A note on mean curvature, Maslov class and symplectic area of Lagrangian immersions
本文证明了Kähler-Einstein流形中拉格朗日浸入的中曲率形式、辛面积和Maslov类之间的一个简单关系。一个直接的结果是，在具有正数量曲率的凯勒-爱因斯坦流形中，最小拉格朗日浸入是单调的。
2004-12-03 math.DG math.SG
Maslov class rigidity for Lagrangian submanifolds via Hofer's geometry
在这项工作中，我们建立了新的刚性结果的Maslov类的拉格朗日子流形在大类的封闭和凸辛流形。我们的主要结果建立了上界的最小Maslov数的移位拉格朗日子流形，这是产品流形的因素，每个承认一个度量的负截面曲率。这样的拉格朗日子流形存在于维度大于6或等于4的每个辛流形中。证明利用了拉格朗日上的闭测地线，拉格朗日附近支持的几何Hamilton流的周期轨道，以及这些流关于负Hellmann长度泛函的长度极小化性质之间的关系.
2008-08-10 math.DG math.SG
Fredholm-Lagrangian-Grassmannian and the Maslov index
我们解释的空间，所谓的，Fredholm-Lagrangian-Grassmannain的拓扑结构和数量"马斯洛夫指数“的道路在这个空间的基础上的标准理论的泛函分析。我们的立足点是根据弗雷德霍姆算子的基本谱性质来定义任意路径的Maslov指数，这是由J. Phillips首先认识到的，并用于定义“谱流”。我们试图使所有的论点是基本的，我们总结了这篇文章的基本事实，从泛函分析在附录中。
2003-11-27 math.DG math.SG
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: zero-Maslov class case
研究了当初始条件为零Maslov类拉格朗日量时，$\C^n$中拉格朗日中曲率流的奇异性.我们首先要说明，在这种情况下，奇点是不可避免的。更确切地说，我们构造拉格朗日与任意小的拉格朗日角和拉格朗日是哈密顿同位素的平面，然而，开发有限的时间奇点下中曲率流。然后，我们证明了两个定理关于切流在奇点时的初始条件是零马斯洛夫类拉格朗日。第一个（定理A）指出，在奇点处的重标度流弱收敛到面积最小化拉格朗日锥的有限并。第二个定理（定理B）指出，在初始条件是几乎校准和有理拉格朗日的附加假设下，重新标度流的连通分量收敛到单个面积最小化拉格朗日锥，而不是面积最小化拉格朗日锥的可能非面积最小化并集。后一个条件是稠密的拉格朗日与生成的$H_1(L,\Z)$。
2006-08-15 math.DG math.SG
Lagrangian embedding, Maslov indexes and Integer graded symplectic Floer cohomology
我们定义了一个整数分次辛Floer上同调和一个谱序列，它们是单调拉格朗日子流形和精确合痕的新的不变量。这样的整数分次Floer上同调是通常的Floer-Oh上同调在$Z_{\Si (L)}$分次下的积分提升。作为谱序列的应用之一，我们对定向、嵌入、单调拉格朗日环面的Audin问题，即$\Si (L) = 2$，给出了肯定的回答.
1996-02-22 dg-ga math.DG
Conjugate points and Maslov index in locally symmetric semi-Riemannian manifolds
研究了半黎曼局部对称流形中指数映射的奇异性。沿测地线的共轭点只依赖于曲率张量的实负特征值，它们对测地线的Maslov指数的贡献被显式计算。我们证明了共轭点的退化，这是一个现象，只能发生在半黎曼几何，是造成局部对称的情况下，缺乏对角化的曲率张量。研究了具有双不变度量的李群的情形，给出了指数映射在其奇异点附近缺乏局部内射性的条件。
2005-05-09 math.DG
Maslov class and minimality in Calabi-Yau manifolds
推广了辛向量空间中拉格朗日嵌入的Maslov类的构造，证明了对于Calabi-Yau流形的任何拉格朗日子流形都可以给出该类的相容定义.此外，我们证明了这类可以表示为压缩的Kaehler形式与Calabi-Yau度量，与中曲率向量场的拉格朗日嵌入。最后，我们提出了一个可能的推广的Maslov类的拉格朗日子流形的任何辛流形，通过中曲率表示。
2000-01-12 math.AG math.DG
On the Lagrangian angle and the Kähler angle of immersed surfaces in the complex plane $\bbc^2$
本文讨论了$\mathbb C^2$中浸入曲面的Lagrange角和Kähler角。首先，我们将拉格朗日角、Maslov形式和Maslov类推广到比拉格朗日曲面更一般的$\mathbb C^2$中的曲面，然后自然地推广了J. M. Morvan推广到常Kähler角曲面，并通过应用证明了具有常Kähler角的紧致自收缩曲面的Maslov类一般是非零的。其次，在满足$\int_M |h|^2e^{-\frac{|x|^2}{2}}dV_M<\infty$的条件下，我们得到了关于Kähler角的两个Pinching结果，这些结果包含了具有Kähler角的自收缩曲面的刚性定理，其中$h$和$x$分别表示曲面的第二基本型和位置向量.
2015-11-09 math.DG
Maslov index of Hamiltonian systems
利用Conley-Zehnder指数和时间1流给出了线性自治哈密顿系统基本解的Maslov指数的计算公式.
2008-01-17 math.DG math.DS
Maslov Indicies In Symplectic Geometry Revisited
本文重论辛几何中的马斯洛夫指标，在已有四种定义方法的基础上提出两种新方法，并与Her和Zhong基于早期工作定义的辛矩阵路径不变量进行了比较。
2026-09-04 math.DG
Neck pinches along the Lagrangian mean curvature flow of surfaces
设$L_t$是紧致Calabi-Yau曲面上的零Maslov有理Lagrange中曲率流，并假定在第一奇异时刻切流由两个横截面的静态并给出.我们表明，在这种情况下，切流是唯一的，并且可以继续过去的奇异性，作为一个沉浸，光滑，零马斯洛夫，合理的拉格朗日中曲率流。此外，如果$L_0$是一个球面，并且是在邱-丘意义下稳定的，那么这样的奇点就不能形成。
2022-08-23 math.DG
The eta-form and a generalized Maslov index
我们考虑单位区间上的Dirac算子族，它们通过边界条件依赖于参数。我们研究了相关的eta形式和马斯洛夫cocyles。通过这个简单的例子，我们展示了Lesch/Woiciechowski和第一作者关于圆柱的eta不变量的先前结果如何推广到家庭的情况。
1997-01-13 dg-ga math.DG
Bernstein Type Results for Lagrangian Graphs with Partially Harmonic Gauss Map
本文对具有Hamilton极小或共形Maslov形式的Lagrange图建立了Bernstein定理。推广了极小（拉格朗日）子流形的一些已知结果。
2008-06-21 math.DG
A topological definition of the Maslov bundle
本文给出光滑复褶余切丛的拉格朗日子流形的Maslov纤维丛的定义。这个定义generelizes的定义，在同伦的条款，由Arnol'd为拉格朗日子流形的余切丛的欧几里得空间和重合的一个Hörmander在他的著作中关于傅立叶不等式算子。
2006-01-24 math-ph math.DG math.MP
Spectral Flow, Maslov Index and Bifurcation of semi-Riemannian Geodesics
给出了半黎曼测地线的Maslov指标与由该指标形式得到的自伴弗雷德霍姆算子的路的谱流相等的泛函分析证明.这一事实，连同最近的结果的分歧临界点的强不定泛函（见P。M。菲茨帕特里克，J.强不定泛函的Recht、谱流与分支（I）。一般理论，J. Funct。Anal. 162（1）（1999），52-95.）这意味着沿半黎曼测地线每个非退化和非零共轭（或$P$ -焦点）点是歧点。
2002-11-06 math.DG math.FA
A variational approach to Givental's nonlinear Maslov index
本文考虑Rabinowitz弗洛尔同调的一个变体，以定义接触同构的路的判别点的同调计数。该计数的增长率可以被视为Givental的非线性Maslov指数的模拟。作为应用，我们证明了一个Bott-Samelson型阻塞定理的接触同构的正回路。
2011-02-17 math.DG math.GT math.SG
The Maslov index in symplectic Banach spaces
考虑固定巴拿赫空间中拉格朗日子空间的Fredholm对偶曲线具有连续变化的（弱）辛结构。假设指数为零，我们得到了全巴拿赫空间的连续变化分裂为辛子空间对的内在结果。使用这样的分解，我们定义曲线的Maslov指数辛减少到经典的有限维的情况下。证明了重复辛约化的传递性，得到了Maslov指标在辛约化下的不变性，同时恢复了Maslov指标的所有标准性质.作为应用，我们考虑了具有变化的主象征和变化的极大区域且不一定是Dirac型的椭圆算子曲线。对于这类算子曲线，我们在有边界流形上导出了变适定边界条件的解悬谱流公式，并得到了分块流形上谱流的分裂.
2018-03-15 math.DG math.FA math.SG
On the Maslov index of symplectic paths that are not transversal to the Maslov cycle. Semi-Riemannian index theorems in the degenerate case
我们使用广义签名的概念，在一个平滑曲线的对称双线性型的奇异性，以确定一个公式计算的Maslov指数的情况下，一个真正的解析路径有可能非横向交叉。我们讨论了一些应用的理论，特别强调的研究雅可比方程沿半黎曼测地线。本文的研究工作源于第三作者提出的将谱流与部分特征联系起来的建议。他指出了几个参考文献，并制定了声明，在可逆端点的情况下，频谱流的一个真正的分析路径的自伴弗雷德霍姆算子是由总和的奇数部分签名在每个退化的时刻。在本文的当前版本中，这一陈述是命题2.9的一部分;总的来说，第三作者对理论的贡献包括定义2.3、公式（2.1）和（2.2）、命题2.4的第一个陈述、注释2.5的部分、定义2.6以及命题2.9的部分陈述和部分证明。除了这一原始贡献，本文所载的材料完全是由前两位作者在Universita' di Camerino（意大利），圣保罗大学（巴西）开发和编写的。
2004-10-26 math.DG math.FA
Maslov index in the infinite dimension and a splitting formula for a spectral flow
首先，我们证明了自伴弗雷德霍姆算子的可微曲线的局部谱流公式（定理3.7）。这个公式使我们能够以一种简单的方式证明一个一般的谱流公式。其次，我们证明了闭流形上自伴椭圆算子曲线谱流的一个分裂公式（定理4.12），并将其分解为具有公共边界的两部分。然后，公式说，谱流是两个谱流的总和的每一部分的分离流形自然引入椭圆边界条件。在证明这个公式的过程中，我们研究了拉格朗日子空间的Fredholm对偶的道路的Maslov指标的一个性质
2003-06-28 math.DG math.SG
The Maslov index in weak symplectic functional analysis
我们回顾了弱辛结构的Schiff-Marsden定义，并给出了弱辛巴拿赫空间的泛函分析和几何的严格处理.定义了连续变化巴拿赫空间中拉格朗日子空间的Fredholm对子的连续路径的Maslov指标。我们得出这个马斯洛夫指数的基本性质，并强调出现的新功能。
2013-01-30 hep-th math.DG math.FA
Symplectic Spinors, Holonomy and Maslov Index
本文证明了由Cappell，Lee和Miller引入的拉格朗日路径对的Maslov指数是通过将欧几里得空间上的辛旋或丛（的某个复线-子丛）的元素沿其中的闭合或非闭路拉回到（嵌入的）拉格朗日子流形$L$时，平行输运而出现的.特别地，CLM指数模4确定了这个线丛的和乐群。$L$上的Levi-Civita-联络，因此它的模4的消失等价于平凡化平行截面的存在。此外，它示出的CLM指数确定平行运输在该线束沿任意路径相比，平行运输w.r.t.对于欧几里得空间的正则平坦联络，如果在端点处的拉格朗日切面重合或正交。这是来自平行运输的某些元素的双spinorbundle沿封闭或端点横向路径的结果。
2011-06-22 math.DG math.SG
The Morse Index Theorem in semi-Riemannian Geometry
我们证明了半黎曼版本的著名的莫尔斯指标定理测地线在半黎曼流形，我们认为一般情况下的两个端点变量的两个子流形。半黎曼测地线的{ \em Maslov指标}的概念是这一理论的核心，它是一个同调不变量，取代了黎曼几何中的几何指标概念。在一般情况下，测地线的Maslov指数被计算为沿着测地线的共轭点的{ \em代数计数}。对于非正定度量，指数形式的指数总是无穷大的，本文证明了给定测地线的所有变分空间都有一个{ \em natural}分裂为两个无穷维子空间，Maslov指数由指数形式对这两个子空间的限制的指数与余指数之差给出.在可变端点的情况下，两个合适的修正项，定义在endmanifold，被添加到等式。通过适当的变量变换，将理论完全推广到更一般的{ \em辛微分系统}的情形，它可以作为哈密顿方程的线性化而得到。
2000-11-14 math.DG
Primitive du cocycle de Maslov généralisé
设$\mathcal{D}$是一个管型Hermite对称空间，$S$是它的Shilov边界.给出了$S$的泛覆盖$\widetilde{S}$的一种实现.然后我们在$\widetilde{S}$上描述[{ \it Transform. Groups} { \bf 6}（2001），303-320]和[{ \it J.Math.PureAppl.} { \bf 83}（2004），99-114]。它在拉格朗日流形的情况下推广了Souriau指数。这种构造的一个变体产生了Arnold-Leray-Maslov指数的推广。该基元用于推广辛旋转数。
2004-03-21 math.DG math.GR
Maslov, Chern-Weil and Mean Curvature
给出了曲面$Σ$上$(E,F)$对的Maslov指标的积分公式，其中$E\rightarrowΣ$是复向量丛，$F\subset E_{|\partialΣ}$是全实子丛.在Chern-Weil理论中，该公式是根据$E$的曲率加上边界贡献来写的。当$(E,F)$通过将$(Σ,\partialΣ)$浸入一对$(M,L)$中而得到时，其中$M$是Kähler，$L$是全实数，该公式允许我们根据$(M,L)$的几何形状来控制Maslov指数。我们展示自然条件下，$(M,L)$，导致边界和单调性的结果。
2018-09-27 math.DG math.SG
Lagrangian mean curvature flow of surfaces with mean curvature bound
本文证明在平均曲率一致有界条件下，零 Maslov 拉格朗日平均曲率流在奇异点处的切流唯一，即抛物重标度极限与重标度序列无关。
2025-03-29 math.DG
Stability of the Focal and Geometric Index in semi-Riemannian Geometry via the Maslov Index
研究了半黎曼测地线$γ$上共轭点或焦点数（重数）的稳定性问题。对于黎曼或非类空的洛伦兹测地线，这个数等于一条连续曲线与辛空间的拉格朗日格拉斯曼余维子簇的相交数（Maslov指数）。这样的相交数被证明是稳定的，在各种各样的情况。在一般的半黎曼情形下，在适当的假设下，这个数等于共轭点的重数的代数计数，并且它与非自伴微分算子的谱性质有关。这最后一个关系给出了在黎曼几何和洛伦兹几何中的经典莫尔斯指数定理的弱推广。在本文中，我们reprove的一些结果是错误的Helfer在以前的参考文献中，特别是，一个反例的Helfer的结果，这是必不可少的理论，给出。本文最后讨论了半黎曼度量指标理论中构造例子和反例的一般技巧，并在其中出现了一些新的现象。
2000-04-24 math.DG math.SG
Generalized Lagrangian mean curvature flows in almost Calabi-Yau manifolds
本文研究了T。贝恩德我们证明了这种流动的奇异性的特点是第二基本型。对于几乎Calabi-Yau流形上具有零Maslov类的广义Lagrange中曲率流，我们还证明了在奇点处的重标流收敛于一个特殊Lagrange锥的有限并.作为一个推论，对于这样的流，不存在有限时间的I型奇点。
2013-07-30 math.DG
A general splitting formula for the spectral flow
我们得到了沿超曲面$Σ$（$M=X\cup_Σ Y$）分裂的奇维流形$M$上的单参数自伴Dirac算子族的谱流的分解公式.没有横截性或拉伸假设，边界条件可以任意选择。该公式采用$SF(D)= SF(D_{|X}, B_X) + SF(D_{|Y},B_Y) + μ(B_Y,B_X) + S$的形式，其中$B_X$和$B_Y$是边界条件，$μ$表示Maslov指数，而$S$是来自拉伸和旋转边界条件的明确定义的Maslov指数之和。推导是一个简单的后果尼古拉斯库的定理和基本性质的马斯洛夫指数。我们展示了如何使用公式，并得出许多分裂定理在文献中作为简单的后果。
1999-02-24 math.DG
The eta-invariant, Maslov index, and spectral flow for Dirac-type operators on manifolds with boundary
狄拉克算子η-不变量的Mod Z胶合公式的几个证明已经发表。然而，到目前为止，整数贡献的胶合公式的η-不变的是模糊的文献。在这篇文章中，我们提出了一个胶合公式的η-不变量表示的整数贡献作为一个三重指标，涉及边界条件和Calderon投影仪的两个部分的分解。我们介绍的主要成分是Scott-Wojciechowski定理的Dirac算子的行列式的带边流形和布鲁宁-Lesch的方法模Z胶合公式。我们的演示包括辛希尔伯特空间中马斯洛夫指数和三重指数的仔细构造。作为副产品，我们直观地吸引力的证明的两个定理的Nicolaescu的Dirac算子的谱流。作为我们的方法的一个应用，我们进行了详细的分析的η-不变的奇签名算子耦合到一个平坦的连接使用绝热方法。这是用来扩展的Atiyah-Patodi-Singer rho-不变量的定义与边界的流形。我们推导出Atiyah-Patodi-Singer rho-不变量的“非可加性”公式，并将其与Wall的偶维流形签名的非可加性公式联系起来。
2002-03-11 math.DG math.GT
An Index Theorem for Non Periodic Solutions of Hamiltonian Systems
我们考虑一个{ \em哈密顿系统} $\sextuple$，其中$(\mathcal M,ω)$是一个辛流形，$\mathfrak L$是$\mathcal M$中拉格朗日子空间的分布，$\mathcal P$是$ \mathcal M$的拉格朗日子流形，$H$是$\mathcal M$上光滑的时间依赖哈密顿函数，而$Γ:[a,b]\to\mathcal M$是哈密顿流$\Hf$从$\mathcal P$开始的积分曲线.我们不要求哈密顿函数$H$的任何凸性。在假设$Γ(b)$不是$\mathcal P$ -焦点的情况下，引入了$Γ$的Maslov指数$\maslov(Γ)$，该指数是根据拉格朗日格拉斯曼的第一相对同调群给出的;在一般情况下，$\maslov(Γ)$被计算为沿着$Γ$的$\mathcal P$ -焦点的一种{ \em代数计数}。我们证明了指数定理的如下版本：在适当的假设下，限制于$Γ$的适当变化的拉格朗日作用泛函的Morse指数等于$\maslov(Γ)$与Hamilton $H$相对于子流形$\mathcal P$的{ \em凸项}之和.当把这个结果应用到半黎曼流形$(M,g)$的余切丛$\mathcal M=TM^*$和测地线哈密顿量$H(q,p)=\frac12 g^{-1}(p,p)$的情形时，我们得到了黎曼几何中著名的变端点测地线Morse指标定理的半黎曼形…
2000-10-30 math.DG math.FA
Uniqueness of Lagrangian Self-Expanders
我们证明了C^n中的零Maslov类Lagrange自展式对于一对相交平面是渐近的，当n>2时是局部唯一的，当n=2时是唯一的。
2012-08-14 math.AP math.DG math.SG
A Generalized Index Theorem for Morse-Sturm Systems and Applications to semi-Riemannian Geometry
本文证明了Morse-Sturm系统的指标定理的一个推广，其形式为$-V''+RV=0$，其中R关于（非正）对称双线性型对称，因此相应的微分算子不是自伴的.然后将结果应用于洛伦兹流形中沿着测地线的雅可比方程的情况，获得了具有可变初始端点的洛伦兹测地线的莫尔斯指数定理的扩展。给定一个洛伦兹流形（M，g），我们考虑M中的一个测地线$γ$从M的光滑子流形P正交开始.在适当的假设下，满足，例如，如果（M，g）是平稳的，定理给出了一个等式之间的指数的二阶变分的行动功能f在$γ$和总和的{ \em马斯洛夫指数}的$γ$与指数的度量g的P。利用Maslov指标，我们得到了定常Lorentz流形中两个不动点间测地线的整体Morse关系.
1999-08-13 math.DG math.FA
Jacobi Fields in Optimal Control I: Morse and Maslov Indices
在本文中，我们讨论了一个一般框架的基础上辛几何的研究二阶条件的约束变分问题的曲线。利用L-导数的概念，我们构造了Jacobi曲线，它代表了经典变分法中Jacobi场的推广，但也适用于非光滑极值。该构造特别包括用于特定类型的极值的先前已知的构造。我们的状态和证明莫尔斯型定理，连接负惯性指数的海森的问题，一些辛不变量的Jacobi曲线。
2021-03-22 math.DG math.OC
Generalized Lagrangian mean curvature flows: the cotangent bundle case
在[SW 2]中，我们定义了几乎Kähler流形上任意拉格朗日子流形上关于挠联络的广义中曲率向量场.建立了相应抛物流的短时存在性。此外，它表明，流保持拉格朗日条件，只要连接满足爱因斯坦条件。本文证明了任何黎曼流形的余切丛上的正则联络都是Einstein联络（实际上是Ricci平坦的）。任何拉格朗日子流形上的广义中曲率向量与由平行（n，0）形式的相位定义的拉格朗日角有关，就像卡-丘情形一样。我们还证明了余切丛中相应的拉格朗日中曲率流保持了精确性和零Maslov类条件。最后，我们证明了余切球丛零截面的长时间存在性和收敛性，从而证明了余切球丛零截面的稳定性。
2016-04-11 math.DG
Remarks on monotone Lagrangians in $\mathbf{C}^n$
通过对$L$上具有边界的Maslov 2全纯圆盘的模空间的拓扑的观察，然后利用Damian定理给出了从该模空间到$L$的求值映射具有非零度的条件，得到了单调拉格朗日子流形$L\subset\mathbf{C}^n$的拓扑的一些限制.特别地，我们证明了一个可定向的3-流形允许一个单调拉格朗日嵌入$\mathbf{C}^3$，只有当它是一个产品，这是一个变化的定理的一个定理。最后证明了单调拉格朗日浸入的一个h-原理。
2019-09-10 math.DG math.SG
Special Lagrangian webbing
Hebrew University（希伯来大学）
论文构造了接近正Lagrangian子流形相交点的虚特殊Lagrangian圆柱体家族，获得了开放正Lagrangian子流形的测地线，并首次尝试构建闭正Lagrangian子流形的测地线。同时，提出了一种证明正Lagrangian测地线在非光滑处C^{1,1}正则性的方法。
2026-05-01 math.AP math.DG math.SG
Self-similar solutions and translating solitons for Lagrangian mean curvature flow
我们构造了许多拉格朗日中曲率流的自相似和平移孤子，包括自膨胀孤子和在拉格朗日角上具有任意小振荡的平移孤子。我们得到的平移孤子在里奇流中起着与雪茄孤子相同的作用，对研究拉格朗日中曲率流的规律性有重要意义。给定C^n中的两个特征角之和小于pi的横拉格朗日平面R^n，我们证明了这对平面存在一个拉格朗日自展式渐近解.这些自膨胀器的马斯洛夫类为零。因此，它们可以作为局部模型的手术拉格朗日中曲率流。还构造了具有不同拓扑结构的自收缩器和自膨胀器族。本文概括了安西奥、乔伊斯、劳勒、李和王的工作。
2010-02-03 math.DG math.SG
Counting pseudo-holomorphic discs in Calabi-Yau 3 fold
本文定义了一对第一陈类为零的6维辛半任意流形及其Maslov指数为零的拉格朗日子流形的不变量。这个不变量是一个关于边界上链的路径连通分量集合的函数（与拉格朗日子流形相关的过滤A无穷代数的Maurer-Cartan方程的A无穷版本的解）。当拉格朗日子流形是一个有理同调球面时，它成为一个数值不变量。这个不变量依赖于殆复结构的选择。它依赖于殆复结构的方式由一个涉及伪全纯球的模空间的过壁公式来描述。
2009-08-02 math.DG math.SG
Hamiltonian mean curvature flow
设（Σ，ω）是具有常曲率c的紧致Riemann曲面。在这篇文章中，我们证明了给定的哈密顿同态的中曲率流在Ham（Ham）中提供了一条光滑的路，Ham（Ham）是Ham（Ham）的所有哈密顿同态的群。这个结果证明了Thomas和Yau的猜想：在Hamilton同构图的情形下，Calabi-Yau流形M中具有零Maslov类的紧嵌入拉格朗日子流形S的中曲率流始终存在，并且光滑收敛到S的Hamilton合痕类中的一个特殊拉格朗日子流形.
2012-11-05 math.DG math.SG
