On distinct residues of factorials
Vladica Andrejić, Milos Tatarevic
本文研究了素数$p > 5$的存在性，其中$2!$，$3!$，\dots，$(p-1)!$模$p$的残基都是不同的.我们描述了这个问题和Kurepa的左阶乘函数之间的连接，并报告说，没有这样的素数小于$10^{11}$。
We investigate the existence of primes $p > 5$ for which the residues of $2!$, $3!$, \dots, $(p-1)!$ modulo $p$ are all distinct. We describe the connection between this problem and Kurepa's left factorial function, and report that there are no such primes less than $10^{11}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Products of Factorials Modulo p
模p因子积与完全剩余的研究。
Improved algorithms for left factorial residues
我们提出了计算左阶乘残基的改进算法$!p=0!+1!+...+(p-1)! \!\mod p$。我们使用这些算法计算的残留物$!p\!\mod p$，所有素数$p$到$2^{40}$。我们的结果证实了Kurepa的左阶乘猜想仍然是一个未解决的问题，因为它们表明不存在奇素数$p<2^{40}$使得$p$可除$!p$。此外，我们还证明了不存在具有$5<p<2^{40}$的社会主义素数$p$.
Distribution of factorials modulo p
我们证明了序列$n!\,(\bmod\,p)$在短区间$H\le n \le H+N$中至少占有$\sqrt{\frac{3}{2}N}$个剩余类，并且$N\gg p^{\frac{1}{4}}$改进了先前已知的平凡界$\sqrt{N}.$。另一方面，我们估计了序列$n!\,(\bmod\,p)$对于$p\le x.$丢失的剩余类的平均数目
Solution to the Erdos problem on distinct residues of factorials
本文用初等方法证明，对于大于5的素数p，2!, 3!, ..., (p-1)!模p的剩余不可能全部不同。
Explicit results for Euler's factorial series in arithmetic progressions under GRH
在广义黎曼假设下，研究欧拉阶乘级数在p-adic域中算术级数上的线性形式非零性，给出显式下界及素数分布区间。
Factorial residues modulo a prime: beyond the square-root bound
本研究针对素数模阶乘剩余集的大小下界问题，利用有限域阶乘恒等式、分式线性映射交点性质与Stevens-de Zeeuw点线相交定理，将下界从平方根级改进至\\(p^{8/15}\\)量级。
Exponential Sums and Congruences with Factorials
我们估计了某些涉及因子的对角同余的解的个数。利用这些结果，我们得到了两个因子乘积$n!m!$的指数和的界，并得到了因子乘积的各种同余的解的个数的渐近公式。例如，我们证明了两个因子$n!m!$与$\max\{n,m\}<p^{1/2+ε}$的乘积是模$p$均匀分布的，并且任何模$p$的剩余类都可以用$m!n!+n_1! + ... +n_{49}!$与$\max \{m,n, n_1, >..., n_{49}\} < p^{8775/8794+ ε}$的形式表示。
Sums of distinct divisors of factorials
本文证明阶乘的不同除数之和的覆盖数上界为(2log2+o(1))n/logn，通过结合递减贪心构造与更锐利的除数间隙估计，改进了先前结果。
Weighted equidistribution of factorial prime valuations in fixed power bands
研究固定幂带内素数在阶乘中赋值的对数质量分布，建立渐近公式并推导多项式-阶乘方程解的必要容量条件。
On the sequence $n! \bmod p$
该研究证明阶乘序列模素数p的不同剩余类下界，给出区间内阶乘剩余类的相关结论，并推导出每个非零剩余类可表为七个阶乘的模p乘积，较先前结果有多项式级改进。
Arithmetic progressions of Carmichael numbers in a reduced residue class
修正互质自然数$a,q$。在素数$k$元组猜想的假设下，证明了存在任意长的Carmichael数的等差数列，每一算术级数都位于约化的剩余类$a$ mod $q$中，并且是三个不同的素数的乘积.
Residue races of the number of prime divisors function
我们调查的分布功能$ω(n)$，不同的素除子的$n$，在剩余类模$q$自然数$q$大于2。特别是我们问“素数种族”风格的问题，建议由库恩和Dahmen在他们的论文“剩余类分布的数量素除子的整数”。
Residue sums of Dickson polynomials over finite fields
本文研究奇特征有限域上任意次数Dickson多项式的剩余类和问题，给出了像中不同剩余类之和的闭式表达式并刻画像集大小，首次实现次数无界多项式此类和的非平凡分类。
Sum of Distinct Biquadratic Residues Modulo Primes
本文证明了关于模素数下双二次多项式不同输出值之和的两个猜想，给出依赖 p 模 8 余数和 c 二次剩余性的八情形公式，并据此分类了所有可能和值的集合。
A More Efficient Algorithm for Finding the Number of Permutations of $\mathbb{ZZ}/n\mathbb{ZZ}$ with Distinct Partial Sums
研究加法运算下模\(n\)整数具有不同部分和的排列数，提出改进算法计算模\(n\)整数的这些排列数，并通过双射将其与已知序列关联以计算新项。
Square products of factorials and a conjecture of Erdős and Graham
本文研究 Erdős 与 Graham 关于阶乘乘积为完全平方数的计数函数 $D_k(X)$ 的增长阶猜想，证明 $D_3(X)$ 有显式渐近公式，$D_5$ 与 $D_6$ 均为 $X$ 量级，并完全确定所有 $k$ 的增长阶。
Quadratic residues and a new infinity of orders for which a conjecture of Ryser about Circulant Hadamard matrices holds
对任何正整数$k$，使得$k>1,$存在无穷多个奇整数$h$，它们具有$ω(h) =k$不同的素除子因子，使得不存在$n=4h^2.$阶的循环Hadamard矩阵$H$。此外，我们的主要结果意味着，对所有奇数$h$，对于$1< h < 10^{13}$，不存在$n=4h^2.$阶的循环Hadamard矩阵
Residue class biases in unrestricted partitions, partitions into distinct parts, and overpartitions
本文证明了无限制分拆、相异部分分拆与过度分拆中模固定整数下不同剩余类部分出现次数的特定偏差，基于剩余加权分拆函数不等式推导，并建立了具有对称剩余类偏差的分拆数量的渐近公式。
Character Sums and Congruences with n!
我们用n来估计特征和，平均而言，和个人。利用这些界得到了关于模p的各种同余的新结果，并得到了关于模p的二次非剩余之间的间距的新信息。特别地，我们证明了存在正整数$n\ll p^{1/2+ε}, such that n! is a primitive root modulo p. We also show that every nonzero congruence class a \not \equiv 0 \pmod p can be represented as a product of 7 factorials, a \equiv n_1! ... n_7! \pmod p, where $ \max \{n_i| i=1，. 7\}=O（p^{11/12+ε}），并且我们找到了这种表示数的渐近公式。最后，我们表明，产品的4个因子$n_1!n_2!n_3!n_4!, with \max\{n_1, n_2, n_3, n_4\}=O(p^{6/7+ε})$代表“几乎所有”的剩余类模p，和产品的3个因子n_1！n_2！n_3！其中\max \{n_1，n_2，n_3\}=O（p^{5/6+ε}）$是模p均匀分布的.
On the uniform distribution in residue classes of dense sets of integers with distinct sums
一个集合${\cal A} \subseteq \Set{1,...,N}$的类型是$B_2$，如果所有的和$a+b$，与$a\ge b$，$a,b\in {\cal A}$，是不同的。众所周知，这样的最大集合的大小渐近于$N^{1/2}$。对于一个$B_2$集${\cal A}$的这种大小，我们表明，在温和的假设下，模$m$的大小和差异$N^{1/2}-\Abs{\cal A}$（这些数量不应该太大）的元素${\cal A}$均匀分布在剩余类模$m$。还提供了关于分布均匀程度的定量估计。这推广了Lindström最近的结果，他的方法是组合的。我们的主要工具是$k$项的余弦和的最小值的上界，$\sum_1^k \cos{λ_j x}$，其所有正整数频率$λ_j$的大小最多为$(2-ε)k$。
Limiting properties of the distribution of primes in an arbitrarily large number of residue classes
我们推广目前已知的分布结果的Shanks-Rényi素数比赛的情况下，任意多个剩余类。我们的方法处理经典的情况下，可以追溯到切比雪夫和功能领域的类似物在最近几年。更准确地说，令$π(x;q,a)$为直到$x$的素数的数目，这些素数与$a$模$q$全等。对于一个固定的整数$q$和不同的可逆同余类$a_0,a_1,\ldots,a_D$，假设广义黎曼假设和弱版本的线性独立性假设，我们证明了集合的$x$真正的不等式$π(x;q,a_0)>π(x;q,a_1)> \ldots >π(x;q,a_D)$同时满足允许对数密度。
Exponential Sums and Distinct Points on Arcs
假设已经调用了一些调和分析参数来表明剩余类集合模某个整数的指示函数具有大的傅里叶系数。为了得到关于剩余类集合的结构的信息，我们需要某种类型的互补结果。1961年，格雷戈里·弗赖曼（Gregory Freiman）给出了这个问题的解决方案，他证明了一个引理，该引理将指数和的值与复平面中单位圆的半圆中的被加数的分布联系起来。从那时起，Freiman引理被几位作者扩展。除了剩余类之外，我们还考虑了单位圆上任意点的情形。到目前为止，列夫是唯一一个考虑到被加数可以彼此有界的作者，就像剩余类一样。在本文中，我们推广列夫的结果，提升我们最近的结果的情况下，点是有界远离对方。
Residues modulo powers of two in the Young-Fibonacci lattice
研究了由具有奇$f$ -统计量的元素诱导的Young-Fibonacci图的子图（微分分次偏序集的元素$w$的$f$ -统计量是从偏序集的极小元到$w$的饱和链的个数）.我们证明了这个子图是一棵二叉树。此外，该树的行中的$f$ -统计量的奇数残差以任何幂2为模进行等分布。这相当于一个纯粹的数论结果之间的产品不同的奇数小于小于一个固定的数字的剩余模幂的均匀分布。
Chebyshev's bias for products of $k$ primes
对任意的$k\geq 1$，研究了整数$n\leq x$与$ω(n)=k$或$Ω(n)=k$在两种不同等差数列中的个数之差的分布，其中$ω(n)$是$n$的不同素因子个数，$Ω(n)$是$n$的素因子个数，重数是重数.在合理的假设下，证明了当$k$为奇数时，具有$Ω(n)=k$的整数对二次非剩余类有偏好;当$k$为偶数时，具有$k$的整数对二次剩余类有偏好.这个结果证实了理查德·哈德森的一个猜想。然而，具有$ω(n)=k$的整数总是偏好二次剩余类。此外，随着$k$的增加，两种情况下的偏倚都变得越来越小。
Blocking Sets and Power Residue Modulo Integers with Bounded Number of Prime Factors
本文建立了整数子集的 $q^{th}$ power residue 性质与有限几何中 $k$-blocking set 的等价关系，利用 Galois geometry 推导基数下界并刻画极小集合，证明该性质在 $\mathrm{PGL}(n,q)$ 作用下不变。
On some conjectural determinants of Sun involving residues
本文研究模素数幂留数构成的行列式$S_{m,k}(d,p)$的留数性质，推广孙的相关结果，证明其两个关于二次剩余符号的猜想，并证实另一相关素数计数类猜想。
Counting Residue-Class Survivor Sets: An Asymptotic Comparison with Prime-Admissible Sets
本文研究计数幸存者集合的数量 $N(n)$，推导其闭式公式并证明其与素数可容许子集的块复杂度指数等价，同时给出结构递推和动态枚举算法。
The smallest prime that does not split completely in a number field
研究数域中不完全分裂的最小素数的界问题。这是一个推广的经典问题的界定最小二次非剩余。在这里，我们提出了两种不同的方法来解决这个问题。第一个是通过研究1附近数域的戴德金ζ函数的行为，第二个是通过将问题与涉及乘性函数的问题联系起来。我们推导出最好的已知的界限，这个问题的所有数字领域的程度大于2。我们还得到了最有名的上界的残留的戴德金ζ函数的情况下，程度是小的判别式。
The prime number race and zeros of Dirichlet $L$-functions off the critical line. III
我们表明，对于任何$q\ge 3$和不同的减少残留$a,b \pmod q$，存在某些假设的Dirichlet $L$ -功能的零组位于临界线意味着$π(x;q,a)<π(x;q,b)$为一组真正的$x$的渐近密度为1。
Prime Power Residue and Linear Coverings of Vector Space over $\mathbb{F}_{q}$
本研究建立了不含完美q次幂的非零整数集的素数模q次幂剩余性质与F_q^k线性超平面覆盖的等价关系，推导了小基数集合的剩余性质限制及指数缩放后的等价性结论。
Inequities in the Shanks-Renyi prime number race over function fields
确定一个素数$p >2$和一个具有$q$元素的有限域$\mathbb{F}_{q}$，其中$q$是$p$的幂。设$m$是多项式环$\mathbb{F}_{q}[T]$中的一元多项式，使得$deg(m)$是大的.固定一个整数$r\geq 2$，并让$a_1,\dots,a_r$是不同的剩余类模$m$，相对于$m$互质。本文在线性无关假设下，给出了所有正整数集合$X$的自然密度$δ_{m;a_1,\dots,a_r}$的渐近公式，其中$π_{q}(a_i,m,N)$表示$\mathbb{F}_{q}[T]$中与$ a_i \bmod m$全等的次数为$N$的不可约一元多项式的个数.从我们的结果中可以得出许多结论。首先，我们推导出确切的速度，其中$δ_{m;a_1,a_2}$ $deg(m)$的增长，$a_1$是一个二次非剩余和$a_2$是一个二次剩余模$m$，推广Fiorilli和马丁的工作收敛到$\frac{1}{2}$。此外，类似的数字字段设置，我们表明，双向比赛的行为不同的比赛涉及三个或更多的竞争对手，一旦$deg(m)$是大的。特别是，偏倚确实出现在涉及三个或更多个二次残基（或二次非残基）模$m$的种族中。这项工作是一个功能领域的模拟工作Lamzouri，谁建立了类似的结果，在数域的情况下。然而，我们展示了一些在函数场中的种族的例子，其中LI是假的，并且其中相关的密度消失，或者…
On the range of a covering function
设{a_s（mod n_s）}_{s=1}^k（k>1）是模为n_1，…，n_k不同。利用代数整数证明了覆盖函数w（x）=|{1 \le s \le k：x=a_s（mod n_s）}|不包含在模大于1的任何剩余类中。特别地，w（x）的值不能具有相同的奇偶性。
Prime Power Residues and Blocking Sets
本研究建立数论中素数模$q$次幂剩余问题与伽罗瓦几何中阻塞集的等价联系，证明该剩余性质在几何$q$等价下不变，并据此分类极小整数集且给出其大小界。
Generalizations of POD and PED partitions
本文将POD与PED分拆推广到模r固定剩余类部分互异及整除或同余条件下重数受限的情形，并研究相应分拆集合的性质。
Multi-target hyperbolic sieves and elliptic trace obstructions
研究半素数N=pq的双曲筛集H_a(N;ℓ)的多目标筛法，通过四次特征和与椭圆曲线Frobenius迹给出精确公式，并证明多目标估计和特殊形状输入的精确大小。
On a Diophantine Inequality with Primes Yielding Square-Free Sums with Given Numbers
本文证明对任意无理数α和实数β，存在无穷多个素数p满足αp+β的分数部分小于p^{-1/10}，且p与给定互异正整数之和均为无平方数。
Linear complexity and trace representation of quaternary sequences over $\mathbb{Z}_4$ based on generalized cyclotomic classes modulo $pq$
利用模$pq$的广义分圆类定义了模$4$的剩余类环上的一类四元序列，长度为$pq$，是两个不同奇素数的乘积，并计算了序列的离散傅里叶变换（DFT）. DFT帮助我们确定序列的线性复杂度和迹表示的精确值。
A solution to a Paul Erdos problem
本文解决了埃尔德什提出的数论问题，证明不存在素数p>5使得2!到(p-1)!模p的余数全不相同。
Large deviations of the limiting distribution in the Shanks-Rényi prime number race
令$q\geq 3$、$2\leq r\leq ϕ(q)$和$a_1,...,a_r$是与$q$互质的模$q$的不同剩余类。在广义黎曼假设和大单纯性假设下，M。Rubinstein和P. Sarnak证明了向量值函数$E_{q;a_1,...,a_r}(x)=(E(x;q,a_1),..., E(x;q,a_r)),$，其中$E(x;q,a)= \frac{\log x}{\sqrt{x}}(ϕ(q)π(x;q,a)-π(x))$，有一个极限分布$μ_{q;a_1,...,a_r}$，它在$\mathbb{R}^r$上是绝对连续的。在相同的假设下，我们确定了不同$V$范围的大偏差$μ_{q;a_1,...,a_r}(||\vx||>V)$的渐近行为，一致地为$q\to\infty.$
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