$q$-ary Sequential Locally Recoverable Codes from the Product Construction
本文研究分布式存储中的序列局部可恢复码（SLRCs），通过码乘积构造了具有新颖最大可恢复擦除数$t$和最小修复替代数$A$的扩展$q$元非二进制SLRCs族，并探讨了利用MDS和BCH码构造SLRCs的方法，最后与其他LRCs进行了比较。
2025-07-11 cs.IT math.IT
Locally Recoverable codes from rational maps
本文给出了一种构造局部可恢复纠错码的方法。该方法基于仿射空间之间的有理映射的使用。擦除的恢复进行拉格朗日插值一般和简单的一个除了在一些好的情况下。
2017-06-01 cs.IT math.IT
Locally Recoverable codes with local error detection
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的坐标中的任何擦除都可以从一组其它少数坐标中恢复。在本文中，我们将介绍一个本地可恢复代码模型，其中还包括本地错误检测。的情况下，里德-所罗门和本地可恢复的里德-所罗门码处理的一些细节。
2018-12-03 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes with Hierarchical Locality
最大可恢复代码是一类在给定代码的局部性约束的情况下从所有潜在可恢复擦除模式中恢复的代码。在早期的作品中，这些代码已被研究的背景下，代码的地方。局部性的概念已经扩展到层次局部性，这允许局部性随着擦除次数的增加而逐渐增加级别。我们考虑了两级层次局部性代码的局部性约束，并定义了具有数据局部性和局部层次局部性的最大可恢复代码。我们得到了一些性质有关的删余码和最小距离。我们给出了一个过程来构造层次数据局部MRCs从层次局部MRCs。我们提供了一个建设的分层本地MRCs的所有参数。对于一个全局奇偶校验的情况下，我们提供了一个不同的结构层次的本地MRC在一个较低的字段大小。
2019-04-07 cs.IT math.IT
A Complete Classification of Partial-MDS (Maximally Recoverable) Codes with One Global Parity
部分MDS（Partial-MDS，PMDS）码是一类局部可修码，主要用于分布式存储。它们被定义为能够在每个位置组发生给定数量的擦除之后纠正任何$s$附加擦除模式。这使得它们也是最大可恢复（MR）码，另一类局部可修复码。已知的是，如果字段大小足够大，则对于任何参数集，通常存在MR码，特别是PMDS码。此外，已知PMDS码的一些显式构造，大多数（但不总是）对每个局部组可以校正的擦除的数量具有强限制。在本文中，我们推广的概念PMDS码，允许不同大小的局部组。我们给出了这种具有$s=1$全局奇偶校验的PMDS码的一般构造，即，可校正一个额外擦除。此外，我们证明了所有给定参数的PMDS码都是这种形式，即，我们给出了这些码的分类。这意味着这些码存在的基本域大小的一个充分必要条件（假设MDS猜想成立）。对于某些参数集，我们的广义建设产生的PMDS码具有较小的字段大小比任何其他已知的建设。
2017-07-04 cs.IT math.IT
Storage Coding for Wear Leveling in Flash Memories
闪存是由单元块组成的非易失性计算机存储器，其中每个单元被实现为NAND或NOR浮栅。NAND闪存是目前使用最广泛的闪存类型。在NAND闪存中，每个单元块都由许多页组成;即使重写单个页也需要擦除和重新编程整个块。块擦除决定了闪存的寿命和效率。因此，当NAND闪存中的数据被重组时，最小化实现期望的数据移动所需的块擦除的总数是重要的目标。这就引出了本文研究的闪存数据移动问题。我们表明，编码可以显着减少数据移动所需的块擦除的数量，并提出了几个最佳或接近最佳的数据移动算法的基础上，从编码理论和组合学的想法。特别是，我们表明，排序为基础的（非编码）计划至少需要O（nlogn）擦除n块之间移动数据，而编码为基础的计划只需要O（n）擦除。此外，基于编码的方案仅使用一个辅助块，这是最好的可能，并且在n+1个块中的每个块中的擦除的数量之间实现良好的平衡。
2009-11-20 cs.IT math.IT
Maximally recoverable codes with locality and availability
IMUVa-Mathematics Research Institute, University of Valladolid（瓦拉多利德大学数学研究所）；Signal Processing and Communications Research Center (SPCRC), International Institute of Information Technology, Hyderabad（海得拉巴国际信息学院信号处理与通信研究中心）
本文提出具有局部性和可用性的最大可恢复码，通过局部可修复码的构造方法，减少存储开销并提升全局纠错能力，针对t=1时提供三种构造方法并扩展有限域大小下界。
2026-05-15 cs.IT math.IT
When Do WOM Codes Improve the Erasure Factor in Flash Memories?
闪存是一种只写一次的介质，其中对单元进行重新编程需要首先擦除包含它们的块。闪存的寿命是块擦除次数的函数，可以小到几千次。为了减少块擦除的数量，作为最小写入单元的页在存储器中被重写。一次写入存储器（WOM）代码是一种编码方案，其使得能够在擦除之前多次写入块。然而，这些代码具有显著的速率损失。例如，写入两次的速率（具有相同的速率）最多为0.77。在本文中，我们研究WOM码和他们之间的权衡率损失和减少块擦除的数量，当页面均匀随机写入。首先，我们引入了一个新的措施，称为擦除因子，它反映了块擦除的数量和每个块上可以写入的数据量。在我们的分析中的一个关键点是，这种权衡取决于内存中的WOM代码的具体实现。我们考虑两个系统，使用WOM代码，一个传统的计划，通常使用，和一个新的最近的设计，保留了整体的存储容量。虽然第一个系统可以提高擦除因子，只有当存储速率是最多0.6442，我们表明，第二个方案总是提高这个品质因数。
2015-04-22 cs.IT math.IT
Spatially Coupled LDPC Codes Affected by a Single Random Burst of Erasures
空间耦合LDPC（SC-LDPC）系综在置信传播（BP）译码下渐近地达到二进制无记忆信道（BMS）的容量。在本文中，我们研究了BP解码的BMS信道上，在存在一个单一的随机突发的擦除这些代码的合奏。我们表明，在代码长度的限制，码字可以成功地恢复，如果突发的长度小于某个最大可恢复的突发长度。我们观察到，最大可恢复的突发长度几乎是相同的，如果传输发生在二进制擦除信道或二进制加性白高斯信道具有相同的容量。通过对停止集的分析，我们还估计了当码长为有限时的译码失败概率（错误平层）。
2016-07-04 cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
在本文中，局部可恢复码（LRC）是指一种线性码，其中给定的码符号可以通过取至多$r$个其它码符号与$r << k$的线性组合来恢复。一种自然的扩展是局部恢复一组$t$擦除符号。已经提出了几种用于处理多个擦除的方法。这里考虑的方法是顺序恢复的方法之一，这意味着$t$擦除的符号被连续地恢复，每次最多接触$r$其它符号以帮助恢复。在每个被擦除的符号通过最多接触$r$其它代码符号可恢复的约束下，这种方法是最通用的，因此提供了最大可能的码率。我们的特点的最大可能率的LRC与顺序恢复任何$r \geq 3$和$t$。我们这样做，首先推导出一个上限的码率，然后继续构建一个{ \em二进制}代码，达到这个最佳的速率。这里得出的上限证明了一个猜想有关的结构（但不是确切的形式）的速率界限。我们的方法还允许我们推导出一个速率最优的LRC与顺序恢复的奇偶校验矩阵的结构。奇偶校验矩阵又导致代码的图形描述。具有达到这里导出的上界的速率的二进制码的构造利用该描述。有趣的是，事实证明，速率和块长度都是最优的二进制码的子类对应于称为摩尔图的图，摩尔图是对于给定围长具有最小顶点数的正则图。文中还与Tornado码进行了联系。
2018-12-06 cs.IT math.IT
Erasure Codes for Distributed Storage: Tight Bounds and Matching Constructions
本论文对再生码和局部可恢复码的理论都有重要的贡献。这两个主要贡献是表征LR码的最佳速率，该LR码被设计为顺序地从$t$擦除的符号中恢复，对于任何$t$，以及在被称为最佳访问RG码的RG码的子类的子分组化级别（矢量码符号的长度）上的紧界的发展。然而，也有其他几个值得注意的贡献，如推导出最严格的已知边界的性能指标，如最小距离和速率的一个子类的LR代码称为可用性代码。本文还提出了一些最大可恢复码的低域构造方法。
2018-06-12 cs.IT math.IT
New Construction of Locally q-ary Sequential Recoverable Codes: Parity-check Matrix Approach
本文提出一种基于校验矩阵的q元序列局部可恢复码（SLRCs）新构造，通过建立并行与序列恢复的新联系，实现了具有信息$(r, t_i, δ)$-序列局部性的线性码，可对最多$t$个擦除进行序列恢复。
2025-03-03 cs.IT math.IT
Locally recoverable codes on algebraic curves
如果编码中的每个符号是码字的少量（至多$r$）其它符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC代码）。本文介绍了代数曲线上的LRC码的构造，推广了最近的一类具有局部性的Reed-Solomon类码的构造。我们对待以下情况：本地恢复一个单一的擦除，本地恢复多个擦除，和代码与几个不相交的恢复集的每个坐标（{ \em可用性问题}）。对于这三个问题中的每一个，我们描述了一个一般的曲线上的代码建设和建设几个家庭的LRC代码。我们还描述了建设的代码依赖于自同构群的曲线的可用性。
2016-03-29 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes with Hierarchical Locality: Constructions and Field-Size Bounds
最大可恢复代码是一类在给定代码的局部性约束的情况下从所有潜在可恢复擦除模式中恢复的代码。在早期的作品中，这些代码已被研究的背景下，代码的地方。局部性的概念已经扩展到层次局部性，这允许局部性随着擦除次数的增加而逐渐增加级别。我们考虑了两级层次局部性代码的局部性约束，并定义了具有数据局部性和局部层次局部性的最大可恢复代码。我们得到了一些性质有关的删余码和最小距离。我们给出了一个过程来构造层次数据局部MRCs从层次局部MRCs。我们提供了一个建设的分层本地MRCs的所有参数。对于某些参数，我们还构造了具有层次局部性的MRC，其域的大小小于一般参数的已知构造。我们还得到了一个字段大小下界的MRC与层次局部性。
2021-05-07 cs.IT math.IT
Multiple-Layer Integrated Interleaved Codes: A Class of Hierarchical Locally Recoverable Codes
传统的集成交织（II）码的定义通常假设分量嵌套码是里德-所罗门（RS）码或缩短里德-所罗门码。通过采取一般类的代码，我们提出了一个递归结构的扩展集成交织（EII）码到多个层，一个问题，引起了文献中的II码。多层方法允许分层方案，其中代码的每一层提供不同的局部性。特别是，我们提出了新的代码的纠删能力，我们表明，他们非常适合作为本地可恢复（LRC）代码，由于其层次的地方和建设所需的小有限域。给出了多层EII码的最小距离、维数、纠删译码算法、校验矩阵和性能分析，并举例说明。最后，我们将观察到高层EII码的奇偶校验矩阵具有低密度。
2020-09-30 cs.IT math.IT
On Optimal Locally Repairable Codes and Generalized Sector-Disk Codes
考虑了具有信息局部性的最优局部可修码。最佳码的构造，其长度也是顺序最佳的关于本文推导出的码长的一个新的界。所构造的码的长度在字母表大小上是超线性的，这改进了公知的金字塔码，其长度仅在字母表大小上是线性的。可恢复的擦除模式也分析了新的代码。基于可恢复的擦除模式，我们构造了广义扇区磁盘（GSD）码，它可以从磁盘擦除与扇区擦除混合在一个更一般的设置比已知的扇区磁盘（SD）码。此外，在所构造的GSD码中的扇区数是超线性的字母大小，与已知的SD码，其扇区数仅是线性的字母大小相比。
2020-02-05 cs.IT math.IT
Computing sharp recovery structures for Locally Recoverable codes
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的单个坐标中的任何擦除可以从其它坐标的小子集恢复。本文提出了一种计算任意线性码$\mathcal{C}$的恢复结构的算法和实现该算法的恢复方法，该算法还提供了$\mathcal{C}$的局部性和对偶距离。复杂性问题也在研究之中。包括几个例子。
2019-07-11 cs.IT math.IT
Locally recoverable $J$-affine variety codes
本文构造了$J$-仿射簇码子域子码的局部可恢复（LRC）码以纠正多个擦除，计算了其局部性$(r, δ)$，并证明了部分长度$n\gg q$的码为$(δ-1)$-最优。
2020-03-11 cs.IT math.IT
Majority-Logic Decoding of Binary Locally Recoverable Codes: A Probabilistic Analysis
Rutgers University（罗格斯大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文研究了二元局部可修复码在多数逻辑解码下的纠错性能，揭示了在随机信道模型下，块解码失败概率随局部性和可用性参数变化而趋于消失。
2026-02-20 cs.IT math.IT math.PR
Algebraic hierarchical locally recoverable codes with nested affine subspace recovery
本文提出代数分层局部可恢复码，通过里德-穆勒码与纤维积码的统一，实现嵌套仿射子空间恢复，并支持每层可用性。
2025-01-22 cs.IT math.AG math.IT
On Locally Recoverable (LRC) Codes
我们提出了简单的最佳纠删LRC码的结构，展示他们的奇偶校验矩阵。当奇偶校验组中的局部奇偶校验的数量加上全局奇偶校验的数量小于奇偶校验组的大小时，构造的码是最优的，其字段的大小至少为码的长度。当全局奇偶校验的数量等于奇偶校验组中局部奇偶校验的数量加1时，我们可以将字段的大小至少减少到奇偶校验组的大小。
2015-12-18 cs.IT math.IT
Capacity of Locally Recoverable Codes
本文分析了局部可恢复码（LRC）在随机擦除或错误信道上的性能，针对输入对称的无记忆离散信道，给出了使用LRC时与Shannon容量差距的紧致刻画，适用于纠正多个局部擦除的一般性LRC。
2023-07-30 cs.DM cs.DS cs.IT
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
2022-05-18 cs.CC cs.IT math.IT
Lower Bounds for Maximally Recoverable Tensor Code and Higher Order MDS Codes
$(m,n,a,b)$张量码由列满足“$a$”奇偶校验并且行满足“$b$”奇偶校验的$m\times n$矩阵组成（即，张量码是列码和行码的张量积）。张量码在分布式存储中很有用，因为单个擦除可以通过读取其行或列来快速纠正。最大可恢复（MR）张量码，由Gopalan等人提出，是张量码，其可以校正理论上可能校正的信息的每个擦除模式。关于MR张量码的主要问题是描述哪些擦除模式是可纠正的，以及在小域上获得显式的构造。在本文中，我们研究了当$a=1$，即，列满足单个奇偶校验等式。我们引入高阶MDS码（MDS $(\ell)$码）的概念，这是一个有趣的推广著名的MDS码，其中$\ell$捕获的低维空间中的点的泛型顺序。然后证明了具有$a=1$的张量码是MR的当且仅当行码是MDS $(m)$码.然后，我们证明了MDS $(m)$码满足一些弱对偶。利用这个特征和对偶性，我们证明了$(m,n,a=1,b)$张量码需要大小为$q=Ω_{m,b}(n^{\min\{b,m\}-1})$的场.我们的下界也扩展到设置的$a>1$。我们还给出了一个确定性的多项式时间算法来检查是否一个给定的擦除模式是可纠正的MR张量代码（当$a=1$）。
2022-12-02 cs.CC cs.IT math.IT
On Partial Maximally-Recoverable and Maximally-Recoverable Codes
一个[n，k]线性码C受到由奇偶检验矩阵H0施加的局部性约束，如果它可以从H0的零空间的某个k维子码可以从其恢复的任何擦除模式中恢复，则该线性码C被称为最大可恢复（MR）码。本文的重点是限制MR码具有全符号局部性r。鉴于它是具有挑战性的，以构建MR码具有小字段大小，我们目前的结果在两个方向。在第一个，我们放松MR约束，只需要除了要求是一个最佳的所有符号的局部代码，代码必须产生MDS码时，打孔在一个单一的，特定的模式，确保每个本地代码被打孔正好在一个坐标，没有两个本地代码共享相同的打孔坐标。我们将这些代码称为部分最大可恢复（PMR）代码。我们提供了一个简单的高速率PMR码的建设，然后提供了一个普遍的，有前途的方法，需要进一步调查。在第二个方向，我们提出了三个结构的MR码与改进的参数，主要是规模的有限域中采用的建设
2015-01-28 cs.IT math.IT
Entanglement assisted quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Universidad de Jaén（哈恩大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文提出纠缠辅助量子(r,δ)本地可恢复码框架，确立其性质的充要条件，建立相关概念联系与类Singleton界，并从多类经典码构造出最优的此类码。
2026-08-19 cs.IT math.IT quant-ph
Hierarchical Erasure Correction of Linear Codes
有限扩域上的线性码在理论和实际中有着广泛的应用。在某些情况下，解码器具有对码字符号的顺序存取，从而产生分层擦除结构。在本文中，我们开发了一个数学框架的层次擦除扩展字段，提供了几个界限和建设，并讨论了潜在的应用在分布式存储和闪存。我们的研究结果表明，密切的联系，普遍可解码矩阵，以及Reed-Solomon和Gabidulin码。
2019-10-22 cs.IT math.IT
Communication Cost for Updating Linear Functions when Message Updates are Sparse: Connections to Maximally Recoverable Codes
我们考虑一个通信问题，其中更新的源消息需要传达到一个或多个远程接收器，有兴趣在保持特定的线性函数的源消息。该设置是其中更新本质上是稀疏的设置，并且其中源和接收器都不知道确切的{ \em差向量}，而仅知道存在于差向量中的稀疏量。在这种情况下，我们感兴趣的是设计线性编码和解码方案，使所涉及的通信成本最小化。我们表明，这个问题的最佳解决方案是密切相关的概念，最大限度地恢复代码（MRC），这是最初介绍的存储系统编码的上下文中。在存储的上下文中，当系统被部分地约束为在存储节点之间具有本地奇偶校验关系时，MRC保证最佳擦除保护。在我们的问题中，我们证明了最优解存在的充要条件是某些类型的MRC（由所需的线性函数确定）存在。我们考虑点对点和广播版本的问题，并确定这些设置下的连接到MRC。对于点对点的设置，我们表明，我们的线性编码器为基础的可实现的计划是最佳的，即使非线性编码是允许的。该理论在更新擦除编码存储节点的上下文中示出。我们提出的例子的基础上，现代存储代码，如最小带宽再生码。
2018-08-05 cs.IT math.IT
A construction of Maximally Recoverable LRCs for small number of local groups
本文提出一种在较小有限域上构造最大可恢复局部重建码（MR LRCs）的新方法，推广了Hu和Yekhanin的构造，适用于局部组数量较少的实际场景，提高了容错与存储效率。
2023-05-11 cs.IT math.IT
Maximally recoverable local reconstruction codes from subspace direct sum systems
最大可恢复局部重建码（简称MR LRC）在过去几年中受到了极大的关注。在文献中已经提出了各种结构。本课题的主要目的是在小范围内构造磁流变LRC。$(N=nr,r,h,\Gd)$ -MR LRC是长度为$N$的有限域$\F_\ell$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n$局部组。每个本地组可以修复任何$\Gd$擦除错误，并且还有进一步的$h$全局奇偶校验，以提供来自更多全局擦除模式的容错。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，例如$h=O(1)$。在此参数设置中，所有以前的构造都需要字段大小$\ell =Ω_h (N^{h-1-o(1)})$。提高这一界限仍然具有挑战性。本文利用子空间直和系统，构造了场大小为$\ell= O(N^{h-2+\frac1{h-1}-o(1)})$的MR LRC。特别是，对于最有趣的情况下，其中$h=2,3$，我们改善以前的建设，无论是减少字段大小或删除约束。此外，我们还提供了一些结构的MR LRC更大的全球奇偶校验$h$，具有字段大小与已知的上限无法比拟。本文所使用的主要技术是通过我们介绍的子空间直和系统。有趣的是，子空间直和系统实际上等价于扩张域上的$\F_q$ -线性码。基于子空间直和系统的各种构造，我们能够构造几类MR LRC。
2021-11-05 cs.IT math.IT
Locally Recoverable Codes with Availability $t\geq 2$ from Fiber Products of Curves
本文利用曲线的纤维积的结构，将Barg，Tamo和Vlaud Duffel给出的代数曲线上的局部可恢复码的构造推广到具有任意多个恢复集的代数曲线上.采用极大曲线，我们创建了几个新的家庭的本地可恢复的代码与多个恢复集，包括代码与两个恢复集的广义Giulietti和Kommarros（GK）曲线和铃木曲线，和新的本地可恢复的代码与许多恢复集的基础上的Hermitian曲线，使用一个纤维积建设的van der Geer和van der Vlugt。此外，我们考虑局部误差恢复和全局误差校正之间的关系，以及本地恢复任何固定数量的擦除模式所需的可用性。
2018-08-16 cs.IT math.IT math.NT
Maximally Recoverable LRCs: A field size lower bound and constructions for few heavy parities
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。局部重建码（LRC）已成为这些应用的首选码。这些代码可以通过只访问少量的剩余坐标来纠正少量的擦除。$(n,r,h,a,q)$是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为各自大小为$r$的$g=n/r$局部组.它具有$h$全局奇偶校验，每个本地组具有$a$本地奇偶校验。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它纠正所有擦除模式，这是信息理论上可纠正的规定结构下的本地和全局奇偶校验。我们展示了MR LRC所需的字段大小的第一个非平凡的下界。当$a,h$是恒定的和本地组$g \ge h$的数量，而$r$可能会增长与$n$，我们的下限简化为$q\ge Ω_{a,h}\left(n\cdot r^{\min\{a,h-2\}}\right).$没有超线性（在$n$）的下限是已知的任何参数设置之前，这项工作。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，通常为$h=2,3$。我们补充我们的下限，给出小字段大小的$h\le 3$的建设。对于$h=2$，我们给出了一个线性域大小的构造。我们还展示了一个令人惊讶的应用椭圆曲线和算术级数自由集的建设MR LRC。
2018-11-15 cs.CC cs.IT math.IT
A Nearly Optimal Construction of Flash Codes
闪存是由单元块组成的非易失性计算机存储器，其中每个单元可以采用q个不同的值或电平。虽然增加单元电平很容易，但降低单元电平只能通过擦除整个块来实现。由于块擦除是非常不期望的，所以已经设计了编码方案（称为浮动码或闪存码），以便在引起块擦除之前最大化存储在闪存中的信息可以被写入（和重写）的次数。（n，k，t）_q闪速码C是用于在n个单元中存储k个信息比特的编码方案，其方式使得可以在没有块擦除的情况下容纳多达t个写入的任何序列（其中写入是k个比特中的任何一个比特中的转变0-> 1或1-> 0）。n个单元中可用电平转换的总数为n（q-1），C的写入不足定义为δ（C）= n（q-1）-t，它是代码接近完美利用所有这些转换的程度的度量。对于k> 6和大的n，以前已知的最好的闪存代码的构造实现了O（qk^2）的写缺陷。另一方面，写不足的最佳已知下限是Ω（qk）。在本文中，我们提出了一个新的建设的闪存代码，接近这个下限内的一个因子对数k。为此，我们首先改进了所谓的“索引”闪存代码，由于江和布鲁克，通过消除需要在江-布鲁克建设的索引单元。接下来，我们通过引入一个新的多级（递归）索引方案来进一步增加写入的数量。然后，我们表明，所产生的闪存代码的写不足是O（qk \log k），如果q \geq \log_2 k，否则至多O（k \log^2 k）。
2009-05-10 cs.IT math.IT
Rewriting Codes for Flash Memories
闪存是包括单元块的非易失性计算机存储器，其中每个单元可以采用q个不同的值或电平。虽然增加单元电平很容易，但降低单元电平只能通过擦除整个块来实现。由于块擦除是非常不期望的，所以已经设计了编码方案（称为浮动码（或闪存码）和缓冲器码），以便在引起块擦除之前最大化存储在闪存中的信息可以被写入（和重写）的次数。（n，k，t）q闪速码C是用于在$n$单元中存储k个信息比特的编码方案，其方式使得可以在没有块擦除的情况下容纳多达t个写入的任何序列。n个单元中可用电平转换的总数为n（q-1），C的写入不足定义为δ（C）= n（q-1）-t，它是代码接近完美利用所有这些转换的程度的度量。在本文中，我们给出了一个Flash码的构造，当\geq \log_2 k时，写亏数为O（qkPDMATHABMN k），否则写亏数至多为O（k \log^2 k）.（n，r，\ell，t）q缓冲代码是一种编码方案，用于存储r个\ell进制符号的缓冲区，使得对于任何t个符号的序列，都可以成功解码写入的最后r个符号。我们改进了以前的上限上的最大写入次数t的情况下，有一个单一的细胞存储缓冲区。然后，我们展示了如何改进Jiang等人使用多个单元的构造，其中n \geq 2 r。
2012-10-28 cs.IT math.IT
Integrated Interleaved Codes as Locally Recoverable Codes: Properties and Performance
在最近的文献中，结合局部和全局性质的擦除校正的代码已经支付了相当大的兴趣。应用程序处于云类型的实施中，其中故障存储设备的快速恢复很重要，但需要额外的保护以避免数据丢失，而在RAID类型的体系结构中，总设备故障与页面上的无声故障共存或每个设备中的扇区级别。这些问题的现有解决方案一般需要相对较大的有限域。综合交织码（这是密切相关的广义级联码）的技术，提出了显着减少有限域的大小，它表明，当这些代码的参数是明智的选择，它们的性能可以与优化的最小距离的代码之一竞争。
2016-02-08 cs.IT math.IT
An Upper Bound On the Size of Locally Recoverable Codes
在{ \em局部可恢复}或{ \em可修复}码中，码字的任何符号都可以通过仅读取少量（恒定）的其它符号来恢复。本地可恢复性的概念在分布式存储领域非常重要，其中最常见的错误事件是单个存储节点故障（擦除）。一个共同的目标是通过从尽可能少的其他存储节点下载数据来修复节点。本文从码的长度、大小和局部性三个方面给出了码的最小距离的界。与以前的界限不同，我们的界限来自一个非常简单的分析，并取决于所使用的字母表的大小。事实证明，二进制单纯形码满足我们的界限与平等，因此单纯形码是第一个例子，一个最佳的二进制局部可修复的代码家庭。我们还提供了基于随机编码和级联码的可扩展性结果，这些结果在数值上被验证为接近我们的界限。
2015-03-26 cs.IT math.IT
Erasure Coding for Distributed Storage: An Overview
在分布式存储系统中，代码符号分散在节点或存储单元中的空间中，而不是时间。在诸如大型数据中心的设置中，重要的考虑因素是故障节点的有效修复。有效的修复需要擦除码，在面对节点故障时，擦除码在最小化通过网络传输的修复数据量、在帮助节点处访问的数据量以及所接触的帮助节点的数量方面是有效的。编码理论已经发展到通过引入两种新的擦除码来应对这些挑战，即再生码和局部可恢复码，以及提出修复无处不在的里德-所罗门码的新方法。本调查概述了过去十年在这方面所作的努力。
2018-06-12 cs.IT math.IT
Constructions of maximally recoverable local reconstruction codes via function fields
局部重构码（LRC）允许基于仅几个其它码字符号以局部方式从少量擦除恢复。最大可恢复（MR）LRC提供了这种局部和全局容错的最佳可能混合，保证从所有擦除模式中恢复，这些擦除模式在存在局部恢复组的情况下是信息理论上可校正的。在$(n,r,h,a)$ -LRC中，将$n$码字符号划分成$r$不相交组，每个不相交组包括能够局部校正$a$擦除的$a$局部奇偶校验。MR LRC最近受到了广泛的关注，许多显式的结构涵盖了不同的参数范围。不幸的是，所有已知的构造都需要在$h$或$a$中呈指数的大的场尺寸，并且感兴趣的是获得最小可能场尺寸的MR LRC。在这项工作中，我们开发了一种基于函数场的方法来构建MR LRC。我们的方法恢复，并在大多数参数制度改善，以前的方法的字段大小。例如，对于小$r \ll ε\log n$和大$h \ge Ω(n^{1-ε})$的情况，我们将字段大小从大致$n^h$改进为$n^{εh}$。对于$a=1$（一个局部奇偶校验）的情况下，我们提高了字段大小的平方从$r^{h(h+1)}$到$r^{h \lfloor (h+1)/2 \rfloor}$为一定范围的$r$。改进是适度的，但更重要的是通过一个有前途的新想法以统一的方式获得。
2018-08-14 cs.CC cs.DM cs.IT
New Bounds on the Field Size for Maximally Recoverable Codes Instantiating Grid-like Topologies
近年来，通过互联网创建和处理的数据量迅速增加，导致分布式存储系统采用基于纠删编码的方案。为了平衡相关故障的数据恢复和高效的编码和解码之间的平衡，采用最大可恢复代码的分布式存储系统应运而生。Gopalan等人的\cite{Gopalan2017}在理论和实践上统一了许多拓扑结构，开始了对网格拓扑结构的最大可恢复代码的研究。在本文中，我们专注于最大限度地恢复代码，实例化网格状的拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$。为了刻画这些拓扑的码的性质，我们引入了\emph{pseudo-parity check matrix}的概念.然后，使用组合零点法，我们建立了在拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$中实现最大可恢复性所需的字段大小的第一个多项式上界。并利用超图独立集方法，进一步改进了拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$的一般上界.通过将问题与$\mathbb{F}_q$中的广义\emph{Sidon sets}相关联，我们还获得了最大可恢复代码的字段大小的非平凡下界，该代码实例化拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$。
2019-02-19 cs.IT math.IT
Information locality of a quantum locally recoverable code
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文针对量子稳定子码提出量子信息局部性概念及对应线性代数方法，证明现有量子局部性定义高估删除纠正所需符号数，还给出经典信息局部性的量子转换低估该数值的实例。
2026-08-06 cs.IT math.IT quant-ph
Concatenated Raptor Codes in NAND Flash Memory
针对NAND闪存中的错误控制问题，提出了两种基于固定速率Raptor码的级联编码方案。一个是面向离线恢复不可纠正的页面，另一个是专为页面错误校正在正常读取模式。这两个建议的编码策略假设硬判决解码的内码与内部解码失败产生的外部猛禽码的擦除符号。Raptor码允许对非常长的码字进行低复杂度解码，同时为擦除信道提供接近容量的性能。对于离线页恢复方案，一个完整的NAND块形成Raptor码字，每个内部码字通常由几个Raptor符号组成。一个有效的查找表的策略，设计了猛禽编码和解码，避免使用大型缓冲区的控制器，尽管相当大的规模的猛禽代码。所提出的计划的潜在性能优势进行评估的概率块恢复条件下存在不可纠正的页面。另一方面，在所建议的页面错误校正策略中，使用硬决策迭代乘积码作为内码。在这项工作中采用的特定产品代码是基于行-列级联与多个交叉位，允许使用较长的组件代码。在这种设置中，在行-列代码的每个交叉点内捕获的位的集合充当Raptor符号，并且失败的行代码和列代码的交叉点被声明为擦除。出错率分析表明，相对于现有的基于长BCH码的纠错系统，该级联方案具有显著的性能提升.
2013-12-20 cs.IT math.IT
A family of codes with variable locality and availability
在这项工作中，我们提出了一类本地可恢复的代码，即代码的位置$P$的擦除可以从恢复集$R_P$的位置中的条目的知识中恢复。我们定义的类中的代码具有可用性，这意味着每个位置$P$都有几个不同的恢复集。而且，即使在恢复集合的某些位置中存在擦除的情况下，也可以恢复位置$P$处的条目，并且所支持的擦除的数量可以在各种恢复集合之间变化。
2021-07-28 cs.IT math.AG math.IT
Quantum Hierarchical Locally Recoverable Codes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Simons Institute for the Theory of Computing（西蒙斯计算理论研究所）；Fujitsu Research of America, Inc.（富士通美国研究院）
本文研究量子局部可恢复码(QLRC)的分层扩展，提出(r,δ) QLRC和h层QHLRC的随机与显式构造，并给出量子Tamo-Barg码的有效译码算法及Singleton-like界。
2026-07-09 cs.IT math.IT
Alphabet-Dependent Bounds for Pure Quantum $(r,ρ)$-Locally Recoverable Codes
International Institute of Information Technology（印度信息技术国际学院）
本文针对纯量子$(r,ρ)$局部可恢复码，通过Hermitian CSS构造推导了三个字母相关的上界，确立了其渐近层级关系并明确了各界的最严格约束区域，解决了现有与字母无关的界在中小维度时宽松的问题。
2026-09-01 cs.IT math.IT quant-ph
Entanglement-assisted quantum locally recoverable codes: bounds and constructions with availability
Fujitsu Research of America, Inc.（富士通美国研究院）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本研究定义了具有可用性的纠缠辅助量子局部可恢复码，建立了其类Singleton界，基于经典线性码给出随机构造，并从Tamo-Barg等经典码族给出显式构造，证明共享纠缠可支持多个局部恢复集。
2026-11-11 cs.IT math.IT quant-ph
Bounds for Pure Disjoint $(r,δ)$-Quantum Locally Recoverable Codes
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文针对无稳定器结构的纯不交 $(r,δ)$-量子局部可修复码，提出局部恢复条件与权枚举器，推导类 Singleton 界和码维上界，为该类码的研究提供新方法。
2026-08-12 cs.IT math.IT quant-ph
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Characterizations, Bounds, and Constructions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
该研究针对量子局部可恢复码的约束限制，引入纠缠辅助量子局部可恢复码（EAQLRCs），建立其界与构造框架，得到首批明确的EAQLRCs最优码族。
2026-07-30 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes for Grid-like Topologies
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。然而，在实践中使用的代码相当短。在这项工作中，我们解决我们认为是主要的编码理论障碍，部署较长的代码存储：在大的长度，故障是不独立的，相关的故障是不可避免的。这促使设计即使在大的相关故障之后也允许快速数据恢复的代码，并且具有有效的编码和解码。我们建议将分布式存储的代码设计视为两步过程。第一步是选择代码的拓扑，它包含了需要处理的相关故障的知识，并确保从这些故障中进行本地恢复。在第二步中，通过从有限域中选择系数来指定具有所选拓扑的代码。在该步骤中，试图平衡可靠性（其在较大的字段上更好）与编码和解码效率（其在较小的字段上更好）。这项工作开始深入研究这种可靠性/效率的权衡。我们认为，实现最大的可恢复性所需的字段大小：最强的可靠性可能与给定的拓扑结构。我们提出了一个家庭的拓扑结构称为网格状拓扑结构，统一了一些拓扑结构，在理论和实践中考虑，并证明了收集的结果最大限度地恢复代码在这样的拓扑结构，包括第一个超多项式下界的字段大小。
2016-09-20 cs.IT math.IT
A Function Field Approach Toward Good Polynomials for Further Results on Optimal LRC Codes
由于最近在分布式存储系统中的应用，研究人员引入了一类新的分组码，即，本地可恢复（LRC）代码LRC码可以通过访问少量的无擦除码符号来恢复擦除信息，并提高大规模分布式存储系统中修复过程的效率。在这种情况下，Tamo和Barg首先通过巧妙地引入一个好的多项式概念而取得了突破。构造良好的多项式的局部可恢复的代码实现Singleton型界（称为最优码）是具有挑战性的，近年来引起了极大的关注。这篇文章的目的是增加我们的知识，良好的多项式的最佳LRC码。使用代数函数场和伽罗瓦理论的工具，我们继续研究这些多项式，并通过开发Micheli在2019年发起的伽罗瓦理论方法来研究它们。具体来说，我们进一步推动了一个关键参数$\mathcal G(f)$（一个给定的多项式$f$），它的措施有多少多项式是“好”的LRC码的意义上的研究。给出了具有极小伽罗瓦群的多项式的一些特征，并证明了存在具有特定规模伽罗瓦群的多项式的有限域的一些性质。我们还提出了一些明确的形状多项式与小伽罗瓦群。对于某些特殊的多项式$f$，我们给出了$\mathcal G(f)$的精确公式.
2022-03-16 cs.IT math.IT
Quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Universidad de Jaén（哈恩大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文提出量子$(r,δ)$-局部可恢复码，研究其构造条件及与经典码的等价性，并给出单边界及实例。
2025-12-30 cs.IT math.IT quant-ph
Trajectory Codes for Flash Memory
闪存因其固有的不对称性而众所周知：闪存单元的电荷水平容易增加但难以降低。在一般的重写模型中，存储的数据以某些模式改变其值。数据更新的模式由数据结构和应用确定，并且与存储介质所施加的约束无关。因此，需要适当的编码方案，以便在存储介质的约束下有效地更新和存储数据变化。在本文中，我们定义了一般的重写问题，使用图模型。它扩展了许多已知的重写模型，如浮动代码，WOM代码，缓冲区代码等，我们提出了一种新的重写方案，为闪存，称为轨迹代码，重写存储的数据尽可能多的时间没有块擦除。我们证明了轨迹代码是渐近最优的，在广泛的情况下。我们还提出了随机重写代码优化预期的性能（任意重写序列）。我们的重写代码是渐近最优的。
2010-12-24 cs.IT math.IT
Optimal pure quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes from matrix-product construction
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Institut Universitari de Matemàtiques i Aplicacions de Castelló（卡斯特利翁数学与应用大学研究所）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）；IMUVA-Mathematics Research Institute（IMUVA数学研究所）
本文针对量子存储的删除错误修复需求，以矩阵积码为基础，构造出满足类Singleton界的最优纯量子$(r,δ)$-局部可修复码族，为量子存储系统提供了高效的纠错方案。
2026-08-25 cs.IT math.IT
Rewriting Flash Memories by Message Passing
为了解决闪存的可靠性和持久性问题，构造了一种结合重写和纠错的WOM码。我们认为重写模型，是闪存应用程序的实际利益，只有第二次写入使用WOM代码。我们的WOM码构造基于LDGM码的二进制擦除量化，其中重写使用消息传递，并且在实践中具有与LDPC码共享高效硬件实现的潜力。我们表明，编码方案实现的重写模型的能力。大量的仿真结果表明，我们的方案的重写性能媲美极性WOM码的速率区域，需要高的重写成功概率。我们进一步增强我们的编码方案的纠错能力。通过绘制一个连接的共轭码对研究的背景下，量子纠错，我们开发了一个通用的框架，用于构建纠错WOM码。在这个框架下，我们给出了一个明确的WOM码的结构，其码字包含在BCH码。
2015-02-01 cs.IT math.IT
New Constructions of SD and MR Codes over Small Finite Fields
数据存储应用需要在数据符号和冗余符号之间具有规定的依赖性集合的擦除校正码。最常见的布置是将$k$数据符号和$h$冗余符号（每个都取决于所有数据符号）划分成多个不相交的组，其中对于每个组，分配存储该组中所有符号的奇偶校验的附加（本地）冗余符号。如果上述代码校正了在给定依赖性约束的情况下理论上可校正的信息的所有擦除模式，则该代码是最大可恢复的。SD码提供的保证稍弱。在MR和SD码的设计中的一个关键考虑因素是作为码的基础的有限域的大小，因为使用小的有限域便于编码和解码操作。在本文中，我们提出了新的显式结构的SD和MR码在小有限域上。
2016-05-08 cs.IT math.IT
