carried out by Lagrangian interpolation in general and simply by one addition in some good cases.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Locally Recoverable codes with local error detection
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的坐标中的任何擦除都可以从一组其它少数坐标中恢复。在本文中，我们将介绍一个本地可恢复代码模型，其中还包括本地错误检测。的情况下，里德-所罗门和本地可恢复的里德-所罗门码处理的一些细节。
A construction of optimal locally recoverable codes
本地可恢复代码广泛应用于分布式和云存储系统中。本文的目的是构造一个椭圆多项式的近MDS码，并确定码的局部性。结果表明，近MDS码和近MDS码都是距离最优和维数最优的局部可恢复码。局部可恢复码的长度与文献中已知的不同。
Locally Recoverable codes from algebraic curves with separated variables
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的单个坐标中的任何擦除可以从其它坐标的小子集恢复。我们研究了由分离变量方程定义的某些曲线所产生的局部可恢复代数几何码。擦除的恢复一般是通过拉格朗日插值得到的，在某些特殊情况下只需一次加法即可。
Bounds on Locally Recoverable Codes with Multiple Recovering Sets
局部可恢复码（LRC码）是有限字母表上的码，使得编码中的每个符号是形成恢复集合的少量其他符号的函数。在文献中已经广泛地研究了这些代码的速率和距离的界限。本文给出了每个符号具有$t\geq 1$不交恢复集的码的速率和距离的上界。
Computing sharp recovery structures for Locally Recoverable codes
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的单个坐标中的任何擦除可以从其它坐标的小子集恢复。本文提出了一种计算任意线性码$\mathcal{C}$的恢复结构的算法和实现该算法的恢复方法，该算法还提供了$\mathcal{C}$的局部性和对偶距离。复杂性问题也在研究之中。包括几个例子。
$q$-ary Sequential Locally Recoverable Codes from the Product Construction
本文研究分布式存储中的序列局部可恢复码（SLRCs），通过码乘积构造了具有新颖最大可恢复擦除数$t$和最小修复替代数$A$的扩展$q$元非二进制SLRCs族，并探讨了利用MDS和BCH码构造SLRCs的方法，最后与其他LRCs进行了比较。
A Construction of Optimal Quasi-cyclic Locally Recoverable Codes using Constituent Codes
本文将准循环局部可恢复码分解为扩域上的组成码之和，并给出参数条件，用于构造维数和码长更大的近乎最优及最优码。
A class of locally recoverable codes over finite chain rings
本文研究有限链环上的局部可恢复码，通过扩展Tamo和Barg在2014年提出的构造，提出了一类新的局部可恢复码并讨论其最优性，推广了域上码的已知结果和界。
Three Stories on a Two-sided Coin: Index Coding, Locally Recoverable Distributed Storage, and Guessing Games on Graphs
三个科学和工程问题最近的利益-索引编码，本地可恢复的分布式存储，和猜测游戏的图形-进行了讨论，并阐明其最佳解决方案之间的连接。通过推广Shanmugam和Dimakis以及Mazumdar关于有向图上的索引编码问题的最优广播速率与同一图上的局部可恢复分布式存储问题的归一化速率之间的互补性的最新结果，证明了这两个问题的容量区域和最优速率区域是互补的.建立这一结果的主要成分是Alon等人（2008）引入的混淆图的概念，混淆图的顶点传递性，通过混淆图的分数色数表征索引编码容量区域，以及通过混淆图的独立数表征局部可恢复分布式存储的最佳速率区域。作为互补性的第三个也是最后一个方面，Riis在图上的猜测游戏被讨论为局部可恢复分布式存储问题的特殊情况，并且表明猜测游戏的最优策略的获胜概率以及最优策略和随机猜测的获胜概率之间的比率可以分别被表征，通过索引编码的容量区域和分布式存储的最佳速率区域。
Locally recoverable codes from algebraic curves and surfaces
局部可恢复代码是有限字母表上的代码，使得码字的任何单个坐标的值可以从其它坐标的小子集的值恢复。在Barg，Tamo和Vllaughdupe的工作基础上，我们提出了几种从代数曲线和曲面构造局部可恢复代码的方法。
Higher Hamming weights for locally recoverable codes on algebraic curves
研究了代数曲线上的局部可恢复码。本文的第一部分给出了这类码的广义Hamming重量的一个界。而在第二部分中，我们提出了一类新的代数几何LRC码，即基于Norm-Trace曲线的LRC码。最后，利用Hermitian码的一些性质，改进了文献[1]中提出的某些Hermitian LRC码的距离界。[1]A.巴格岛Tamo和S.瓦拉杜特代数曲线上的局部可恢复代码。arXiv预印本arXiv：1501.04904，2015年。
Locally Recoverable Codes with Availability $t\geq 2$ from Fiber Products of Curves
本文利用曲线的纤维积的结构，将Barg，Tamo和Vlaud Duffel给出的代数曲线上的局部可恢复码的构造推广到具有任意多个恢复集的代数曲线上.采用极大曲线，我们创建了几个新的家庭的本地可恢复的代码与多个恢复集，包括代码与两个恢复集的广义Giulietti和Kommarros（GK）曲线和铃木曲线，和新的本地可恢复的代码与许多恢复集的基础上的Hermitian曲线，使用一个纤维积建设的van der Geer和van der Vlugt。此外，我们考虑局部误差恢复和全局误差校正之间的关系，以及本地恢复任何固定数量的擦除模式所需的可用性。
On Locally Recoverable (LRC) Codes
我们提出了简单的最佳纠删LRC码的结构，展示他们的奇偶校验矩阵。当奇偶校验组中的局部奇偶校验的数量加上全局奇偶校验的数量小于奇偶校验组的大小时，构造的码是最优的，其字段的大小至少为码的长度。当全局奇偶校验的数量等于奇偶校验组中局部奇偶校验的数量加1时，我们可以将字段的大小至少减少到奇偶校验组的大小。
New Construction of Locally q-ary Sequential Recoverable Codes: Parity-check Matrix Approach
本文提出一种基于校验矩阵的q元序列局部可恢复码（SLRCs）新构造，通过建立并行与序列恢复的新联系，实现了具有信息$(r, t_i, δ)$-序列局部性的线性码，可对最多$t$个擦除进行序列恢复。
Number Theoretical Locally Recoverable Codes
本文利用代数数域中的基展开构造有限域乘积上的非线性局部可恢复码无限序列，实现长度与规模递增、码率恒定、局部性固定且最小距离趋于无穷。
Construction of optimal locally recoverable codes and connection with hypergraph
最近，几位作者发现，$q$元最优局部可恢复代码，即，归档Singleton类型界限的本地可恢复代码可以具有比$q+1$大得多的长度。这与经典的$q$元MDS码有很大的不同，在经典的MDS码中，证明了码长的上界为$q+1$（或在某些特殊情况下为$q+2$）。这一发现启发了最近一些关于最佳本地可恢复代码长度的研究。\cite{LXY}证明了对于$d=3,4$，$q$元最优局部可恢复代码是无界的.随后证明了具有距离$d$和局部性$r$的$q$元最优局部可恢复码的长度为$Ω_{d,r}(q^{1 + 1/\lfloor(d-3)/2\rfloor})$。最近，在\cite{J18}和\cite{BCGLP}中给出了距离$d=5,6$的$q$元最优局部可恢复码的显式构造.在本文中，我们进一步研究构造最优局部可恢复码沿线使用奇偶校验矩阵。受经典的Reed-Solomon码和\cite{J18}的启发，我们给校验矩阵赋予了Vandermond结构。结果表明，具有Vandermond结构的校验矩阵产生的最优局部可恢复码必须满足$\mathbb{F}_q$子集的不交性。令我们惊讶的是，这个不相交条件等价于极值图论中一个研究得很好的问题。借助于极值图论，我们成功地将\cite{GXY}中的所有著名结果推广到了$d\geq 7$ .此外，对于$d=6$，我们能够去除在\cite{J18}中要求的$q$是…
Constructions of near MDS codes which are optimal locally recoverable codes
具有参数$[n,k,n-k]$的线性码被称为几乎最大距离可分（简称AMDS）。其对偶也是AMDS的AMDS码被称为近最大距离可分离（简称NMDS）码。NMDS码在有限几何、组合数学、密码学和数据存储等领域有着广泛的应用。本文首先给出了NMDS码的几种构造方法，并确定了它们的重量计数元。特别地，一些构造产生具有相同参数但不同权重枚举数的NMDS码。然后，我们确定了NMDS码的局部性，得到了一族距离最优和维数最优的局部可修码。
Explicit construction of optimal locally recoverable codes of distance 5 and 6 via binary constant weight codes
在\cite{GXY18}中证明了距离为$d\ge 5$的$q$元线性局部可恢复码的长度$n$的上界为$O(dq^3)$ .因此，构造距离$d\ge 5$和长度接近上界的$q$元局部可恢复码是一个具有挑战性的问题.本文\cite{GXY18}还给出了$d=5$和$6$的具有局部性$r$和长度$n=Ω_r(q^2)$的$q$元局部可恢复码的算法构造，其中$Ω_r$表示隐常数依赖于局部性$r$ .本文利用二元等重码给出了距离$d= 5$和$6$的$q$元局部可恢复码的显式构造。结果表明，（i）我们的构造更简单，更明确;（ii）我们的代码的长度大于\cite{GXY18}中给出的代码。
Multi-Erasure Locally Recoverable Codes Over Small Fields For Flash Memory Array
擦除码在存储系统中起着防止数据丢失的重要作用。本文研究了一类用于闪存阵列的擦除码--多擦除局部可恢复码（ME-LRC）。与以前的相关工作相比，我们专注于小领域的ME-LRC的建设。我们首先开发的最小距离的ME-LRC的上限和下限。这些界限明确考虑了字段大小。我们的主要贡献是提出了一种基于广义张量积码的ME-LRC的一般构造，并研究了其纠删性质。给出了一种适合于擦除恢复的译码算法。然后，我们证明，我们的建设产生最佳的ME-LRC与广泛的代码参数。最后，我们提出了几个家庭的ME-LRC在不同的领域。
An Upper Bound On the Size of Locally Recoverable Codes
在{ \em局部可恢复}或{ \em可修复}码中，码字的任何符号都可以通过仅读取少量（恒定）的其它符号来恢复。本地可恢复性的概念在分布式存储领域非常重要，其中最常见的错误事件是单个存储节点故障（擦除）。一个共同的目标是通过从尽可能少的其他存储节点下载数据来修复节点。本文从码的长度、大小和局部性三个方面给出了码的最小距离的界。与以前的界限不同，我们的界限来自一个非常简单的分析，并取决于所使用的字母表的大小。事实证明，二进制单纯形码满足我们的界限与平等，因此单纯形码是第一个例子，一个最佳的二进制局部可修复的代码家庭。我们还提供了基于随机编码和级联码的可扩展性结果，这些结果在数值上被验证为接近我们的界限。
Irregular Recovery and Unequal Locality for Locally Recoverable Codes with Availability
如果一个代码的每个坐标都可以从多个不相交的坐标集合（称为恢复集合）中恢复出来，则该代码被称为具有可用性的局部可恢复代码（LRC）。坐标的恢复集的大小的向量被称为其恢复轮廓。在这项工作中，我们考虑了两种不同设置下的可用性LRC：（1）不规则恢复：对于所有坐标保持固定的非恒定恢复曲线，（2）不平等的位置：可以随坐标变化的规则恢复曲线。对于每一个设置，我们推导出的最小距离，概括以前已知的边界的情况下，不规则或不同的恢复配置文件的界限。对于定期和固定的恢复配置文件的情况下，我们表明，一个特定的塔莫-巴格多项式的评估建设是最佳的所有符号的地方，我们提供的奇偶校验矩阵结构的信息局部性与可用性。
Locally recoverable codes on algebraic curves
如果编码中的每个符号是码字的少量（至多$r$）其它符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC代码）。本文介绍了代数曲线上的LRC码的构造，推广了最近的一类具有局部性的Reed-Solomon类码的构造。我们对待以下情况：本地恢复一个单一的擦除，本地恢复多个擦除，和代码与几个不相交的恢复集的每个坐标（{ \em可用性问题}）。对于这三个问题中的每一个，我们描述了一个一般的曲线上的代码建设和建设几个家庭的LRC代码。我们还描述了建设的代码依赖于自同构群的曲线的可用性。
Locally recoverable codes from towers of function fields
在这项工作中，我们构造了一系列的局部可恢复的AG码所产生的塔的功能域，并给出了界所获得的代码的参数。在一个特殊的情况下，塔超过$\mathbb{F}_{q^2}$的任何奇数$q$，由加西亚和Stichtenoth在[GS 2007]中定义，我们表明，边界是尖锐的序列中的第一个代码，我们包括一个详细的分析，在序列中的合理的地方，在考虑的功能域扩展完全分裂的分布的基础上。
Minimum Distance and Parameter Ranges of Locally Recoverable Codes with Availability from Fiber Products of Curves
利用曲线的纤维积构造了具有可用性$t\geq 2$的局部可恢复码族，确定了许多局部可恢复码族的精确最小距离，并证明了这类码族最小距离的一个一般定理.最后，本文探讨了这些家庭和纤维产品的建设更普遍的代码的参数。我们表明，纤维产品代码可以实现任意大的速率和任意小的相对缺陷，并从文献中已知的界限和重要的建设。
Hierarchical Locally Recoverable Codes on surfaces
本文提出了一种基于曲面纤维化的分层局部可恢复码构造方法，并利用几何与算术特性推导码参数，同时获得了某些曲面族中有理点数量的估计。
Beyond Polynomials: Optimal Locally Recoverable Codes from Good Rational Functions
本文提出通过引入良好有理函数来扩展局部可恢复码的构造方法，利用代数函数域理论和伽罗瓦理论，构建了更优的LRC码家族。
Multiple-Layer Integrated Interleaved Codes: A Class of Hierarchical Locally Recoverable Codes
传统的集成交织（II）码的定义通常假设分量嵌套码是里德-所罗门（RS）码或缩短里德-所罗门码。通过采取一般类的代码，我们提出了一个递归结构的扩展集成交织（EII）码到多个层，一个问题，引起了文献中的II码。多层方法允许分层方案，其中代码的每一层提供不同的局部性。特别是，我们提出了新的代码的纠删能力，我们表明，他们非常适合作为本地可恢复（LRC）代码，由于其层次的地方和建设所需的小有限域。给出了多层EII码的最小距离、维数、纠删译码算法、校验矩阵和性能分析，并举例说明。最后，我们将观察到高层EII码的奇偶校验矩阵具有低密度。
Bounds on the Parameters of Locally Recoverable Codes
局部可恢复码（LRC码）是有限字母表上的码，使得编码中的每个符号是形成恢复集合的少量其他符号的函数。本文给出了LRC码参数的新的有限长和渐近界。对于每个坐标都具有单个恢复集的LRC码，我们得到了LRC码的渐近Gilbert-Varshamov型界，并找到了渐近好的LRC码的最大可达相对距离.对于每个坐标具有两个不相交恢复集的LRC码，也得到了类似的结果。对于多个恢复集的情况下，我们推导出一个下界的参数使用扩展图参数。最后，我们还得到了有限长度的上界的LRC码的速度和距离的多个恢复集。
Multi-Erasure Locally Recoverable Codes Over Small Fields
擦除码在存储系统中起着防止数据丢失的重要作用。在这项工作中，我们研究了一类擦除码称为多擦除本地可恢复码（ME-LRC）的存储阵列。与以前的相关工作相比，我们专注于小领域的ME-LRC的建设。我们首先开发的最小距离的ME-LRC的上限和下限。我们的主要贡献是提出了一种基于广义张量积码的ME-LRC的一般构造，并研究了其纠删性质。给出了一种适合于擦除恢复的解码算法，并确定了可校正的擦除模式。然后，我们证明了我们的建设产生最佳的ME-LRC与广泛的代码参数，并提出了一些明确的ME-LRC在小领域。最后，我们证明了广义综合交织（GII）码可以被视为广义张量积码的一个子类，从而定义了这些码之间的确切关系。
Locally recoverable codes with multiple recovering sets from maximal curves
本文利用具有许多有理点的代数曲线和可分态射，提出了一种构造具有多个恢复集的局部可恢复码（LRCs）的方法，推广并增强了现有框架，纠正了文献中的不准确之处，实现了更好的参数、更广的适用性及大可用性。
Monomial-Cartesian codes and their duals, with applications to LCD codes, quantum codes, and locally recoverable codes
单项式-笛卡尔代码是通过在笛卡尔积上评估单项式的集合而定义的评估代码。它是文献中一些码族的推广，例如复曲面码，仿射笛卡尔码和$J$ -仿射簇码。在这项工作中，我们使用消失的理想的笛卡尔积给出了一个单一的笛卡尔码的对偶的描述。然后利用这种对偶的描述证明了量子纠错码和MDS量子纠错码的存在性。最后，我们表明，单式笛卡尔代码的直接产品是一个本地可恢复的代码与$t$ -可用性，如果至少$t$的组件是本地可恢复的代码。
Locally recoverable $J$-affine variety codes
本文构造了$J$-仿射簇码子域子码的局部可恢复（LRC）码以纠正多个擦除，计算了其局部性$(r, δ)$，并证明了部分长度$n\gg q$的码为$(δ-1)$-最优。
Bounds and Constructions of Quantum Locally Recoverable Codes from Quantum CSS Codes
本文借助经典 LRC 推导量子 LRC 的参数界并刻画最优纯量子 LRC，进而利用经典 LRC 构造量子 CSS 码，首次得到多族最优纯量子 LRC。
Locally recoverable codes from elliptic surfaces with availability and hierarchical locality
利用椭圆曲线的挠群和椭圆曲面的纤维结构，构造了具有可用性t>2、分层局部性以及两者结合的局部可恢复码。
A family of optimal locally recoverable codes
如果编码中的每个符号都是少量（最多$r$）其他符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC）。我们提出了一个家庭的LRC码，达到最大可能的值的距离为一个给定的局部参数和代码基数。码字作为有限域上的特殊构造的多项式的评估而获得，并且如果局部参数$r$被设置为等于码维，则码字减少到Reed-Solomon码。大多数参数的代码字母表的大小仅略大于代码长度。恢复过程通过$r$点上的多项式插值来执行。我们还构造了几个不相交的恢复集的每一个符号的代码。这种结构使系统能够通过访问码字的不同部分来对特定符号进行多个独立且同时的恢复过程。此属性使频繁访问的数据（“热数据”）具有高可用性。
Secure Storage using Maximally Recoverable Locally Repairable Codes
针对 MR-LRC 在全局修复中易被窃听的问题，提出基于 CPU 与局部多项式的安全修复框架，分析直接修复和转发修复并实现非零保密维度。
Algebraic hierarchical locally recoverable codes with nested affine subspace recovery
本文提出代数分层局部可恢复码，通过里德-穆勒码与纤维积码的统一，实现嵌套仿射子空间恢复，并支持每层可用性。
Extended Integrated Interleaved Codes over any Field with Applications to Locally Recoverable Codes
集成交织（II）和扩展集成交织（EII）码是局部可恢复（LRC）码的通用替代方案，因为它们需要相对小尺寸的字段。II和EII码通常定义在Reed-Solomon类型的码上。本文给出了EII码的一个新的综合定义，它允许EII码在任何域上，特别是在二进制域$GF(2)$上。II和EII码的传统定义被证明是新定义的一个特例。改进以前的建设LRC码，特别是二进制码，以及满足最小距离上界的情况下。给出了这些码的性质，特别是推广乘积码迭代译码算法的行列迭代译码算法。还讨论了两个应用：一个是找到EII码的系统编码，使得奇偶校验符号在行上具有平衡分布，另一个是对EII码的符号进行排序，使得实现可纠正突发的最大长度的问题。
Optimal locally recoverable codes with hierarchy from nested $F$-adic expansions
在本文中，我们构造新的最优分层局部可恢复码。我们的建设是基于一个组合的思想的\cite{ballentine2019codes,sasidharan2015codes}与代数数论的方法，允许给一个更精细的调整的最小距离的中间代码（允许更大的尺寸的最终代码），并删除限制的算术性能的$q$相比，在层次结构中的局部集的大小。反过来，我们设法获得代码与广泛的参数集的大小$q$的基本字段，并为层次结构的大小，同时保持我们构造的代码的最优性。
A Tight Rate Bound and a Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
如果$\mathcal{C}$的每个$n$代码符号可以通过访问至多$r$其它代码符号来恢复，则在存在单个擦除并且具有局部参数$r$的情况下，$[n,k]$代码$\mathcal{C}$被称为是局部可恢复的。如果对于任何一组$s \leq t$擦除，存在$s$步骤顺序恢复过程，其中在每一步，通过访问至多$r$其它代码符号来恢复单个擦除符号，则$[n,k]$代码被称为具有从$t$擦除的顺序恢复的本地可恢复代码。这等同于对于任何一组$s \leq t$擦除，双码包含一个码字，该码字的支持包含恰好一个$s$擦除符号的坐标。本文对任意的擦除次数$t$和任意的局部性参数$r \geq 3$，导出了这种码的速率的一个严格上界。这一界限证明了宋、蔡和袁的一个早期猜想。尽管该界限是有效的，而与在其上定义代码的字段无关，但是也提供了速率最优的{ \em binary}代码的匹配构造，同样对于任何$t$值和任何$r\geq3$值。
Integrated Interleaved Codes as Locally Recoverable Codes: Properties and Performance
在最近的文献中，结合局部和全局性质的擦除校正的代码已经支付了相当大的兴趣。应用程序处于云类型的实施中，其中故障存储设备的快速恢复很重要，但需要额外的保护以避免数据丢失，而在RAID类型的体系结构中，总设备故障与页面上的无声故障共存或每个设备中的扇区级别。这些问题的现有解决方案一般需要相对较大的有限域。综合交织码（这是密切相关的广义级联码）的技术，提出了显着减少有限域的大小，它表明，当这些代码的参数是明智的选择，它们的性能可以与优化的最小距离的代码之一竞争。
Locally recoverable algebro-geometric codes from projective bundles
本文提出了一种基于投影包构造的局部可恢复代数几何码，展示了其在不同维度下的最优性和高信息速率特性。
Improved bounds and optimal constructions of pure quantum locally recoverable codes
本文提出改进的纯量子局部可恢复码界限，并通过经典QECCs构造了最优qLRCs的无限族。
Quantum Hierarchical Locally Recoverable Codes
本文研究量子局部可恢复码(QLRC)的分层扩展，提出(r,δ) QLRC和h层QHLRC的随机与显式构造，并给出量子Tamo-Barg码的有效译码算法及Singleton-like界。
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Characterizations, Bounds, and Constructions
该研究针对量子局部可恢复码的约束限制，引入纠缠辅助量子局部可恢复码（EAQLRCs），建立其界与构造框架，得到首批明确的EAQLRCs最优码族。
Entanglement assisted quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes
本文提出纠缠辅助量子(r,δ)本地可恢复码框架，确立其性质的充要条件，建立相关概念联系与类Singleton界，并从多类经典码构造出最优的此类码。
Locally recoverable codes on surfaces
线性纠错码是具有固定坐标系的有限域上的有限维空间的子空间。如果对于每个坐标，可以从码字的（某些）$r$其他坐标的值推导出码字处的值，则这样的代码被称为具有局部性$r$的局部可恢复的。这些代码已经发现了许多最近的应用，例如，到分布式云存储。我们将讨论构建良好的局部可恢复代码的问题，并提出一些使用代数曲面的结构，这些曲面可以改善以前的结构，有时还可以提供精确意义上的最优代码。本文的主要概念贡献是考虑曲面纤维在曲线上的方式，每个恢复集是从一个单一的纤维点。这允许我们使用纤维的几何形状来保证局部可恢复性，并使用表面的全局几何形状来保持我们代码的标准参数。我们详细研究了纤维是有理曲线或椭圆曲线的情况，并提供了许多应用我们方法的例子。
Uniform Minors in Maximally Recoverable Codes
本文研究了具有最大可恢复性的局部可恢复码，重点研究了删截和缩短所产生的MDS码。利用拟阵理论和MDS码与一致子式的关系，导出了所有可能的一致子式的列表。这个列表是用来改善已知的非渐近下限上所需的字段大小的最大可恢复代码。
Locally Recoverable Codes with availability from a family of fibered surfaces
该研究从纤维曲面族构造可用性为2的局部可恢复码，结合函数域与纤维化理论技术，在局部性参数r = 3时得到码最小距离紧界，并给出基于双椭圆曲面的几何解释，是首个用K3曲面构造纠错码的实例。
Entanglement-assisted quantum locally recoverable codes: bounds and constructions with availability
本研究定义了具有可用性的纠缠辅助量子局部可恢复码，建立了其类Singleton界，基于经典线性码给出随机构造，并从Tamo-Barg等经典码族给出显式构造，证明共享纠缠可支持多个局部恢复集。
Capacity of Locally Recoverable Codes
本文分析了局部可恢复码（LRC）在随机擦除或错误信道上的性能，针对输入对称的无记忆离散信道，给出了使用LRC时与Shannon容量差距的紧致刻画，适用于纠正多个局部擦除的一般性LRC。
Quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes
本文提出量子$(r,δ)$-局部可恢复码，研究其构造条件及与经典码的等价性，并给出单边界及实例。
Local List Recovery of High-rate Tensor Codes and Applications
在这项工作中，我们给出了第一个高速率的本地列表可恢复代码的建设。列表恢复一直是编码理论中非常有用的构建块，我们的动机是使用这些代码作为这样的构建块。特别是，我们的建设给出了第一个容量实现本地列表可解码的代码（在恒定大小的字母表）;第一个容量实现全局列表可解码的代码与近线性时间列表解码算法（再一次，在恒定大小的字母表）;和Gilbert-Varshamov界上的二进制码的随机化结构，可以在近线性时间内唯一解码，具有比以前已知的更高的速率。我们的技术实际上非常简单，并且受到Gopalan，Guruswami和Raghavendra（Siam Journal on Computing，2011）用于列表解码张量代码的方法的启发。我们表明，张量的权力（全球）列表可恢复的代码是“近似”本地列表可恢复的，和“近似”的修改器可以通过预编码的消息与合适的本地可解码的代码被删除。用高速率全局列表可恢复代码和高速率局部可解码代码的已知构造来实例化该构造完成该构造。
On Finding the Largest Minimum Distance of Locally Recoverable Codes
本文研究的（n，k，r）-局部可恢复码（LRC）是一种（n，k）线性码，其每个坐标的值可以通过最多r个其它坐标的线性组合来恢复。在本文中，我们感兴趣的是找到最大可能的最小距离（n，k，r）-LRC，记为D（n，k，r）。我们将寻找D（n，k，r）的值的问题称为最大最小距离（LMD）问题。LMD可以近似为1的加法项;在文献中已知D（n，k，r）等于d* 或d*-1，其中d*=n-k-ceil（k/r）+2。此外，在文献中，LMD已经解决了一些范围内的代码参数n，k和r。然而，LMD仍然是未解决的一般代码参数。在这项工作中，我们将LMD转化为图论中的一个简单陈述问题，并证明了这两个问题是等价的。事实上，我们证明，解决衍生图论问题不仅解决了LMD，但也直接转化为最佳LRC的建设。使用这些新的结果，我们展示了如何容易地得到现有的结果LMD和扩展它们。此外，我们显示了LMD和极值图论中一个具有挑战性的开放问题之间的密切联系，表明LMD可能难以解决一般代码参数。
Constructions of Locally Recoverable Codes which are Optimal
设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是大小为$q$的有限域.在本文中，我们提供了一个伽罗瓦理论框架，允许产生良好的多项式的塔莫和巴格建设的最佳局部可恢复码（LRC）。使用我们的方法，我们构造新的好多项式，然后用新的参数最优LRC。现有的好多项式理论完全符合我们的新框架。我们的方法的主要优点是，我们不需要依赖于对$(q,r)$的算术属性，其中$r$是代码的局部性。
Combinatorial Alphabet-Dependent Bounds for Locally Recoverable Codes
局部可恢复（LRC）码由于其理论上的吸引力和在分布式存储系统中的应用，近年来成为编码理论研究的热点。在LRC码中，码字的任何被擦除的符号可以通过仅访问少量的其他符号来恢复。对于小字母表（如二进制）上的LRC码，最佳速率-距离权衡是未知的。我们提出了几个新的LRC码的组合界，包括局部感知球填充和Plotkin界。我们还开发了一种方法，线性规划（LP）界的LRC码。由此产生的LP界给出了更好的估计比其他上界在文献中已知的例子。此外，我们提供了严格的已知上限的线性LRC码的速率与给定的相对距离，以前最好的已知的界限的改进。
Quantum Locally Recoverable Codes via Good Polynomials
本研究提出可使用任意优多项式的量子局部可恢复码构造方法，设计了基于仿射一般线性群子群的优多项式构建方式，并结合扩张器混合引理得到无r+1为素数限制的qLRC最小距离下界，推动量子存储编码研究。
Locally recoverable codes on algebraic curves
如果编码中的每个符号都是少量（最多r个）其他符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC代码）。在最近的一篇论文中，I。Tamo和A.巴在本文中，我们将这种结构扩展到代数曲线上的代码。我们给出了曲线上LRC码的一般构造，并计算了一些例子，包括从Garcia- Stichtenoth塔导出的渐近好的码族。本地恢复过程是通过多项式插值的代码矢量的r坐标。我们还得到了一个家庭的厄米特码与两个不相交的恢复集的码字的每个符号。
Optimal pure quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes from matrix-product construction
本文针对量子存储的删除错误修复需求，以矩阵积码为基础，构造出满足类Singleton界的最优纯量子$(r,δ)$-局部可修复码族，为量子存储系统提供了高效的纠错方案。
On a Duality Between Recoverable Distributed Storage and Index Coding
在本文中，我们介绍了一个模型的单故障本地可恢复的分布式存储系统。这个模型似乎引起了一个问题，似乎双重的研究良好的索引编码问题。本文建立了模型的最优索引码和最优分布存储码的维数之间的关系。我们还展示了向量码的一些扩展。
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