The Gel'fand problem for the biharmonic operator
研究了一类四阶非线性椭圆型方程在整个空间和有界区域上的稳定解。
2012-07-18 math.AP
Multiple solutions of $p$-biharmonic equations with Navier boundary conditions
利用变分方法研究了一类含$p$ -双调和算子的椭圆型Navier边值问题多个弱解的存在性.此外，一个具体的应用程序的例子。
2016-08-26 math.AP
A note on semilinear elliptic equation with biharmonic operator and multiple critical nonlinearities
研究了方程$$ {Δ^2u-μ\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_β-2}u}{|x|^β}+|u|^{q-2}u\quad\textrm{in ${\mathbb R}^N$,}} $$非平凡弱解的存在性和不存在性，其中$N\geq 5$，$q_β=\frac{2(N-β)}{N-4}$，$0<β<4$，$1<q\leq 2^{**}$和$μ<μ_1:=\big(\frac{N(N-4)}{4}\big)^2$ .利用Pohozaev型恒等式证明了当$1<q< 2^{**}$ .另一方面，当方程具有多个临界非线性项，即$q=2^{**}$和$-(N-2)^2\leqμ<μ_1$时，利用Ambrosetti和Rabinowitz的山路定理和变分方法，证明了非平凡解的存在性.
2014-10-15 math.AP
Resonant biharmonic problems with asymmetric-superlinear nonlinearities
本文研究了一类具有齐次Navier条件的双调和椭圆型方程解的存在性。该问题是对称的，在- \infty上具有线性行为，在+ \infty上具有超线性行为。为了得到这些结果，我们应用拓扑度理论。
2019-04-30 math.AP
Energy quantization for biharmonic maps
在目前的工作中，我们建立了一个能量量子化（或能量恒等式）的解决方案的比例不变的变分问题在4维，其中包括双调和映射（外在和内在）。为此，我们首先建立了一个角能量量子化的解决方案，临界线性四阶椭圆系统反对称潜力。该方法的灵感来自作者之前在arXiv：1109.3599v1中针对二阶问题介绍的方法。
2011-12-22 math.AP
Multiplicity of multi-bump type nodal solutions for a class of elliptic problems with exponential critical growth in $\mathbb{R}^2$
本文证明了以下问题$$ -Δu+(λV(x)+1)u=f(u),~~\mbox{in}~~\mathbb{R}^2, $$多凸节点解的存在性和多重性，其中$λ\in(0,\infty)$，$f$是指数临界增长的连续函数，$V:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$是连续函数，并验证了一些假设.
2014-12-13 math.AP
A positivity preserving property result for the biharmonic operator under partially hinged boundary conditions
众所周知，对于高阶椭圆型方程，保正性（PPP）可能失效。与Dirichlet边界条件下的情形形成鲜明对比的是，我们证明了部分铰接边界条件下矩形区域上的双调和算子的PPP成立，即非负载荷产生正解.结果如下的相应的格林函数的傅立叶展开的精细估计。
2020-04-08 math.AP
Existence and concentration of solutions for a class of biharmonic equations
考虑了一类超线性四阶椭圆型方程。基态被证明是存在的，并集中在一个点上的极限。证明依赖于变分方法，其中非平凡解的存在性和浓度与适当的截断方程有关。
2013-04-16 math.AP
An Inverse Problem on Determining Second Order Symmetric Tensor for Perturbed Biharmonic Operator
本文研究了高阶椭圆算子的Calderón型反问题，该反问题确定高阶椭圆算子的直至二阶的系数.在这里，我们表明，它是可能的，以确定一个各向异性的对称矩阵给出的二阶扰动，以及一个向量场和零阶势函数内的有界域的边界上的扰动双调和算子的Dirichlet到Neumann映射测量的一阶扰动。
2021-09-19 math.AP
Extrapolation of well posedness for higher order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了高阶散度型椭圆型微分算子的边值问题。我们建立了Besov空间$\dot B^{p,p}_s$，$p\leq 1$中边界数据问题的适定性，给出了$s$和$p>1$的适当值的适定性.我们使用$0$和$1$之间的平滑参数$s$;这允许我们考虑非齐次微分方程。结合Maz'ya的研究结果，I.米特雷亚湾Mitrea，and Shaanova，这使我们能够为高阶算子建立新的适定性结果，高阶算子的系数在或接近于空间$VMO$，双调和算子，四阶算子接近于双调和算子.
2017-08-16 math.AP
Multi-bump solutions for sublinear elliptic equations with nonsymmetric coefficients
Laboratory of Mathematics and Complex Systems (Ministry of Education), School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统教育部重点实验室）；School of Mathematics and Statistics, HNP-LAMA, Central South University（中南大学数学与统计学院）
本文研究了亚线性椭圆方程在非对称系数下的多峰解存在性，通过截断泛函空间方法构造了无限多个具有任意多个峰的解。
2025-12-30 math.AP
Optimal estimates from below for biharmonic Green functions
在任意$C^{4,γ}$ -光滑区域上，得到了Dirichlet边界条件下双调和格林函数的最优点态估计.四阶椭圆型方程不存在最大值原理，并且格林函数可以变号.它防止使用Harnack不等式作为二阶问题，因此复杂的推导最优估计。本估计是通过渐近分析得到的。估计表明，这个格林函数是积极的奇点附近，可能的负部分是小的意义上说，它是有界的产品的平方距离的边界。
2011-03-03 math.AP
Positivity of solutions to the Cauchy problem for linear and semilinear biharmonic heat equations
研究了以双调和算子为四阶椭圆主部的线性和非线性抛物型方程Cauchy问题解的正性.一般情况下，四阶抛物型方程的柯西问题由于基本解的符号改变而不具有保正性。对于正的初始数据，最终具有局部正性，但是在短的时间尺度上，通常也会具有负性区域。本文的第一个目的是在初值上找到线性双调和热方程Cauchy问题解的存在性的充分条件，使其解在整个空间和所有时间都是正的。第二个目标是应用这些结果证明一类半线性双调和抛物型方程Cauchy问题整体正解的存在性。
2020-05-22 math.AP
Semilinear elliptic PDE's with biharmonic operator and a singular potential
本文研究了一类问题：\begin{equation}\tag{$P_λ$} \begin{cases} Δ^2u-μa(x)u=f(u)+λb(x)\quad\textrm{in $Ω$,}\\ u>0 \quad\textrm{in $Ω$,}\\ u=0=Δu \quad\textrm{on $\partialΩ$,} \end{cases} \end{equation}正解的存在性与不存在性，其中$Ω$是$\mathbb R^N$中的光滑有界区域，$N\geq 5$，$a, b, f$是满足一定假设的非负函数，我们将在后面说明. $μ,λ$是正常数。在函数$a, b, f$和常数$μ$的适当条件下，证明了存在$λ^*>0$，使得当$0<λ<λ^*$，（$P_λ$）在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中有解时，$λ>λ^*$在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中无解.而且作为$λ\uparrowλ^*$，（$P_λ$）的极小正解在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中收敛到（$P_{λ^*}$）的解.我们还证明了存在$\tildeλ^*<\infty$使得$λ^*\leq\tildeλ^*$和对于$λ>\tildeλ^*$，上述问题（$P_λ$）甚至在分布意义/很弱意义下也没有任何解，并且存在完全{\it b…
2015-09-13 math.AP
Critical p-biharmonic problems and applications to Hamiltonian systems
研究涉及p-双调和算子的四阶椭圆问题，通过反演步骤将哈密顿系统简化为单个p-双调和方程，结合集中紧致性与上同调指标方法证明非平凡解的存在性，扩展并改进了经典结果。
2025-09-16 math.AP
On Delaunay solutions of a biharmonic elliptic equation with critical exponent
我们对方程\begin{equation} \label{0.0} Δ^2 u=u^{\frac{n+4}{n-4}} \;\;\mbox{in $\mathbb{R}^n \backslash \{0\}$ and 0 is a non-removable singularity of $u(x)$}. \end{equation}的正整解$u \in C^4 (\mathbb{R}^n \backslash \{0\})$的定性性质感兴趣。由[定理4.2]可知，\eqref{0.0}的任何正整解$u$关于$x=0$是径向对称的，即$u(x)=u(|x|)$，并且方程\eqref{0.0}还存在一个特殊的正整解$u_s (x)=\Big(\frac{n^2 (n-4)^2}{16} \Big)^{\frac{n-4}{8}} |x|^{-\frac{n-4}{2}}$。我们首先表明，$u-u_s$改变符号无穷多次在$(0, \infty)$的任何正奇异的整体解决方案$u \not \equiv u_s$在$\mathbb{R}^N \backslash \{0\}$的\eqref{0.0}。此外，方程\eqref{0.0}允许正的整体奇异解$u(x) \; (=u(|x|)$，使得具有共形因子$u^{\frac{4}{n-4}}$的共形度量的标量曲率是正的，并且$v(t):=e^…
2017-08-15 math.AP
Nodal solutions for the weighted biharmonic equation with critical exponential growth
本文考虑单位圆盘上的对数加权四阶椭圆型方程：$B\subset\R^{4}$，其中非线性项$f$由Adam型不等式得到指数临界增长.利用Nehari集上的约束极小化，结合定量变形引理和度理论，证明了问题$(P_λ)$节点解的存在性.
2022-11-21 math.AP
Weak compactness of solutions for fourth order elliptic systems with critical growth
考虑一类包含4维双调和映射的Euler-Lagrange方程的四阶椭圆型方程组，证明了这类方程组的弱解的弱极限也是极限系统的弱解.
2013-01-05 math.AP
Existence and nonexistence of solutions to a critical biharmonic equation with logarithmic perturbation
本文考虑了如下临界双调和椭圆问题\begin{eqnarray*} \begin{cases} Δ^2u= λu+μu\ln u^2+|u|^{2^{**}-2}u, &x\inΩ,\\ u=\dfrac{\partial u}{\partial ν}=0, &x\in\partialΩ\end{cases} \end{eqnarray*}，其中$Ω\subset \mathbb{R}^{N}$是具有$N\geq5$的有界光滑区域.由于对数项符号的不确定性，出现了一些有趣的现象。主要利用山路引理证明了在$λ$和$μ$的适当假设下，该问题至少存在一个非平凡弱解.此外，还得到了一个不存在的结果。将本文的结果与已知的结果进行比较，可以看出，当引入对数摄动时，出现了一些新的现象。
2022-11-19 math.AP
Existence of solutions to a perturbed critical biharmonic equation with Hardy potential
本文考虑了如下双调和椭圆问题\begin{eqnarray*} \begin{cases} Δ^2u-λ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}=|u|^{2^{**}-2}u+ f(x,u), &x\inΩ,\\ u=\dfrac{\partial u}{\partial n}=0, &x\in\partialΩ\end{cases} \end{eqnarray*}.该方程的主要特点是包含一个Hardy项和一个具有临界Sobolev指数的非线性项。通过结合仔细分析的能量泛函与山路引理的映射问题，它表明，对于一些积极的参数$λ$依赖于$s$和$q$，该问题承认至少有一个山路型解在适当的增长条件下的非线性$f(x,u)$。
2022-11-24 math.AP
Nonexistence of Positive Supersolutions of Nonlinear Biharmonic Equations without the Maximum Principle
研究了双调和不等式$-Δ^2 v \geq f(v)$在$\mathbb{R}^n$的外部区域上的经典正解，其中$f:(0,\infty)\to (0,\infty)$是连续函数.我们给出了$f(s)$在$s=0$和/或$s=\infty$上的增长下界，使得该不等式在$\mathbb R^n$的任何外部区域上都没有$C^4$正解. Armstrong和Sirakov [ Nonexistence of positive supersolutions of elliptical equations via the最大值原理，Comm. Partial Differential Equations 36（2011）2011-2047]使用仅取决于与最大值原理相关的性质的方法为$-Δv\ge f(v)$获得了类似的结果。由于双调和算子的最大值原理不成立，我们采用了一种不同的方法，它依赖于一个新的表示公式和先验逐点界的非负解的$-Δ^2u \ge 0$在一个穿孔的邻域中的起源$\mathbb{R}^n$。
2014-07-16 math.AP
Positivity and almost positivity of biharmonic Green's functions under Dirichlet boundary conditions
一般来说，对于高阶椭圆型方程和边值问题，如双调和方程和线性固支板边值问题，既没有最大值原理，也没有比较原理或--等价地--保持正性的性质。这个问题是相当复杂的，因为固定的边界条件阻止边值问题{从}被合理地写为一个系统的二阶边值问题。它表明，在另一方面，有界光滑域$Ω\subset\mathbb{R}^n$，相应的格林函数的负的一部分是“小”相比，其奇异的正的一部分，提供$n\ge 3$。此外，球$B\subset\mathbb{R}^n$在Dirichlet（即夹紧）边界条件下的双调和格林函数是明确已知的，是积极的。一段时间以来，人们已经知道，如果$n=2$，则在域的小的规则扰动下，正性被保持。本文证明了$n\ge 3$的稳定性结果。关键词：双调和格林函数，正性，几乎正性，爆破过程。
2009-02-27 math.AP
On stable solutions of biharmonic problem with polynomial growth
证明了双调和问题$Δ^2 u= u^p$，$u>0$在$\R^N$中对于$1 < p < \infty$和$N < 2(1 + x_0)$的光滑稳定解的不存在性，其中$x_0$是下列方程的最大根：$$x^4 - \frac{32p(p+1)}{(p-1)^2}x^2 + \frac{32p(p+1)(p+3)}{(p-1)^3}x -\frac{64p(p+1)^2}{(p-1)^4} = 0.$$特别地，当$p > 1$为$x_0 > 5$时，我们得到了对于任何$N \leq 12$和$p > 1$的光滑稳定解的不存在性.此外，我们还考虑了半空间$\R^N_+$中的相应问题，或有界光滑区域$Ø$上的椭圆问题$Δ^2 u= ł(u+1)^p$，其Navier边界条件。我们将证明在低维极值解的正则性。我们的结果改进了以前的工作。
2012-11-20 math.AP
Liouville theorem on a half-space for biharmonic problem with Dirichlet boundary condition
本文研究了非线性椭圆型Hénon型方程：$$\D^{2} u= |x|^a|u|^{p-1}u \; \,\,\mbox{in}\,\,\,\, \R^{n}_{+}, \quad \quad u =\frac{\partial u}{\partial x_n} = 0 \quad \mbox{in}\,\,\,\, \partial \R^{n}_{+},$$，其中含有$p>1$和$n\geq 2$ .特别地，我们证明了一些Liouville型定理稳定在无穷远的解决方案。主要的方法是积分估计，Pohozaev型恒等式和单调性公式。
2021-07-11 math.AP math.CA
Multi-bump solutions of $-Δu=K(x)u^{\frac{n+2}{n-2}}$ on lattices in $R^n$
考虑临界指数半线性椭圆型方程，系数K（x）的前k个变量为周期，其中2k小于n-2.在K上的某些自然条件下，在临界点附近，我们证明了多凸点解的存在性，其中凸点的中心可以放在Rk中的某些格点上，包括无限格点.我们还表明，对于2k大于或等于n-2，没有这样的解决方案存在。
2015-07-12 math.AP
$L^p$-regularity for fourth order elliptic systems with antisymmetric potentials in higher dimensions
本文建立了所有超临界维数下带反对称势的四阶椭圆系统的最优$L^p$-正则性理论，改进了Struwe的Hölder正则性定理，并扩展了调和映射的$L^p$-正则性理论。
2021-11-30 math.AP
Fourth order weighted elliptic problem under exponential nonlinear growth
本文讨论了$\mathbb{R}^{4}$中单位球上的非线性加权双调和问题。权重为对数类型。考虑到加权索伯列夫空间$W^{2,2}_{0}(B,w)$中的Adam不等式，非线性是关键的。利用临界点理论证明了非平凡解的存在性。主要的困难是由于非线性项$f$的临界指数增长性而导致的紧性损失。我们给出了一个新的增长条件，并指出它对于检验Palais-Smale紧性条件的重要性。
2022-06-20 math.AP
The L^p Boundary Value Problems on Lipschitz Domains
我们发展了一种新的方法来研究$L^p$上与椭圆型方程和Lipschitz域上的系统有关的层势的可逆性。因此，对于$n\ge 4$和$(2(n-1)/(n+1))-ε<p<2$，我们得到了二阶椭圆型方程组的L^pNeumann型边值问题的可解性.对双调和方程也建立了类似的结果。
2006-04-26 math.AP
Liouville theorems for stable Lane-Emden systems and biharmonic problems
本文研究了由{equation} \label{system_abstract}-Δ u = v ^p，\qquad-Δ v = u ^θ，\qquad\{in} \IR^N，{equation}为$ 1 < p \le θ$和四阶标量方程{equation} \label{fourth_abstract} Δ ^2 u = u ^θ，\qquad\{in $ \IR^N$，}{equation}为$ 1 < θ$的椭圆方程组.证明了正稳定解的各种Liouville型定理。例如，我们证明了（\ref{system_abstract}）（分别是）不存在正稳定解.（\ref{fourth_abstract}））提供了$ N \le 10$和$ 2 \le p \le θ$（分别$ N \le 10$和$1 < θ$）。更高的维度的结果也得到了。这些关于全空间上稳定解的结果暗示了{方程} \label{eq_half_abstract}-Δ u = v ^p，\qquad-Δ v = u ^θ，\qquad\{in} \IR^{N-1}，{方程}在$ \partial \IR^N_+$上有$ u=v=0$的正（可能不稳定）有界解的各种Liouville定理.特别地，对于任何$ 2 \le p \le θ$，如果$ N \le 11$，则不存在（\ref{eq_half_abstract}…
2013-04-06 math.AP
Perturbation of well-posedness and layer potentials for higher-order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了散度型高阶椭圆型微分算子的边值问题。我们考虑两个密切相关的主题，非齐次问题和分数光滑空间中的边界数据问题。在分数阶光滑空间中建立了关于带边界数据的非齐次问题的适定性的$L^\infty$扰动结果.结合先前已知的结果，这使我们能够建立新的适定性结果的二阶算子的系数接近是真实的和t-独立的，四阶算子接近的双调和算子。
2017-07-28 math.AP
Remarks on two fourth order elliptic problems in whole space
本文研究半线性双调和方程$Δ^{2}u=f(u)$在$\R^N$中的整体解，其中$f(u)=e^{u}$或$-u^{-p}\ (p>0)$ .对于指数情形，我们证明了任何经典的整解在没有任何限制的情况下验证了$-Δu>0$，从而完善了\cite{Dupaigne, xu-wei}中的结果，得到了$\R^2$中的不存在性结果;我们还得到了$N=3$径向分界线解的一个精细渐近展开式，回答了\cite{Berchio}中的一个问题.对于负幂情形，我们证明了任何$0<p\leq1$的经典整体解的不存在性。
2014-05-31 math.AP
Double forms: Regular elliptic bilaplacian operators
二重形式是向量丛$Λ^{k}T^*\mathcal{M}\otimes Λ^{m}T^*\mathcal{M}$的截面，其中$(\mathcal{M},\mathfrak{g})$是一个紧的带边界的黎曼流形.研究了分次二阶微分算子的二重形式，这类算子在物理上有着广泛的应用。这些算子的组合产生一个四阶算子，我们称之为双拉普拉斯算子。我们建立了几组边界条件下的双双拉普拉斯算子的正则椭圆性。在额外的条件下，我们得到了一个Hodge分解的双重形式，其组件是图像的二阶运营商，以及一个双调和元素。这种分析奠定了基础，解决几个问题，在不协调弹性，最突出的存在的应力潜力和圣维南兼容性。
2021-12-27 math.AP
Global Dynamics of the Non-Radial Energy-Critical Inhomogeneous Biharmonic NLS
本文研究能量临界非齐次双调和NLS在非径向情形下的全局适定性与散射，通过发展基于Kenig-Merle方法的集中紧性与刚性框架，在次临界动能假设下克服了空间非齐次与四阶色散算子带来的分析困难。
2025-08-04 math.AP
Ground state solution for a class of modified nonlinear fourth-order elliptic equation with sign-changing unbounded potential
本文研究四阶椭圆型方程\begin{equation}\tag{$P_λ$} \left\{ \begin{array}[c]{ll} Δ^2 u- Δu + V(x)u -λΔ[ρ(u^2)]ρ'(u^2)u= f(u)\, \, \mbox{in} \, \, \mathbb{R}^N, & u\in W^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation}，其中$Δ^2 = Δ(Δ)$是双调和算子，$3\leq N\leq 6$，径向对称势$V$可以变号，允许$\inf_{\mathbb{R}^N}V(x)=-\infty$.如果$f$满足一类非二次性和单调性条件，并且$ρ$是一个合适的光滑函数，我们通过变分方法证明了问题$(P_λ)$的径向对称非平凡基态解$u_λ$的存在性，对于所有的$λ\geq 0$ .
2019-06-19 math.AP
Multi-bumps analysis for trudinger-moser nonlinearities i -quantification and location of concentration points
本文研究了一类具有Trudinger-Moser增长的二维非线性椭圆型偏微分方程解序列的爆破行为。第一作者在[15]中得到了定量结果，但仍有许多问题有待解决。类似的问题也在随后的论文中明确提出，参见Del Pino-Musso-Ruf [12]，Malchiodi-Martinazzi [30]或Martinazzi [34]。我们回答了所有这些问题，特别证明了吹胀现象是非常严格的，因为在这个方程中的气泡之间的强相互作用。这项工作将有一个续集，通过度理论论证给出相关泛函在所有能级上的临界点的存在性结果，其精神与Chen-Lin [8]的美丽工作中对Liouville方程所做的工作相同。
2017-10-24 math.AP
Asymptotic behavior of least energy nodal solutions for biharmonic Lane-Emden problems in dimension four
本文研究四维有界区域中双调和 Lane-Emden 方程最小能量节点解在 $p\to\infty$ 时的极限，证明其经 $p$ 缩放后收敛为两个 Green 函数之差，并推广且无需可比性条件即可另证二维结果。
2023-06-07 math.AP
On the critical dimension of a fourth order elliptic problem with negative exponent
研究了球$B \subset \R^N$上半线性双调和方程$βΔ^2 u-τΔu=\fracλ{(1-u)^2}$在Navier边界条件$u=Δu=0$ on $\partial B$下极值解的正则性，其中$λ>0$为参数，$τ>0$，$β>0$为固定常数.已知存在$λ^{*}$，使得对于$λ>λ^{*}$没有解，而对于$λ<λ^{*}$存在极小解的分支。我们的主要结果断言，$u^{*}$是正规的（$\sup_{B}u^{*}<1$）$N\leq 8$和$β, τ>0$和它是奇异的（$\sup_{B}u^{*}=1$）$N\geq 9$，$β>0$和$τ>0$与$\fracτβ$小。利用改进的Hardy-Rellich不等式证明了$N\geq 9$维方程极值解的奇异性.
2009-05-12 math.AP
Concentration on the Boundary and Sign-Changing Solutions for a Slightly Subcritical Biharmonic Problem
本文研究轻微次临界四阶双调和方程，利用Lyapunov-Schmidt有限维约化方法证明在适当条件下，问题存在在边界点集中爆破的正解与变号解。
2025-02-04 math.AP
Blowup for Biharmonic NLS
我们考虑双调和函数的Cauchy问题（即，e.~四阶）NLS，其具有由针对$(t,x) \in [0,T) \times \mathbb{R}^d$的$i \partial_t u = Δ^2 u - μΔu -|u|^{2 σ} u$给出的聚焦非线性，其中针对$d \leq 4$的$0 < σ<\infty$和针对$d \geq 5$的$0 < σ\leq 4/(d-4)$;以及$μ\in \mathbb{R}$是包括可能的低阶色散的某个参数。在质量超临界情形$σ> 4/d$中，我们证明了任意维$d \geq 2$中径向数据在$H^2(\mathbb{R}^d)$中有限时间爆破的一般结果。此外，我们得到了一个普遍的上限爆破率为合适的$4/d < σ< 4/(d-4)$。在质量临界情形$σ=4/d$中，我们证明了$H^2(\mathbb{R}^d)$中径向数据在有限或无限时间内的一般爆破结果。作为一个关键因素，我们利用时间演化的非负量，我们称之为（本地化）Riesz双方差双调和NLS。这种构造为我们提供了经典NLS问题中使用的方差的合适替代品。此外，我们还证明了双调和非线性最小二乘系统基态的径向对称性，这对相关的椭圆问题可能有一定的参考价值。
2015-04-21 math-ph math.AP math.MP
Existence of radial solutions to biharmonic $k-$Hessian equations
本文建立了椭圆型方程\begin{equation}\nonumber Δ^2 u = (-1)^k S_k[u] + λf(x), \qquad x \in B_1(0) \subset \mathbb{R}^N, \end{equation}在Dirichlet边界条件\begin{eqnarray}\nonumber u = \partial_n u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{eqnarray}或Navier边界条件\begin{equation}\nonumber u = Δu = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{equation}下径向解的存在性理论，其中$k-$ Hessian $S_k[u]$是Hessian矩阵和数据$f \in L^1(B_1(0))$的特征值的$k^{\mathrm{th}}$初等对称多项式，而$λ\in \mathbb{R}$ .我们证明了这些边值问题的Carathéodory解的存在性，该解在原点的某个邻域内是唯一的，只要$|λ|$足够小。证明了$λ$的可解集是有限的，并给出了极值的显式界。
2015-03-23 math.AP math.CA
Alternating sign multibump solutions of nonlinear elliptic equations in expanding tubular domains
令$Γ$表示$\mathbb{R}^{N}$中的光滑简单曲线，$N\geq2$，可能具有边界。令$Ω_{R}$为展开曲线$RΓ:=\{Rx\mid x\in Γ\smallsetminus\partialΓ\}$的半径为1的开放法向管状邻域。考虑区域$Ω_{R}$上的超线性问题$-Δu+λu=f(u)$，作为$R\rightarrow \infty$，具有齐次Dirichlet边界条件.我们证明了沿$RΓ$排列的凸块具有交替符号的多凸块解的存在性。函数$f$在0和$\infty$处是超线性的，但不假定它是奇数。如果曲线的边界是非空的，我们的结果给出了可收缩域的例子，其中问题有多个符号变化的解决方案。
2012-10-16 math.AP
The critical dimension for a fourth order elliptic problem with singular nonlinearity
研究了半线性双调和方程$\bi u=\fλ{(1-u)^2}$在$\partial B$上的Dirichlet边界条件$B\subset\IR^N$下的极值解的正则性.我们在这里完成F. H. Lin和Y.S.杨\cite{LY}关于识别一个“拉入电压”$\la^*>0$，这样一个稳定的经典解决方案$u_\la$与$0<u_\la<1$存在的$\la\in (0,\la^*)$，而没有任何一种当$\la>\la^*$。我们的主要结果断言，极值解$u_{λ^*}$是正规$(\sup_B u_{λ^*} <1)$提供$ N \le 8$，而$u_{λ^*} $是奇异的（$\sup_B u_{λ^*} =1$）的$N \ge 17$，在这种情况下，$1-C_0|x|^{4/3}\leq u_{λ^*} (x) \leq 1-|x|^{4/3}$上的单位球，其中$ C_0:= <(\frac{λ^*}{\barλ}>)^{1/3}$和$ \barλ:= \frac{8 (N-{2/3}) (N- {8/3})}{9}$。其余情况下极值解的奇异性（即，当$9\leq N\leq 16$）需要计算机辅助证明时，本文将不讨论。
2008-10-29 math.AP
Existence of positive solutions for a class of almost critical problems on an annulus
Universitá degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）
研究环形区域上略微亚临界和超临界椭圆问题的多峰正解存在性，利用格林和罗宾函数分析环形区域的变化特性。
2025-12-22 math.AP
Bounded weak solutions to elliptic PDE with data in Orlicz spaces
一个经典的正则性结果是Dirichlet问题$Δu =f$在有界区域$Ω$中的非负解，其中$f\in L^q(Ω)$，$q>\frac{n}2$满足$\|u\|_{L^\infty(Ω)} \leq C\|f\|_{L^q(Ω)}$ .本文从三个方面推广了这一结果：用一个退化的椭圆算子代替Laplacian算子，证明了可以把数据$f$取在严格位于$L^{\frac{n}{2}}(Ω)$和$L^q(Ω)$，$q>\frac{n}2$之间的Orlicz空间$L^A(Ω)$中;并且我们表明，我们可以用涉及“熵碰撞”$\|f\|_{L^A(Ω)}/\|f\|_{L^{\frac{n}{2}}(Ω)}$的对数的较小表达式来替换右侧的$L^A$范数，推广了Xu的结果。
2020-11-30 math.AP math.CA
Existence and multiplicity of normalized solutions to a large class of elliptic equations on bounded domains with general boundary conditions
本文利用改进的扰动方法，在有界区域上研究一类带一般边界条件和非线性项的薛定谔方程正规化解的存在性与多重性，并将该方法推广到临界指数增长、磁场、双调和及 Choquard 方程等情形。
2025-07-07 math.AP
Geometric eigenvalue estimates of Kuttler-Sigillito type on differential forms
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université de Lorraine（洛林大学）
本文提出了一种针对微分形式的双调和Steklov问题，通过Kuttler-Sigillito不等式建立了与流形曲率相关的本征值估计。
2026-10-08 math.AP math.DG math.SP
On a classical spectral optimization problem in linear elasticity
考虑$N$维欧几里得空间中区域上具有齐次边界条件的椭圆算子特征值的一个经典形状最优化问题。我们调查最近的结果分析依赖的基本对称函数的特征值域扰动和球的作用，这些功能的临界点的体积约束。我们讨论了多调和算子的Dirichlet和buckling型问题，双调和算子的Neumann和中间问题，Lamé和Reissner-Mindlin系统.
2014-12-19 math.AP math.OC
Non-negative solutions of a sublinear elliptic problem
本文研究0<p<1下次线性椭圆Dirichlet问题的非负解，证明存在从(σ₁,∞)分支出的无界非负解连通分支，并通过一维自治问题分析说明非负性无法强化，完整刻画了解分支的结构。
2024-03-07 math.AP
Segregated Solutions to Critical Elliptic Systems in High Dimensions ($N \geq 5$)
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）；College of Science, Minzu University of China（中央民族大学理学院）；Laboratory of Mathematics and Complex Systems (Ministry of Education), School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统教育部重点实验室）
本文研究高维临界椭圆系统中多重分离解的存在性，通过构造完备度量空间和尾最小化论证，证明了在特定条件下存在无限多个非径向分离解。
2026-01-15 math.AP
On Saint-Venant compatibility and stress potentials in manifolds with boundary and constant sectional curvature
我们解决三个相关的问题，在弹性理论中，制定的双重形式的框架：圣维南相容性条件，不相容弹性方程的解的存在性和唯一性，以及应力势的存在性。这项工作的范围是任意尺寸的边界流形，具有恒定的截面曲率。中心分析机器是正规椭圆的边值问题的bilaplacian算子，其后果，这是在[KL 21]开发。这项工作的新颖之处之一是，可以使用在非欧几里德几何的应力势，并利用规范的自由度，以获得一个推广的双调和方程的应力势在尺寸大于二。
2022-09-21 math.AP math.DG
Symmetry and Qualitative \& Quantitative Stability for a Class of Overdetermined Problems in C-GNP Domains with Source Supported in the Core
ISTM Laboratory, Department of Mathematics（ISTM实验室，数学系）；Chouaib Doukkali University, Morocco（舒艾布·杜卡利大学）
本文基于C-GNP领域几何正常性质，研究椭方程超水平集的稳定性及经典Serrin型问题的刚性对称性，同时建立耦合双调和过定问题的定性稳定性定理和定量稳定性估计。
2026-04-20 math.AP
Polyharmonic homogenization, rough polyharmonic splines and sparse super-localization
California Institute of Technology（加州理工学院）；Shanghai Jiaotong University（上海交通大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
提出一种新的变分方法，用于具有任意粗糙系数的散度型椭圆、抛物和双曲方程的数值均匀化，通过最小化源项的L2范数生成插值基函数，并利用超局部化子域上的二次问题实现稀疏计算。
2013-06-12 cs.NA math.AP math.NA
