发表机构
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究计数幸存者集合的数量 $N(n)$，推导其闭式公式并证明其与素数可容许子集的块复杂度指数等价，同时给出结构递推和动态枚举算法。
AI 中文摘要
对于每个整数 $n\geq 1$，令 $N(n)$ 表示从 $\{2,\ldots,n+1\}$ 中通过为从 $2$ 到 $n$ 的每个整数选择一个禁止剩余类而获得的互异子集的数量；这是 OEIS 序列 A396595（此 https URL）。等价地，$N(n)$ 是全局剩余轮廓幸存者序列族的初始限制复杂度。我们推导出一个依赖于 $n$ 的奇偶性的闭式公式，用于计算局部互异剩余轮廓的数量，以及一个精确的包含-排除公式，用于实现指定幸存者集合的轮廓。我们证明 $\log N(n)$ 的数量级为 $n/\log n$，且任何可能的领先常数介于 $\log 2$ 和 $2\log 2$ 之间。对于素数迹，其数量的对数渐近于 $(\log 2)n/\log n$。我们的主要比较定理表明，$N(n)$ 与长度为 $n$ 的区间内素数可容许子集的块复杂度指数等价。比较定理中使用的私有复合坐标论证的组合部分已在 Lean 4/Mathlib 中形式化。我们还建立了一个精确的结构递推关系，通过剩余类覆盖准则刻画可扩展性，并给出一个动态枚举算法。作为该模型的进一步说明，我们展示了生成素数值幸存者序列的纯周期全局轮廓，对于这些序列我们尚未识别出相应的 OEIS 条目。
英文摘要
For $n\geq1$, choose one residue class $r_k\pmod{k}$ for every $2\leq k\leq n$, and retain those $m\in\{2,\ldots,n+1\}$ for which $m\not\equiv r_k\pmod{k}$ whenever $k<m$. Let $N(n)$ be the number of distinct survivor sets obtained in this way. We prove \[ \log 2\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{\log N(n)}{n/\log n} \leq \limsup_{n\to\infty}\frac{\log N(n)}{n/\log n} \leq2\log 2. \] If $A_{\rm adm}(n)$ denotes the number of subsets of $\{2,\ldots,n+1\}$ that omit at least one residue class modulo every prime, then our main comparison is \[ \log N(n)=\log A_{\rm adm}(n)+o\!\left(\frac{n}{\log n}\right). \] We also obtain an asymptotic formula for the number of distinct intersections of survivor sets with the primes, and an exact recurrence $N(n+1)=N(n)+E(n)$, where $E(n)$ counts the survivor sets that can be extended by the new point $n+2$.
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