Tight Lower Bounds for Problems Parameterized by Rank-width
我们证明了在秩宽为$k$的$n$ -顶点图上不存在独立集的$2^{o(k^2)} n^{O(1)}$时间算法，除非指数时间假设（ETH）失效.我们的下界匹配Bui-Xuan，Telle和Vatshelle给出的$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$时间算法[Discret.应用数学，2010年]，它回答了Bergougnoux和Kanté [SIAM J. Discret.数学、2021年]。我们还表明，已知的$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$时间算法的加权支配集，最大诱导匹配和反馈顶点集参数的秩宽度$k$是最优的假设ETH。我们的结果是第一个严格的ETH下界参数的秩宽度，不直接遵循$n$ -顶点图的下界。
2022-12-08 cs.DS
Tight Bounds for Set Disjointness in the Message Passing Model
在多方消息传递通信模型中，存在$k$参与者。每个玩家都有一个私人输入，他们通过私人渠道互相发送消息进行通信。虽然该模型已被广泛用于分布式计算和多方计算中，但该模型和相关模型中的通信复杂性的下限一直有些稀缺。在最近的工作\cite{phillips12,woodruff12,woodruff13}中，消息传递模型中的几个函数得到了$Ω(n \cdot k)$形式的强下界;然而，经典的集合不相交问题的下界仍然难以捉摸。本文证明了消息传递模型中集合不相交性问题的$Ω(n \cdot k)$形式的紧下界。我们的界限是通过在消息传递模型中开发信息复杂性工具，然后证明集合不相交性的信息复杂性下界得到的。作为一个推论，我们显示了一个严格的下界的任务分配问题\cite{DruckerKuhnOshman}通过减少从集不相交。
2013-05-21 cs.DS
Tight Lower Bounds for the Longest Common Extension Problem
最长的常见扩展问题是将给定长度为$n$的字符串预处理成一个数据结构，该数据结构在输入的顶部使用$S(n)$位，并在$T(n)$时间中回答查询$\mathit{LCE}(i,j)$，计算在输入中的位置$i$和$j$处出现的最长字符串的长度。我们证明，权衡$S(n)T(n) = Ω(n\log n)$持有的非均匀细胞探针模型，提供的输入字符串是只读的，每个字母占用一个单独的存储单元，$S(n) = Ω(n)$，和输入字母的大小至少是$2^{8\lceil S(n) / n\rceil}$。众所周知，这种权衡是紧密的。
2017-05-11 cs.DS
Computation of Hadwiger Number and Related Contraction Problems: Tight Lower Bounds
我们证明了$n$ -顶点图$G$的Hadwiger数（$G$中团子的最大大小）不能在时间$n^{o(n)}$中计算，除非指数时间假设（ETH）失败。这解决了精确指数算法领域中的一个著名的公开问题。为解决Hadwiger数问题而开发的技术具有更广泛的适用性。我们用它来排除存在的$n^{o(n)}$时间算法（ETH）的一个大类的计算问题，边收缩图。
2020-04-24 cs.DS
A Tight Lower Bound for Decrease-Key in the Pure Heap Model
我们改进了纯堆模型中的减键操作的摊销成本的下限，并表明任何纯堆模型堆（具有\bigoh{\log n}摊销时间提取最小操作）必须花费\bigom{\log\log n}摊销时间在减键操作上。我们的结果表明，排序堆以及众多其他堆的纯堆变体在纯堆模型中具有渐近最优的减键操作。此外，我们改进的下界匹配Fredman [J. ACM 46（4）：473-501（1999）]对于配对堆的下界[M.L.弗雷德曼河Sedgewick，D. D. Sleator和R.E.塔扬111-129（1986）]，并超过了许多其他堆的纯堆变体，如指针秩配对堆。
2014-06-27 cs.DS
Tight Approximation Bounds for Vertex Cover on Dense k-Partite Hypergraphs
我们建立了稠密k部超图顶点覆盖问题的几乎紧的上、下近似界。
2011-07-11 cs.DS
A Tight 4/3 Approximation for Capacitated Vehicle Routing in Trees
给定一组有需求的客户，容量限制的车辆路径问题是找到一组行程，这些行程共同覆盖所有客户的需求，使得每个车辆的容量不被超过，并且使得行程长度之和最小化。在本文中，我们提供了一个4/3近似算法的能力约束车辆路径的树，改进了以前最著名的近似比$(\sqrt{41}-1)/4$的Asano等。同时使用相同的下限。Asano等人证明了存在最优成本是这个下限的4/3倍的实例。值得注意的是，我们的4/3近似比因此对于这个下限是紧的，实现了最佳性能。
2018-04-24 cs.DS
A Tighter Relation Between Hereditary Discrepancy and Determinant Lower Bound
在开创性的工作中，Lovász，Spencer和Vesztergombi [European J. Combin。1986]证明了矩阵$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$在$A$的所有$k \times k$子矩阵$B$上的最大值$|\det(B)|^{1/k}$的遗传差异的下界。我们在算法上证明，这个行列式下限最多可以偏离$O(\sqrt{\log (m) \cdot \log (n)})$的一个因子，这比Matoušek给出的$O(\log(mn) \cdot \sqrt{\log (n)})$的先前界限有所改进[Proc. of the AMS，2013]。对于满足$|\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2| = m$的任意两个集合系统$\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2$ over $[n]$，我们的结果直接蕴涵了$\mathrm{herdisc}(\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2) \leq O(\sqrt{\log (m) \cdot \log (n)}) \cdot \max(\mathrm{herdisc}(\mathcal{F}_1), \mathrm{herdisc}(\mathcal{F}_2))$.我们的界限是紧常数时，$m = O(\mathrm{po…
2021-11-01 cs.DS
A Tight Analysis of Khatri-Rao Oblivious Subspace Embeddings
IBM；UMass Amherst（麻省大学阿默斯特分校）
本研究针对Khatri-Rao无感知子空间嵌入，填补了现有理论差距，证明任意固定阶数的Khatri-Rao草图矩阵将$k$维子空间嵌入到$(1\pm \epsilon)$误差范围内，所需草图维度为$\tilde O(k/\epsilon^2)$。
2026-09-25 cs.DS
A Nearly Tight Lower Bound for the $d$-Dimensional Cow-Path Problem
在$d$维奶牛路径问题中，一头生活在$\mathbb{R}^d$中的奶牛必须找到一个位置未知的$(d - 1)$维超平面$H$。奶牛找到$H$的唯一方法是漫游$\mathbb{R}^d$，直到它与$\mathcal{H}$相交。如果奶牛移动了一个总距离$s$来定位一个超平面$H$，该超平面与原点的距离是$r \ge 1$，那么这头奶牛就被称为达到了竞争比$s / r$。在$\mathbb{R}^2$中，最优（确定性）竞争比是$9$，这是一个经典的结果。在$\mathbb{R}^3$中，已知最佳竞争比至多为$\approx 13.811$。但在更高的维度，$d$和最优竞争比之间的渐近关系仍然是一个悬而未决的问题。最好的上限和下限，由于安东尼亚迪斯等人，是$O(d^{3/2})$和$Ω(d)$，留下大约$\sqrt{d}$的间隙。在本文中，我们得到了$\tildeΩ(d^{3/2})$的一个更强的下界。
2022-09-17 cs.DS
A tight lower bound on non-adaptive group testing estimation
本文研究非自适应分组测试中缺陷数量的常数因子估计，证明经典模型需 Ω(log n) 次查询，并在阈值模型中给出匹配上下界。
2023-12-06 cs.DS
Metric Embedding via Shortest Path Decompositions
研究了加权图的最短路度量嵌入到$\ell_p$空间中的问题。我们介绍了一种新的嵌入技术的基础上，通过最短路径的图的低深度分解。归纳定义了最短路径分解深度的概念：一个（加权）路径图具有最短路径分解（SPD）深度$1$。一般的图有一个深度为$k$的SPD，如果它包含一条最短路径，删除该路径会导致一个图，该图的每个组件的SPD深度至多为$k-1$。本文给出了SPD深度至多为$k$的图的$O(k^{\min\{\frac{1}{p},\frac{1}{2}\}})$ -失真嵌入.这个结果对于任何固定的$p>1$都是渐近紧的，而对于$p=1$，直到二阶项都是紧的。作为这个结果的推论，我们表明，图的路径宽度$k$嵌入到$\ell_p$失真$O(k^{\min\{\frac{1}{p},\frac{1}{2}\}})$。对于$p=1$，这比Lee和Sidiropoulos之前在$k$中呈指数级的最佳界有所改进;此外，对于$p$的其他值，它给出了失真与图大小$n$无关的第一嵌入。利用平面图具有SPD深度$O(\log n)$这一事实，给出了平面图嵌入$\ell_1$的变形$O(\sqrt{\log n})$的新证明.我们的方法也给出了新的结果与有界树宽的图，和图不包括一个固定的未成年人。
2023-01-02 cs.DS
A Tighter Analysis of Setcover Greedy Algorithm for Test Set
集覆盖贪心算法是求解测试集问题的一种自然近似算法。本文对该算法的性能保证进行了较为精确和严密的分析。作者应用势函数技术将由集合覆盖问题导出的性能保证$2\ln n$改进为$1.1354\ln n$。此外，还给出了该算法性能保证的一个非平凡下界$1.0004609\ln n$.该下界与信息量启发式算法的匹配界一起证实了信息量启发式算法在最坏情况下略优于集合覆盖贪心算法的事实。
2011-03-05 cs.DS
A Tight Lower Bound for Cycle Detection in Grid Graphs
研究证明在网格图中检测循环必须读取所有单元格，通过构造适应性对手维持歧义直到最后一步，利用块隔离方案证明下界。
2026-04-26 cs.DS
A Tight Lower Bound of $Ω(\log n)$ for the Estimation of the Number of Defective Items
本文提出一种新方法证明非自适应随机群组测试中估计缺陷物品数量需要Ω(log n)次测试的紧下界，匹配已知上界并解决公开问题。
2023-09-18 cs.DS
Tight Lower Bounds for List Edge Coloring
边着色的最快算法是在时间上运行的$2^m n^{O(1)}$，其中$m$和$n$分别是输入图的边和顶点的数量。对于稠密图，此界限变为$2^{Θ(n^2)}$。这是一个有点独特的情况，因为大多数研究的图形问题承认算法运行的时间$2^{O(n\log n)}$。这是一个臭名昭著的公开问题，要么显示一个算法的边着色运行在时间$2^{o(n^2)}$或反驳它，假设指数时间假设（ETH）或其他良好建立的假设。我们注意到，同样的问题也可以被问到列表边着色，这是边着色的一个很好的推广，其中每个边都有一组（通常称为列表）允许的颜色。我们的主要结果表明，列表边着色简单图不承认一个算法运行在时间$2^{o(n^2)}$，除非ETH失败。有趣的是，边着色的算法运行在时间$2^m n^{O(1)}$推广到列表版本没有任何渐近减速。因此，我们的下限基本上是紧的。这也意味着，为了设计一个算法运行在时间$2^{o(n^2)}$的边缘着色，必须利用其特殊功能相比，列表版本。
2018-04-07 cs.DS
A tight lower bound for Vertex Planarization on graphs of bounded treewidth
在顶点平面化问题中，要求从输入图中删除尽可能少的顶点以获得平面图。这个问题的参数化的复杂性，参数化的解决方案的大小（删除顶点的数量）最近引起了极大的关注。Jansen、Lokshtanov和Saurabh [SODA 2014]的最新算法在$n$ -顶点图上按时间$2^{O(k \log k)} \cdot n$运行，其解大小为$k$。如果可以在运行时间范围内获得对$k$的单指数依赖性，则它仍然是开放的。Jansen、Lokshtanov和Saurabh的工作的核心技术贡献之一是一种算法，该算法在树宽$w$的图上求解顶点平面化的加权变体$2^{O(w \log w)} \cdot n$。在这个简短的说明中，我们证明了这个例程的运行时间在指数时间假设下是紧的，即使是在未加权的图中，也可以通过树深度进行参数化。因此，它是不可能的，一个潜在的单指数算法的顶点平面化参数化的解决方案的大小可以通过仅仅改善上述有界树宽子程序。
2015-11-26 cs.DS
Tight Space Lower Bound for Pseudo-Deterministic Approximate Counting
该研究针对流算法中的近似计数问题，分析其伪确定性复杂度，证明了紧的Ω(log N)空间下界，解决了Goldwasser等人提出的相关问题，补充了伪确定性流算法的空间复杂度理论。
2024-10-05 cs.CC cs.DS
Distinguishing Views in Symmetric Networks: A Tight Lower Bound
端口标记网络中节点的视图是一个无限树，它编码了网络中从该节点开始的所有遍历。证明了对任意整数$n\geq D\geq 1$，存在一个端口标记网络，其节点数至多为$n$，直径至多为$D$，其中包含一对节点，它们的（无限）视图不同，但截断到深度$Ω(D\log (n/D))$的视图相同.
2015-03-09 cs.DM cs.DS
Betweenness Parameterized Above Tight Lower Bound
我们研究有序嵌入松弛领域的参数化的复杂性。我们证明了一个二次核的存在性的{ \sc Betweenness}问题参数化以上的紧下界，这是如下所述。对于变量的集合$V$和约束的集合$\mathcal C$“$v_i$ \mbox{is between} $v_j$ \mbox{and} $v_k$“，判定是否存在从$V$到集合$\{1,\ldots,|V|\}$的双射，该双射至少满足$\mathcal C$中的约束中的$|\mathcal C|/3 + κ$。我们的结果解决了一个开放的问题，归因于本尼Chor在Niedermeier的专著“邀请固定参数算法。“介数问题在分子生物学中很有意义。本文提出的一种方法可以用来确定一些其他的优化问题的参数化的复杂性上的排列参数化以上或以下紧的界限。
2013-06-22 cs.CC cs.DS
Tight Lower Bounds for Locally Differentially Private Selection
我们证明了一个严格的下限（常数因子）的样本复杂性的任何非交互式本地差分私有协议优化的线性函数的单纯形。这个下限也意味着一个严格的下限（再次，常数因子）的样本复杂性的任何非交互式本地差分私有协议实现指数机制。这些结果表明，这些问题的任何本地协议具有指数更差的依赖于维数比相应的算法在中心模型。在此之前，Kasiviswanathan等人（FOCS 2008）证明了PAC学习奇偶函数类的局部和中心模型算法之间的指数分离。相比之下，我们的下限在数量上是紧的，适用于一个简单而自然的线性优化问题，我们的技术可以说是更简单。
2021-05-14 cs.CR cs.DS cs.LG
Tight Lower Bounds for Differentially Private Selection
差分隐私文献中的一个普遍任务是从一组$d$项目中选择“最高质量”的$k$项目，其中每个项目的质量取决于必须保护的敏感数据集。这个任务的变体自然出现在基本问题中，如特征选择和假设检验，也作为许多复杂的差分隐私算法的子例程。这些任务的标准方法-重复使用指数机制或稀疏向量技术-在给定$n = O(\sqrt{k}\log d)$样本的数据集的情况下近似地解决了这个问题。我们提供了一个严格的下界的私人选择问题的一些非常简单的变种。我们的下限表明，即使要实现非常小的精度保证，也需要大小为$n = Ω(\sqrt{k} \log d)$的样本。我们的研究结果是基于扩展的指纹方法稀疏选择问题。以前，指纹识别方法已经被用于提供用于回答整个$d$查询集合的严格下限，但是通常只有一些小得多的$k$查询集合是相关的。我们的扩展允许我们证明下界，依赖于相关查询的数量和查询的总数。
2017-04-10 cs.CR cs.DS
Note on Maximal Bisection above Tight Lower Bound
在图$G=(V,E)$中，二分$(X,Y)$是将$V$划分为集合$X$和$Y$，使得$|X|\le |Y|\le |X|+1$。$(X,Y)$的大小是$X$和$Y$之间的边数。在最大二分法问题中，我们给出一个图$G=(V,E)$，并要求找到一个最大尺寸的二分法。不难看出，$\lceil |E|/2 \rceil$是$G$二等分的最大尺寸的紧下界。本文研究了以下参数化问题的参数化复杂性，称为紧下界上的最大二分法（Max-Bisec-ATLB）：判定图$G=(V,E)$是否有大小至少为$\lceil |E|/2 \rceil+k,$的二分法，其中$k$是参数.我们表明，这个参数化的问题有一个核心与$O(k^2)$顶点和$O(k^3)$边，即，Max-Bisec-ATLB的每个实例等价于具有至多$O(k^2)$顶点和$O(k^3)$边的图上的Max-Bisec-ATLB的实例。
2010-05-17 cs.DM cs.DS
Tight Lower Bounds for Differentially Private Continual Counting
Google（谷歌）；Google Research（谷歌研究）
本文解决了二叉树机制在差分隐私连续计数中的渐近最优性问题，证明了纯和近似差分隐私下的紧下界，并确立了该机制在标准参数范围内的最优性。
2026-09-21 cs.CR cs.DS
Tight Dynamic Problem Lower Bounds from Generalized BMM and OMv
利用组合布尔矩阵乘法（BMM）假设和相关的在线矩阵向量乘法（OMv）假设的$k$维推广，证明了动力学问题的新的紧条件下界.组合$k$-团假设是文献中的标准假设，自然地推广了组合BMM假设。本文在组合$k$-Clique假设下证明了几个动力学问题的紧下界。例如，我们表明：* 动态范围模式问题没有组合算法与$\mathrm{poly}(n)$预处理时间，$O(n^{2/3-ε})$更新时间和$O(n^{2/3-ε})$查询时间的任何$ε> 0$，匹配已知的上限为这个问题。以前的下界只排除了在OMv假设下具有$O(n^{1/2-ε})$更新和查询时间的算法。其他示例包括用于动态子图连接性、动态2D正交范围颜色计数、动态2模式文档检索和更高维度中的动态范围模式的紧密组合下限。此外，我们提出OuMv $_k$假设作为OMv假设的自然推广。在这个假设下，我们证明了各种动态问题的紧下界。例如，我们表明：* 动态天际线点计数问题在$(2k-1)$维空间没有算法与$\mathrm{poly}(n)$预处理时间和$O(n^{1-1/k-ε})$更新和查询时间为$ε> 0$，即使更新是半在线的。其他例子包括单位立方体的（半在线）动态克利测度的紧条件下界，以及埃里克森问题和朗格曼问题的高维推广。
2022-02-23 cs.CC cs.CG cs.DS
Tight Sum-of-Squares lower bounds for binary polynomial optimization problems
我们给出了两个结果的平方和（SoS）/Lasserre层次的权力。对于二元多项式优化问题的程度$2d$和奇数变量$n$，我们证明了$\frac{n+2d-1}{2}$水平的SoS/Lasserre层次是必要的，以提供确切的最优值。这与Sakaue，Takeda，Kim和Ito最近的上限结果相匹配。此外，我们研究了Laurent的一个猜想，他考虑了一个没有整点的集合的线性表示。她证明了Sherali-Adams层次结构需要$n$级别来检测空整数外壳，并证明了同一问题的SoS/Lasserre等级是$n-1$。我们反驳了这个猜想，并推导出上下限的秩。
2016-05-10 cs.CC cs.DS
Tight Lower Bounds for Planted Clique in the Degree-4 SOS Program
我们给出了种植集团问题的4阶平方和SDP松弛的$\tildeΩ(\sqrt{n})$的下界。具体来说，我们表明，在一个Erdös-Rényi图$G(n,\tfrac{1}{2})$，有很高的概率有一个可行的点的度-4 SOS放松的集团问题的目标值$\tildeΩ(\sqrt{n})$，使程序无法区分随机图和随机图与种植集团的大小$\tilde{O}(\sqrt{n})$。这个界限很紧.我们以Deshpande、Montanari和Meka等人的作品为基础，分别给出了$\tildeΩ(n^{1/3})$和$\tildeΩ(n^{1/4})$的下界。我们通过对他们工作中提出的SDP解决方案进行扰动来改进他们的结果，然后表明这种扰动仍然是PSD，因为目标值接近$\tildeΩ(n^{1/2})$。在一项独立的工作中，Hopkins、Kothari和Potechin [HKP 15]获得了$4$ SOS松弛度的类似下限。
2016-03-11 cs.CC cs.DS
Shallow, Low, and Light Trees, and Tight Lower Bounds for Euclidean Spanners
证明了对每个$n$ -点度量空间$M$，存在一个生成树$T$，其直径为$O(\log n)$，权为$ω(T) = O(\log n) \cdot ω(MST(M))$ .此外，存在指定点$rt$，使得对于任意小的常数$ε> 0$，对于每个点$v$，$dist_T(rt,v) \le (1+ε) \cdot dist_M(rt,v)$。我们扩展了这个结果，并提供了未加权直径和重量之间的折衷，并证明了这种折衷是\emph{tight up to constant factors}在整个参数范围内。这些结果使我们能够解决计算几何中一个长期悬而未决的问题。在STOC'95中，Arya等人设计了一种具有未加权直径$O(\log n)$和权重$O(\log n) \cdot ω(MST(M))$的欧几里得扳手的构造。十年后，在SODA'05中，Agarwal等人表明，该结果接近于$O(\log \log n)$的因子。我们缩小了这一差距，并表明Arya等人的结果是紧密的常数因子。
2008-01-23 cs.CG cs.DS
Tight Cell-Probe Bounds for Online Hamming Distance Computation
我们显示了严格的界限，在线汉明距离计算的细胞探针模型与字大小w。任务是输出长度为n的固定字符串与流的最后n个符号之间的汉明距离。我们给出了每个输出平均Omega（（d/w）*log n）时间的下界，其中d是表示输入符号所需的位数。我们认为，这个界限是紧的模型。下限在随机化和摊销下保持不变。
2012-10-15 cs.CC cs.DS
Tight Bounds for the Distribution-Free Testing of Monotone Conjunctions
我们改进了单调连接的分布自由测试的上界和下界。给定Oracle访问一个未知的布尔函数$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$和采样Oracle访问一个未知的分布$\mathcal{D}$在$\{0,1\}^n$，我们提出了一个$\tilde{O}(n^{1/3}/ε^5)$查询算法，测试是否$f$是一个单调的连接与$ε$ -远离任何单调连接相对于$\mathcal{D}$。当$1/ε$比$n$小时，这改进了Dolev和Ron以前的$\tilde{O}(n^{1/2}/ε)$的最佳上限。对于一定的$ε_0>0$，我们还证明了$\tildeΩ(n^{1/3})$的查询复杂度的一个下界，改进了以前的最佳下界$\tildeΩ(n^{1/5})$由Reynner和Servedio。当距离参数$ε$是常数时，我们的上界和下界是紧的，直到一个多对数因子。此外，相同的上、下界可以推广到一般合取的分布自由测试，下界可以推广到决策表和线性阈值函数的下界。
2015-11-10 cs.DM cs.DS
A Tight Lower Bound for the Approximation Guarantee of Higher-Order Singular Value Decomposition
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文通过构造特定张量，证明了HOSVD、ST-HOSVD和HOOI算法的经典近似保证是紧致的，且其最坏情况近似比无法被改进。
2025-08-08 cs.DS cs.LG
Tight Lower and Upper Bounds for the Complexity of Canonical Colour Refinement
如果图的任意两个相同颜色的顶点具有相同颜色的邻域，则图的顶点的颜色分配是稳定的。颜色细化的目标是找到一个稳定的着色，使用最少的颜色。这是一个广泛使用的图同构测试算法的子例程，因为任何自同构都需要保持颜色。我们给出了一个$O((m+n)\log n)$算法，找到这样一个稳定的着色的规范版本，在图与$n$顶点和$m$边。我们表明，没有更快的算法是可能的，在一些适度的假设下，算法的类型，它捕获所有已知的颜色细化算法。
2015-09-28 cs.CC cs.DS
Towards Tight Lower Bounds for Range Reporting on the RAM
在正交范围报告问题中，我们要对$U \times U$网格上的一组具有整数坐标的$n$点进行预处理。目标是支持报告轴对齐查询矩形内的所有$k$点。这是数据库和计算几何中最基本的数据结构问题之一。尽管问题的重要性，其复杂性仍然没有得到解决的字RAM。在上界侧，存在三个最佳权衡：（1.）查询时间$O(\lg \lg n + k)$与$O(nlg^{\varepsilon}n)$字的空间为任何常数$\varepsilon>0$。（2.）查询时间$O((1 + k) \lg \lg n)$与空间的$O(n \lg \lg n)$字。（3.）查询时间$O((1+k)\lg^{\varepsilon} n)$与最佳$O(n)$字的空间。然而，唯一已知的查询时间下限是$Ω(\log \log n +k)$，即使是线性空间数据结构。所有这三个目前最好的上限权衡减少范围报告球继承问题。球继承是一个问题，基本上封装了所有以前的尝试，解决范围报告的字RAM。在本文中，我们取得了进展，通过证明细胞探测球继承的下限范围报告的上限和下限之间的差距。我们的下限是严格的大范围的参数，不包括任何进一步的进展范围报告使用球继承减少。
2014-11-03 cs.CC cs.DS
Tight Distributed Sketching Lower Bound for Connectivity
本文研究了连通性的分布式草图绘制复杂性。在分布式图形绘制中，将$n$节点图形$G$分发给$n$参与者，使得每个参与者看到一个顶点的邻域。然后，参与者同时向裁判发送一条消息，裁判必须以高概率计算$G$的某个函数。对于连接，裁判必须输出$G$是否已连接。目标是最小化消息长度。这样的草图计划是等价的广播拥塞集团模型中的一轮协议。我们证明了，如果错误概率至多为$1/4$，则期望的平均消息长度必须至少为$Ω(\log^3 n)$ bits。它与AGM草图[AGM 12]获得的上界相匹配，这甚至允许裁判输出概率为$1-1/\mathrm{poly}\, n$的$G$生成森林。我们的下界加强了以前的$Ω(\log^3 n)$下界，用于生成森林计算[NY19]。因此，它意味着连通性，一个决策问题，是一样难的“搜索”版本在这个模型中。
2020-07-24 cs.DC cs.DS
Tight Kernel Query Complexity of Kernel Ridge Regression and Kernel $k$-means Clustering
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
我们提出了严格的下界的核评估所需的数量近似解决内核岭回归（KRR）和内核$k$ -均值聚类（KKMC）的$n$输入点。对于KRR，我们的相对误差逼近目标函数的最小值的界是$Ω(nd_{\mathrm{eff}}^λ/\varepsilon)$，其中$d_{\mathrm{eff}}^λ$是有效的统计维数，它紧到$\log(d_{\mathrm{eff}}^λ/\varepsilon)$因子。对于KKMC，我们找到一个$k$ -聚类实现目标函数的相对误差近似的界限是$Ω(nk/\varepsilon)$，这是紧到一个$\log(k/\varepsilon)$因素。我们的KRR结果解决了El Alaoui和Mahoney的一个开放问题的变体，即有效统计维度是否是抽样复杂性的下限。此外，对于重要的实际情况下，当输入是高斯的混合，我们提供了一个KKMC算法绕过上述下限。
2019-05-15 cs.DS cs.LG
Tight Lower Bounds for Data-Dependent Locality-Sensitive Hashing
我们证明了一个紧的下界指数$ρ$的数据依赖的局部敏感哈希方案，最近用于设计有效的解决方案的$c$ -近似最近邻搜索。特别是，我们的下界匹配$\ell_1$空间的$ρ\le \frac{1}{2c-1}+o(1)$的界，通过最近的算法从[Andoni-Razenshteyn，STOC'15]获得。近年来，人们发现，当散列函数与数据无关时，数据相关散列严格优于经典的局部敏感散列。在后一种设置中，最佳指数已经知道：对于$\ell_1$空间，紧边界是$ρ=1/c$，上限来自[Indyk-Motwani，STOC'98]，匹配的下限来自[O' Donnell-Wu-Zhou，ITCS'11]。我们证明，即使散列是数据相关的，它必须持有的$ρ\ge \frac{1}{2c-1}-o(1)$。为了证明这个结果，我们需要形式化数据相关哈希的确切概念，它也捕获了哈希函数的复杂性（除了它们的冲突属性）。如果不限制这种复杂性，我们将允许明显不可行的解决方案，如数据集的沃罗诺伊图。为了排除这种解决方案，我们要求哈希函数简洁。所有已知的算法结果都满足这个条件。
2015-07-15 cs.CC cs.CG cs.DS
An Exponent-Tight Conditional Lower Bound for Global Label Min-Cut
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；Department of Computer Science, Columbia University（哥伦比亚大学计算机科学系）
通过确定性归约，将无向边标记图中全局标签最小割问题的条件运行时间下界从 (np)^{o(log n/(log log n)^2)} 改进到 (np)^{o(log n/log log n)}。
2026-08-03 cs.DS math.CO
Treewidth Inapproximability and Tight ETH Lower Bound
本文通过从3-SAT到树宽的线性归约，证明了树宽的1.00005-近似是NP难的，并给出精确求解及近似求解的紧指数时间下界。
2025-06-23 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight Lower Bound for Linear Sketches of Moments
估计数据流的频率矩的问题已经吸引了大量的关注，因为流算法的开始[AMS 99]。虽然近似计算$p^{\rm th}$矩的空间复杂度，对于$p\in(0,2]$已经解决[KNW10]，对于$p>2$的精确复杂性仍然是开放的。对于$p>2$，当前最佳算法使用空间字的$O(n^{1-2/p}\log n)$ [AKO 11，BO 10]，而下限是$Ω(n^{1-2/p})$ [BJKS 04]。在本文中，我们显示了一个紧的下限$Ω(n^{1-2/p}\log n)$字的算法类的基础上线性草图，其中存储的只是一个草图$Ax$的输入向量$x$和一些（可能是随机的）矩阵$A$。我们注意到，这个问题的所有已知算法都是线性草图。
2013-06-26 cs.DS cs.IT math.IT
A Tight Degree 4 Sum-of-Squares Lower Bound for the Sherrington-Kirkpatrick Hamiltonian
我们表明，如果$\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times N}_{\mathsf{sym}}$是从高斯正交系综，那么以高概率的程度4平方和松弛不能证明上界的目标$N^{-1} \cdot \mathbf{x}^\top \mathbf{W} \mathbf{x}$下的约束$x_i^2 - 1 = 0$（即$\mathbf{x} \in \{ \pm 1 \}^N$），这是渐近小于$λ_{\max}(\mathbf{W}) \approx 2$。我们还猜想一个证明技术的下界对平方和松弛的任何程度保持恒定的$N \to \infty$，提出了一个近似的伪动量建设。
2020-11-07 cond-mat.stat-mech cs.DS math.OC
Nearly Tight Lower Bound for Range Minimum Query via Probe-by-Probe Information Accounting
School of Intelligent Software and Engineering, Nanjing University（南京大学智能软件工程学院）
该研究针对简洁范围最小查询（RMQ）证明了近紧下界，改进了前人的指数下界，通过逐探针信息计数解决平均信息损失问题，缩小了与上界的差距，为其他简洁下界的优化提供思路。
2026-10-20 cs.CC cs.DS
Lower Bounds for Sparse Oblivious Subspace Embeddings
由参数$m,n,d,ε,δ$表征的不经意子空间嵌入（OSE）是随机矩阵$Π\in \mathbb{R}^{m\times n}$，使得对于任何$d$维子空间$T\subseteq \mathbb{R}^n$，$\Pr_Π[\forall x\in T, (1-ε)\|x\|_2 \leq \|Πx\|_2\leq (1+ε)\|x\|_2] \geq 1-δ$。对于$ε$和$δ$在最多一个小常数，我们表明，任何OSE与一个非零条目在每列必须满足$m = Ω(d^2/(ε^2δ))$，建立经典的计数草图矩阵的最优性。当一个OSE在每一列中有$1/(9ε)$非零项时，我们证明它必须保持该$m = Ω(ε^{O(δ)} d^2)$，改进了Nelson和Nguyen之前的$Ω(ε^2 d^2)$下限（ICALP 2014）。
2021-12-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Tight Hardness Results for Maximum Weight Rectangles
给定$d$维中的$n$加权点（正或负），使其包含的点的总权重最大化的轴对齐框是什么？这个问题的最著名的算法是基于一个相关问题的简化，加权深度问题[T。M. Chan，FOCS'13]，并在时间$O(n^d)$中运行。它被证实[Barbay等人，CCCG'13]，该运行时紧到子多项式因子。我们肯定地回答这个猜想提供了一个匹配的条件下界。我们还提供了条件下界的特殊情况下，当点排列在一个网格（一个很好的研究问题，称为最大子阵问题），以及其他相关问题。我们所有的下界都基于这样的假设：所有对最短路径问题（APSP）和边加权图中最大权重k团问题的最佳已知算法本质上是最优的。
2016-03-03 cs.CC cs.CG cs.DS
On Tightly Bounding the Dubins Traveling Salesman's Optimum
Air Force Research Laboratory（空军研究实验室）；Texas A & M University（得克萨斯农工大学）
Dubins流动推销员问题（DTSP）在过去的十年中产生了巨大的兴趣，由于其发生在一些民用和军事监视应用。目前，还没有算法可以找到一个最优解的问题。此外，放松运动约束和解决所产生的欧几里德TSP（ETSP）提供了唯一的下界可用于该问题。然而，在许多问题的情况下，通过求解ETSP计算出的下界远低于通过一些已知的DTSP算法获得的可行解的成本。本文解决了这个基本问题，并提出了第一个系统的程序开发紧下界的DTSP。
2016-02-10 cs.DM cs.DS cs.RO
