The Strongish Planted Clique Hypothesis and Its Consequences
我们制定了一个新的硬度假设，强种植集团假设（SPCH），它假定任何种植集团的算法必须运行在时间$n^{Ω(\log{n})}$（使国家的最先进的运行时间$n^{O(\log n)}$是最佳的指数常数）。我们提供了两套新假设的应用。首先，我们证明了SPCH对于下列研究得很好的问题，在参数$k$方面，暗示了（几乎）紧不可逼近的结果：Denmark $k$ -子图，最小$k$ -边子图，Denmark $k$ -子超图，Steiner $k$ -森林，和有向Steiner网络与$k$终端对。例如，我们表明，在SPCH下，没有多项式时间算法实现$o(k)$ -近似Denmark $k$ -子图。该不可近似性比改进了来自（Chalermsook等人，FOCS 2017）。此外，我们的下界甚至对固定参数易处理的算法与参数$k$。我们的第二个应用程序集中在复杂的图形模式检测。对于诱导和非诱导图形模式检测，我们证明了SPCH下的硬度结果，这改善了由（Dalirrooyfard等人，STOC 2019）下的指数时间假设。
2020-11-11 cs.CC cs.DS
Exact recovery of planted cliques in semi-random graphs
本文提出了一种基于SDP的算法，用于在半随机图中精确恢复种植的团，并展示了该算法的保证性能。
2025-12-07 cs.DS
Finding a planted clique by adaptive probing
我们考虑种植集团问题的一个变种，我们被允许无限的计算时间，但只能调查一小部分的自适应边缘查询的图形。我们确定（对数因子）的查询数量都需要检测种植集团的存在，并找到种植集团。具体来说，令$G \sim G(n,1/2,k)$是$n$顶点上的随机图，其种植团大小为$k$。我们发现，没有算法，使最多$q = o(n^2 / k^2 + n)$自适应查询的邻接矩阵的$G$是可能找到种植集团。另一方面，当$k \geq (2+ε) \log_2 n$时，存在通过进行$q = O( (n^2 / k^2) \log^2 n + n \log n)$自适应查询以高概率找到种植集团的简单算法（具有无限的计算能力）。对于检测，添加的$n$项不是必需的：检测种植的团的存在所需的查询的数量是$n^2 / k^2$（直到对数因子）。
2020-07-24 cs.DM cs.DS math.CO
Parallel Tempering for the planted clique problem
种植集团问题的理论信息阈值是$2\log_2(N)$，然而，没有已知的多项式算法来恢复大小为$O(N^{1/2-ε})$、$ε>0$的种植集团。在本文中，我们将应用一个标准的方法，无序模型的分析，的Pupel-Tempering（PT）算法，团的问题，数值计算表明，它的时间尺度在硬区确实是多项式的分析大小。我们还将PT应用于一个不同的但连接的模型，稀疏种植独立集问题。在这种情况下，阈值应该更尖锐，有限大小的校正应该不那么重要。同样在这种情况下，PT示出了用于恢复的硬区域中的多项式缩放。
2019-01-08 cond-mat.dis-nn cs.DS
Is the space complexity of planted clique recovery the same as that of detection?
Stanford University（斯坦福大学）
We study the planted clique problem in which a clique of size k is planted in an Erdős-Rényi graph G(n, 1/2), and one is interested in either detecting or recovering this planted clique. This problem is interesting because it is widely believed to show a statistical-computational gap at clique size k=sqrt{n}, and has emerged as the prototypical problem with such a gap from which average-case hardness of other statistical problems can be deduced. It also displays a tight computational connection between the detection and recovery variants, unlike other problems of a similar nature. This wide in…
2020-11-23 cs.CC cs.DS cs.IT
Sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机图中寻找团以及与之密切相关的“种植”团变体，即在一个随机G（n，1/2）图中种植一个大小为k的团，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管做了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决k ~ sqrt（n）的问题。在本文中，我们研究的复杂性种植集团问题的算法从平方和层次。我们证明了这个模型的第一个平均情况下界：对于G（n，1/2）中的几乎所有图，SOS层次的r轮不能找到一个种植k-团，除非k > n^{1/2 r}（直到对数因子）。因此，对于任何常数轮数，大小为n^{o（1）}的种植集团不能通过这类强大的算法找到。这是通过SOS和Lasserre层次结构的随机图上的最大团问题的自然公式化的可积性间隙来显示的，这反过来又遵循Positivestelleniance证明系统的度下界。我们遵循这种证明的通常方法。首先，我们引入一个自然的“对偶证书”（也称为“向量解”或“伪期望”）的给定系统的多项式方程表示的问题，为每个固定的输入图。然后我们证明了与这个对偶证书相关联的矩阵是PSD（半正定），并且在输入图的选择上具有很高的概率，这需要使用某些工具。一个是理论的结合计划，特别是本征空间和本征值的约翰逊计划。另一个是一个组合的方法，我们开发的计算（通过痕迹）范数界的某些随机矩阵的条目是高度依赖的，我们希望这种方法将是有用的。
2015-03-22 cs.CC cs.DS math.CO
Mismatching as a tool to enhance algorithmic performances of Monte Carlo methods for the planted clique model
过度参数化是推理和机器学习领域最近发展的一个关键因素。然而，解释这一成功的好理论仍然缺乏。在本文中，我们研究了一个非常简单的情况下，不匹配的过参数化算法应用于一个最研究的推理问题：种植集团问题。我们分析了著名的Jerrum算法同类的Monte Carlo（MC）算法。我们展示了如何MC算法是在一般次优的种植集团的恢复。然而，我们展示了如何通过添加一个（不匹配的）参数来提高其性能：温度;我们在数值上发现，这种过参数化的算法版本可以达到种植集团问题的假设算法阈值。
2021-11-19 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cs.DS
Logspace Reducibility From Secret Leakage Planted Clique
Stanford University（斯坦福大学）
该研究探讨植入团问题的计算难度归约在空间效率语境下的鲁棒性，通过利用输入作随机数、引入秘密泄漏植入团变体，实现了三类统计问题的对数空间随机归约。
2023-11-08 cs.CC cs.DS cs.IT
Low-degree phase transitions for detecting a planted clique in sublinear time
本文研究亚线性时间内检测 planted clique 的问题，证明非自适应低度算法存在计算相变，并揭示最优查询模式的结构性质。
2024-02-08 cs.CC cs.DS stat.ML
Algorithms approaching the threshold for semi-random planted clique
本文提出更高常数阶 sum-of-squares 算法，将半随机植入团恢复规模从 n^{2/3} 推进至逼近 n^{1/2}，并给出基本 SDP 与低次多项式下界。
2023-06-06 cs.DS
Planted clique recovery in random geometric graphs
研究随机几何图中嵌入 clique 的识别问题，比较基于顶点度数和共同邻居的两种算法，发现共同邻居算法在特定参数下能以高概率准确恢复，尤其在连通性 regime 中能有效检测小 clique。
2026-04-09 cs.DS math.PR
Semirandom Planted Clique and the Restricted Isometry Property
针对半随机植入团模型，提出一种简单的贪心$O(n^{ω+0.5})=O(n^{2.872})$时间列表解码算法，在植入团规模为$k\geq O(\sqrt{n} \log^2 n)$时有效，将计算阈值逼近信息论阈值，解决了Steinhardt的公开问题，核心是利用一类新矩阵的限制等距性质。
2024-10-09 cs.DS
How to hide a clique?
在众所周知的种植集团问题中，大小为$k$的集团（或者可选地，独立集）被随机种植在Erdos-Renyi随机$G(n, p)$图中，并且目标是设计在所得图中找到最大集团（或独立集）的算法。我们介绍了这个问题的一个变化，而不是随机种植集团，集团是由对手谁试图使其难以找到最大的集团在所得的图种植。我们表明，对于标准设置的参数的问题，即，一个集团的大小$k = \sqrt{n}$种植在一个随机的$G(n, \frac{1}{2})$图，已知的多项式时间算法可以扩展（在一个非平凡的方式），也在对抗设置工作。相比之下，我们表明，对于其他自然设置的参数，如种植一个独立集大小$k=\frac{n}{2}$的$G(n, p)$图与$p = n^{-\frac{1}{2}}$，有没有多项式时间算法，找到一个独立集大小$k$，除非NP随机多项式时间算法。
2020-04-28 cs.DS
Association schemes, non-commutative polynomial concentration, and sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机G（n，1/2）图中发现团以及与之密切相关的“种植”团变体，其中一个大小为t的团被种植在一个随机G（n，1/2）图中，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管付出了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决t = Theta（sqrt（n））的问题。在这里，我们证明了击败sqrt（n）将需要大量新的算法思想，通过证明平方和（或Lasserre）层次中问题的下界，这是我们所知道的最强大的一类半定规划算法：平方和层次的r轮只能解决t > sqrt（n）/（C log n）^（r^2）的种植集团。以前，没有非平凡的下限是已知的。我们的证明是制定为一个度下界的Positivstellenestrant代数证明系统，这是相当于平方和层次。我们（平均情况）下界的核心是证明从输入图导出的某个随机矩阵是（高概率）半正定的。在这个证明中，有两个因素起着重要的作用。第一个是经典的理论的关联计划，适用于平均和方差的随机矩阵。第二个是矩阵值多项式的一个新的大偏差不等式。我们的新的尾部估计似乎是独立的兴趣，并可能找到其他的应用，因为它推广了实值多项式和独立随机矩阵的总和的估计。
2013-11-13 cs.CC cs.DS math.CO
Performance of Gaussian Boson Sampling on Planted Bipartite Clique Detection
本文通过分析高斯玻色采样中节点权重的分布与偏差，严格证明在推测困难区间内植入二分团检测信号被自然波动淹没，首次给出该问题在 GBS 量子计算下仍可能困难的证据。
2025-11-07 cs.CC cs.DS math.CO
Finding planted cliques using gradient descent
针对植入团恢复中黑箱优化缺乏保证的问题，本文用 Lagrange 乘子将团约束纳入 Hamiltonian，证明从完整图初始化的梯度下降及其低温松弛可在 k=Ω(√n) 时恢复植入团，并验证污染鲁棒性。
2025-05-15 cs.DS math.PR math.ST
Nuclear norm minimization for the planted clique and biclique problems
University of Waterloo（滑铁卢大学）
针对NP难的极大团和极大边双团问题，通过矩阵秩最小化建模并利用核范数松弛，成功在输入图包含种植团或双团时精确求解，分别对抗动和随机边情形给出成功条件。
2009-01-21 cs.DS cs.NA math.NA
Almost-Linear Planted Cliques Elude the Metropolis Process
Jerrum（1992）的一项开创性工作表明，大集团避开了大都会进程。更具体地说，Jerrum证明了Metropolis算法不能在多项式时间内找到一个大小为$k=Θ(n^α), α\in (0,1/2)$的团，该团被植入Erdens-Rényi随机图$G(n,1/2)$中。信息理论上有可能找到这样种植集团尽快$k \ge (2+ε) \log n$ .自从Jerrum的工作以来，在$G(n,1/2)$中找到种植集团的计算问题被广泛研究，并且许多多项式时间算法被证明可以找到种植集团，如果它的大小为$k = Ω(\sqrt{n})$，而没有多项式时间算法已知当$k=o(\sqrt{n})$时有效。值得注意的是，这个问题的算法难度的第一个证据通常归因于1992年Jerrum的结果。在本文中，我们重新审视原来的大都市算法建议由Jerrum。有趣的是，我们发现Metropolis算法实际上无法恢复任何恒定$0 \leq α< 1$的$k=Θ(n^α)$大小的种植集团。此外，我们加强杰鲁姆的结果在其他一些方面，包括：像许多结果在MCMC文献中，杰鲁姆的结果表明，存在一个起始状态（这可能取决于实例）的大都市算法失败。对于广泛的温度范围内，我们表明，该算法失败时，开始在最自然的初始状态，这是空团。这回答了Jerrum（1992）中提出的一个开放性问题。我们还表明，模拟回火版本的大都市算法，一个更复…
2022-04-05 cs.DS math.PR math.ST
Semirandom Planted Clique via 1-norm Isometry Property
针对半随机植入团问题，提出基于1-范数等距性质的贪心算法，将可检测团大小改进至猜想最优的 $\sqrt{n \log n}$，回答开放问题。
2025-06-22 cs.DS math.PR
The Landscape of the Planted Clique Problem: Dense subgraphs and the Overlap Gap Property
MIT（麻省理工学院）；NYU（纽约大学）
本文研究了种植团问题的计算-统计间隙，其中将一个大小为$k$的团种植到Erdos Renyi图$G(n,\frac{1}{2})$中，得到一个图$G\left(n,\frac{1}{2},k\right)$ .目标是通过观察$G\left(n,\frac{1}{2},k\right)$来恢复种植的团顶点。已知对于任何$ε>0$，只要$k \geq \left(2+ε\right)\log n $就可以恢复团，但是对于该任务没有多项式时间算法已知，除非$k=Ω\left(\sqrt{n} \right)$。作为试图理解这种计算统计差距的一种尝试，我们研究了$G$的“足够密集”的子图的景观及其与种植集团的重叠。利用一阶矩方法，研究了具有固定但任意重叠大小的子图与种植团的重叠子图问题，并证明了在$k=Θ\left(\sqrt{n}\right)$上存在重叠带隙性质（OGP）的相变. OGP是一个最初在自旋玻璃理论中引入的概念，当它出现时，它被认为是算法硬度。当$k$是$n$的一个小的正幂时，我们利用条件二阶矩方法建立了OGP的存在性。作为我们的主要技术工具，我们建立了第一个，尽我们所知，浓度的结果为$K$ -denominator子图问题的埃尔多斯-雷尼模型$G\left(n,\frac{1}{2}\right)$时，$K=n^{0.5-ε}$为任意$ε>0$。最后，为了研究OGP，我们…
2019-12-30 cs.DS cs.LG math.OC
The Lovász Theta Function for Recovering Planted Clique Covers and Graph Colorings
University of Southern California（南加州大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）；Archimedes/Athena RC, Greece（希腊阿基米德/雅典研究中心）；Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore（新加坡国立大学量子技术中心）
本文研究了洛瓦兹θ函数在随机图中恢复嵌入clique覆盖结构的能力，证明了其在特定模型下的有效性。
2026-02-04 cs.DS cs.IT math.CO
Convex optimization for the planted k-disjoint-clique problem
University of Minnesota（明尼苏达大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
针对NP难的k-不相交团问题，提出一种凸松弛方法，能在多项式时间内求解由k个大型种植团和噪声构成的特定输入实例。
2013-12-02 cs.DS cs.NA math.NA
Robust Algorithms for Finding Cliques in Random Intersection Graphs via Sum-of-Squares
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）
本文提出高效算法以恢复随机交集图中的聚类结构，能够处理重叠聚类并具备抗噪声和对抗攻击的能力，适用于k远大于√(n log n)的情况。
2026-04-10 cs.DS
Average-Case Communication Complexity of Statistical Problems
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Tsinghua University（清华大学）
我们研究统计问题，如种植集团，其变种，稀疏主成分分析的背景下，平均情况下的通信复杂性。我们的动机是了解流媒体、草图和基于查询的模型中统计计算的权衡。在这些模型中，通信复杂性是证明下界的主要工具，然而许多先前的结果在平均情况下并不成立。我们提供了一个通用的约简方法，该方法保留了涉及随机图或矩阵与种植结构的问题的输入分布。然后，我们推导出两方和多方的通信下限检测或发现种植集团，双方集团，和相关问题。因此，我们得到了新的边界上的查询复杂度的边缘探针，矢量矩阵矢量，矩阵矢量，线性素描，和$\mathbb{F}_2$素描模型。许多这些结果是近紧，我们使用我们的技术提供简单的证明边缘探测模型的一些已知的下界。
2021-07-03 cs.CC cs.DS cs.LG
Improved polynomial-time algorithms for detecting and recovering planted $Θ(\sqrt{n})$-cliques
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文针对植入团问题，利用颜色编码和矩阵乘法，提出改进的多项式时间算法，在更小的团大小阈值下实现检测与恢复，达到运行时间与信号强度的最佳权衡。
2026-09-22 cs.DS math.ST stat.TH
A degree 4 sum-of-squares lower bound for the clique number of the Paley graph
本文证明了Paley图团数的4次SOS松弛下界为$\Omega(p^{1/3})$，表明4次SOS有望打破$\sqrt{p}$障碍，但最多只能将指数从1/2改进到1/3。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.NT
Counting Stars is Constant-Degree Optimal For Detecting Any Planted Subgraph
本文研究任意植入子图检测问题的计算极限，证明在 p=Ω(1) 时，数星是最优的常数度多项式检测方法，且该类多项式仅能感知植入图的度分布。
2024-03-26 cs.CC cs.DS math.ST
Revisiting Block-Diagonal SDP Relaxations for the Clique Number of the Paley Graphs
本文通过计算 821 至 997 之间素数的 Paley 图块对角 SDP（L2）松弛值，为团数上界及 SOS-4 松弛可能以小于平方根数量级增长提供了新的数值证据，同时指出更大规模计算仍是一个开放问题。
2023-09-16 cs.CC cs.DS math.CO
Combinatorial Optimization via the Sum of Squares Hierarchy
我们研究了平方和（SoS）的层次，着眼于组合优化。我们调查使用的SoS层次结构，以获得近似算法的图，使用它们的谱特性。我们提出了一个简化的证明结果Feige和Krauthgamer的性能的层次结构的最大团问题的随机图。我们还提出了Guruswami和Sinop的结果，显示了如何获得近似算法的最小二分法问题的低阈值秩图。我们研究不可逼近的结果，一般的约束满足问题和问题，涉及图密度，如Denmark $k$ -子图问题的SoS层次。我们改进了现有的一般约束满足问题在大的arity的情况下的不可逼近性的结果，使用更强的概率分析的随机实例的扩展。我们研究图上的约束满足问题和密度问题之间的联系。利用它们，我们得到了新的不可逼近的结果的层次的Denmark $k$ -子超图问题和最小$p$ -并问题，这是通过减少证明。我们还说明了相对较新的想法pseudocalibration最大集团和最大$K$ -CSP构建完整性差距的体系结构。据我们所知，Max $K$ -CSP的应用在社区中是已知的，但之前在文献中还没有介绍过。
2022-09-01 cs.CC cs.DS
A Unified Approach to Memory-Sample Tradeoffs for Detecting Planted Structures
Rutgers University（罗格斯大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Southern California（南加州大学）
本文提出了一种统一框架，用于证明检测嵌入结构的多轮流算法的内存下界，并展示了在多个问题中获得的几乎紧致的内存下界。
2026-02-28 cs.CC cs.DS
Improved Certificates for Independence Number in Semirandom Hypergraphs
Princeton University（普林斯顿大学）；Indian Institute of Science, Bengaluru（印度科学研究所班加罗尔分院）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
针对半随机超图独立数上界认证问题，通过度-2ℓ SoS松弛和随机混沌矩阵范数分析，消除了n的对数因子，几乎达到最优阈值O(√n/p^{1/ℓ})，并构造了低度不可区分的安静种植分布。
2026-06-16 cs.DS
Reducibility and Computational Lower Bounds for Problems with Planted Sparse Structure
典型的高维统计问题需要在噪声中找到结构化信号。这些问题中的许多都表现出一个有趣的现象：所有已知的计算效率高的算法所需的数据量远远超过搜索所有可能结构的低效算法所需的数据量。Berthet和Rigollet在2013年发起的一系列工作旨在通过减少计算机科学中的数学上困难的平均情况问题来解释这些数学计算差距。然而，平均情况下减少的微妙性质限制了这种方法的适用性。在这项工作中，我们引入了几种新的技术，给一个网络的平均情况下减少显示强大的计算下限的基础上种植集团猜想使用自然问题作为中间体。这些包括种植独立集，种植稠密子图，稀疏尖峰维格纳，稀疏PCA，随机块模型的子图变体和稀疏PCA的有偏变体的紧下界。我们还给出了算法匹配我们的下限，并确定我们考虑的模型的信息理论的限制。
2019-11-18 cs.CC cs.DS cs.IT
Spectral recovery of a planted triangle-dense subgraph
School of Mathematics, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院数学学院）
针对最坏情况计算困难的三角密集k子图问题，提出基于局部带符号三角计数的谱算法和半定规划，在Erdős-Rényi随机图中恢复种植的三角密集子图，并揭示统计-计算间隙。
2026-06-17 cs.DS math.PR math.ST
Statistical inference of a ranked community in a directed graph
针对有向图中植入排序子图的检测与恢复问题，建立统计与计算阈值，确定对数密度设置下的精确指数阈值，并给出两种极端情况的细粒度结果，为该类排序社区推断提供理论基础。
2024-11-18 cs.CC cs.DS math.CO
Towards EXPTIME One Way Functions: Bloom Filters, Succinct Graphs, Cliques, & Self Masking
该研究提出基于Bloom过滤器和植入团的构造方法，构建可在多项式时间内生成的图，证明黑盒哈希下求逆该映射函数很可能无法在多项式时间完成，为构造EXPTIME单向函数提供思路。
2025-08-03 cs.CC cs.CR cs.DS
Revisiting the Challenges of MaxClique
本文以新颖的概率方法测试 MaxClique 问题的构造性算法，发现扩展的贪婪局部搜索能解决规模达 $10^{10}$ 的问题，且穷举局部搜索在植入团检测中速度最快。
2019-05-08 cs.DS
Lattice-Based Methods Surpass Sum-of-Squares in Clustering
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Simons Institute for the Theory of Computing, UC Berkeley（加州大学伯克利分校西蒙斯计算理论研究所）；Center for Data Science, New York University（纽约大学数据科学中心）；Flatiron Institute（熨斗研究所）
聚类是无监督学习中的一个基本要素，它产生了大量具有计算挑战性的推理任务。在这项工作中，我们专注于典型的任务聚类d维高斯混合未知（可能退化）的协方差。最近的工作（Ghosh等人，'20; Mao，Wein '21; Davis，Diaz，Wang '21）已经建立了针对低次多项式方法和平方和（SoS）层次的下界，用于恢复高斯聚类实例中植入的某些隐藏结构。许多类似的推理任务的先前工作预示着，这样的下限强烈建议存在一个固有的算法到计算的差距聚类，也就是说，一个参数制度的聚类任务是统计上可能的，但没有多项式时间算法成功。我们考虑的聚类任务的一个特殊情况相当于在一个随机子空间中找到一个种植超立方体向量的问题。我们发现，也许令人惊讶的是，这种特定的聚类模型并没有表现出计算的差距，即使在这种情况下，上述低程度和SoS的下限继续适用。为了实现这一点，我们给出了一个多项式时间算法的基础上的Lenstra-Lenstra-Lovasz格基减少方法，实现了最佳的样本复杂度d+1个样本。这一结果扩展了一类问题，其被限制的计算到计算的差距可以通过“脆性”多项式时间算法“关闭”，突出了噪声在计算到计算的差距的发病中的关键但微妙的作用。
2022-01-07 cs.CC cs.DS cs.LG
Superlinear Quantum Query Lower Bounds for Subgraph Detection
University of Maryland（马里兰大学）
本文证明了子图检测问题（通过邻接矩阵查询判断图是否包含固定子图）的首个无条件超线性量子查询下界，针对团和完全二分图给出了具体指数下界，并引入了基于压缩预言机和随机植入证书的新技术。
2026-10-06 cs.DS quant-ph
