New Bounds on the Field Size for Maximally Recoverable Codes Instantiating Grid-like Topologies
近年来，通过互联网创建和处理的数据量迅速增加，导致分布式存储系统采用基于纠删编码的方案。为了平衡相关故障的数据恢复和高效的编码和解码之间的平衡，采用最大可恢复代码的分布式存储系统应运而生。Gopalan等人的\cite{Gopalan2017}在理论和实践上统一了许多拓扑结构，开始了对网格拓扑结构的最大可恢复代码的研究。在本文中，我们专注于最大限度地恢复代码，实例化网格状的拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$。为了刻画这些拓扑的码的性质，我们引入了\emph{pseudo-parity check matrix}的概念.然后，使用组合零点法，我们建立了在拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$中实现最大可恢复性所需的字段大小的第一个多项式上界。并利用超图独立集方法，进一步改进了拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$的一般上界.通过将问题与$\mathbb{F}_q$中的广义\emph{Sidon sets}相关联，我们还获得了最大可恢复代码的字段大小的非平凡下界，该代码实例化拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$。
2019-02-19 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes with Hierarchical Locality: Constructions and Field-Size Bounds
最大可恢复代码是一类在给定代码的局部性约束的情况下从所有潜在可恢复擦除模式中恢复的代码。在早期的作品中，这些代码已被研究的背景下，代码的地方。局部性的概念已经扩展到层次局部性，这允许局部性随着擦除次数的增加而逐渐增加级别。我们考虑了两级层次局部性代码的局部性约束，并定义了具有数据局部性和局部层次局部性的最大可恢复代码。我们得到了一些性质有关的删余码和最小距离。我们给出了一个过程来构造层次数据局部MRCs从层次局部MRCs。我们提供了一个建设的分层本地MRCs的所有参数。对于某些参数，我们还构造了具有层次局部性的MRC，其域的大小小于一般参数的已知构造。我们还得到了一个字段大小下界的MRC与层次局部性。
2021-05-07 cs.IT math.IT
Design of MDP Convolutional Codes and Maximally Recoverable Codes Through the Lens of Matrix Completion
Indian Institute of Science, Bengaluru, India（印度科学研究所）；TU Ilmenau, Germany（伊尔梅瑙工业大学）；Virginia Tech, USA（弗吉尼亚理工大学）；George Mason University, USA（乔治梅森大学）
本文通过矩阵补全框架研究具有最大可恢复性和最大距离谱的卷积码，提出通用构造方法，强调生成矩阵的稀疏性和子域元素特性。
2026-04-23 cs.IT math.IT
Improved Constructions and Lower Bounds for Maximally Recoverable Grid Codes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Microsoft Research（微软研究院）
本文提出改进的极大可恢复网格码构造，适用于大$n$和常数$m,h$的场景，提供多项式域大小的构造和下界。
2026-02-05 cs.IT math.IT
Secure Storage using Maximally Recoverable Locally Repairable Codes
针对 MR-LRC 在全局修复中易被窃听的问题，提出基于 CPU 与局部多项式的安全修复框架，分析直接修复和转发修复并实现非零保密维度。
2024-05-09 cs.IT math.IT
Maximally recoverable codes with locality and availability
IMUVa-Mathematics Research Institute, University of Valladolid（瓦拉多利德大学数学研究所）；Signal Processing and Communications Research Center (SPCRC), International Institute of Information Technology, Hyderabad（海得拉巴国际信息学院信号处理与通信研究中心）
本文提出具有局部性和可用性的最大可恢复码，通过局部可修复码的构造方法，减少存储开销并提升全局纠错能力，针对t=1时提供三种构造方法并扩展有限域大小下界。
2026-05-15 cs.IT math.IT
On Maximally Recoverable Codes for Product Topologies
给定局部奇偶校验约束的拓扑结构，最大可恢复码（MRC）可以纠正所有信息理论上可纠正的擦除模式。在网格状拓扑中，在形成列代码的每一列中存在$a$局部约束，在形成行代码的每一行中存在$b$局部约束，并且在码字的$(m \times n)$网格中存在$h$全局约束。最近，Gopalan等人发起了网格拓扑下的MRC的研究，并导出了当$a=1, h=0$时擦除模式可恢复的充要条件，称为正则性条件。在本文中，我们考虑MRCs的产品拓扑（$h=0$）。首先，我们基于满足乘积拓扑正则性条件的擦除模式（任意$a, b$，$h=0$）构造了一个二部图，并证明了该图中存在完全匹配.然后，我们提出了一个替代的充分条件时，$a=1, h=0$的直接证明。我们后来扩展我们的技术来研究$a=2, h=0$的拓扑结构，并在这种情况下，可恢复的擦除模式的子集的特征。对于两个$a=1, 2$，我们的证明方法是统一的，即，通过构造列和行代码的生成矩阵的张量积$G_{\text{col}} \otimes G_{\text{row}}$，使得某些正方形子矩阵保持满秩。满秩条件证明诉诸匹配确定较早，也在擦除子模式的另一组匹配。
2018-01-10 cs.IT math.IT
A Complete Classification of Partial-MDS (Maximally Recoverable) Codes with One Global Parity
部分MDS（Partial-MDS，PMDS）码是一类局部可修码，主要用于分布式存储。它们被定义为能够在每个位置组发生给定数量的擦除之后纠正任何$s$附加擦除模式。这使得它们也是最大可恢复（MR）码，另一类局部可修复码。已知的是，如果字段大小足够大，则对于任何参数集，通常存在MR码，特别是PMDS码。此外，已知PMDS码的一些显式构造，大多数（但不总是）对每个局部组可以校正的擦除的数量具有强限制。在本文中，我们推广的概念PMDS码，允许不同大小的局部组。我们给出了这种具有$s=1$全局奇偶校验的PMDS码的一般构造，即，可校正一个额外擦除。此外，我们证明了所有给定参数的PMDS码都是这种形式，即，我们给出了这些码的分类。这意味着这些码存在的基本域大小的一个充分必要条件（假设MDS猜想成立）。对于某些参数集，我们的广义建设产生的PMDS码具有较小的字段大小比任何其他已知的建设。
2017-07-04 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes for Grid-like Topologies
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。然而，在实践中使用的代码相当短。在这项工作中，我们解决我们认为是主要的编码理论障碍，部署较长的代码存储：在大的长度，故障是不独立的，相关的故障是不可避免的。这促使设计即使在大的相关故障之后也允许快速数据恢复的代码，并且具有有效的编码和解码。我们建议将分布式存储的代码设计视为两步过程。第一步是选择代码的拓扑，它包含了需要处理的相关故障的知识，并确保从这些故障中进行本地恢复。在第二步中，通过从有限域中选择系数来指定具有所选拓扑的代码。在该步骤中，试图平衡可靠性（其在较大的字段上更好）与编码和解码效率（其在较小的字段上更好）。这项工作开始深入研究这种可靠性/效率的权衡。我们认为，实现最大的可恢复性所需的字段大小：最强的可靠性可能与给定的拓扑结构。我们提出了一个家庭的拓扑结构称为网格状拓扑结构，统一了一些拓扑结构，在理论和实践中考虑，并证明了收集的结果最大限度地恢复代码在这样的拓扑结构，包括第一个超多项式下界的字段大小。
2016-09-20 cs.IT math.IT
Communication Cost for Updating Linear Functions when Message Updates are Sparse: Connections to Maximally Recoverable Codes
我们考虑一个通信问题，其中更新的源消息需要传达到一个或多个远程接收器，有兴趣在保持特定的线性函数的源消息。该设置是其中更新本质上是稀疏的设置，并且其中源和接收器都不知道确切的{ \em差向量}，而仅知道存在于差向量中的稀疏量。在这种情况下，我们感兴趣的是设计线性编码和解码方案，使所涉及的通信成本最小化。我们表明，这个问题的最佳解决方案是密切相关的概念，最大限度地恢复代码（MRC），这是最初介绍的存储系统编码的上下文中。在存储的上下文中，当系统被部分地约束为在存储节点之间具有本地奇偶校验关系时，MRC保证最佳擦除保护。在我们的问题中，我们证明了最优解存在的充要条件是某些类型的MRC（由所需的线性函数确定）存在。我们考虑点对点和广播版本的问题，并确定这些设置下的连接到MRC。对于点对点的设置，我们表明，我们的线性编码器为基础的可实现的计划是最佳的，即使非线性编码是允许的。该理论在更新擦除编码存储节点的上下文中示出。我们提出的例子的基础上，现代存储代码，如最小带宽再生码。
2018-08-05 cs.IT math.IT
A construction of Maximally Recoverable LRCs for small number of local groups
本文提出一种在较小有限域上构造最大可恢复局部重建码（MR LRCs）的新方法，推广了Hu和Yekhanin的构造，适用于局部组数量较少的实际场景，提高了容错与存储效率。
2023-05-11 cs.IT math.IT
Maximally recoverable local reconstruction codes from subspace direct sum systems
最大可恢复局部重建码（简称MR LRC）在过去几年中受到了极大的关注。在文献中已经提出了各种结构。本课题的主要目的是在小范围内构造磁流变LRC。$(N=nr,r,h,\Gd)$ -MR LRC是长度为$N$的有限域$\F_\ell$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n$局部组。每个本地组可以修复任何$\Gd$擦除错误，并且还有进一步的$h$全局奇偶校验，以提供来自更多全局擦除模式的容错。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，例如$h=O(1)$。在此参数设置中，所有以前的构造都需要字段大小$\ell =Ω_h (N^{h-1-o(1)})$。提高这一界限仍然具有挑战性。本文利用子空间直和系统，构造了场大小为$\ell= O(N^{h-2+\frac1{h-1}-o(1)})$的MR LRC。特别是，对于最有趣的情况下，其中$h=2,3$，我们改善以前的建设，无论是减少字段大小或删除约束。此外，我们还提供了一些结构的MR LRC更大的全球奇偶校验$h$，具有字段大小与已知的上限无法比拟。本文所使用的主要技术是通过我们介绍的子空间直和系统。有趣的是，子空间直和系统实际上等价于扩张域上的$\F_q$ -线性码。基于子空间直和系统的各种构造，我们能够构造几类MR LRC。
2021-11-05 cs.IT math.IT
Lower Bounds for Maximally Recoverable Tensor Code and Higher Order MDS Codes
$(m,n,a,b)$张量码由列满足“$a$”奇偶校验并且行满足“$b$”奇偶校验的$m\times n$矩阵组成（即，张量码是列码和行码的张量积）。张量码在分布式存储中很有用，因为单个擦除可以通过读取其行或列来快速纠正。最大可恢复（MR）张量码，由Gopalan等人提出，是张量码，其可以校正理论上可能校正的信息的每个擦除模式。关于MR张量码的主要问题是描述哪些擦除模式是可纠正的，以及在小域上获得显式的构造。在本文中，我们研究了当$a=1$，即，列满足单个奇偶校验等式。我们引入高阶MDS码（MDS $(\ell)$码）的概念，这是一个有趣的推广著名的MDS码，其中$\ell$捕获的低维空间中的点的泛型顺序。然后证明了具有$a=1$的张量码是MR的当且仅当行码是MDS $(m)$码.然后，我们证明了MDS $(m)$码满足一些弱对偶。利用这个特征和对偶性，我们证明了$(m,n,a=1,b)$张量码需要大小为$q=Ω_{m,b}(n^{\min\{b,m\}-1})$的场.我们的下界也扩展到设置的$a>1$。我们还给出了一个确定性的多项式时间算法来检查是否一个给定的擦除模式是可纠正的MR张量代码（当$a=1$）。
2022-12-02 cs.CC cs.IT math.IT
Maximally Recoverable LRCs: A field size lower bound and constructions for few heavy parities
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。局部重建码（LRC）已成为这些应用的首选码。这些代码可以通过只访问少量的剩余坐标来纠正少量的擦除。$(n,r,h,a,q)$是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为各自大小为$r$的$g=n/r$局部组.它具有$h$全局奇偶校验，每个本地组具有$a$本地奇偶校验。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它纠正所有擦除模式，这是信息理论上可纠正的规定结构下的本地和全局奇偶校验。我们展示了MR LRC所需的字段大小的第一个非平凡的下界。当$a,h$是恒定的和本地组$g \ge h$的数量，而$r$可能会增长与$n$，我们的下限简化为$q\ge Ω_{a,h}\left(n\cdot r^{\min\{a,h-2\}}\right).$没有超线性（在$n$）的下限是已知的任何参数设置之前，这项工作。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，通常为$h=2,3$。我们补充我们的下限，给出小字段大小的$h\le 3$的建设。对于$h=2$，我们给出了一个线性域大小的构造。我们还展示了一个令人惊讶的应用椭圆曲线和算术级数自由集的建设MR LRC。
2018-11-15 cs.CC cs.IT math.IT
Constructions of maximally recoverable local reconstruction codes via function fields
局部重构码（LRC）允许基于仅几个其它码字符号以局部方式从少量擦除恢复。最大可恢复（MR）LRC提供了这种局部和全局容错的最佳可能混合，保证从所有擦除模式中恢复，这些擦除模式在存在局部恢复组的情况下是信息理论上可校正的。在$(n,r,h,a)$ -LRC中，将$n$码字符号划分成$r$不相交组，每个不相交组包括能够局部校正$a$擦除的$a$局部奇偶校验。MR LRC最近受到了广泛的关注，许多显式的结构涵盖了不同的参数范围。不幸的是，所有已知的构造都需要在$h$或$a$中呈指数的大的场尺寸，并且感兴趣的是获得最小可能场尺寸的MR LRC。在这项工作中，我们开发了一种基于函数场的方法来构建MR LRC。我们的方法恢复，并在大多数参数制度改善，以前的方法的字段大小。例如，对于小$r \ll ε\log n$和大$h \ge Ω(n^{1-ε})$的情况，我们将字段大小从大致$n^h$改进为$n^{εh}$。对于$a=1$（一个局部奇偶校验）的情况下，我们提高了字段大小的平方从$r^{h(h+1)}$到$r^{h \lfloor (h+1)/2 \rfloor}$为一定范围的$r$。改进是适度的，但更重要的是通过一个有前途的新想法以统一的方式获得。
2018-08-14 cs.CC cs.DM cs.IT
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
2022-05-18 cs.CC cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Characterizations, Bounds, and Constructions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
该研究针对量子局部可恢复码的约束限制，引入纠缠辅助量子局部可恢复码（EAQLRCs），建立其界与构造框架，得到首批明确的EAQLRCs最优码族。
2026-07-30 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Bounds, Optimal Constructions, and Achievability
International Institute of Information Technology（印度国际信息技术学院）
本文研究无需对偶包含的类CSS EA-qLRC，推导其各类参数界，给出等号达类Singleton界的条件，构造Tamo–Barg与循环码族的EA-qLRC，补充两个可达性界并统一所有界，明确循环码族可产生最优码。
2026-08-10 cs.IT math.IT
Symmetry-guided constructions of absolutely maximally entangled states in five open cases
William & Mary（威廉与玛丽学院）
该研究构造了特定参数的埃尔米特自对偶最大距离可分码，通过非二元稳定子得到多种绝对最大纠缠态，利用精确域算术等完成认证，为纠缠态的构造与验证提供了新方法。
2026-08-11 cs.IT math.IT quant-ph
Private Information Retrieval from Locally Repairable Databases with Colluding Servers
本文提出基于线性化Reed-Solomon码的最大可恢复本地可修复码的私有信息检索方案，实现最小字段大小、更高下载速率，并兼容线性网络编码。
2024-03-19 cs.IT math.IT
Improved Field Size Bounds for Higher Order MDS Codes
本文改进高阶MDS码的域大小界，证明MDS(3)码域大小下界接近上界，并给出显式构造，其中(n,3)-MDS(3)码域大小O(n^3)接近最优。
2024-08-21 cs.IT math.IT
AG Codes Achieve List-decoding Capacity over Constant-sized Fields
本文通过建立放松型高阶MDS码的形式化理论，证明随机打孔的代数几何（AG）码可在常数大小域上实现列表译码容量，并构造出常数域大小的放松型MR张量码。
2025-06-04 cs.IT math.AG math.IT
