New Bounds on the Field Size for Maximally Recoverable Codes Instantiating Grid-like Topologies
近年来，通过互联网创建和处理的数据量迅速增加，导致分布式存储系统采用基于纠删编码的方案。为了平衡相关故障的数据恢复和高效的编码和解码之间的平衡，采用最大可恢复代码的分布式存储系统应运而生。Gopalan等人的\cite{Gopalan2017}在理论和实践上统一了许多拓扑结构，开始了对网格拓扑结构的最大可恢复代码的研究。在本文中，我们专注于最大限度地恢复代码，实例化网格状的拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$。为了刻画这些拓扑的码的性质，我们引入了\emph{pseudo-parity check matrix}的概念.然后，使用组合零点法，我们建立了在拓扑结构$T_{m\times n}(1,b,0)$中实现最大可恢复性所需的字段大小的第一个多项式上界。并利用超图独立集方法，进一步改进了拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$的一般上界.通过将问题与$\mathbb{F}_q$中的广义\emph{Sidon sets}相关联，我们还获得了最大可恢复代码的字段大小的非平凡下界，该代码实例化拓扑$T_{4\times n}(1,2,0)$和$T_{3\times n}(1,3,0)$。
2019-02-19 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes with Hierarchical Locality: Constructions and Field-Size Bounds
最大可恢复代码是一类在给定代码的局部性约束的情况下从所有潜在可恢复擦除模式中恢复的代码。在早期的作品中，这些代码已被研究的背景下，代码的地方。局部性的概念已经扩展到层次局部性，这允许局部性随着擦除次数的增加而逐渐增加级别。我们考虑了两级层次局部性代码的局部性约束，并定义了具有数据局部性和局部层次局部性的最大可恢复代码。我们得到了一些性质有关的删余码和最小距离。我们给出了一个过程来构造层次数据局部MRCs从层次局部MRCs。我们提供了一个建设的分层本地MRCs的所有参数。对于某些参数，我们还构造了具有层次局部性的MRC，其域的大小小于一般参数的已知构造。我们还得到了一个字段大小下界的MRC与层次局部性。
2021-05-07 cs.IT math.IT
Design of MDP Convolutional Codes and Maximally Recoverable Codes Through the Lens of Matrix Completion
Indian Institute of Science, Bengaluru, India（印度科学研究所）；TU Ilmenau, Germany（伊尔梅瑙工业大学）；Virginia Tech, USA（弗吉尼亚理工大学）；George Mason University, USA（乔治梅森大学）
本文通过矩阵补全框架研究具有最大可恢复性和最大距离谱的卷积码，提出通用构造方法，强调生成矩阵的稀疏性和子域元素特性。
2026-04-23 cs.IT math.IT
Improved Constructions and Lower Bounds for Maximally Recoverable Grid Codes
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Microsoft Research（微软研究院）
本文提出改进的极大可恢复网格码构造，适用于大$n$和常数$m,h$的场景，提供多项式域大小的构造和下界。
2026-02-05 cs.IT math.IT
Secure Storage using Maximally Recoverable Locally Repairable Codes
针对 MR-LRC 在全局修复中易被窃听的问题，提出基于 CPU 与局部多项式的安全修复框架，分析直接修复和转发修复并实现非零保密维度。
2024-05-09 cs.IT math.IT
Maximally recoverable codes with locality and availability
IMUVa-Mathematics Research Institute, University of Valladolid（瓦拉多利德大学数学研究所）；Signal Processing and Communications Research Center (SPCRC), International Institute of Information Technology, Hyderabad（海得拉巴国际信息学院信号处理与通信研究中心）
本文提出具有局部性和可用性的最大可恢复码，通过局部可修复码的构造方法，减少存储开销并提升全局纠错能力，针对t=1时提供三种构造方法并扩展有限域大小下界。
2026-05-15 cs.IT math.IT
On Maximally Recoverable Codes for Product Topologies
给定局部奇偶校验约束的拓扑结构，最大可恢复码（MRC）可以纠正所有信息理论上可纠正的擦除模式。在网格状拓扑中，在形成列代码的每一列中存在$a$局部约束，在形成行代码的每一行中存在$b$局部约束，并且在码字的$(m \times n)$网格中存在$h$全局约束。最近，Gopalan等人发起了网格拓扑下的MRC的研究，并导出了当$a=1, h=0$时擦除模式可恢复的充要条件，称为正则性条件。在本文中，我们考虑MRCs的产品拓扑（$h=0$）。首先，我们基于满足乘积拓扑正则性条件的擦除模式（任意$a, b$，$h=0$）构造了一个二部图，并证明了该图中存在完全匹配.然后，我们提出了一个替代的充分条件时，$a=1, h=0$的直接证明。我们后来扩展我们的技术来研究$a=2, h=0$的拓扑结构，并在这种情况下，可恢复的擦除模式的子集的特征。对于两个$a=1, 2$，我们的证明方法是统一的，即，通过构造列和行代码的生成矩阵的张量积$G_{\text{col}} \otimes G_{\text{row}}$，使得某些正方形子矩阵保持满秩。满秩条件证明诉诸匹配确定较早，也在擦除子模式的另一组匹配。
2018-01-10 cs.IT math.IT
A Complete Classification of Partial-MDS (Maximally Recoverable) Codes with One Global Parity
部分MDS（Partial-MDS，PMDS）码是一类局部可修码，主要用于分布式存储。它们被定义为能够在每个位置组发生给定数量的擦除之后纠正任何$s$附加擦除模式。这使得它们也是最大可恢复（MR）码，另一类局部可修复码。已知的是，如果字段大小足够大，则对于任何参数集，通常存在MR码，特别是PMDS码。此外，已知PMDS码的一些显式构造，大多数（但不总是）对每个局部组可以校正的擦除的数量具有强限制。在本文中，我们推广的概念PMDS码，允许不同大小的局部组。我们给出了这种具有$s=1$全局奇偶校验的PMDS码的一般构造，即，可校正一个额外擦除。此外，我们证明了所有给定参数的PMDS码都是这种形式，即，我们给出了这些码的分类。这意味着这些码存在的基本域大小的一个充分必要条件（假设MDS猜想成立）。对于某些参数集，我们的广义建设产生的PMDS码具有较小的字段大小比任何其他已知的建设。
2017-07-04 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes for Grid-like Topologies
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。然而，在实践中使用的代码相当短。在这项工作中，我们解决我们认为是主要的编码理论障碍，部署较长的代码存储：在大的长度，故障是不独立的，相关的故障是不可避免的。这促使设计即使在大的相关故障之后也允许快速数据恢复的代码，并且具有有效的编码和解码。我们建议将分布式存储的代码设计视为两步过程。第一步是选择代码的拓扑，它包含了需要处理的相关故障的知识，并确保从这些故障中进行本地恢复。在第二步中，通过从有限域中选择系数来指定具有所选拓扑的代码。在该步骤中，试图平衡可靠性（其在较大的字段上更好）与编码和解码效率（其在较小的字段上更好）。这项工作开始深入研究这种可靠性/效率的权衡。我们认为，实现最大的可恢复性所需的字段大小：最强的可靠性可能与给定的拓扑结构。我们提出了一个家庭的拓扑结构称为网格状拓扑结构，统一了一些拓扑结构，在理论和实践中考虑，并证明了收集的结果最大限度地恢复代码在这样的拓扑结构，包括第一个超多项式下界的字段大小。
2016-09-20 cs.IT math.IT
Communication Cost for Updating Linear Functions when Message Updates are Sparse: Connections to Maximally Recoverable Codes
我们考虑一个通信问题，其中更新的源消息需要传达到一个或多个远程接收器，有兴趣在保持特定的线性函数的源消息。该设置是其中更新本质上是稀疏的设置，并且其中源和接收器都不知道确切的{ \em差向量}，而仅知道存在于差向量中的稀疏量。在这种情况下，我们感兴趣的是设计线性编码和解码方案，使所涉及的通信成本最小化。我们表明，这个问题的最佳解决方案是密切相关的概念，最大限度地恢复代码（MRC），这是最初介绍的存储系统编码的上下文中。在存储的上下文中，当系统被部分地约束为在存储节点之间具有本地奇偶校验关系时，MRC保证最佳擦除保护。在我们的问题中，我们证明了最优解存在的充要条件是某些类型的MRC（由所需的线性函数确定）存在。我们考虑点对点和广播版本的问题，并确定这些设置下的连接到MRC。对于点对点的设置，我们表明，我们的线性编码器为基础的可实现的计划是最佳的，即使非线性编码是允许的。该理论在更新擦除编码存储节点的上下文中示出。我们提出的例子的基础上，现代存储代码，如最小带宽再生码。
2018-08-05 cs.IT math.IT
A construction of Maximally Recoverable LRCs for small number of local groups
本文提出一种在较小有限域上构造最大可恢复局部重建码（MR LRCs）的新方法，推广了Hu和Yekhanin的构造，适用于局部组数量较少的实际场景，提高了容错与存储效率。
2023-05-11 cs.IT math.IT
Maximally recoverable local reconstruction codes from subspace direct sum systems
最大可恢复局部重建码（简称MR LRC）在过去几年中受到了极大的关注。在文献中已经提出了各种结构。本课题的主要目的是在小范围内构造磁流变LRC。$(N=nr,r,h,\Gd)$ -MR LRC是长度为$N$的有限域$\F_\ell$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n$局部组。每个本地组可以修复任何$\Gd$擦除错误，并且还有进一步的$h$全局奇偶校验，以提供来自更多全局擦除模式的容错。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，例如$h=O(1)$。在此参数设置中，所有以前的构造都需要字段大小$\ell =Ω_h (N^{h-1-o(1)})$。提高这一界限仍然具有挑战性。本文利用子空间直和系统，构造了场大小为$\ell= O(N^{h-2+\frac1{h-1}-o(1)})$的MR LRC。特别是，对于最有趣的情况下，其中$h=2,3$，我们改善以前的建设，无论是减少字段大小或删除约束。此外，我们还提供了一些结构的MR LRC更大的全球奇偶校验$h$，具有字段大小与已知的上限无法比拟。本文所使用的主要技术是通过我们介绍的子空间直和系统。有趣的是，子空间直和系统实际上等价于扩张域上的$\F_q$ -线性码。基于子空间直和系统的各种构造，我们能够构造几类MR LRC。
2021-11-05 cs.IT math.IT
Lower Bounds for Maximally Recoverable Tensor Code and Higher Order MDS Codes
$(m,n,a,b)$张量码由列满足“$a$”奇偶校验并且行满足“$b$”奇偶校验的$m\times n$矩阵组成（即，张量码是列码和行码的张量积）。张量码在分布式存储中很有用，因为单个擦除可以通过读取其行或列来快速纠正。最大可恢复（MR）张量码，由Gopalan等人提出，是张量码，其可以校正理论上可能校正的信息的每个擦除模式。关于MR张量码的主要问题是描述哪些擦除模式是可纠正的，以及在小域上获得显式的构造。在本文中，我们研究了当$a=1$，即，列满足单个奇偶校验等式。我们引入高阶MDS码（MDS $(\ell)$码）的概念，这是一个有趣的推广著名的MDS码，其中$\ell$捕获的低维空间中的点的泛型顺序。然后证明了具有$a=1$的张量码是MR的当且仅当行码是MDS $(m)$码.然后，我们证明了MDS $(m)$码满足一些弱对偶。利用这个特征和对偶性，我们证明了$(m,n,a=1,b)$张量码需要大小为$q=Ω_{m,b}(n^{\min\{b,m\}-1})$的场.我们的下界也扩展到设置的$a>1$。我们还给出了一个确定性的多项式时间算法来检查是否一个给定的擦除模式是可纠正的MR张量代码（当$a=1$）。
2022-12-02 cs.CC cs.IT math.IT
Maximally Recoverable LRCs: A field size lower bound and constructions for few heavy parities
在线存储的数据量的爆炸式增长导致分布式存储系统过渡到基于纠删编码的方案。局部重建码（LRC）已成为这些应用的首选码。这些代码可以通过只访问少量的剩余坐标来纠正少量的擦除。$(n,r,h,a,q)$是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为各自大小为$r$的$g=n/r$局部组.它具有$h$全局奇偶校验，每个本地组具有$a$本地奇偶校验。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它纠正所有擦除模式，这是信息理论上可纠正的规定结构下的本地和全局奇偶校验。我们展示了MR LRC所需的字段大小的第一个非平凡的下界。当$a,h$是恒定的和本地组$g \ge h$的数量，而$r$可能会增长与$n$，我们的下限简化为$q\ge Ω_{a,h}\left(n\cdot r^{\min\{a,h-2\}}\right).$没有超线性（在$n$）的下限是已知的任何参数设置之前，这项工作。在实践中部署的MR LRC具有少量全局奇偶校验，通常为$h=2,3$。我们补充我们的下限，给出小字段大小的$h\le 3$的建设。对于$h=2$，我们给出了一个线性域大小的构造。我们还展示了一个令人惊讶的应用椭圆曲线和算术级数自由集的建设MR LRC。
2018-11-15 cs.CC cs.IT math.IT
A construction of optimal locally recoverable codes
本地可恢复代码广泛应用于分布式和云存储系统中。本文的目的是构造一个椭圆多项式的近MDS码，并确定码的局部性。结果表明，近MDS码和近MDS码都是距离最优和维数最优的局部可恢复码。局部可恢复码的长度与文献中已知的不同。
2022-04-26 cs.IT math.IT
Constructions of maximally recoverable local reconstruction codes via function fields
局部重构码（LRC）允许基于仅几个其它码字符号以局部方式从少量擦除恢复。最大可恢复（MR）LRC提供了这种局部和全局容错的最佳可能混合，保证从所有擦除模式中恢复，这些擦除模式在存在局部恢复组的情况下是信息理论上可校正的。在$(n,r,h,a)$ -LRC中，将$n$码字符号划分成$r$不相交组，每个不相交组包括能够局部校正$a$擦除的$a$局部奇偶校验。MR LRC最近受到了广泛的关注，许多显式的结构涵盖了不同的参数范围。不幸的是，所有已知的构造都需要在$h$或$a$中呈指数的大的场尺寸，并且感兴趣的是获得最小可能场尺寸的MR LRC。在这项工作中，我们开发了一种基于函数场的方法来构建MR LRC。我们的方法恢复，并在大多数参数制度改善，以前的方法的字段大小。例如，对于小$r \ll ε\log n$和大$h \ge Ω(n^{1-ε})$的情况，我们将字段大小从大致$n^h$改进为$n^{εh}$。对于$a=1$（一个局部奇偶校验）的情况下，我们提高了字段大小的平方从$r^{h(h+1)}$到$r^{h \lfloor (h+1)/2 \rfloor}$为一定范围的$r$。改进是适度的，但更重要的是通过一个有前途的新想法以统一的方式获得。
2018-08-14 cs.CC cs.DM cs.IT
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
2022-05-18 cs.CC cs.IT math.IT
A Construction of Optimal Quasi-cyclic Locally Recoverable Codes using Constituent Codes
本文将准循环局部可恢复码分解为扩域上的组成码之和，并给出参数条件，用于构造维数和码长更大的近乎最优及最优码。
2024-06-17 cs.IT math.IT
Constructions of near MDS codes which are optimal locally recoverable codes
具有参数$[n,k,n-k]$的线性码被称为几乎最大距离可分（简称AMDS）。其对偶也是AMDS的AMDS码被称为近最大距离可分离（简称NMDS）码。NMDS码在有限几何、组合数学、密码学和数据存储等领域有着广泛的应用。本文首先给出了NMDS码的几种构造方法，并确定了它们的重量计数元。特别地，一些构造产生具有相同参数但不同权重枚举数的NMDS码。然后，我们确定了NMDS码的局部性，得到了一族距离最优和维数最优的局部可修码。
2022-04-24 cs.IT math.IT
Three Stories on a Two-sided Coin: Index Coding, Locally Recoverable Distributed Storage, and Guessing Games on Graphs
三个科学和工程问题最近的利益-索引编码，本地可恢复的分布式存储，和猜测游戏的图形-进行了讨论，并阐明其最佳解决方案之间的连接。通过推广Shanmugam和Dimakis以及Mazumdar关于有向图上的索引编码问题的最优广播速率与同一图上的局部可恢复分布式存储问题的归一化速率之间的互补性的最新结果，证明了这两个问题的容量区域和最优速率区域是互补的.建立这一结果的主要成分是Alon等人（2008）引入的混淆图的概念，混淆图的顶点传递性，通过混淆图的分数色数表征索引编码容量区域，以及通过混淆图的独立数表征局部可恢复分布式存储的最佳速率区域。作为互补性的第三个也是最后一个方面，Riis在图上的猜测游戏被讨论为局部可恢复分布式存储问题的特殊情况，并且表明猜测游戏的最优策略的获胜概率以及最优策略和随机猜测的获胜概率之间的比率可以分别被表征，通过索引编码的容量区域和分布式存储的最佳速率区域。
2015-11-03 cs.IT math.IT
On a Duality Between Recoverable Distributed Storage and Index Coding
在本文中，我们介绍了一个模型的单故障本地可恢复的分布式存储系统。这个模型似乎引起了一个问题，似乎双重的研究良好的索引编码问题。本文建立了模型的最优索引码和最优分布存储码的维数之间的关系。我们还展示了向量码的一些扩展。
2014-03-10 cs.IT math.IT
Construction of optimal locally recoverable codes and connection with hypergraph
最近，几位作者发现，$q$元最优局部可恢复代码，即，归档Singleton类型界限的本地可恢复代码可以具有比$q+1$大得多的长度。这与经典的$q$元MDS码有很大的不同，在经典的MDS码中，证明了码长的上界为$q+1$（或在某些特殊情况下为$q+2$）。这一发现启发了最近一些关于最佳本地可恢复代码长度的研究。\cite{LXY}证明了对于$d=3,4$，$q$元最优局部可恢复代码是无界的.随后证明了具有距离$d$和局部性$r$的$q$元最优局部可恢复码的长度为$Ω_{d,r}(q^{1 + 1/\lfloor(d-3)/2\rfloor})$。最近，在\cite{J18}和\cite{BCGLP}中给出了距离$d=5,6$的$q$元最优局部可恢复码的显式构造.在本文中，我们进一步研究构造最优局部可恢复码沿线使用奇偶校验矩阵。受经典的Reed-Solomon码和\cite{J18}的启发，我们给校验矩阵赋予了Vandermond结构。结果表明，具有Vandermond结构的校验矩阵产生的最优局部可恢复码必须满足$\mathbb{F}_q$子集的不交性。令我们惊讶的是，这个不相交条件等价于极值图论中一个研究得很好的问题。借助于极值图论，我们成功地将\cite{GXY}中的所有著名结果推广到了$d\geq 7$ .此外，对于$d=6$，我们能够去除在\cite{J18}中要求的$q$是…
2018-11-26 cs.IT math.CO math.IT
Improved bounds and optimal constructions of pure quantum locally recoverable codes
本文提出改进的纯量子局部可恢复码界限，并通过经典QECCs构造了最优qLRCs的无限族。
2025-12-08 cs.IT math.IT
On Locally Recoverable (LRC) Codes
我们提出了简单的最佳纠删LRC码的结构，展示他们的奇偶校验矩阵。当奇偶校验组中的局部奇偶校验的数量加上全局奇偶校验的数量小于奇偶校验组的大小时，构造的码是最优的，其字段的大小至少为码的长度。当全局奇偶校验的数量等于奇偶校验组中局部奇偶校验的数量加1时，我们可以将字段的大小至少减少到奇偶校验组的大小。
2015-12-18 cs.IT math.IT
Optimal quaternary $(r,δ)$-Locally Recoverable Codes: Their Structures and Complete Classification
针对多个节点并发故障时的数据恢复问题，将具有局部性$r$的线性$r$-LRC码扩展为具有局部性$(r, δ)$的$(r, δ)$-LRC码，使其能够在多个节点故障的情况下实现故障节点的局部恢复.最优LRC码是指其参数达到广义Singleton界且具有相等性的码。在本文中，我们感兴趣的是研究最佳LRC码在小域上，更准确地说，在$\mathbb{F}_4$。我们将采用一种方法，通过研究最佳的四元$(r,δ)$ -LRC码，通过他们的奇偶校验矩阵。我们的研究包括确定最佳的$(r,δ)$ -LRC码的结构特性，它们的构造，以及通过浏览所有可能的参数对$\F_4$的完全分类。我们强调，最佳四元$(r,δ)$ -LRC码的精确结构及其分类是通过奇偶校验矩阵方法使用证明技术获得的，该证明技术不同于Hao等人在[IEEE Trans. Inf. Theory，2020，66（12）：7465-7474]中获得的最近用于最佳二进制和三进制$(r,δ)$ -LRC码的证明技术。
2022-02-21 cs.IT math.IT
Optimal locally recoverable codes with hierarchy from nested $F$-adic expansions
在本文中，我们构造新的最优分层局部可恢复码。我们的建设是基于一个组合的思想的\cite{ballentine2019codes,sasidharan2015codes}与代数数论的方法，允许给一个更精细的调整的最小距离的中间代码（允许更大的尺寸的最终代码），并删除限制的算术性能的$q$相比，在层次结构中的局部集的大小。反过来，我们设法获得代码与广泛的参数集的大小$q$的基本字段，并为层次结构的大小，同时保持我们构造的代码的最优性。
2022-07-21 cs.IT math.IT math.NT
A family of optimal locally recoverable codes
如果编码中的每个符号都是少量（最多$r$）其他符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC）。我们提出了一个家庭的LRC码，达到最大可能的值的距离为一个给定的局部参数和代码基数。码字作为有限域上的特殊构造的多项式的评估而获得，并且如果局部参数$r$被设置为等于码维，则码字减少到Reed-Solomon码。大多数参数的代码字母表的大小仅略大于代码长度。恢复过程通过$r$点上的多项式插值来执行。我们还构造了几个不相交的恢复集的每一个符号的代码。这种结构使系统能够通过访问码字的不同部分来对特定符号进行多个独立且同时的恢复过程。此属性使频繁访问的数据（“热数据”）具有高可用性。
2014-07-11 cs.IT math.IT
Explicit construction of optimal locally recoverable codes of distance 5 and 6 via binary constant weight codes
在\cite{GXY18}中证明了距离为$d\ge 5$的$q$元线性局部可恢复码的长度$n$的上界为$O(dq^3)$ .因此，构造距离$d\ge 5$和长度接近上界的$q$元局部可恢复码是一个具有挑战性的问题.本文\cite{GXY18}还给出了$d=5$和$6$的具有局部性$r$和长度$n=Ω_r(q^2)$的$q$元局部可恢复码的算法构造，其中$Ω_r$表示隐常数依赖于局部性$r$ .本文利用二元等重码给出了距离$d= 5$和$6$的$q$元局部可恢复码的显式构造。结果表明，（i）我们的构造更简单，更明确;（ii）我们的代码的长度大于\cite{GXY18}中给出的代码。
2020-06-18 cs.DM cs.IT math.IT
Beyond Polynomials: Optimal Locally Recoverable Codes from Good Rational Functions
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；University of Paris VIII（巴黎第八大学）；CNRS, UMR 7539 LAGA, University of Paris XIII（法国国家科学研究中心，UMR 7539 LAGA，巴黎第十三大学）；China West Normal University（西华师范大学）
本文提出通过引入良好有理函数来扩展局部可恢复码的构造方法，利用代数函数域理论和伽罗瓦理论，构建了更优的LRC码家族。
2026-10-23 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Characterizations, Bounds, and Constructions
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
该研究针对量子局部可恢复码的约束限制，引入纠缠辅助量子局部可恢复码（EAQLRCs），建立其界与构造框架，得到首批明确的EAQLRCs最优码族。
2026-07-30 cs.IT math.IT
Optimal pure quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes from matrix-product construction
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Institut Universitari de Matemàtiques i Aplicacions de Castelló（卡斯特利翁数学与应用大学研究所）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）；IMUVA-Mathematics Research Institute（IMUVA数学研究所）
本文针对量子存储的删除错误修复需求，以矩阵积码为基础，构造出满足类Singleton界的最优纯量子$(r,δ)$-局部可修复码族，为量子存储系统提供了高效的纠错方案。
2026-08-25 cs.IT math.IT
Bounds and Constructions of Quantum Locally Recoverable Codes from Quantum CSS Codes
本文借助经典 LRC 推导量子 LRC 的参数界并刻画最优纯量子 LRC，进而利用经典 LRC 构造量子 CSS 码，首次得到多族最优纯量子 LRC。
2023-12-18 cs.IT math.IT
Constructions of Locally Recoverable Codes which are Optimal
设$q$是素数幂，$\mathbb F_q$是大小为$q$的有限域.在本文中，我们提供了一个伽罗瓦理论框架，允许产生良好的多项式的塔莫和巴格建设的最佳局部可恢复码（LRC）。使用我们的方法，我们构造新的好多项式，然后用新的参数最优LRC。现有的好多项式理论完全符合我们的新框架。我们的方法的主要优点是，我们不需要依赖于对$(q,r)$的算术属性，其中$r$是代码的局部性。
2019-09-01 cs.DM cs.IT math.CO
A class of locally recoverable codes over finite chain rings
本文研究有限链环上的局部可恢复码，通过扩展Tamo和Barg在2014年提出的构造，提出了一类新的局部可恢复码并讨论其最优性，推广了域上码的已知结果和界。
2024-01-10 cs.IT math.AC math.IT
Linear-time list recovery of high-rate expander codes
我们表明，扩展代码，当适当的实例化，是高速率的列表可恢复代码与线性时间列表恢复算法。最近，列表可恢复码在构造有效的列表可解码码以及用于压缩感知和组测试的矩阵的显式构造中是有用的。以前的列表可恢复代码与线性时间解码算法都有率最多为1/2，相比之下，我们的代码可以有率$1 - ε$的任何$ε> 0$。我们可以将我们的高速率代码插入Meir（2014）的构造中，以获得任意速率的线性时间列表可恢复代码，其接近所提供的非平凡列表的数量与代码的速率之间的最佳权衡。虽然列表恢复本身很有趣，但我们的主要动机是应用于列表解码。稍微加强我们的结果将意味着线性时间和最佳列表解码码的所有速率，我们的工作是解决这个重要问题的方向迈出了一步。
2015-03-06 cs.IT math.IT
Multi-Erasure Locally Recoverable Codes Over Small Fields For Flash Memory Array
擦除码在存储系统中起着防止数据丢失的重要作用。本文研究了一类用于闪存阵列的擦除码--多擦除局部可恢复码（ME-LRC）。与以前的相关工作相比，我们专注于小领域的ME-LRC的建设。我们首先开发的最小距离的ME-LRC的上限和下限。这些界限明确考虑了字段大小。我们的主要贡献是提出了一种基于广义张量积码的ME-LRC的一般构造，并研究了其纠删性质。给出了一种适合于擦除恢复的译码算法。然后，我们证明，我们的建设产生最佳的ME-LRC与广泛的代码参数。最后，我们提出了几个家庭的ME-LRC在不同的领域。
2017-01-22 cs.IT math.IT
Random Reed-Solomon Codes are List Recoverable with Optimal List Size
本文证明随机评估点的 Reed-Solomon 码在任意输入列表大小下可实现达到容量且输出列表大小最优的列表可恢复性，超越了列表恢复 Johnson 界，扩展了随机 RS 码列表译码的近期研究。
2024-04-03 cs.CC cs.IT math.CO
Locally recoverable algebro-geometric codes from projective bundles
本文提出了一种基于投影包构造的局部可恢复代数几何码，展示了其在不同维度下的最优性和高信息速率特性。
2026-01-07 cs.IT math.AG math.IT
Irregular Recovery and Unequal Locality for Locally Recoverable Codes with Availability
如果一个代码的每个坐标都可以从多个不相交的坐标集合（称为恢复集合）中恢复出来，则该代码被称为具有可用性的局部可恢复代码（LRC）。坐标的恢复集的大小的向量被称为其恢复轮廓。在这项工作中，我们考虑了两种不同设置下的可用性LRC：（1）不规则恢复：对于所有坐标保持固定的非恒定恢复曲线，（2）不平等的位置：可以随坐标变化的规则恢复曲线。对于每一个设置，我们推导出的最小距离，概括以前已知的边界的情况下，不规则或不同的恢复配置文件的界限。对于定期和固定的恢复配置文件的情况下，我们表明，一个特定的塔莫-巴格多项式的评估建设是最佳的所有符号的地方，我们提供的奇偶校验矩阵结构的信息局部性与可用性。
2017-05-14 cs.IT math.IT
On Optimal Locally Repairable Codes and Generalized Sector-Disk Codes
考虑了具有信息局部性的最优局部可修码。最佳码的构造，其长度也是顺序最佳的关于本文推导出的码长的一个新的界。所构造的码的长度在字母表大小上是超线性的，这改进了公知的金字塔码，其长度仅在字母表大小上是线性的。可恢复的擦除模式也分析了新的代码。基于可恢复的擦除模式，我们构造了广义扇区磁盘（GSD）码，它可以从磁盘擦除与扇区擦除混合在一个更一般的设置比已知的扇区磁盘（SD）码。此外，在所构造的GSD码中的扇区数是超线性的字母大小，与已知的SD码，其扇区数仅是线性的字母大小相比。
2020-02-05 cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
在本文中，局部可恢复码（LRC）是指一种线性码，其中给定的码符号可以通过取至多$r$个其它码符号与$r << k$的线性组合来恢复。一种自然的扩展是局部恢复一组$t$擦除符号。已经提出了几种用于处理多个擦除的方法。这里考虑的方法是顺序恢复的方法之一，这意味着$t$擦除的符号被连续地恢复，每次最多接触$r$其它符号以帮助恢复。在每个被擦除的符号通过最多接触$r$其它代码符号可恢复的约束下，这种方法是最通用的，因此提供了最大可能的码率。我们的特点的最大可能率的LRC与顺序恢复任何$r \geq 3$和$t$。我们这样做，首先推导出一个上限的码率，然后继续构建一个{ \em二进制}代码，达到这个最佳的速率。这里得出的上限证明了一个猜想有关的结构（但不是确切的形式）的速率界限。我们的方法还允许我们推导出一个速率最优的LRC与顺序恢复的奇偶校验矩阵的结构。奇偶校验矩阵又导致代码的图形描述。具有达到这里导出的上界的速率的二进制码的构造利用该描述。有趣的是，事实证明，速率和块长度都是最优的二进制码的子类对应于称为摩尔图的图，摩尔图是对于给定围长具有最小顶点数的正则图。文中还与Tornado码进行了联系。
2018-12-06 cs.IT math.IT
Entanglement-Assisted Quantum Locally Recoverable Codes: Bounds, Optimal Constructions, and Achievability
International Institute of Information Technology（印度国际信息技术学院）
本文研究无需对偶包含的类CSS EA-qLRC，推导其各类参数界，给出等号达类Singleton界的条件，构造Tamo–Barg与循环码族的EA-qLRC，补充两个可达性界并统一所有界，明确循环码族可产生最优码。
2026-08-10 cs.IT math.IT
Locally Recoverable Streaming Codes for Packet-Erasure Recovery
流代码是一类分组级擦除代码，其被设计成以确保在通信网络上以低延迟方式恢复擦除分组为目标。在流编码文献中众所周知，在分组流内对角地嵌入$[τ+1,τ+1-a]$最大距离可分离（MDS）码的码字导致能够在严格的解码延迟约束$τ$下从$a$任意分组擦除恢复的速率最优流编码。因此，MDS码适合于有效处理对应于$a$擦除的发生的最坏情况。在本论文中，我们有一个更大的关注最频繁的擦除模式的有效处理。我们研究的流代码，除了恢复从$a>1$任意数据包擦除下的解码延迟$τ$，有能力处理更常见的单包擦除，而招致较小的延迟$r<τ$。我们把这些代码作为$(a,τ,r)$本地可恢复的流代码（LRSC），因为我们的单擦除恢复的要求是类似的本地编码的分布式存储系统的要求。我们的特点是最大可能的速率的LRSC的所有可能的参数$\{a,τ,r\}$的速率最优的结构。虽然本文提出的速率最优LRSC结构需要较大的字段大小，但该结构是显式的。它还表明，我们的$(a,τ=a(r+1)-1,r)$ LRSC建设提供了额外的保证恢复从擦除$h, 1 \leq h \leq a$，数据包，延迟$h(r+1)-1$。因此，该构造随着擦除次数的增加而提供了解码延迟的适度降级。
2021-09-07 cs.IT math.IT
Multi-Erasure Locally Recoverable Codes Over Small Fields
擦除码在存储系统中起着防止数据丢失的重要作用。在这项工作中，我们研究了一类擦除码称为多擦除本地可恢复码（ME-LRC）的存储阵列。与以前的相关工作相比，我们专注于小领域的ME-LRC的建设。我们首先开发的最小距离的ME-LRC的上限和下限。我们的主要贡献是提出了一种基于广义张量积码的ME-LRC的一般构造，并研究了其纠删性质。给出了一种适合于擦除恢复的解码算法，并确定了可校正的擦除模式。然后，我们证明了我们的建设产生最佳的ME-LRC与广泛的代码参数，并提出了一些明确的ME-LRC在小领域。最后，我们证明了广义综合交织（GII）码可以被视为广义张量积码的一个子类，从而定义了这些码之间的确切关系。
2017-09-28 cs.IT math.IT
An Upper Bound On the Size of Locally Recoverable Codes
在{ \em局部可恢复}或{ \em可修复}码中，码字的任何符号都可以通过仅读取少量（恒定）的其它符号来恢复。本地可恢复性的概念在分布式存储领域非常重要，其中最常见的错误事件是单个存储节点故障（擦除）。一个共同的目标是通过从尽可能少的其他存储节点下载数据来修复节点。本文从码的长度、大小和局部性三个方面给出了码的最小距离的界。与以前的界限不同，我们的界限来自一个非常简单的分析，并取决于所使用的字母表的大小。事实证明，二进制单纯形码满足我们的界限与平等，因此单纯形码是第一个例子，一个最佳的二进制局部可修复的代码家庭。我们还提供了基于随机编码和级联码的可扩展性结果，这些结果在数值上被验证为接近我们的界限。
2015-03-26 cs.IT math.IT
Locally recoverable $J$-affine variety codes
本文构造了$J$-仿射簇码子域子码的局部可恢复（LRC）码以纠正多个擦除，计算了其局部性$(r, δ)$，并证明了部分长度$n\gg q$的码为$(δ-1)$-最优。
2020-03-11 cs.IT math.IT
Two families of linear codes with desirable properties from some functions over finite fields
本文基于增广技术从有限域函数构造了两族线性码，确定了其局部性、重量分布，并导出了最优或几乎最优可扩展的自正交局部可恢复码。
2024-01-05 cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and a Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
如果$\mathcal{C}$的每个$n$代码符号可以通过访问至多$r$其它代码符号来恢复，则在存在单个擦除并且具有局部参数$r$的情况下，$[n,k]$代码$\mathcal{C}$被称为是局部可恢复的。如果对于任何一组$s \leq t$擦除，存在$s$步骤顺序恢复过程，其中在每一步，通过访问至多$r$其它代码符号来恢复单个擦除符号，则$[n,k]$代码被称为具有从$t$擦除的顺序恢复的本地可恢复代码。这等同于对于任何一组$s \leq t$擦除，双码包含一个码字，该码字的支持包含恰好一个$s$擦除符号的坐标。本文对任意的擦除次数$t$和任意的局部性参数$r \geq 3$，导出了这种码的速率的一个严格上界。这一界限证明了宋、蔡和袁的一个早期猜想。尽管该界限是有效的，而与在其上定义代码的字段无关，但是也提供了速率最优的{ \em binary}代码的匹配构造，同样对于任何$t$值和任何$r\geq3$值。
2017-02-17 cs.IT math.IT
A family of codes with locality containing optimal codes
Gopalan等人在2012年引入了局部可恢复代码，同年Prakash等人引入了具有局部性的代码的概念，这是一种局部可恢复代码。在这项工作中，我们引入了一个新的家庭的代码与地方，这是一个特定的家庭的评估代码的子码。我们确定这些代码的尺寸，以及最小距离的界限。我们提出的最小距离在特殊情况下的真实值，也表明，这个家庭的元素是“最佳的代码”，定义的Prakash等人。
2021-01-19 cs.IT math.AG math.IT
Erasure Codes for Distributed Storage: Tight Bounds and Matching Constructions
本论文对再生码和局部可恢复码的理论都有重要的贡献。这两个主要贡献是表征LR码的最佳速率，该LR码被设计为顺序地从$t$擦除的符号中恢复，对于任何$t$，以及在被称为最佳访问RG码的RG码的子类的子分组化级别（矢量码符号的长度）上的紧界的发展。然而，也有其他几个值得注意的贡献，如推导出最严格的已知边界的性能指标，如最小距离和速率的一个子类的LR代码称为可用性代码。本文还提出了一些最大可恢复码的低域构造方法。
2018-06-12 cs.IT math.IT
On Finding the Largest Minimum Distance of Locally Recoverable Codes
本文研究的（n，k，r）-局部可恢复码（LRC）是一种（n，k）线性码，其每个坐标的值可以通过最多r个其它坐标的线性组合来恢复。在本文中，我们感兴趣的是找到最大可能的最小距离（n，k，r）-LRC，记为D（n，k，r）。我们将寻找D（n，k，r）的值的问题称为最大最小距离（LMD）问题。LMD可以近似为1的加法项;在文献中已知D（n，k，r）等于d* 或d*-1，其中d*=n-k-ceil（k/r）+2。此外，在文献中，LMD已经解决了一些范围内的代码参数n，k和r。然而，LMD仍然是未解决的一般代码参数。在这项工作中，我们将LMD转化为图论中的一个简单陈述问题，并证明了这两个问题是等价的。事实上，我们证明，解决衍生图论问题不仅解决了LMD，但也直接转化为最佳LRC的建设。使用这些新的结果，我们展示了如何容易地得到现有的结果LMD和扩展它们。此外，我们显示了LMD和极值图论中一个具有挑战性的开放问题之间的密切联系，表明LMD可能难以解决一般代码参数。
2018-09-24 cs.IT math.IT
Quantum Locally Recoverable Codes via Good Polynomials
本研究提出可使用任意优多项式的量子局部可恢复码构造方法，设计了基于仿射一般线性群子群的优多项式构建方式，并结合扩张器混合引理得到无r+1为素数限制的qLRC最小距离下界，推动量子存储编码研究。
2024-11-03 cs.IT math.IT
Combinatorial Alphabet-Dependent Bounds for Locally Recoverable Codes
局部可恢复（LRC）码由于其理论上的吸引力和在分布式存储系统中的应用，近年来成为编码理论研究的热点。在LRC码中，码字的任何被擦除的符号可以通过仅访问少量的其他符号来恢复。对于小字母表（如二进制）上的LRC码，最佳速率-距离权衡是未知的。我们提出了几个新的LRC码的组合界，包括局部感知球填充和Plotkin界。我们还开发了一种方法，线性规划（LP）界的LRC码。由此产生的LP界给出了更好的估计比其他上界在文献中已知的例子。此外，我们提供了严格的已知上限的线性LRC码的速率与给定的相对距离，以前最好的已知的界限的改进。
2018-01-25 cs.DM cs.IT math.IT
Locally recoverable codes on surfaces
线性纠错码是具有固定坐标系的有限域上的有限维空间的子空间。如果对于每个坐标，可以从码字的（某些）$r$其他坐标的值推导出码字处的值，则这样的代码被称为具有局部性$r$的局部可恢复的。这些代码已经发现了许多最近的应用，例如，到分布式云存储。我们将讨论构建良好的局部可恢复代码的问题，并提出一些使用代数曲面的结构，这些曲面可以改善以前的结构，有时还可以提供精确意义上的最优代码。本文的主要概念贡献是考虑曲面纤维在曲线上的方式，每个恢复集是从一个单一的纤维点。这允许我们使用纤维的几何形状来保证局部可恢复性，并使用表面的全局几何形状来保持我们代码的标准参数。我们详细研究了纤维是有理曲线或椭圆曲线的情况，并提供了许多应用我们方法的例子。
2021-02-18 cs.IT math.AG math.IT
