Improved Constructions and Lower Bounds for Maximally Recoverable Grid Codes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Microsoft Research（微软研究院）
本文提出改进的极大可恢复网格码构造，适用于大$n$和常数$m,h$的场景，提供多项式域大小的构造和下界。
2026-02-05 cs.IT math.IT
On Locally Recoverable (LRC) Codes
我们提出了简单的最佳纠删LRC码的结构，展示他们的奇偶校验矩阵。当奇偶校验组中的局部奇偶校验的数量加上全局奇偶校验的数量小于奇偶校验组的大小时，构造的码是最优的，其字段的大小至少为码的长度。当全局奇偶校验的数量等于奇偶校验组中局部奇偶校验的数量加1时，我们可以将字段的大小至少减少到奇偶校验组的大小。
2015-12-18 cs.IT math.IT
Moment-based linear programming bounds for locally recoverable codes
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文提出基于矩的新型Delsarte型线性规划界，适用于各类(r,δ)-局部可恢复码，在二元、三元字母表上的计算显示其可强化现有界。
2026-08-07 cs.IT math.CO math.IT
On Partial Maximally-Recoverable and Maximally-Recoverable Codes
一个[n，k]线性码C受到由奇偶检验矩阵H0施加的局部性约束，如果它可以从H0的零空间的某个k维子码可以从其恢复的任何擦除模式中恢复，则该线性码C被称为最大可恢复（MR）码。本文的重点是限制MR码具有全符号局部性r。鉴于它是具有挑战性的，以构建MR码具有小字段大小，我们目前的结果在两个方向。在第一个，我们放松MR约束，只需要除了要求是一个最佳的所有符号的局部代码，代码必须产生MDS码时，打孔在一个单一的，特定的模式，确保每个本地代码被打孔正好在一个坐标，没有两个本地代码共享相同的打孔坐标。我们将这些代码称为部分最大可恢复（PMR）代码。我们提供了一个简单的高速率PMR码的建设，然后提供了一个普遍的，有前途的方法，需要进一步调查。在第二个方向，我们提出了三个结构的MR码与改进的参数，主要是规模的有限域中采用的建设
2015-01-28 cs.IT math.IT
Formal Foundations and Proof-Carrying Certificates for q-ary Covering Codes in Lean 4
Deutsche Telekom AG（德国电信）
本文在Lean 4中形式化了q元覆盖码的基础理论，包括汉明球体积公式、球覆盖下界等，并展示了端到端的工作流程以验证显式上界，贡献了一个可重用、可审计的机器校验覆盖码证书基础。
2026-06-08 cs.IT math.IT
Optimal quaternary $(r,δ)$-Locally Recoverable Codes: Their Structures and Complete Classification
针对多个节点并发故障时的数据恢复问题，将具有局部性$r$的线性$r$-LRC码扩展为具有局部性$(r, δ)$的$(r, δ)$-LRC码，使其能够在多个节点故障的情况下实现故障节点的局部恢复.最优LRC码是指其参数达到广义Singleton界且具有相等性的码。在本文中，我们感兴趣的是研究最佳LRC码在小域上，更准确地说，在$\mathbb{F}_4$。我们将采用一种方法，通过研究最佳的四元$(r,δ)$ -LRC码，通过他们的奇偶校验矩阵。我们的研究包括确定最佳的$(r,δ)$ -LRC码的结构特性，它们的构造，以及通过浏览所有可能的参数对$\F_4$的完全分类。我们强调，最佳四元$(r,δ)$ -LRC码的精确结构及其分类是通过奇偶校验矩阵方法使用证明技术获得的，该证明技术不同于Hao等人在[IEEE Trans. Inf. Theory，2020，66（12）：7465-7474]中获得的最近用于最佳二进制和三进制$(r,δ)$ -LRC码的证明技术。
2022-02-21 cs.IT math.IT
Bounds and Constructions of Locally Repairable Codes: Parity-check Matrix Approach
$q$元$(n,k,r)$局部可修复码（LRC）是在$\mathbb{F}_q$上的$[n,k,d]$线性码，使得每个码符号可以通过访问至多$r$其它码符号来恢复。著名的类Singleton界表示$d \le n-k-\lceil k/r\rceil +2$，如果LRC达到这个界，就说它是最优的。本文从奇偶检验矩阵的角度研究了LRC的界和构造。首先，提出了一种基于奇偶检验矩阵的简单统一的LRC边界分析框架。得到了关于$q$元最优LRC的几个有用的结构性质。我们得到了一个上界的最小距离$q$ -ary最佳$(n,k,r)$ -LRC的字段大小$q$。然后，我们重点研究二元域上最优LRC的构造。证明了最优二元$(n,k,r)$ -LRC存在的可能参数只有5类。此外，通过采用建议的奇偶检验矩阵的方法，我们完全列举了所有这5类可能的最佳二进制LRC达到的Singleton的意义上的线性码的等价的限制。
2019-10-22 cs.IT math.IT
Irregular Recovery and Unequal Locality for Locally Recoverable Codes with Availability
如果一个代码的每个坐标都可以从多个不相交的坐标集合（称为恢复集合）中恢复出来，则该代码被称为具有可用性的局部可恢复代码（LRC）。坐标的恢复集的大小的向量被称为其恢复轮廓。在这项工作中，我们考虑了两种不同设置下的可用性LRC：（1）不规则恢复：对于所有坐标保持固定的非恒定恢复曲线，（2）不平等的位置：可以随坐标变化的规则恢复曲线。对于每一个设置，我们推导出的最小距离，概括以前已知的边界的情况下，不规则或不同的恢复配置文件的界限。对于定期和固定的恢复配置文件的情况下，我们表明，一个特定的塔莫-巴格多项式的评估建设是最佳的所有符号的地方，我们提供的奇偶校验矩阵结构的信息局部性与可用性。
2017-05-14 cs.IT math.IT
A construction of Maximally Recoverable LRCs for small number of local groups
本文提出一种在较小有限域上构造最大可恢复局部重建码（MR LRCs）的新方法，推广了Hu和Yekhanin的构造，适用于局部组数量较少的实际场景，提高了容错与存储效率。
2023-05-11 cs.IT math.IT
Lower Bounds for Maximally Recoverable Tensor Code and Higher Order MDS Codes
$(m,n,a,b)$张量码由列满足“$a$”奇偶校验并且行满足“$b$”奇偶校验的$m\times n$矩阵组成（即，张量码是列码和行码的张量积）。张量码在分布式存储中很有用，因为单个擦除可以通过读取其行或列来快速纠正。最大可恢复（MR）张量码，由Gopalan等人提出，是张量码，其可以校正理论上可能校正的信息的每个擦除模式。关于MR张量码的主要问题是描述哪些擦除模式是可纠正的，以及在小域上获得显式的构造。在本文中，我们研究了当$a=1$，即，列满足单个奇偶校验等式。我们引入高阶MDS码（MDS $(\ell)$码）的概念，这是一个有趣的推广著名的MDS码，其中$\ell$捕获的低维空间中的点的泛型顺序。然后证明了具有$a=1$的张量码是MR的当且仅当行码是MDS $(m)$码.然后，我们证明了MDS $(m)$码满足一些弱对偶。利用这个特征和对偶性，我们证明了$(m,n,a=1,b)$张量码需要大小为$q=Ω_{m,b}(n^{\min\{b,m\}-1})$的场.我们的下界也扩展到设置的$a>1$。我们还给出了一个确定性的多项式时间算法来检查是否一个给定的擦除模式是可纠正的MR张量代码（当$a=1$）。
2022-12-02 cs.CC cs.IT math.IT
New Bounds on the Field Size for Maximally Recoverable Codes Instantiating Grid-like Topologies
近年来，通过互联网创建和处理的数据量迅速增加，导致分布式存储系统采用基于纠删编码的方案。为了平衡相关故障的数据恢复和高效的编码和解码之间的平衡，采用最大可恢复代码的分布式存储系统应运而生。Gopalan等人的\cite{Gopalan2017}在理论和实践上统一了许多拓扑结构，开始了对网格拓扑结构的最大可恢复代码的研究。在本文中，我们专注于最大限度地恢复代码，实例化网格状的拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$。为了刻画这些拓扑的码的性质，我们引入了\emph{pseudo-parity check matrix}的概念.然后，使用组合零点法，我们建立了在拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$中实现最大可恢复性所需的字段大小的第一个多项式上界。并利用超图独立集方法，进一步改进了拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$的一般上界.通过将问题与$\mathbb{F}_q$中的广义\emph{Sidon sets}相关联，我们还获得了最大可恢复代码的字段大小的非平凡下界，该代码实例化拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$。
2019-02-19 cs.IT math.IT
A Fresh Look at Coding for q-ary Symmetric Channels
本文研究了基于二进制低密度奇偶校验（LDPC）码的$q$ -ary对称信道的编码方案，该码适用于任何字母表大小的$q=2^m$，$m\in\mathbb{N}$，从而补充了最近提出的一些基于分组的方案，需要大的$q$。首先，一个简单的分层方案的理论最优性，然后提出了一个实用的编码方案的基础上的一个简单的修改标准的二进制LDPC解码。该解码器是从第一原理导出的，并且使用前端的因子图表示，该前端将$q$元符号映射到连接到二进制码的$m$比特组。在$m=\log_2 q$中，前端的处理复杂度是线性的。外部信息传递图的分析进行，并用于代码优化。最后，它示出了如何相同的解码器结构也可以被应用到一个更大的类的$q$ ary通道。
2011-12-06 cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
在本文中，局部可恢复码（LRC）是指一种线性码，其中给定的码符号可以通过取至多$r$个其它码符号与$r << k$的线性组合来恢复。一种自然的扩展是局部恢复一组$t$擦除符号。已经提出了几种用于处理多个擦除的方法。这里考虑的方法是顺序恢复的方法之一，这意味着$t$擦除的符号被连续地恢复，每次最多接触$r$其它符号以帮助恢复。在每个被擦除的符号通过最多接触$r$其它代码符号可恢复的约束下，这种方法是最通用的，因此提供了最大可能的码率。我们的特点的最大可能率的LRC与顺序恢复任何$r \geq 3$和$t$。我们这样做，首先推导出一个上限的码率，然后继续构建一个{ \em二进制}代码，达到这个最佳的速率。这里得出的上限证明了一个猜想有关的结构（但不是确切的形式）的速率界限。我们的方法还允许我们推导出一个速率最优的LRC与顺序恢复的奇偶校验矩阵的结构。奇偶校验矩阵又导致代码的图形描述。具有达到这里导出的上界的速率的二进制码的构造利用该描述。有趣的是，事实证明，速率和块长度都是最优的二进制码的子类对应于称为摩尔图的图，摩尔图是对于给定围长具有最小顶点数的正则图。文中还与Tornado码进行了联系。
2018-12-06 cs.IT math.IT
On Maximally Recoverable Codes for Product Topologies
给定局部奇偶校验约束的拓扑结构，最大可恢复码（MRC）可以纠正所有信息理论上可纠正的擦除模式。在网格状拓扑中，在形成列代码的每一列中存在$a$局部约束，在形成行代码的每一行中存在$b$局部约束，并且在码字的$(m \times n)$网格中存在$h$全局约束。最近，Gopalan等人发起了网格拓扑下的MRC的研究，并导出了当$a=1, h=0$时擦除模式可恢复的充要条件，称为正则性条件。在本文中，我们考虑MRCs的产品拓扑（$h=0$）。首先，我们基于满足乘积拓扑正则性条件的擦除模式（任意$a, b$，$h=0$）构造了一个二部图，并证明了该图中存在完全匹配.然后，我们提出了一个替代的充分条件时，$a=1, h=0$的直接证明。我们后来扩展我们的技术来研究$a=2, h=0$的拓扑结构，并在这种情况下，可恢复的擦除模式的子集的特征。对于两个$a=1, 2$，我们的证明方法是统一的，即，通过构造列和行代码的生成矩阵的张量积$G_{\text{col}} \otimes G_{\text{row}}$，使得某些正方形子矩阵保持满秩。满秩条件证明诉诸匹配确定较早，也在擦除子模式的另一组匹配。
2018-01-10 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable LRCs: A field size lower bound and constructions for few heavy parities
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。局部重建码（LRC）已成为这些应用的首选码。这些代码可以通过只访问少量的剩余坐标来纠正少量的擦除。$(n,r,h,a,q)$是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为各自大小为$r$的$g=n/r$局部组.它具有$h$全局奇偶校验，每个本地组具有$a$本地奇偶校验。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它纠正所有擦除模式，这是信息理论上可纠正的规定结构下的本地和全局奇偶校验。我们展示了MR LRC所需的字段大小的第一个非平凡的下界。当$a,h$是恒定的和本地组$g \ge h$的数量，而$r$可能会增长与$n$，我们的下限简化为$q\ge Ω_{a,h}\left(n\cdot r^{\min\{a,h-2\}}\right).$没有超线性（在$n$）的下限是已知的任何参数设置之前，这项工作。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，通常为$h=2,3$。我们补充我们的下限，给出小字段大小的$h\le 3$的建设。对于$h=2$，我们给出了一个线性域大小的构造。我们还展示了一个令人惊讶的应用椭圆曲线和算术级数自由集的建设MR LRC。
2018-11-15 cs.CC cs.IT math.IT
LDPC Codes over the q-ary Multi-Bit Channel
在本文中，我们介绍了一种新的信道模型，我们称之为q元多比特信道（QMBC）。该通道模拟存储器设备，其中q进制符号（q=2^s）以电流/电压电平的形式存储。在测量过程中读取符号，该测量过程在每个测量步骤中提供从最高有效位开始的符号位。当不是所有的符号位都是已知的时，发生错误事件。为了处理这种错误事件，我们使用GF（q）低密度奇偶校验（LDPC）码，并分析其解码性能。我们开始与迭代解码阈值分析，并获得最佳的边缘标签分布最大化的解码阈值。稍后，我们移动到有限长度的迭代解码分析，并提出了一个边缘标记算法，以提高解码性能。然后，我们提供了有限长度的最大似然解码分析标准的非二进制随机合奏和LDPC合奏。最后，我们通过仿真证明，所提出的边缘标记算法提高了数量级的有限长度的解码性能。
2017-06-28 cs.IT math.IT
Performance Comparison of LDPC Block and Spatially Coupled Codes over GF(q)
在本文中，我们比较了基于原模图的空间耦合低密度奇偶校验（SC-LDPC）码和LDPC分组码（LDPC-BC）在有限长度GF（q）上的性能。为了减少计算复杂性和延迟，滑动窗口解码器的停止规则的基础上的软误码率（BER）估计用于q元SC-LDPC码。考虑了两种制度：一种是当q元SC-LDPC码的约束长度等于q元LDPC-BC的块长度时，另一种是当两个解码长度相等时。仿真结果证实，在这两种情况下，（3，6）-、（3，9）-和（3，12）-正则非二进制SC-LDPC码的性能明显优于二进制和非二进制LDPC-BC以及二进制SC-LDPC码。最后，我们给出了一个计算复杂性比较的q元SC-LDPC码和q元LDPC-BC在相同的解码延迟和相同的解码性能的假设。
2014-08-12 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Characterizations, Bounds, and Constructions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
该研究针对量子局部可恢复码的约束限制，引入纠缠辅助量子局部可恢复码（EAQLRCs），建立其界与构造框架，得到首批明确的EAQLRCs最优码族。
2026-07-30 cs.IT math.IT
Entanglement-assisted quantum locally recoverable codes: bounds and constructions with availability
Fujitsu Research of America, Inc.（富士通美国研究院）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本研究定义了具有可用性的纠缠辅助量子局部可恢复码，建立了其类Singleton界，基于经典线性码给出随机构造，并从Tamo-Barg等经典码族给出显式构造，证明共享纠缠可支持多个局部恢复集。
2026-08-12 cs.IT math.IT quant-ph
Iterative Decoding of LDPC Codes over the q-ary Partial Erasure Channel
在本文中，我们开发了一种新的信道模型，我们命名为$q$ -ary部分擦除信道（QPEC）。QPEC有一个$q$元输入，其输出是输入符号或一组包含输入符号的$M$（$2 \le M \le q$）符号。该信道用作二进制擦除信道的一般化，并且模仿当从信道输出的符号仅部分已知时的情况，即，输出符号包含一些模糊性，但未被完全擦除。这种类型的通道由非易失性存储器多级读取通道驱动。在这样的通道中，通过一系列电流/电压测量来获得读出，其可以以存储电平的部分知识终止。我们的调查是集中在低密度奇偶校验（LDPC）码的性能时，在这个信道上使用，由于其低解码复杂度，使用置信传播。我们提供了精确的QPEC密度演化方程的解码过程中，并建议作为代理基数为基础的近似。然后，我们提供了几个边界和近似的代理密度演化，并通过数值实验验证其紧密性。最后，我们提供的工具，用于实际设计的LDPC码的QPEC。
2016-05-24 cs.IT math.IT
A Class of $(n, k, r, t)_i$ LRCs Via Parity Check Matrix
如果每个信息坐标可以由至少$t$不相交的修复集来实现，并且最多包含$r$其他坐标，则代码被称为$(n, k, r, t)$信息符号局部可修复代码\big（$(n, k, r, t)_i$ LRC \big）。本文考虑一类$(n, k, r, t)_i$ LRC，其中每个修复集只包含一个奇偶坐标。我们探索的标准奇偶检验矩阵的系统代码。首先，通过与隶属度矩阵和码的最小距离最优性的关系，提出了奇偶检验矩阵的一些结构特征。接下来，放置基于奇偶检验矩阵的与代码相关联的各种界限的证明。除此之外，我们提供了几个最佳的$(n, k, r, t)_i$ LRC的建设，与有限域的两个凯莱表的帮助。最后，我们将$q$ -元$(n, k, r)$ LRC的一个结果推广到$q$ -元$(n, k, r, t)$ LRC.
2022-08-24 cs.DM cs.IT math.IT
A class of $p$-ary cyclic codes and their weight enumerators
设$m$，$k$是正整数，使得$\frac{m}{\gcd(m,k)}\geq 3$，$p$是奇素数，$π$是$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元.令$h_1(x)$和$h_2(x)$分别是$-π^{-1}$和$π^{-\frac{p^k+1}{2}}$在$\mathbb{F}_p$上的最小多项式。在$\frac{m}{\gcd(m,k)}$为奇数、$k$为偶数、$\gcd(m,k)$为奇数或$\frac{k}{\gcd(m,k)}$为奇数的情况下，Zhou等人在\cite{zhou}中得到了一类循环码$\mathcal{C}$在$\mathbb{F}_p$上的具有奇偶校验多项式$h_1(x)h_2(x)$的重量分布.本文进一步研究了$\mathbb{F}_p$上的这类循环码$\mathcal{C}$在其余情况为奇数$\frac{m}{\gcd(m,k)}$和偶数情况为$\frac{m}{\gcd(m,k)}$的情形.此外，我们确定了循环码$\mathcal{C}$的重量分布。
2014-07-08 cs.IT math.IT
EBP-GEXIT Charts for M-ary AWGN Channel for Generalized LDPC and Turbo Codes
本文提出了一种基于扩展的置信传播广义外信息传递近似的稀疏图码集合最大后验概率（MAP）阈值的估计方法（EBP-GEXIT）函数，首先提出的Measson等人。我们认为传输非二进制复杂-输入加性高斯白噪声信道，并扩展现有的结果，得到一个表达式的GEXIT函数。我们估计的MAP阈值应用麦克斯韦建设所获得的近似EBP-GEXIT图表的各种家庭的低密度奇偶校验（LDPC），广义LDPC，双广义LDPC，和串行级联Turbo码（SC-TC）。当使用格雷映射调制SC-TC的码字时，我们还探索了空间耦合的置信传播（BP）阈值相对于先前计算的MAP阈值的位置。数值结果表明，空间耦合SC-TC的BP阈值确实饱和到由EBP-GEXIT图获得的MAP阈值。
2021-03-10 cs.IT math.IT
Digit-Indexed q-ary SEC-DED Codes with Near-Hamming Overhead
本文提出了一种基于数字索引的q元SEC-DED码，通过近汉明开销和简洁结构实现高效解码，同时支持可变长度编码和三元距离4变种。
2025-12-02 cs.IT math.CO math.IT
Maximally recoverable local reconstruction codes from subspace direct sum systems
最大可恢复局部重建码（简称MR LRC）在过去几年中受到了极大的关注。在文献中已经提出了各种结构。本课题的主要目的是在小范围内构造磁流变LRC。$(N=nr,r,h,\Gd)$ -MR LRC是长度为$N$的有限域$\F_\ell$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n$局部组。每个本地组可以修复任何$\Gd$擦除错误，并且还有进一步的$h$全局奇偶校验，以提供来自更多全局擦除模式的容错。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，例如$h=O(1)$。在此参数设置中，所有以前的构造都需要字段大小$\ell =Ω_h (N^{h-1-o(1)})$。提高这一界限仍然具有挑战性。本文利用子空间直和系统，构造了场大小为$\ell= O(N^{h-2+\frac1{h-1}-o(1)})$的MR LRC。特别是，对于最有趣的情况下，其中$h=2,3$，我们改善以前的建设，无论是减少字段大小或删除约束。此外，我们还提供了一些结构的MR LRC更大的全球奇偶校验$h$，具有字段大小与已知的上限无法比拟。本文所使用的主要技术是通过我们介绍的子空间直和系统。有趣的是，子空间直和系统实际上等价于扩张域上的$\F_q$ -线性码。基于子空间直和系统的各种构造，我们能够构造几类MR LRC。
2021-11-05 cs.IT math.IT
Cyclic and convolutional codes with locality
局部可恢复（LRC）码及其变体近年来得到了广泛的研究。本文主要研究LRC码的循环构造，并推导出LRC码的零点满足分层局部性的条件。其结果是，我们得到了一个一般家庭的分层LRC码的一个新的范围内的代码参数。我们还观察到，我们的方法使人们能够表示准循环形式的LRC码，并使用这种表示构造咬尾卷积LRC码的局部性。在其他结果中，我们扩展的一般方法，循环码的地方多维循环码，产生新的家庭的LRC码的可用性，并构建一个家庭的q元循环分层LRC码的无限长度。
2020-04-14 cs.IT math.IT
Design of Spatially Coupled LDPC Codes over GF(q) for Windowed Decoding
在本文中，我们考虑了推广的二进制空间耦合低密度奇偶校验（SC-LDPC）码有限域GF $(q)$，$q\geq 2$，并制定规则的$q$ -ary SC-LDPC码的合奏基于其迭代置信传播（BP）解码阈值，特别强调低延迟窗口解码（WD）。我们认为传输的二进制擦除信道（BEC）和二进制输入加性高斯白噪声信道（BIAWGNC）和各种$(J,K)$ -经常SC LDPC码集成GF $(q)$使用原模图构建的结果。使用$q$元密度演化（对于BEC）和$q$元外部信息传递分析（对于BIAWGNC）的原型图版本计算保留值。我们表明，WD的$q$ -ary SC-LDPC码提供了显着的阈值增益相比，相应的（非耦合）$q$ -ary LDPC块码（LDPC-BC）的合奏时，窗口大小$W$是足够大的，这些增益增加的有限字段大小$q=2^m$的增加。此外，我们证明了新的设计规则提供WD阈值接近容量，即使$m$和$W$都相对较小（从而降低解码复杂度和延迟）。分析进一步表明，与标准的并行调度解码相比，$q$元SC-LDPC码系综的WD导致解码复杂度和解码延迟的显著降低，并且这些降低随着$m$的增加而增加。对于具有近阈值性能要求和对解码延迟的约束的应用，我们表明，使用$q$ -ary SC-LDPC码系综，具有适度的$q>2$，而不是它们的二进制对应物，从而降低了解码复杂度。
2014-11-17 cs.IT math.IT
Constructions of maximally recoverable local reconstruction codes via function fields
局部重构码（LRC）允许基于仅几个其它码字符号以局部方式从少量擦除恢复。最大可恢复（MR）LRC提供了这种局部和全局容错的最佳可能混合，保证从所有擦除模式中恢复，这些擦除模式在存在局部恢复组的情况下是信息理论上可校正的。在$(n,r,h,a)$ -LRC中，将$n$码字符号划分成$r$不相交组，每个不相交组包括能够局部校正$a$擦除的$a$局部奇偶校验。MR LRC最近受到了广泛的关注，许多显式的结构涵盖了不同的参数范围。不幸的是，所有已知的构造都需要在$h$或$a$中呈指数的大的场尺寸，并且感兴趣的是获得最小可能场尺寸的MR LRC。在这项工作中，我们开发了一种基于函数场的方法来构建MR LRC。我们的方法恢复，并在大多数参数制度改善，以前的方法的字段大小。例如，对于小$r \ll ε\log n$和大$h \ge Ω(n^{1-ε})$的情况，我们将字段大小从大致$n^h$改进为$n^{εh}$。对于$a=1$（一个局部奇偶校验）的情况下，我们提高了字段大小的平方从$r^{h(h+1)}$到$r^{h \lfloor (h+1)/2 \rfloor}$为一定范围的$r$。改进是适度的，但更重要的是通过一个有前途的新想法以统一的方式获得。
2018-08-14 cs.CC cs.DM cs.IT
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
2022-05-18 cs.CC cs.IT math.IT
Optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ via cyclic codes
与经典分组码一样，局部可修复码也服从Singleton型界（如果局部可修复码达到Singleton型界，则称其为{ \it optimal}）。在\cite{TB14}的突破性工作中，利用Reed-Solomon码的子码构造了几类最优局部可修码。因此，在\cite{TB14}中给出的代码长度的上限是代码字母表大小$q$。最近，通过对\cite{TB14}构造的扩展，证明了在\cite{JMX17}中，$q$元最优局部可修码的长度可以是$q+1$.令人惊讶的是，\cite{BHHMV16}给出了几个小距离和局部的$q$ -ary最优局部可修复码的例子，其码长大致达到$q^2$。最近，在\cite{LMX17}中进一步证明了存在$q$元最优局部可修码，其长度大于$q+1$，距离命题为$n$ .因此，构造新的$q$元最优局部可修码族，使其长度大于$q+1$，成为一个有趣而具有挑战性的问题.本文构造了一类距离为$3$和$4$且长度为无界的最优局部可修码（即，代码的长度与代码字母表大小无关）。我们的技术是通过循环码与特定的生成器和奇偶校验多项式，仔细选择。
2018-01-11 cs.IT math.IT
A $q$-ary Local Criterion for the Radius-One Limited Permutation Channel and Almost-Optimal Binary Block-Concatenation Codes
Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；MIGAL – Galilee Research Institute/Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（MIGAL-加利利研究所/基里亚特什莫纳和加利利的泰尔海大学）
针对半径一受限置换信道，提出 $q$ 元两阶段局部准则用于验证无错误块级联码，在二元情形下构造了速率达 0.653618 的码，逼近已知上界 2/3，并证明该准则在渐近意义下无速率损失。
2026-06-26 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Bounds, Optimal Constructions, and Achievability
International Institute of Information Technology（印度国际信息技术学院）
本文研究无需对偶包含的类CSS EA-qLRC，推导其各类参数界，给出等号达类Singleton界的条件，构造Tamo–Barg与循环码族的EA-qLRC，补充两个可达性界并统一所有界，明确循环码族可产生最优码。
2026-08-10 cs.IT math.IT
Short Non-Binary Low-Density Parity-Check Codes for Phase Noise Channels
本文研究了在有相位噪声的信道中，m阶有限域上短非二进制低密度奇偶检验（LDPC）码的设计问题。具体地，在具有维纳相位噪声的加性高斯白噪声（AWGN）信道上发送m进制差分相移键控（DPSK）调制的代码符号。在接收器侧，在多符号检测算法的帮助下进行非相干检测，随后是非二进制解码步骤。检测器和解码器都在联合因子图上操作。作为一个基准，有限长度的界限和信息速率表达式的计算和码字的出错率（CER）的性能，以及迭代阈值得到的代码进行比较。因此，性能在1：2 dB内从有限长度的界限获得，下降到CER的1 e-3。
2019-08-07 cs.IT math.IT
Non-binary LDPC codes for Data Storage
University of Tartu（塔尔图大学）
本文研究q元域上非二进制LDPC码在q元擦除信道中的性能，引入终极距离概念，推导随机编码界，并提出寻找终极距离和最小距离的算法，构造达到终极距离的码例。
2026-05-27 cs.IT math.IT
Multi-View Block Distance Distributions and Linear Programming Bounds for Locally Recoverable Codes with Availability
本文提出多视图线性规划框架，用于具有可用性的局部可恢复码，通过四块距离分布给出更紧的界，并证明三个具体参数下的最大码大小。
2026-10-01 cs.IT math.CO math.IT
Systematic Codes Correcting Two Deletions with Three Redundant Symbols over Large Alphabets
Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（特尔海基里亚特谢莫纳和加利利大学）；MIGAL–Galilee Research Institute（米加尔-加利利研究所）
本文提出大字母表上纠正两次删除的系统码，用三个冗余符号达到下界，支持多项式时间编解码，并给出相邻突发删除的闭式构造。
2026-10-22 cs.IT math.IT
Additive Conjucyclic Codes over $\F_{q^2}$: Trace Correspondence and Applications to Quantum Codes
Dongguan University of Technology（东莞理工学院）；Air Force Engineering University（空军工程大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文通过建立迹基的线性同构，将二元加法共轭循环码与二元线性循环码联系起来，从而统一并推广了之前关于四元加法共轭循环码的研究，并提出从加法共轭循环码构造q-ary量子纠错码的方法。
2026-03-28 cs.IT math.IT
Binary Multiple-Node-Erasure-Correcting Codes over Complete Graphs: Constructions, q-Ary Metric Balls, and Duality
Tel-Hai University of Kiryat Shmona in the Galilee（加利利基里亚特什莫纳泰尔海大学）；MIGAL–Galilee Research Institute, Kiryat Shmona, Israel（以色列基里亚特什莫纳米格尔-加利利研究所）
该研究针对完全图上的二元多节点删除纠正码，扩展循环构造并推导相关度量球公式，得到特定参数下的最优码及对偶性结果。
2026-10-01 cs.IT math.CO math.IT
Lectures on DNA Codes
对于$q$ -ary $n$ -序列，我们发展了相似性函数的概念，该相似性函数可用于（对于$q=4$）对DNA序列的热力学相似性建模。相似性函数由两个$q$元$n$序列之间的最长公共子序列的长度来标识。基于相似性函数的代码被称为DNA代码。DNA代码是生物分子计算和采用DNA杂交分析的其他生物技术应用中的重要组成部分。课堂讲稿的主要目的是讨论最佳DNA编码率的下限，对于生物学上的相似性函数，称为块相似性，以及对于纠错码理论中使用的传统删除相似性函数。我们还提出了次优DNA码的奇偶校验码检测一个错误的汉明度量的基础上的建设。
2014-01-29 cs.IT math.IT q-bio.QM
Zero-Rate Thresholds and New Capacity Bounds for List-Decoding and List-Recovery
在这项工作中，我们考虑的列表可解码性和列表可恢复的任意$q$ -ary码，$q\geq 2$的所有整数值。如果每个半径$pn$汉明球包含少于$L$码字，则代码被称为$(p,L)_q$ -列表可解码; $(p,\ell,L)_q$ -列表可恢复性是一种推广，其中我们将半径$pn$汉明球放置在具有边长$\ell$的组合矩形的每个点上，并再次规定存在少于$L$码字。我们的主要贡献是精确计算$p$的最大值，其中存在无限个阳性率$(p,\ell,L)_q$列表可恢复代码族，我们称该数量为零率阈值。用$p_*$表示该值，我们实际上表明，纠正$p_*+\varepsilon$错误分数的码必须具有大小$O_{\varepsilon}(1)$，即，独立于$n$。这样的结果通常被称为“Plotkin界限”。为了补充这一点，一个标准的随机码与删除结构表明，存在正率代码纠正$p_*-\varepsilon$部分的错误。我们还遵循经典的证明模板（通常归因于Elias和Bassalygo），从零速率阈值中推导出速率和解码半径之间的其他权衡，用于列表解码和列表恢复。从技术上讲，证明Plotkin界归结为证明Schur凸性的定义在$q$ -单纯形以及凸性的一个单变量函数从it. We评论，早期的参数声称类似的结果$q$ -ary列表解码，但是，我们指出，这种早期的证明是有缺陷的。
2022-10-14 cs.CC cs.IT math.CO
Construction of optimal locally repairable codes via automorphism groups of rational function fields
本地可修复代码，或本地可恢复代码（简称LRC）被设计用于分布式和云存储系统中的应用。与经典分组码类似，局部可修码也有一个重要的界，称为Singleton型界。在本文中，一个最佳的局部可修复的代码是指一个块码实现这一Singleton型界。与经典的MDS码一样，最优局部可修码具有一些非常好的组合结构。自从局部可修码的Singleton型界被提出以来，人们一直致力于构造最优局部可修码。由于这一问题的困难性，文献中很少有最优局部可修码的构造。大多数这些结构是通过组合或代数结构实现的。本文利用有理函数域上的自同构群，考虑有限域上射影线上的群作用，构造了最优局部可修码。事实证明，我们能够构造最佳的局部可修码的自反性的地方，以及较小的字母表大小可比的代码长度。特别是，我们产生了新的家庭的$q$ -ary局部可修复的代码，包括代码的长度$q+1$通过循环群和代码通过二面角群。
2017-10-26 cs.IT math.IT math.NT
Quantum Locally Repairable Codes from Negacyclic and Repeated-Root Cyclic Codes over Small Fields
Air Force Engineering University（空军工程大学）
本文研究小域上经典常循环码经CSS构造的量子局部可修复码，证明仅负循环和重根循环码可用于该构造，给出局部性与纯度判据，得到无限纯qLRCs族及首批二元重根qLRCs等新参数。
2026-08-25 cs.IT math.IT
Near-Asymptotically-Good Quantum Codes with Transversal CCZ Gates and Sublinear-Weight Parity-Checks
本文构建了首批具有线性维数和距离、支持横向CCZ门且奇偶校验权重为亚线性的量子码，并设计了高效解码算法，同时解决了Bravyi & Hastings的猜想。
2025-10-08 cs.IT math.IT quant-ph
Singleton-Optimal Rank-Metric CSS Codes : Equality Structure and Exact Projected-Recovery Radii
DGIST（大邱科学技术院）
本文证明秩度量CSS码的非对称Singleton界并刻画等式结构，揭示堆叠架构中稳定子码的精确投影恢复半径优势，并构造达到最优解码半径的显式码族。
2026-09-30 cs.IT math.IT
Linear Programming Bounds for Locally Recovery Codes II
提出一个多项式规模线性规划界，用于$q$元全符号局部可修复码，通过保留三块联合汉明重量而非单一距离，在多数测试案例中优于现有界，并精确确定多个最大码大小和线性维数。
2026-09-16 cs.DM cs.IT math.CO
Decoding Algorithms for MDS Array Codes
Unesp（圣保罗州立大学）；Federal University of São João del-Rei（圣若昂-德尔雷伊联邦大学）
本文针对由超正则矩阵与非奇异矩阵克罗内克积构造的MDS阵列码，利用奇偶校验矩阵结构开发了适用于删除信道、q元对称信道等的解码算法，给出了明确步骤并辅以有限域示例说明。
2026-08-28 cs.IT math.CO math.IT
Geometric construction of k-optimal locally repairable codes
Hebei Normal University（河北师范大学）；Hebei Research Center of the Basic Discipline Pure Mathematics（河北省基础学科数学研究中心）；Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications（河北省计算数学与应用重点实验室）
本文通过奇偶校验矩阵方法，利用s-Pasch构型和PG(2,q)中的点线关系，构造了最小距离为5、局部性为3的k-最优局部可修复码，并利用部分r-展开构造了最小距离为6、一般局部性r的q元k-最优LRC。
2026-05-29 cs.IT math.CO math.IT
On Expanded Cyclic Codes
本文件有三个目的。第一个目的是给出$\GF(q^m)$中定义的扩展循环码的显式描述。所提出的显式构造扩展生成矩阵和扩展奇偶检验矩阵保持了符号代数结构，从而保持了许多重要的原始特性。本文的第二个目的是识别一类等重循环码。具体来说，我们证明了一类著名的$q$ ary BCH码不包括全零码字是等重循环码。此外，我们证明了这类码达到Plotkin界。最后，利用扩展生成矩阵和奇偶检验矩阵对扩展循环码进行了刻画。我们的特点的码字的组成部分码字的属性，特别是确定的精确条件下，码字可以表示的子基。我们的发展揭示了另一种更普遍的看法，而子空间的Reed-Solomon码的子码。基于这些新的见解，我们利用广义级联结构给出了扩展循环码最小距离的一个改进下界。我们还表明，固定速率的二进制扩展Reed-Solomon码是渐近“坏”的，在这个意义上说，最小距离的代码长度的比例随着代码长度的无穷大而减小。它推翻了普遍的猜想，他们是“好”的代码和偏离的合奏广义Reed-Solomon码渐近达到Gilbert-Varshamov界。
2008-07-08 cs.CC cs.IT math.IT
