On Partial Maximally-Recoverable and Maximally-Recoverable Codes
一个[n，k]线性码C受到由奇偶检验矩阵H0施加的局部性约束，如果它可以从H0的零空间的某个k维子码可以从其恢复的任何擦除模式中恢复，则该线性码C被称为最大可恢复（MR）码。本文的重点是限制MR码具有全符号局部性r。鉴于它是具有挑战性的，以构建MR码具有小字段大小，我们目前的结果在两个方向。在第一个，我们放松MR约束，只需要除了要求是一个最佳的所有符号的局部代码，代码必须产生MDS码时，打孔在一个单一的，特定的模式，确保每个本地代码被打孔正好在一个坐标，没有两个本地代码共享相同的打孔坐标。我们将这些代码称为部分最大可恢复（PMR）代码。我们提供了一个简单的高速率PMR码的建设，然后提供了一个普遍的，有前途的方法，需要进一步调查。在第二个方向，我们提出了三个结构的MR码与改进的参数，主要是规模的有限域中采用的建设
2015-01-28 cs.IT math.IT
A construction of optimal locally recoverable codes
本地可恢复代码广泛应用于分布式和云存储系统中。本文的目的是构造一个椭圆多项式的近MDS码，并确定码的局部性。结果表明，近MDS码和近MDS码都是距离最优和维数最优的局部可恢复码。局部可恢复码的长度与文献中已知的不同。
2022-04-26 cs.IT math.IT
A Complete Classification of Partial-MDS (Maximally Recoverable) Codes with One Global Parity
部分MDS（Partial-MDS，PMDS）码是一类局部可修码，主要用于分布式存储。它们被定义为能够在每个位置组发生给定数量的擦除之后纠正任何$s$附加擦除模式。这使得它们也是最大可恢复（MR）码，另一类局部可修复码。已知的是，如果字段大小足够大，则对于任何参数集，通常存在MR码，特别是PMDS码。此外，已知PMDS码的一些显式构造，大多数（但不总是）对每个局部组可以校正的擦除的数量具有强限制。在本文中，我们推广的概念PMDS码，允许不同大小的局部组。我们给出了这种具有$s=1$全局奇偶校验的PMDS码的一般构造，即，可校正一个额外擦除。此外，我们证明了所有给定参数的PMDS码都是这种形式，即，我们给出了这些码的分类。这意味着这些码存在的基本域大小的一个充分必要条件（假设MDS猜想成立）。对于某些参数集，我们的广义建设产生的PMDS码具有较小的字段大小比任何其他已知的建设。
2017-07-04 cs.IT math.IT
Multiple-Layer Integrated Interleaved Codes: A Class of Hierarchical Locally Recoverable Codes
传统的集成交织（II）码的定义通常假设分量嵌套码是里德-所罗门（RS）码或缩短里德-所罗门码。通过采取一般类的代码，我们提出了一个递归结构的扩展集成交织（EII）码到多个层，一个问题，引起了文献中的II码。多层方法允许分层方案，其中代码的每一层提供不同的局部性。特别是，我们提出了新的代码的纠删能力，我们表明，他们非常适合作为本地可恢复（LRC）代码，由于其层次的地方和建设所需的小有限域。给出了多层EII码的最小距离、维数、纠删译码算法、校验矩阵和性能分析，并举例说明。最后，我们将观察到高层EII码的奇偶校验矩阵具有低密度。
2020-09-30 cs.IT math.IT
Computing sharp recovery structures for Locally Recoverable codes
局部可恢复码是一种纠错码，使得码字的单个坐标中的任何擦除可以从其它坐标的小子集恢复。本文提出了一种计算任意线性码$\mathcal{C}$的恢复结构的算法和实现该算法的恢复方法，该算法还提供了$\mathcal{C}$的局部性和对偶距离。复杂性问题也在研究之中。包括几个例子。
2019-07-11 cs.IT math.IT
Duality and LP Bounds for Codes with Locality
本文首先对局部可恢复码的对偶理论进行了研究，并着重于其应用。我们描述的地方的一个代码的对偶码，并引入一类不变量，完善经典的重量分布。在这种情况下，我们建立一个对偶定理类似（但非常不同）的麦克威廉姆斯身份。作为我们的研究结果的应用，我们获得了两个新的边界的参数的本地可恢复的代码，包括LP界，提高了在几个实例中的最佳界限。
2022-12-15 cs.IT math.IT math.OC
A family of codes with locality containing optimal codes
Gopalan等人在2012年引入了局部可恢复代码，同年Prakash等人引入了具有局部性的代码的概念，这是一种局部可恢复代码。在这项工作中，我们引入了一个新的家庭的代码与地方，这是一个特定的家庭的评估代码的子码。我们确定这些代码的尺寸，以及最小距离的界限。我们提出的最小距离在特殊情况下的真实值，也表明，这个家庭的元素是“最佳的代码”，定义的Prakash等人。
2021-01-19 cs.IT math.AG math.IT
A construction of maximally recoverable codes
我们构建了一个家庭的线性最大限度地恢复代码的地方$r$和尺寸$r+1.$对于代码的长度$n$与$r\approx n^α, 0\leα\le 1$的代码字母表是顺序$n^{1+3α},$，这提高了以前已知的建设最大限度地恢复代码。
2021-08-19 cs.IT math.CO math.IT
Explicit construction of optimal locally recoverable codes of distance 5 and 6 via binary constant weight codes
在\cite{GXY18}中证明了距离为$d\ge 5$的$q$元线性局部可恢复码的长度$n$的上界为$O(dq^3)$ .因此，构造距离$d\ge 5$和长度接近上界的$q$元局部可恢复码是一个具有挑战性的问题.本文\cite{GXY18}还给出了$d=5$和$6$的具有局部性$r$和长度$n=Ω_r(q^2)$的$q$元局部可恢复码的算法构造，其中$Ω_r$表示隐常数依赖于局部性$r$ .本文利用二元等重码给出了距离$d= 5$和$6$的$q$元局部可恢复码的显式构造。结果表明，（i）我们的构造更简单，更明确;（ii）我们的代码的长度大于\cite{GXY18}中给出的代码。
2020-06-18 cs.DM cs.IT math.IT
A family of optimal locally recoverable codes
如果编码中的每个符号都是少量（最多$r$）其他符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC）。我们提出了一个家庭的LRC码，达到最大可能的值的距离为一个给定的局部参数和代码基数。码字作为有限域上的特殊构造的多项式的评估而获得，并且如果局部参数$r$被设置为等于码维，则码字减少到Reed-Solomon码。大多数参数的代码字母表的大小仅略大于代码长度。恢复过程通过$r$点上的多项式插值来执行。我们还构造了几个不相交的恢复集的每一个符号的代码。这种结构使系统能够通过访问码字的不同部分来对特定符号进行多个独立且同时的恢复过程。此属性使频繁访问的数据（“热数据”）具有高可用性。
2014-07-11 cs.IT math.IT
Codes with locality from cyclic extensions of Deligne-Lusztig curves
最近，Skabelund定义了新的极大曲线，它们是Suzuki和Ree曲线的循环扩张。以前，现在众所周知的GK曲线被发现作为厄米曲线的循环扩展。在本文中，我们考虑从这些新的曲线构造的局部可恢复代码，补充GK曲线。本地可恢复的代码允许通过仅访问形成所谓的恢复集的少数其他符号来恢复单个符号。如果每个符号至少有两个不相交的恢复集，则称该码具有可用性。三个结构描述，因为每一个最适合一个特定的情况。第一个采用原始建设的本地可恢复的代码从曲线的塔莫和巴格。第二种方法通过使用Haymaker、Malmskog和Matthews所描述的纤维产品来产生具有可用性的代码，而第三种方法通过使用代码本身的产品来实现可用性。我们看到，循环扩展的Deligne-Lusztig曲线提供的代码比那些通常在文献中发现的更小的局部性。
2020-06-11 cs.IT math.AG math.IT
Locality for Codes over the Integers
Fondazione Bruno Kessler（布鲁诺·克尔塞尔基金会）；University of Montpellier, LIRMM, CNRS UMR 5506（蒙彼利埃大学）；University Paris 8, LAGA, CNRS UMR 7539（巴黎第八大学）
研究整数上的局部性约束编码，提出局部可恢复码的Singleton型界及整数版本的Tamo-Barg码构造。
2026-04-29 cs.IT math.IT
Number Theoretical Locally Recoverable Codes
本文利用代数数域中的基展开构造有限域乘积上的非线性局部可恢复码无限序列，实现长度与规模递增、码率恒定、局部性固定且最小距离趋于无穷。
2023-04-18 cs.IT math.IT math.NT
Locally Recoverable Codes with availability from a family of fibered surfaces
University of Groningen（格罗宁根大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
该研究从纤维曲面族构造可用性为2的局部可恢复码，结合函数域与纤维化理论技术，在局部性参数r = 3时得到码最小距离紧界，并给出基于双椭圆曲面的几何解释，是首个用K3曲面构造纠错码的实例。
2026-07-21 cs.IT math.AG math.IT
Information locality of a quantum locally recoverable code
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文针对量子稳定子码提出量子信息局部性概念及对应线性代数方法，证明现有量子局部性定义高估删除纠正所需符号数，还给出经典信息局部性的量子转换低估该数值的实例。
2026-08-06 cs.IT math.IT quant-ph
Optimal quaternary $(r,δ)$-Locally Recoverable Codes: Their Structures and Complete Classification
针对多个节点并发故障时的数据恢复问题，将具有局部性$r$的线性$r$-LRC码扩展为具有局部性$(r, δ)$的$(r, δ)$-LRC码，使其能够在多个节点故障的情况下实现故障节点的局部恢复.最优LRC码是指其参数达到广义Singleton界且具有相等性的码。在本文中，我们感兴趣的是研究最佳LRC码在小域上，更准确地说，在$\mathbb{F}_4$。我们将采用一种方法，通过研究最佳的四元$(r,δ)$ -LRC码，通过他们的奇偶校验矩阵。我们的研究包括确定最佳的$(r,δ)$ -LRC码的结构特性，它们的构造，以及通过浏览所有可能的参数对$\F_4$的完全分类。我们强调，最佳四元$(r,δ)$ -LRC码的精确结构及其分类是通过奇偶校验矩阵方法使用证明技术获得的，该证明技术不同于Hao等人在[IEEE Trans. Inf. Theory，2020，66（12）：7465-7474]中获得的最近用于最佳二进制和三进制$(r,δ)$ -LRC码的证明技术。
2022-02-21 cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and a Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
如果$\mathcal{C}$的每个$n$代码符号可以通过访问至多$r$其它代码符号来恢复，则在存在单个擦除并且具有局部参数$r$的情况下，$[n,k]$代码$\mathcal{C}$被称为是局部可恢复的。如果对于任何一组$s \leq t$擦除，存在$s$步骤顺序恢复过程，其中在每一步，通过访问至多$r$其它代码符号来恢复单个擦除符号，则$[n,k]$代码被称为具有从$t$擦除的顺序恢复的本地可恢复代码。这等同于对于任何一组$s \leq t$擦除，双码包含一个码字，该码字的支持包含恰好一个$s$擦除符号的坐标。本文对任意的擦除次数$t$和任意的局部性参数$r \geq 3$，导出了这种码的速率的一个严格上界。这一界限证明了宋、蔡和袁的一个早期猜想。尽管该界限是有效的，而与在其上定义代码的字段无关，但是也提供了速率最优的{ \em binary}代码的匹配构造，同样对于任何$t$值和任何$r\geq3$值。
2017-02-17 cs.IT math.IT
Constructions of near MDS codes which are optimal locally recoverable codes
具有参数$[n,k,n-k]$的线性码被称为几乎最大距离可分（简称AMDS）。其对偶也是AMDS的AMDS码被称为近最大距离可分离（简称NMDS）码。NMDS码在有限几何、组合数学、密码学和数据存储等领域有着广泛的应用。本文首先给出了NMDS码的几种构造方法，并确定了它们的重量计数元。特别地，一些构造产生具有相同参数但不同权重枚举数的NMDS码。然后，我们确定了NMDS码的局部性，得到了一族距离最优和维数最优的局部可修码。
2022-04-24 cs.IT math.IT
Locally Repairable Codes with Unequal Local Erasure Correction
当分布式存储系统中的节点发生故障时，需要及时修复以保持系统的完整性。虽然典型的纠删码可以提供优于复制的显著存储优势，但是它们遭受较差的修复效率。局部可修复码（LRC）通过减少参与修复过程（局部性）的节点数量来解决这个问题，代价是减少最小距离。在本文中，我们研究了局部码具有任意距离要求的LRC的局部性和最小距离之间的权衡。与现有的方法，其中每个节点上施加的本地和本地距离的要求是相同的，我们允许的要求从节点到节点任意变化。这样的属性对于具有非均匀特性的分布式存储系统可以是有利的。我们提出了Singleton型距离上界，并提供了一个最佳的代码建设这些界限。此外，可行速率区域的特征在于不依赖于距离的维数上界。
2018-07-07 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Characterizations, Bounds, and Constructions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
该研究针对量子局部可恢复码的约束限制，引入纠缠辅助量子局部可恢复码（EAQLRCs），建立其界与构造框架，得到首批明确的EAQLRCs最优码族。
2026-07-30 cs.IT math.IT
Long Optimal or Small-Defect LRC Codes with Unbounded Minimum Distances
有限域上的码称为局部可恢复码（LRC），如果每个坐标符号都可以由少量（至多r个，这个参数称为局部性）的其他坐标符号确定。对于长度为n，维数为k，局部为r的线性码，其最小距离d满足类Singleton界。达到这个界限的代码被称为最优的。在有限域或代数曲线上，人们利用不同的技巧构造了许多最优局部可恢复码族。然而，在一般的有限域上，长度n为q的平方，局部性r大于等于24，最小距离d大于等于9的最优LRC码还没有被构造出来。本文对任意给定的q元有限域，r在1到q-1之间，d在一定范围内，给出了一个长度为n的最优LRC码，其长度为q的平方，局部性为r，距离为d。这是唯一已知的最佳LRC码的长度n周围的平方q和无界的地方和最小距离d大于或等于9。我们还给出了q元r局部LRC码的一个渐近界，这个渐近界优于以前已知的渐近界。还构造了许多具有小缺陷的长r-局部LRC码。
2019-10-20 cs.IT math.IT
Bounds and Constructions of Codes with All-Symbol Locality and Availability
研究了具有全符号局部性和可用性的线性局部可恢复码（LRC码）的距离性质。新的上限和下限的最小距离，这样的代码。上界是基于缩短方法，并改进现有的缩短界。为了减少上界和下界之间的差距，我们不限制字母表的大小，并提出明确的建设代码的局部性和可用性，通过秩度量码。第一种构造依赖于扩展图，在低速率区域较好，第二种构造利用Wang等人开发的LRC码作为内码，在高速率区域较好。
2017-02-04 cs.IT math.IT
New Construction of Locally q-ary Sequential Recoverable Codes: Parity-check Matrix Approach
本文提出一种基于校验矩阵的q元序列局部可恢复码（SLRCs）新构造，通过建立并行与序列恢复的新联系，实现了具有信息$(r, t_i, δ)$-序列局部性的线性码，可对最多$t$个擦除进行序列恢复。
2025-03-03 cs.IT math.IT
Locally recoverable codes on algebraic curves
如果编码中的每个符号是码字的少量（至多$r$）其它符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC代码）。本文介绍了代数曲线上的LRC码的构造，推广了最近的一类具有局部性的Reed-Solomon类码的构造。我们对待以下情况：本地恢复一个单一的擦除，本地恢复多个擦除，和代码与几个不相交的恢复集的每个坐标（{ \em可用性问题}）。对于这三个问题中的每一个，我们描述了一个一般的曲线上的代码建设和建设几个家庭的LRC代码。我们还描述了建设的代码依赖于自同构群的曲线的可用性。
2016-03-29 cs.IT math.IT
A Construction of Optimal Quasi-cyclic Locally Recoverable Codes using Constituent Codes
本文将准循环局部可恢复码分解为扩域上的组成码之和，并给出参数条件，用于构造维数和码长更大的近乎最优及最优码。
2024-06-17 cs.IT math.IT
Optimal pure quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes from matrix-product construction
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Institut Universitari de Matemàtiques i Aplicacions de Castelló（卡斯特利翁数学与应用大学研究所）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）；IMUVA-Mathematics Research Institute（IMUVA数学研究所）
本文针对量子存储的删除错误修复需求，以矩阵积码为基础，构造出满足类Singleton界的最优纯量子$(r,δ)$-局部可修复码族，为量子存储系统提供了高效的纠错方案。
2026-08-25 cs.IT math.IT
Optimal locally recoverable codes with hierarchy from nested $F$-adic expansions
在本文中，我们构造新的最优分层局部可恢复码。我们的建设是基于一个组合的思想的\cite{ballentine2019codes,sasidharan2015codes}与代数数论的方法，允许给一个更精细的调整的最小距离的中间代码（允许更大的尺寸的最终代码），并删除限制的算术性能的$q$相比，在层次结构中的局部集的大小。反过来，我们设法获得代码与广泛的参数集的大小$q$的基本字段，并为层次结构的大小，同时保持我们构造的代码的最优性。
2022-07-21 cs.IT math.IT math.NT
An Upper Bound On the Size of Locally Recoverable Codes
在{ \em局部可恢复}或{ \em可修复}码中，码字的任何符号都可以通过仅读取少量（恒定）的其它符号来恢复。本地可恢复性的概念在分布式存储领域非常重要，其中最常见的错误事件是单个存储节点故障（擦除）。一个共同的目标是通过从尽可能少的其他存储节点下载数据来修复节点。本文从码的长度、大小和局部性三个方面给出了码的最小距离的界。与以前的界限不同，我们的界限来自一个非常简单的分析，并取决于所使用的字母表的大小。事实证明，二进制单纯形码满足我们的界限与平等，因此单纯形码是第一个例子，一个最佳的二进制局部可修复的代码家庭。我们还提供了基于随机编码和级联码的可扩展性结果，这些结果在数值上被验证为接近我们的界限。
2015-03-26 cs.IT math.IT
Cyclic and convolutional codes with locality
局部可恢复（LRC）码及其变体近年来得到了广泛的研究。本文主要研究LRC码的循环构造，并推导出LRC码的零点满足分层局部性的条件。其结果是，我们得到了一个一般家庭的分层LRC码的一个新的范围内的代码参数。我们还观察到，我们的方法使人们能够表示准循环形式的LRC码，并使用这种表示构造咬尾卷积LRC码的局部性。在其他结果中，我们扩展的一般方法，循环码的地方多维循环码，产生新的家庭的LRC码的可用性，并构建一个家庭的q元循环分层LRC码的无限长度。
2020-04-14 cs.IT math.IT
The minimum linear locality of linear codes
大约九年前，本地可恢复代码（LRC）被提出用于恢复分布式和云存储系统中的数据。迄今为止，对LRC的研究已经取得了很大的进展。然而，关于线性码的最小线性局部性问题，目前还缺乏一般性的理论。此外，许多已知的线性码族的最小线性局部性在文献中没有研究。基于这两个事实，本文发展了关于线性码的最小线性局部性的一般理论，并研究了一类线性码的最小线性局部性，如$q$ -ary Hamming码，$q$ -ary Simplex码，广义Reed-Muller码，卵形码，最大弧码，扩展超卵形码和近MDS码.本文提出了许多类距离最优和维数最优的LRC。本文所发展的一般理论解决了许多线性码族的最小线性局部性问题。
2021-02-01 cs.IT math.IT
Algebraic hierarchical locally recoverable codes with nested affine subspace recovery
本文提出代数分层局部可恢复码，通过里德-穆勒码与纤维积码的统一，实现嵌套仿射子空间恢复，并支持每层可用性。
2025-01-22 cs.IT math.AG math.IT
Locality via Partially Lifted Codes
在纠错码中，局部性是指量化从编码数据中恢复少量信息的容易程度的几种不同方式。在这项工作中，我们研究了称为s-不相交修复群属性（s-DRGP）的局部性概念。这个概念可以在编码理论中的两个非常不同的设置之间插入：当s很大时的局部可纠正码（LCC）-一个非常强的保证-和当s很小时的局部可恢复码（LRC）-一个相对较弱的保证。这激发了对中间体s的s-DRGP的研究，这是我们的论文的重点。我们构造的代码在这个参数制度，具有更高的速率比以前已知的代码。我们的结构是基于一个新的变体的郭，Kopparty和苏丹的解除代码。除了s-DRGP的结果，我们希望我们的建设是独立的利益，并将在其他地方找到用途。
2017-04-27 cs.IT math.IT
Constructions of Locally Recoverable Codes which are Optimal
设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是大小为$q$的有限域.在本文中，我们提供了一个伽罗瓦理论框架，允许产生良好的多项式的塔莫和巴格建设的最佳局部可恢复码（LRC）。使用我们的方法，我们构造新的好多项式，然后用新的参数最优LRC。现有的好多项式理论完全符合我们的新框架。我们的方法的主要优点是，我们不需要依赖于对$(q,r)$的算术属性，其中$r$是代码的局部性。
2019-09-01 cs.DM cs.IT math.CO
Improved bounds and optimal constructions of pure quantum locally recoverable codes
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University（南洋理工大学物理与数学科学学院）；Anhui University（安徽大学）；School of Internet, Anhui University（安徽大学互联网学院）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；School of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学数学学院）；VinUniversity（越大）
本文提出改进的纯量子局部可恢复码界限，并通过经典QECCs构造了最优qLRCs的无限族。
2025-12-08 cs.IT math.IT
Majority-Logic Decoding of Binary Locally Recoverable Codes: A Probabilistic Analysis
Rutgers University（罗格斯大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文研究了二元局部可修复码在多数逻辑解码下的纠错性能，揭示了在随机信道模型下，块解码失败概率随局部性和可用性参数变化而趋于消失。
2026-02-20 cs.IT math.IT math.PR
Combinatorial Alphabet-Dependent Bounds for Locally Recoverable Codes
局部可恢复（LRC）码由于其理论上的吸引力和在分布式存储系统中的应用，近年来成为编码理论研究的热点。在LRC码中，码字的任何被擦除的符号可以通过仅访问少量的其他符号来恢复。对于小字母表（如二进制）上的LRC码，最佳速率-距离权衡是未知的。我们提出了几个新的LRC码的组合界，包括局部感知球填充和Plotkin界。我们还开发了一种方法，线性规划（LP）界的LRC码。由此产生的LP界给出了更好的估计比其他上界在文献中已知的例子。此外，我们提供了严格的已知上限的线性LRC码的速率与给定的相对距离，以前最好的已知的界限的改进。
2018-01-25 cs.DM cs.IT math.IT
A family of codes with variable locality and availability
在这项工作中，我们提出了一类本地可恢复的代码，即代码的位置$P$的擦除可以从恢复集$R_P$的位置中的条目的知识中恢复。我们定义的类中的代码具有可用性，这意味着每个位置$P$都有几个不同的恢复集。而且，即使在恢复集合的某些位置中存在擦除的情况下，也可以恢复位置$P$处的条目，并且所支持的擦除的数量可以在各种恢复集合之间变化。
2021-07-28 cs.IT math.AG math.IT
Quantum Hierarchical Locally Recoverable Codes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Simons Institute for the Theory of Computing（西蒙斯计算理论研究所）；Fujitsu Research of America, Inc.（富士通美国研究院）
本文研究量子局部可恢复码(QLRC)的分层扩展，提出(r,δ) QLRC和h层QHLRC的随机与显式构造，并给出量子Tamo-Barg码的有效译码算法及Singleton-like界。
2026-07-09 cs.IT math.IT
The augmented codes of a family of linear codes with locality 2
本文推广了Ding和Ding的线性码类并研究其增广码，利用Gauss和确定参数与重量分布，证明其自正交、局部性为2且为射影码，在分布式存储中实用并得到多个最优码。
2024-04-29 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Bounds, Optimal Constructions, and Achievability
International Institute of Information Technology（印度国际信息技术学院）
本文研究无需对偶包含的类CSS EA-qLRC，推导其各类参数界，给出等号达类Singleton界的条件，构造Tamo–Barg与循环码族的EA-qLRC，补充两个可达性界并统一所有界，明确循环码族可产生最优码。
2026-08-10 cs.IT math.IT
Locally recoverable codes on surfaces
线性纠错码是具有固定坐标系的有限域上的有限维空间的子空间。如果对于每个坐标，可以从码字的（某些）$r$其他坐标的值推导出码字处的值，则这样的代码被称为具有局部性$r$的局部可恢复的。这些代码已经发现了许多最近的应用，例如，到分布式云存储。我们将讨论构建良好的局部可恢复代码的问题，并提出一些使用代数曲面的结构，这些曲面可以改善以前的结构，有时还可以提供精确意义上的最优代码。本文的主要概念贡献是考虑曲面纤维在曲线上的方式，每个恢复集是从一个单一的纤维点。这允许我们使用纤维的几何形状来保证局部可恢复性，并使用表面的全局几何形状来保持我们代码的标准参数。我们详细研究了纤维是有理曲线或椭圆曲线的情况，并提供了许多应用我们方法的例子。
2021-02-18 cs.IT math.AG math.IT
A family of self-orthogonal divisible codes with locality 2
本文利用有限域上的迹和范数函数构造了一族具有局部性2的自正交可分码，通过Gaussian和确定了三种情形下的重量分布，并推导出若干最优线性码及局部可恢复码，可应用于格构造与分布式存储。
2024-04-29 cs.IT math.IT
Construction of optimal locally recoverable codes and connection with hypergraph
最近，几位作者发现，$q$元最优局部可恢复代码，即，归档Singleton类型界限的本地可恢复代码可以具有比$q+1$大得多的长度。这与经典的$q$元MDS码有很大的不同，在经典的MDS码中，证明了码长的上界为$q+1$（或在某些特殊情况下为$q+2$）。这一发现启发了最近一些关于最佳本地可恢复代码长度的研究。\cite{LXY}证明了对于$d=3,4$，$q$元最优局部可恢复代码是无界的.随后证明了具有距离$d$和局部性$r$的$q$元最优局部可恢复码的长度为$Ω_{d,r}(q^{1 + 1/\lfloor(d-3)/2\rfloor})$。最近，在\cite{J18}和\cite{BCGLP}中给出了距离$d=5,6$的$q$元最优局部可恢复码的显式构造.在本文中，我们进一步研究构造最优局部可恢复码沿线使用奇偶校验矩阵。受经典的Reed-Solomon码和\cite{J18}的启发，我们给校验矩阵赋予了Vandermond结构。结果表明，具有Vandermond结构的校验矩阵产生的最优局部可恢复码必须满足$\mathbb{F}_q$子集的不交性。令我们惊讶的是，这个不相交条件等价于极值图论中一个研究得很好的问题。借助于极值图论，我们成功地将\cite{GXY}中的所有著名结果推广到了$d\geq 7$ .此外，对于$d=6$，我们能够去除在\cite{J18}中要求的$q$是…
2018-11-26 cs.IT math.CO math.IT
Quantum Locally Recoverable Codes via Good Polynomials
本研究提出可使用任意优多项式的量子局部可恢复码构造方法，设计了基于仿射一般线性群子群的优多项式构建方式，并结合扩张器混合引理得到无r+1为素数限制的qLRC最小距离下界，推动量子存储编码研究。
2024-11-03 cs.IT math.IT
Quantum Locally Recoverable Codes
本文开创性地研究量子局部可恢复码（qLRCs），基于经典LRCs构造出折叠量子Tamo-Barg码，实现接近最优的速率-距离权衡、高效解码和良好空间局部性，并证明更强的局部可校正性在量子情形下不可能实现。
2023-11-15 cs.IT math.IT quant-ph
A construction of Maximally Recoverable LRCs for small number of local groups
本文提出一种在较小有限域上构造最大可恢复局部重建码（MR LRCs）的新方法，推广了Hu和Yekhanin的构造，适用于局部组数量较少的实际场景，提高了容错与存储效率。
2023-05-11 cs.IT math.IT
On Optimal Locally Repairable Codes and Generalized Sector-Disk Codes
考虑了具有信息局部性的最优局部可修码。最佳码的构造，其长度也是顺序最佳的关于本文推导出的码长的一个新的界。所构造的码的长度在字母表大小上是超线性的，这改进了公知的金字塔码，其长度仅在字母表大小上是线性的。可恢复的擦除模式也分析了新的代码。基于可恢复的擦除模式，我们构造了广义扇区磁盘（GSD）码，它可以从磁盘擦除与扇区擦除混合在一个更一般的设置比已知的扇区磁盘（SD）码。此外，在所构造的GSD码中的扇区数是超线性的字母大小，与已知的SD码，其扇区数仅是线性的字母大小相比。
2020-02-05 cs.IT math.IT
Cyclic LRC Codes and their Subfield Subcodes
我们考虑具有局部性的线性循环码，即局部可恢复码（LRC码）。在最近的一篇论文中，I。Tamo和A. Barg（IEEE Transactions on信息论，no. 8，2014; arXiv：1311.3284）。在本文中，我们专注于最佳循环码，产生的一般建设。我们给出了这些代码的零的表征，并观察到有许多等价的方法来构造最佳的循环LRC码在一个给定的字段。我们还研究了循环LRC码的子域子码（BCH类LRC码），建立了它们的局部性和最小距离的几个结果。
2015-02-05 cs.IT math.IT
Locally Recoverable Streaming Codes for Packet-Erasure Recovery
流代码是一类分组级擦除代码，其被设计成以确保在通信网络上以低延迟方式恢复擦除分组为目标。在流编码文献中众所周知，在分组流内对角地嵌入$[τ+1,τ+1-a]$最大距离可分离（MDS）码的码字导致能够在严格的解码延迟约束$τ$下从$a$任意分组擦除恢复的速率最优流编码。因此，MDS码适合于有效处理对应于$a$擦除的发生的最坏情况。在本论文中，我们有一个更大的关注最频繁的擦除模式的有效处理。我们研究的流代码，除了恢复从$a>1$任意数据包擦除下的解码延迟$τ$，有能力处理更常见的单包擦除，而招致较小的延迟$r<τ$。我们把这些代码作为$(a,τ,r)$本地可恢复的流代码（LRSC），因为我们的单擦除恢复的要求是类似的本地编码的分布式存储系统的要求。我们的特点是最大可能的速率的LRSC的所有可能的参数$\{a,τ,r\}$的速率最优的结构。虽然本文提出的速率最优LRSC结构需要较大的字段大小，但该结构是显式的。它还表明，我们的$(a,τ=a(r+1)-1,r)$ LRSC建设提供了额外的保证恢复从擦除$h, 1 \leq h \leq a$，数据包，延迟$h(r+1)-1$。因此，该构造随着擦除次数的增加而提供了解码延迟的适度降级。
2021-09-07 cs.IT math.IT
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
2022-05-18 cs.CC cs.IT math.IT
On One Generalization of LRC Codes with Availability
我们研究了一种可能的推广的局部可恢复码（LRC）与所有符号的局部性和可用性时，恢复集可以相交于少量的坐标。此功能使我们能够提高可实现的码率，同时仍能满足负载均衡要求。在本文中，我们得到了这样的代码的速度的一个上界，并给出了明确的结构码这样的性质。这些构造利用Wang等人开发的LRC代码。
2017-05-30 cs.IT math.IT
Introducing locality in some generalized AG codes
本文利用函数域次数至多 r 的非有理位为广义 AG 码引入局部性，构造达到类 Singleton 界的 LRC，并给出局部性2的无限码族。
2024-03-01 cs.IT math.AG math.IT
Codes with hierarchical locality from covering maps of curves
局部可恢复（LRC）码提供了在不必访问每个剩余坐标的情况下恢复码字的擦除坐标的方式。具有分层局部性的LRC码（H-LRC码）的子族通过引入用于校正不同数目的擦除的若干层可恢复性来为构造提供额外的灵活性。我们提出了一个一般的建设代码与2级层次的地方从代数曲线之间的映射，并专门为几个代码的家庭获得的自同构群，包括合理的，椭圆的，Kummer，和Artin-Schreier曲线的代数曲线之间的映射。我们进一步解决问题的H-LRC代码的可用性，并建议一般建设这样的代码从纤维产品的曲线。详细的计算参数的H-LRC代码的可用性进行Reed-Solomon和Hermitian类代码的家庭。最后，我们从Garcia-Stichtenoth塔的曲线构造了渐近好的H-LRC码族。
2019-04-02 cs.IT math.AG math.IT
Cyclic LRC Codes, binary LRC codes, and upper bounds on the distance of cyclic codes
我们考虑具有局部性的线性循环码，即局部可恢复码（LRC码）。在最近的一篇论文中，I。Tamo和A. Barg（IEEE Trans. Inform. Theory，no. 8，2014）。在本文中，我们专注于最佳循环码，从这种建设。我们给出了这些代码的零的表征，并观察到有许多等价的方法来构造最佳的循环LRC码在一个给定的字段。我们还研究了循环LRC码的子域子码（BCH类LRC码），建立了它们的局部性和最小距离的几个结果。循环码的局部性参数与该码的对偶距离有关，我们用对偶距离的上界来表达我们的结果。
2016-03-29 cs.IT math.IT
