Tight Bounds for Potential Maximal Cliques Parameterized by Vertex Cover
我们证明了一个具有$n$顶点和顶点覆盖为$k$的图至多有$4^k + n$潜在的最大团。我们还证明了，对于每个正整数$k$，存在一个图的顶点覆盖的大小$k$，$O(k^2)$顶点，和$Ω(4^k)$潜在的最大团。我们的结果扩展了Fomin，Liedloff，Montealegre和Todinca的结果，他们证明了$poly(n) 4^k$的上界，但留下了下界作为一个开放问题。
2020-11-23 cs.DS math.CO
Tight Algorithm for Connected Odd Cycle Transversal Parameterized by Clique-width
本文利用计数部分解小表示的技术，为以团宽参数化的连通奇环横截问题给出了运行时间为 $\mathcal{O}^*(12^{\operatorname{cw}})$ 的紧算法，并通过基于 SETH 的下界证明了该结果的最优性。
2024-02-26 cs.DS
Improved Parameterized Algorithms for Constraint Satisfaction
对于许多约束满足问题，选择随机分配的算法达到了最佳的近似比。例如，对于{ \sc Max-E3-Sat}的简单随机分配允许7/8近似，并且对于每个$\eps >0$，除非P=NP，否则不存在多项式时间（$7/8+\eps$）近似。另一个例子是有界元的{ \sc Permutation CSP}。给定随机分配（即置换）满足的约束的预期分数$ρ$，假设唯一游戏猜想（UGC），对于每个$\eps >0$，不存在$(ρ+\eps)$ -近似算法。在这项工作中，我们考虑以下参数化的约束满足问题。给定一组常数元的$m$约束，我们是否至少能满足$ρm +k$约束，其中$ρ$是随机分配所满足的约束的期望分数？在文献\cite{Niedermeier2006,MahajanRamanSikdar09}中以不同的形式提出了{ \sc约束满足问题高于平均值}。我们提出了一个更快的参数化算法，以决定是否$m/2+k/2$方程可以同时满足${\mathbb F}_2$。作为结果，我们得到$O(k)$ -变量双内核{ \sc布尔CSP}的arity $c$为每个固定的$c$，和{ \sc置换CSP}的arity 3。这意味着在“高于平均值”参数化下的许多问题的线性双核，例如{ \sc Max-$c$-Sat}、{\sc Set-Splitting}、{ \sc Betweenness}和{ \sc Max A…
2011-10-14 cs.CC cs.DS
Tight Algorithms for Connectivity Problems Parameterized by Modular-Treewidth
我们从细粒度参数化的角度研究连通性问题。Cygan等人（TALG 2022）通过引入切割和计数技术，将连通性问题简化为局部可检查计数问题，获得了树宽参数化连通性问题（$tw$）的单指数运行时间$α^{tw} n^{O(1)}$算法。此外，在强指数时间假设（SETH）下，证明了基$α$是最优的。由于只有稀疏图才允许小树宽，所以这些结果不适用于具有稠密结构的图。一个众所周知的捕捉密集结构的工具是模块分解，它递归地将图划分为模块，模块的成员在模块外部具有相同的邻域。收缩模块产生描述模块之间的邻接的商图。测量商图的树宽得到参数modular-treewide，这是树宽和candle-width之间的一个自然的中间步骤。我们获得了第一个紧运行时间的连接问题参数化的模树宽度。对于某些问题，得到的边界是相同的相对于树宽，表明我们可以处理更大的一般性输入结构，而不以复杂性为代价。给出了模树宽$k$图的随机算法：Steiner树可在时间上求解$3^k n^{O(1)}$，连通支配集可在时间上求解$4^k n^{O(1)}$，连通顶点覆盖可在时间上求解$5^k n^{O(1)}$，反馈顶点集可在时间上求解$5^k n^{O(1)}$ .前两个算法是紧的，由于已知的结果和最后两个算法的补充下SETH新的紧下界。
2023-02-27 cs.DS
Tight algorithms for connectivity problems parameterized by clique-width
涉及全局约束的问题的复杂性通常比仅涉及局部约束的问题的复杂性更难理解。全局约束的一种自然形式是连通性约束。我们从细粒度参数化的角度研究连通性问题。Cygan等人（TALG 2022）通过引入切割和计数技术，首次获得了单指数运行时间c^{tw} n^O（1）的连通性问题的算法。在强指数时间假设（SETH）下，证明了所得到的基c是最优的.然而，由于只有稀疏图可能承认小树宽，我们缺乏知识的细粒度的复杂性，连接问题的密集结构。衡量密集结构的最流行的图形参数可以说是cuble-width，它直观地衡量了通过重复添加biclique来构建图形的容易程度。Bergougnoux和Kanté（TCS 2019）已经使用基于秩的方法证明，许多连通性问题也可以通过candle-width参数化来实现单指数算法。不幸的是，在SETH下获得的运行时间远不是最佳的。我们展示了如何获得最佳的运行时间参数化的两个基准连接问题，即连接顶点覆盖和连接支配集的宽度。这是第一个紧密的结果，连接问题的candle宽度和这些结果是通过开发新的算法的基础上的切割和计数技术和新的下界建设。精确地说，我们证明了存在单侧误差的Monte-Carlo算法，给定一个k-团表达式，在时间6^kn ^O（1）上求解连通顶点覆盖，在时间5^kn ^O（1）上求解连通支配集。这两个结果被证明是严格的SETH下。
2023-02-07 cs.DS
Kidney Exchange: Faster Parameterized Algorithms and Tighter Lower Bounds
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院Khargpur分校）
本文提出了一种更高效的肾交换参数化算法，并证明了该问题在路径宽参数下的W[1]-难性。
2025-12-30 cs.AI cs.CC cs.DS
Finer Tight Bounds for Coloring on Clique-Width
我们重新审视经典的$k$ -着色问题的复杂性参数的candle宽度。这是一个研究得很好的问题，当颜色$k$的数量很大时，这个问题变得非常棘手。然而，对于$k$的小的具体值，其复杂性知之甚少。本文对任意固定的$k$，在SETH下，完全确定了以宽度为参数的$k$ -着色的复杂性.具体地说，我们证明了对于所有的$k\ge 3,ε>0$，$k$着色不能解决的时间$O^*((2^k-2-ε)^{cw})$，并给出了一个算法运行的时间$O^*((2^k-2)^{cw})$。因此，如果SETH为真，则$2^k-2$是每个$k$的指数的“正确”基数。在此过程中，我们还考虑了$k$ -着色的复杂性，该着色由相关参数模块树宽（$mtw$）参数化。在这种情况下，我们表明，“正确的”运行时间，在SETH下，是$O^*({k\choose \lfloor k/2\rfloor}^{mtw})$。如果我们将我们的结果基于一个较弱的假设（ETH），它们意味着$k$ -着色不能在时间$n^{o(cw)}$中求解，即使在具有$O(\log n)$颜色的实例上也是如此。
2018-04-21 cs.CC cs.DS
Tight Bounds for Connectivity Problems Parameterized by Cutwidth
在这项工作中，我们开始调查严格的复杂性界限的连通性问题的参数化cutwidth假设强指数时间假设（SETH）。Van Geffen等人对奇圈截线和反馈点集提出了这个问题。我们回答了这两个和四个进一步的问题，即连通顶点覆盖，连通控制集，steiner树，连通奇圈断面。对于后两个问题，它足以证明下界匹配的运行时间继承的参数化树宽;对于其他人，我们提供更快的算法比相对树宽和证明匹配的下界。对于上界，我们首先扩展了Groenland等人的思想。[STACS~2022]来解决我们所说的类似着色的问题。这样的问题是由一个对称矩阵$M$定义的$\mathbb{F}_2$索引的一组颜色。我们的目标是计算一个图的着色数（模为某个素数$p$），使得$M$在任何边的端点的颜色索引下都有一个$1$ -条目。我们表明，这个问题可以更快地解决，如果$M$有小的排名超过$\mathbb{F}_p$。我们应用这个结果得到了连通顶点覆盖和连通支配集的上界。奇循环截线和反馈顶点集的上界使用细分技巧，使其低于矩阵秩产生的上界。
2022-12-23 cs.DS
Tight bounds for clique-packing parameterized by clique-width
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
针对d-团打包问题，提出基于团宽度参数化的算法，时间复杂度为n^{O(k^{d-1})}，并证明在ETH下该界是紧的，同时证明W[1]-难性。
2026-07-01 cs.DS
Parameterized Approximation Algorithms for Bidirected Steiner Network Problems
有向Steiner网络（DSN）问题将有向边加权图$G=(V,E)$和$k$需求对的集合$\mathcal{D}\subseteq V\times V$作为输入。目的是计算最便宜的网络$N\subseteq G$，其中每个$(s,t)\in\mathcal{D}$都有一个$s\to t$路径。众所周知，这个问题非常困难，因为在Gap-ETH下没有$k^{1/4-o(1)}$近似算法，即使通过$k$参数化运行时也是如此[Dinur & Manurangsi，ITCS 2018]。有鉴于此，我们系统地研究了DSN的几种特殊情况，并确定了它们对参数$k$的参数化逼近性。对于双DSN $_\text{Planar}$问题，目标是计算解$N\subseteq G$，其成本至多是双向图$G$中的最优平面解的成本，即，对于$G$的每个边缘$uv$，反向边缘$vu$存在并且具有相同的权重。这个问题是几个研究得很好的特殊情况的推广。我们的主要结果是，这个问题承认一个参数化的近似计划（PAS）$k$。我们还证明了我们的结果是紧的，在这个意义上，（a）我们的PAS的运行时间不能显着提高，（b）它是不可能的，PAS存在的任何推广的bi-DSN $_\text{Planar}$，除非FPT=W[1]。DSN的一个重要特例是强连通Steiner子图（SCSS）问题，对于该问题，解网络$N\subseteq G…
2022-04-07 cs.CC cs.DS
Solving MAX-r-SAT Above a Tight Lower Bound
我们提出了一个精确的算法，决定，对于每个固定的$r \geq 2$在时间$O(m) + 2^{O(k^2)}$是否一个给定的多集的$m$条款的大小$r$承认一个真值分配，满足至少$((2^r-1)m+k)/2^r$条款。因此，当通过满足紧下界$(1-2^{-r})m$以上的子句的数量进行参数化时，\textsc{Max-$r$-Sat}是固定参数易处理的。这解决了Mahajan等人（J. Comput.系统科学，75，2009）。我们的算法是基于一个多项式时间的数据减少过程，减少了一个等价的代数表示的问题与$O(k^2)$变量的问题实例。这是通过将实例表示为适当的多项式来完成的，并且通过应用概率参数结合来自调和分析的一些简单工具来表明，如果多项式不能被简化为大小为$O(k^2)$的多项式，则存在满足所需子句数量的真值分配。我们引入了一个新的概念双核化从一个参数化的问题到另一个，并应用它来证明上述参数化\textsc{Max-$r$-Sat}承认一个多项式大小的核。结合另一个概率参数与工具，从图匹配理论和有符号图，我们表明，如果一个实例的\textsc{Max-2-Sat}与$m$条款至少$3k$变量后，应用某些多项式时间减少规则，然后有一个真值分配，满足至少$(3m+k)/4$条款。我们还概述了如何固定参数的易处理性和多项式大小的内核结果\textsc{Max-$r$-Sat}可以…
2011-08-22 cs.CC cs.DS
A tight lower bound for Vertex Planarization on graphs of bounded treewidth
在顶点平面化问题中，要求从输入图中删除尽可能少的顶点以获得平面图。这个问题的参数化的复杂性，参数化的解决方案的大小（删除顶点的数量）最近引起了极大的关注。Jansen、Lokshtanov和Saurabh [SODA 2014]的最新算法在$n$ -顶点图上按时间$2^{O(k \log k)} \cdot n$运行，其解大小为$k$。如果可以在运行时间范围内获得对$k$的单指数依赖性，则它仍然是开放的。Jansen、Lokshtanov和Saurabh的工作的核心技术贡献之一是一种算法，该算法在树宽$w$的图上求解顶点平面化的加权变体$2^{O(w \log w)} \cdot n$。在这个简短的说明中，我们证明了这个例程的运行时间在指数时间假设下是紧的，即使是在未加权的图中，也可以通过树深度进行参数化。因此，它是不可能的，一个潜在的单指数算法的顶点平面化参数化的解决方案的大小可以通过仅仅改善上述有界树宽子程序。
2015-11-26 cs.DS
Note on Maximal Bisection above Tight Lower Bound
在图$G=(V,E)$中，二分$(X,Y)$是将$V$划分为集合$X$和$Y$，使得$|X|\le |Y|\le |X|+1$。$(X,Y)$的大小是$X$和$Y$之间的边数。在最大二分法问题中，我们给出一个图$G=(V,E)$，并要求找到一个最大尺寸的二分法。不难看出，$\lceil |E|/2 \rceil$是$G$二等分的最大尺寸的紧下界。本文研究了以下参数化问题的参数化复杂性，称为紧下界上的最大二分法（Max-Bisec-ATLB）：判定图$G=(V,E)$是否有大小至少为$\lceil |E|/2 \rceil+k,$的二分法，其中$k$是参数.我们表明，这个参数化的问题有一个核心与$O(k^2)$顶点和$O(k^3)$边，即，Max-Bisec-ATLB的每个实例等价于具有至多$O(k^2)$顶点和$O(k^3)$边的图上的Max-Bisec-ATLB的实例。
2010-05-17 cs.DM cs.DS
Tight Bounds for some W[1]-hard Problems Parameterized by Multi-clique-width
Aix Marseille Université（艾克斯马赛大学）；Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
研究多团宽参数下Max Cut等问题的紧界，发现其与团宽参数的紧界不同，同时证明Hamiltonian Cycle和Edge Dominating Set问题在多团宽参数下有匹配的紧界算法。
2026-04-28 cs.DS
Tight Bounds for Chordal/Interval Vertex Deletion Parameterized by Treewidth
本文研究了树宽参数化的弦图/区间图顶点删除问题，利用弦图与图拟阵的联系及代表族框架，将弦图删除算法运行时间改进至2^{O(tw)}·|V(G)|，并在ETH假设下证明了区间图删除的2^{O(tw log tw)}算法下界紧致。
2023-05-05 cs.DS
Tight (Double) Exponential Bounds for Identification Problems: Locating-Dominating Set and Test Cover
Université Clermont Auvergne, CNRS, Mines Saint-Étienne, Clermont Auvergne INP, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）；Lebanese American University（黎巴嫩美国大学）；Aix-Marseille Université, CNRS, Ecole Centrale Méditerranée, LIS（艾克斯-马赛大学）；SRM University-AP（SRM大学安得拉邦分校）；Indraprastha Institute of Information Technology Delhi（德里因德拉普拉斯塔信息技术学院）；Indian Institute of Science Education and Research Pune（浦那印度科学教育研究所）
本文针对定位支配集和测试覆盖两个识别问题，证明了以树宽和解大小为参数时的紧双指数下界，并给出匹配下界的算法，其中定位支配集是首个在解大小参数下具有二次指数下界的问题。
2026-11-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight bounds for counting colorings and connected edge sets parameterized by cutwidth
本文以图的割宽和树宽为参数，利用矩阵秩方法研究着色与连通生成边集计数的细粒度复杂度，在SETH下证明了模素数计数的紧致时间上下界。
2023-07-31 cs.CC cs.DS
Tight Bounds for some Classical Problems Parameterized by Cutwidth
该研究以割宽为参数，通过匹配的上下界确定了哈密顿环、划分为三角形、最大割、诱导匹配等经典图问题的SETH紧参数化复杂度，填补了领域内多个开放问题空白。
2025-02-21 cs.DS
Degrees and Gaps: Tight Complexity Results of General Factor Problems Parameterized by Treewidth and Cutwidth
对于一般因子问题，我们给出了一个无向图$G$和每个顶点$v\in V(G)$的非负整数的有限集$B_v$。任务是决定是否存在子集$S\subseteq E(G)$，使得对于$G$的所有顶点$v$，$deg_S(v)\in B_v$。有限整数集合$B$的maxgap是最大的$d\ge 0$，使得存在具有$[a,a+d+1]\cap B=\{a,a+d+1\}$的$a\ge 0$。Cornuéjols（1988）证明了如果所有集合$B_v$的最大间隙至多为1，则一般因子的决策版本是多时间可解的。Dudycz和Paluch（2018）将这一结果扩展到最小化和最大化版本。使用van Rooij（2020）的卷积技术，我们改进了Arulselvan等人（2018）的先前算法，并提出了一种计算时间$O^*((M+1)^k)$中一定大小的解的数量的算法，给定宽度$k$的树分解，其中$M=\max_v \max B_v$。我们证明，该算法本质上是最优的所有情况下，不是多项式时间可解的决策，最小化或最大化版本。我们证明，这样的改进是不可能的，即使是$B$ -因子，这是一般的因素图，所有集$B_v$同意与固定集$B$。我们发现，对于每个固定的$B$的问题是NP-困难的，我们的新算法不能显着改善：假设强指数时间假设（SETH），没有算法可以解决$B$ -因子在时间$O^*((\max B+1-ε)^k)…
2021-05-19 cs.CC cs.DS
Upper Dominating Set: Tight Algorithms for Pathwidth and Sub-Exponential Approximation
上支配集是图的最小支配集。在\textsc{Upper Dominating Set}问题中，目标是找到最大尺寸的上支配集。我们研究了\textsc{Upper Dominating Set}的参数化算法的复杂性，以及它的次指数近似。首先，我们证明，在ETH下，\textsc{$k$-Upper Dominating Set}不能解决时间$O(n^{o(k)})$（改进$O(n^{o(\sqrt{k})})$），并在同一时间，我们表明在相同的复杂性假设下，对于任何恒定比例$r$和任何$\varepsilon > 0$，没有$r$ -近似算法运行在时间$O(n^{k^{1-\varepsilon}})$。然后，我们解决了问题的复杂性参数的路径宽度通过给出一个算法运行的时间$O^*(6^{pw})$（改进当前最好的$O^*(7^{pw})$），和一个下界表明，我们的算法是最好的，我们可以得到的SETH。此外，我们得到一个简单的次指数近似算法这个问题：一个算法，产生一个$r$近似时间$n^{O(n/r)}$，任何所需的近似比$r < n$。最后，我们证明了这种时间近似的权衡是紧密的，直到第二指数中的任意小常数：在随机ETH下，对于任何比例的$r > 1$和$\varepsilon > 0$，没有算法可以输出时间上的$r$近似$n^{(n/r)^{1-\varepsilon}}$。因此，我…
2021-01-19 cs.CC cs.DS
The Parameterized Complexity of Clustering Incomplete Data
我们研究不完整数据的基本聚类问题。具体地，给定一组不完整的d维向量（表示矩阵的行），目标是以允许将向量划分为至多$k$簇的方式来完成缺失的向量条目，其中半径或直径至多为r。我们给出了这些问题的参数化复杂性的严格刻画，相对于参数k，r，以及覆盖所有缺失条目所需的最小行数和列数。我们认为，所考虑的问题是固定参数的参数时，参数化的三个参数相结合，下降的三个参数中的任何一个导致参数化的棘手性。我们的结果的一个副产品是，对于完整的数据设置，所有的问题都是固定参数的参数化k+r。
2021-04-07 cs.DS
A tight Monte-Carlo algorithm for Steiner Tree parameterized by clique-width
本文针对以团宽为参数的Steiner Tree问题，通过构造秩为3^k的代表子矩阵并隔离唯一解的代表，给出了运行时间为3^kn^{O(1)}的紧致蒙特卡洛算法，弥补了与SETH下界之间的指数差距。
2024-02-26 cs.DS
Close relatives of Feedback Vertex Set without single-exponential algorithms parameterized by treewidth
割计数技术和基于秩的方法导致了单指数FPT算法的树宽参数化，即运行在时间$2^{O(tw)}n^{O(1)}$，反馈顶点集和连接版本的经典图问题（如顶点覆盖和支配集）。我们表明，子集反馈顶点集，子集奇循环transmittance，限制边子集反馈边集，节点多路切割，和多路切割不太可能有这样的运行时间。更准确地说，我们在指数时间假设（ETH）下将时间上运行的算法$2^{O(tw \log tw)}n^{O(1)}$与严格的下限相匹配，排除了$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$，其中$n$是顶点数，$tw$是输入图的树宽。我们的算法扩展到加权的情况下，而我们的下界也保持较大的参数路径宽度，不需要权重。我们还表明，与奇数周期transmitting相比，在ETH下，偶数周期transmitting没有$2^{o(tw \log tw)}n^{O(1)}$时间算法。
2020-07-28 cs.CC cs.DS
Approximate Graph Propagation Revisited: Dynamic Parameterized Queries, Tighter Bounds and Dynamic Updates
The University of Melbourne（墨尔本大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
本文提出AGP-Dynamic算法，实现动态图的O(1)均摊更新时间，同时保持近似保证和查询效率。
2026-01-10 cs.DS
A Tight Lower Bound for Edge-Disjoint Paths on Planar DAGs
(see本文证明了边不相交路径问题是W[1]-难参数化的，即使输入图是平面有向无环图（DAG）。这回答了Slivkins的一个问题（ESA '03，SIDMA '10）。此外，在指数时间假设（ETH）下，我们证明了没有$f(k)\cdot n^{o(k)}$算法的平面DAG上的边不相交的路径，其中$k$是终端对的数量，$n$是顶点的数量和$f$是任何可计算的功能。即使图的最大入度和最大出度都至多为$2$，我们的硬度仍然成立。我们的结果表明，$n^{O(k)}$的Fortune等。（TCS '80）的边缘不相交的道路上的算法是渐近紧的，即使我们增加了一个额外的限制的平面性。作为该结果的一个特例，我们得到了平面有向图上的边不相交路是W[1]-难参数化的，其参数是终端对的个数$k$.这回答了Cygan等人（FOCS '13）和Schrijver（pp. 417-444，Building Bridges II，'19），并完成了平面有向图和平面无向图上的不相交路径问题的边和顶点版本的参数化复杂性状态的景观。
2021-01-26 cs.DM cs.DS
Elimination Distances, Blocking Sets, and Kernels for Vertex Cover
顶点覆盖问题在参数化复杂性的多项式核化研究中起着至关重要的作用，即，NP难问题的可证明和有效预处理的研究。出于各种各样的正面和负面的结果的顶点覆盖的核化受到不同的参数和图类，我们试图统一和推广他们使用所谓的块集，其中发挥了显式和隐式的作用，在许多结果。我们表明，在大多数研究的设置，删除集的大小参数化到一个指定的图形类$\mathcal{C}$，有界的最小块集的大小是必要的，但不足以得到一个多项式核化。在温和的技术假设下，有界最小阻塞集的大小表明，允许一个本质上紧有效的减少连接组件的数量。然后，我们确定确切的最大尺寸的最小块集的图形有界消除距离的任何遗传类$\mathcal{C}$，包括有界树深度的图形的情况。我们得到了类似的，但不紧的界限，某些非遗传类$\mathcal{C}$，包括类$\mathcal{C}_{LP}$的图的整数和分数顶点覆盖大小一致。这些界限允许我们导出顶点覆盖的多项式核，该顶点覆盖由删除集的大小参数化到有界消除距离的图，例如，森林图、二分图或$\mathcal{C}_{LP}$图。
2019-05-09 cs.CC cs.DS
Tight Bounds for Feedback Vertex Set Parameterized by Clique-width
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
本文基于团宽参数，提出反馈顶点集的紧界算法，并通过多种方法解决相关计数和决策问题。
2025-12-01 cs.DS
Fine-Grained Complexity of Computing Degree-Constrained Spanning Trees
该研究针对三类度约束下的最小代价生成树计算问题，结合经典图参数给出了不同参数化下的紧复杂度界与算法，完善了该问题的细粒度复杂度研究。
2025-03-19 cs.DS
Independent Set, Induced Matching, and Pricing: Connections and Tight (Subexponential Time) Approximation Hardnesses
我们提出了一系列几乎解决的不可逼近性结果的三个基本问题。在我们的系列中的第一个是最大独立集问题的次指数时间不可近似性，这是在参数化复杂性领域研究的一个问题。第二个问题是有界度二部图的最大诱导匹配问题的逼近困难。在我们的系列中的最后一个是严格的硬度近似的k-超图定价问题，一个基本的问题，从算法博弈论的领域。特别地，假设指数时间假设，我们的两个主要结果是：-对于任何大于某个常数的r，任何求解最大独立集问题的r-近似算法必须至少运行2^{n^{1-ε}/r^{1+ε}}时间。这几乎与2^{n/r}的上限相匹配（Cygan等人，2008年）。它还改进了参数化复杂性域中的一些困难结果（例如，Escoffier等人，2012和Chitnis等人，2013）-对于任何大于某个常数的k，k-超图定价问题不存在多项式时间min（k^{1-ε}，n^{1/2-ε}）-近似算法，其中n是输入图中的顶点数。这几乎匹配min（O（k），\tilde O（\sqrt{n}））的上界（Balcan and Blum，2007 and an algorithm in this paper）。我们注意到一个有趣的事实，与多项式时间算法的n^{1/2-ε}困难性相反，k-超图定价问题允许在准多项式时间中对任何δ>0进行n^δ逼近。这使得这个问题在一个罕见的近似类，其中近似阈值可以显着提高，允许算法运行在准多项式时间。
2013-08-18 cs.CC cs.DS
b-Coloring Parameterized by Clique-Width
本文给出了一个多项式时间算法来求解常宽度图的b-着色问题。这统一并扩展了几乎所有先前已知的关于图类的多项式时间结果，并回答了Campos和Silva [Elmica，2018]和Bonomo等人[Graphs Combin.，2009年]。这构成了这个问题的结构参数化的第一个结果。我们表明，这个问题是FPT时，参数化的顶点覆盖数一般图，和弦图时，参数化的颜色数。此外，我们观察到，我们的算法的有界candle宽度的图形可以适应解决秋季着色问题在相同的运行时间范围内。在指数时间假设下，b-着色和Fall着色的基于宽度的算法的运行时间是紧的。
2022-07-19 cs.DM cs.DS
5-Approximation for $\mathcal{H}$-Treewidth Essentially as Fast as $\mathcal{H}$-Deletion Parameterized by Solution Size
$\mathcal{H}$ -树宽的概念最近被引入作为无向图树宽的推广，其中$\mathcal{H}$是一个遗传图类。粗略地说，一个$\mathcal{H}$ -树宽至多为$k$的图可以被分解成（任意大的）$\mathcal{H}$ -子图，这些子图仅通过大小为$O(k)$的顶点集进行交互，这些顶点集可以以树状方式组织。$\mathcal{H}$ -treewidth可以作为一个混合参数化来开发$\mathcal{H}$ -删除问题的固定参数易处理算法，该算法要求找到一个最小顶点集，该顶点集从给定的图$G$中删除后将其变为$\mathcal{H}$的成员。当前参数化算法的瓶颈在于计算合适的树$\mathcal{H}$ -分解。我们提出FPT近似算法来计算树$\mathcal{H}$ -分解的遗传和联合封闭图类$\mathcal{H}$。给定一个$\mathcal{H}$ -树宽$k$的图，对于某个函数$f(k) \geq 2^k$，只要由解大小参数化的$\mathcal{H}$ -删除可以在时间上求解$f(k) \cdot n^{O(1)}$，我们就可以计算出一个5-近似树$\mathcal{H}$-时间分解$f(O(k)) \cdot n^{O(1)}$.当前最好的算法要么实现$k^{O(1)}$的近似因子，要么构造最优分解，同时遭受未知参数依赖的非均匀性。使用这些分解，我们得到…
2023-06-29 cs.CC cs.DS
A Linear Time Parameterized Algorithm for Node Unique Label Cover
唯一标签覆盖问题的优化版本是唯一博弈猜想的核心，它在证明几个紧密不可逼近结果中发挥了重要作用。近年来，这一问题也从参数化复杂性的角度得到了广泛的研究。Cygan等人[FOCS 2012]证明了这个问题是固定参数可处理的（FPT），Wahlström [SODA 2014]给出了一个具有改进参数依赖性的FPT算法。随后，Iwata，Wahlström和Yoshida [2014]证明了唯一标签覆盖的边缘版本可以在线性FPT时间内求解。也就是说，存在FPT算法，其对输入大小的依赖性是线性的。然而，这样的算法的节点版本的问题被留下作为一个开放的问题。在本文中，我们解决了这个问题，提出了第一个线性时间FPT算法的节点唯一标签覆盖。
2016-04-29 cs.DS
Parameterized covering in semi-ladder-free hypergraphs
针对半无梯形超图上的 Set Cover，论文改造几何覆盖算法获得 FPT 与核化方法，并给出压缩下界证明核化紧致性。
2023-11-08 cs.DM cs.DS
Tight Hardness Results for Distance and Centrality Problems in Constant Degree Graphs
在图中寻找重要节点并测量其重要性是分析社交网络、交通网络、生物系统等的基本问题。在流行的度量中，这些度量包括图中心性、介数中心性（BC）和到达中心性（RC）。这些措施也非常相关的经典概念，如直径和半径。Roditty和Vassilevska Williams~[STOC'13]证明了没有算法可以在n^{2-o（1）}时间内更快地计算稀疏和未加权图的直径的（3/2-δ）-近似，除非广泛认为的强指数时间假设（SETH）是假的。Abboud等人~ [SODA[15]和[SODA'16]进一步分析了这些问题下最近的研究路线的硬度在P.他们表明，在稀疏和未加权图（加权BC）没有这些问题可以解决的速度比n^{2-o（1）}，除非一些流行的猜想是假的。此外，他们排除了RC的（2-δ）-近似，半径的（3/2-δ）-近似和计算任何δ> 0的图的所有偏心率的（5/3-δ）-近似。我们将这些结果推广到最大度为常数的无权图的情形。通过新的图的构造，我们能够获得相同的近似和时间界的稀疏图，即使在未加权有界度图。我们证明了在时间n^{2-o（1）}上不存在半径或直径的（3/2-δ）逼近，RC的（2-δ）逼近，所有偏心率的（5/3-δ）逼近或BC的精确算法，且任何δ> 0.这加强了Abboud等人关于BC的结果。[SODA 16]通过显示未加权图的硬度结果，并遵循Abboud等人的脚步。[SODA'16]和Ab…
2017-04-20 cs.CC cs.DS
Maximum Balanced Subgraph Problem Parameterized Above Lower Bound
我们考虑没有环或平行边的图，其中每个边都被分配+或-。这样的带符号图是平衡的，如果它的顶点集可以被划分为部分$V_1$和$V_2$，使得同一部分中的顶点之间的所有边具有符号+，并且不同部分的顶点之间的所有边具有符号$-$（其中一个部分可以是空的）。众所周知，每个具有$n$顶点和$m$边的连通符号图都有一个至少有$\frac{m}{2} + \frac{n-1}{4}$边的平衡子图，并且这个界是紧的。考虑了如下参数化问题：给定一个具有$n$顶点和$m$边的连通符号图$G$，判定$G$是否存在至少有$\frac{m}{2} + \frac{n-1}{4}+\frac{k}{4}$边的平衡子图，其中$k$是参数.我们得到了一个算法的运行时间$8^k(kn)^{O(1)}$的问题。我们还证明了，对于每个实例$(G,k)$的问题，在多项式时间内，我们可以解决$(G,k)$或产生一个等价的实例$(G',k')$，$k'\le k$和$|V(G')|=O(k^3)$。我们的第一个结果推广了Crowston，Jones和Mnich（ICALP 2012）关于最大切割的相应参数化的结果（当$G$的每条边都有符号$-$时）。我们的第二个结果推广并显著改进了Crowston，Jones和Mnich的相应结果：他们证明了$|V(G')|=O(k^5)$ .
2013-04-22 cs.CC cs.DS
On Equivalence of Parameterized Inapproximability of k-Median, k-Max-Coverage, and 2-CSP
本研究通过构建k-最大覆盖到2-CSP、k-中位数到k-最大覆盖的保间隙FPT归约，证明k-最大覆盖的常数因子近似W[1]难性蕴含PIH，揭示三类问题参数化不可近似性的等价关联。
2024-07-12 cs.CC cs.DS
Parameterized Complexity of Satisfying Almost All Linear Equations over $\mathbb{F}_2$
问题MaxLin 2可以如下所述。给出了一个以$x_1,...,x_n$为变量的$m$方程组的系统$S$，其中每个方程都被赋予正整数权$w_j$和$x_i,b_j \in \mathbb{F}_2$，$I_j \subseteq \{1,2,...,n\}$，其中$j=1,...,m$ .我们需要找到一个分配值的变量，以最大限度地提高总重量的满足方程。令$W$为$S$中所有方程的总权重。我们考虑以下参数化版本的MaxLin 2：决定是否有一个分配满足方程的总重量至少$W-k$，其中$k$是一个非负参数。我们证明了即使$S$的每个方程恰好有三个变量，并且每个变量恰好出现在三个方程中，而且每个权$w_j$等于1，并且没有两个方程有相同的左边，这个参数化问题也是W[1]-困难的.我们证明，如果每个方程最多有两个变量，那么参数化的问题是固定参数听话的紧这个结果。我们还证明了，如果没有变量出现在两个以上的方程，那么我们可以在多项式时间内最大化满足方程的总重量。
2012-12-01 cs.CC cs.DM cs.DS
Parameterized Complexity of Spanner Problems with Independent Weights and Lengths
Institute of Computer Science, Osnabrück University（奥斯纳布吕克大学计算机科学研究所）
本文首次研究无向图上带独立权重和长度的乘法α-spanner问题的参数化复杂性，证明若干参数化不允许FPT算法，但提出排除和包含两种方法，分别以总移除权重和总权重为参数，并辅以紧致性等次要参数实现FPT算法。
2026-09-25 cs.DS
Parameterized Complexity of Conflict-free Graph Coloring
给定一个图G，q-开邻域无冲突染色或q-ONCF-染色是顶点染色$c:V(G) \rightarrow \{1,2,\ldots,q\}$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，$N(v)$中有一个顶点与$N(v)$中的其余顶点唯一着色。当我们用闭邻域$N[v]$代替$N(v)$时，我们称这样的染色为q-闭邻域无冲突染色或简称为q-CNCF-染色。本文研究了当q为常数时输入图是q-ONCF-染色还是q-CNCF-染色的NP-难判定问题。我们将在参数化设置下研究这两个问题。首先，我们研究了这些问题的FPT算法的运行时间界限，当参数树宽。我们改进了现有的上界，并提供了ETH和SETH下运行时间的下界。其次，我们研究了这两个问题的核化复杂性，使用顶点覆盖作为参数。我们证明了$(q \geq 2)$ -着色和$(q \geq 3)$ -着色都不能有多项式核，除非$NP \in coNP/poly$。然而，我们得到了一个多项式核的2-CNCF-染色的顶点覆盖参数化。我们得出一些组合的结果。将$χ_{ON}(G)$和$χ_{CN}(G)$分别表示为ONCF-颜色和CNCF-颜色G所需的最小颜色数。关于$χ_{CN}(G)$的结构参数，如最小顶点覆盖大小，最小反馈顶点集大小和树宽的上界是已知的。据我们所知，只有一个上限$χ_{ON}(G)$的最小顶点覆盖大小是已知的。我们提供了紧界$χ_{O…
2019-05-01 cs.CC cs.DS
Tight Hardness for Shortest Cycles and Paths in Sparse Graphs
细粒度约简建立了$n$ -结点赋权图上的许多核心问题与$\tilde{O}(n^3)$ -时间算法之间的等价关系，如最短圈、所有对最短路（APSP）、半径、替换路、次最短路等，这些问题也有$m$ -边$n$ -结点赋权图上的$\tilde{O}(mn)$ -时间算法，并且这些算法具有更广泛的适用性.当$mn$？从边权图中的最小权$(2\ell+1)$ -团问题需要$n^{2\ell+1-o(1)}$时间的假设出发，证明了对于$m = Θ(n^{1+1/\ell})$形式的所有稀疏性，对于以下问题的\emph{any}，不存在$ε>0$的$O(n^2 + mn^{1-ε})$时间算法：最小权值$(2\ell+1)$ -有向加权图中的圈，有向加权图中的最短圈，有向或无向加权图中的APSP，有向或无向加权图中的半径（或偏心率），有向或无向加权图的维纳指数，有向加权图中的替换路径，有向加权图中的第二最短路径，有向加权图中给定节点的介数中心度。也就是说，我们证明了各种稀疏图问题的硬度从一个稠密图问题。我们的研究结果还导致新的条件下界从几个相关的假设，包括$k$ -圈，最短圈，半径，维纳指数和APSP的无权稀疏图问题。
2020-05-05 cs.DS
Towards a Theory of Parameterized Streaming Algorithms
参数化的复杂性试图对问题的复杂性进行更细粒度的分析：我们不是将运行时间作为输入大小的函数来测量，而是根据其他参数来分析运行时间。这种方法已被证明是非常成功的描绘我们的理解\NP困难的问题。考虑到TIME资源的成功，使用这种方法来处理SPACE资源似乎是很自然的。在这个方向上的第一次尝试已经考虑了一些个别问题，取得了一些成功：Fafianie和Kratsch [MFCS'14]和Chitnis等人。[SODA'15]分别介绍了流式内核和参数化流式算法的概念。例如，后者示出了如何通过设计用于使用$O(k^{2}\log n)$位的参数化$k$-VC问题的算法来细化$Ω(n^2)$位下限以用于在流设置中找到最小顶点覆盖（VC）。在本文中，我们发起了一个系统的研究图形问题的范式参数化流算法。本文首先定义了FPS、SubPS、SemiPS、SupPS和BrutePS等空间复杂度类的自然层次，然后将最长路、反馈顶点集、支配集、围长、树宽等几个已被广泛研究的图问题严格地分类到这个层次中. (see全文摘要（Full Abstract）
2019-11-20 cs.DS
Detecting and Counting Small Subgraphs, and Evaluating a Parameterized Tutte Polynomial: Lower Bounds via Toroidal Grids and Cayley Graph Expanders
给定一个图的性质$Φ$，我们考虑问题$\mathtt{EdgeSub}(Φ)$，其中输入是一对图$G$和一个正整数$k$，任务是判定$G$是否包含一个满足$Φ$的$k$ -边子图.具体来说，我们研究了参数化的复杂性$\mathtt{EdgeSub}(Φ)$和它的计数问题$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$方面的近似和精确计数。我们得到一个完整的图片小封闭属性$Φ$：决策问题$\mathtt{EdgeSub}(Φ)$总是承认一个FPT算法和计数问题$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$总是承认一个FPTRAS。对于精确计数，我们提出了一个详尽的和明确的标准上的属性$Φ$，如果满足，产生固定参数的易处理性，否则$\#\mathsf{W[1]}$ -硬度。此外，我们的大多数硬度结果在所谓的指数时间假设下都有一个几乎严格的条件下限，排除了$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$的算法，这些算法在任何可计算函数$f$的时间$f(k)\cdot|G|^{o(k/\log k)}$中运行。作为一个主要的技术成果，我们获得了一个完整的了解的系数的环形网格和选择凯莱图展开$\#\mathtt{EdgeSub}(Φ)$的同态基础。这使我们能够使用Curticapean，Dell和Marx（STOC'17）的复杂性单调性框架来建立精确计数的难度。我们的方法也可以应用到一个参数化的…
2021-04-29 cs.CC cs.DS
Parameterized Convexity Testing
在这项工作中，我们开发了新的见解的基本问题的凸性测试的实值函数的域$[n]$。具体而言，我们提出了一个非自适应算法，给定输入$\eps \in (0,1), s \in \mathbb{N}$，和Oracle访问一个函数，$\eps$ -测试凸性$O(\log (s)/\eps)$，其中$s$是一个上界的不同离散导数的函数的数量。我们还证明了这个界是紧的。由于$s \leq n$，我们的查询复杂度界限至少与复杂度为$O(\frac{\log \eps n}{\eps})$的最佳凸性测试器（Ben Eliezer; ITCS 2019）一样好;当$s = o(n)$时，我们的界限严格更好。我们工作的主要贡献是适当地参数化凸性测试的复杂性，以规避最坏情况下的下限（Belovs等人; SODA 2020）的$Ω(\frac{\log (\eps n)}{\eps})$表示的输入大小，并获得一个更有效的算法。
2021-10-25 cs.DS
Parameterized Algorithms on Integer Sets with Small Doubling: Integer Programming, Subset Sum and k-SUM
本文以倍增常数为参数，研究了整数集上 Integer Programming 和 Subset Sum 等问题的参数化复杂度，提出了高效的判定与求解算法，并证明了相关下界及 Freiman's Theorem 的高效构造化。
2024-07-25 cs.DS
Tight Parameterized (In)tractability of Layered Crossing Minimization: Subexponential Algorithms and Kernelization
University of Bergen（卑尔根大学）；IIT Jodhpur（印度理工学院焦特普尔分校）；The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（数学科学研究所，HBNI）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文解决2层交叉最小化的次指数参数化开放问题，给出首个次指数FPT算法，并扩展到3层，同时证明5层以上无次指数算法，且为3层设计多项式核，排除4层以上多项式核。
2025-10-15 cs.CG cs.DS
ETH-Tight Complexity of Optimal Morse Matching on Bounded-Treewidth Complexes
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；Western Norway University of Applied Sciences (HVL)（西挪威应用科学大学）
针对最优Morse匹配问题，提出了一种在任意有限正则CW复形上运行时间为$2^{O(k \log k)} n$的算法，并证明除非指数时间假说(ETH)失败，否则不存在$2^{o(k \log k)} n^{O(1)}$时间的算法。
2026-06-02 cs.CC cs.CG cs.DM
Approximation and Parameterized Complexity of Minimax Approval Voting
University of Warsaw（华沙大学）；University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）；Warsaw Center of Mathematics and Computer Science（华沙数学与计算机科学中心）
我们提出了三个结果的复杂性极小极大批准投票。首先，我们研究了由汉明距离$d$参数化的Minimax赞成投票。我们证明极小极大批准投票不允许算法在时间$\mathcal{O}^\star(2^{o(d\log d)})$上运行，除非指数时间假设（ETH）失败。这意味着Misra等人[AAMAS 2015]的$\mathcal{O}^\star(d^{2d})$算法基本上是最优的。受此启发，我们展示了一个参数化的近似方案，在时间上运行$\mathcal{O}^\star(\left({3}/ε\right)^{2d})$，假设ETH，它本质上是紧的。最后，我们得到了一个新的多项式时间随机近似方案的Minimax批准投票，它运行在时间$n^{\mathcal{O}(1/ε^2 \cdot \log(1/ε))} \cdot \mathrm{poly}(m)$，几乎匹配的运行时间最快的已知PTAS最近字符串由于马和太阳[SIAM J. Comp. 2009]。
2016-07-26 cs.AI cs.DS cs.GT
Can You Link Up With Treewidth?
该研究引入连通容量这一新图参数，给出Marx经典ETH下界结果的简化自包含证明，还推导了特定模式图彩色子图检测及诱导子图计数的紧下界。
2025-05-16 cs.CC cs.DS
Computing Twin-Width Parameterized by the Feedback Edge Number
本文以反馈边数为参数，提出线性双核与近似固定参数算法，用于计算图的孪生宽度及收缩序列，并收紧相关界。
2023-10-12 cs.DS
Near-Optimal Bounds for Parameterized Euclidean k-means
Google Research（谷歌研究）；Rutgers University（罗格斯大学）；Université Paris Cité, CNRS（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心）；Aarhus University（奥胡斯大学）
本文基于XXH假设，证明了欧几里得k均值问题在时间复杂度上的下界，且展示了精确算法在小k值时的最优性。
2026-03-30 cs.CC cs.CG cs.DS
A tight quasi-polynomial bound for Global Label Min-Cut
University of Warsaw（华沙大学）；University of Bergen（卑尔根大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；Fluminense Federal University（弗鲁米嫩塞联邦大学）
研究证明全局标签最小割问题的准多项式时间复杂度可能最优，其下界与指数时间假设相矛盾。
2022-07-15 cs.CC cs.DS
The parameterized complexity of finding a 2-sphere in a simplicial complex
我们考虑寻找单纯复形K的子复形K'，使得K'同胚于二维球面S^2的问题。我们研究这个问题的两个变种。第一个问题是是否存在这样一个K'，最多有k个三角形，我们证明了这个变体是W[1]-hard的，并且假设ETH，不允许O（n^{o（sqrt（k））}）时间算法。我们还给出了一个算法，是紧关于这个下界。第二个问题是第一个问题的对偶问题，它询问是否可以通过从K中删除最多k个三角形来找到K'。这个变体有一个即时的O（3^k poly（|K|））时间算法，我们证明了它允许一个多项式核化到O（k^2）三角形，以及一个多项式压缩到位大小为O（k log k）的加权版本。
2018-02-20 cs.DS math.CO
On Tight FPT Time Approximation Algorithms for k-Clustering Problems
Nanjing University（南京大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出了一种针对k-聚类问题的紧FPT时间近似算法，改进了有容量限制和无容量限制下的近似比，并扩展了双标准近似算法。
2025-12-04 cs.DS
A Tight Double-Exponentially Lower Bound for High-Multiplicity Bin Packing
Kiel University（基尔大学）
该研究证明了在高多重性装箱问题中，除非ETH不成立，否则不存在在时间{{|I|}^2}^{o(d)}内解决该问题的算法，从而确认了Goemans和Rothvoss算法在参数化为物品数量d的上下文中是最佳可能的。
2026-05-18 cs.CC cs.DS
