The Gel'fand problem for the biharmonic operator
研究了一类四阶非线性椭圆型方程在整个空间和有界区域上的稳定解。
2012-07-18 math.AP
Multiple solutions of $p$-biharmonic equations with Navier boundary conditions
利用变分方法研究了一类含$p$ -双调和算子的椭圆型Navier边值问题多个弱解的存在性.此外，一个具体的应用程序的例子。
2016-08-26 math.AP
A note on semilinear elliptic equation with biharmonic operator and multiple critical nonlinearities
研究了方程$$ {Δ^2u-μ\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_β-2}u}{|x|^β}+|u|^{q-2}u\quad\textrm{in ${\mathbb R}^N$,}} $$非平凡弱解的存在性和不存在性，其中$N\geq 5$，$q_β=\frac{2(N-β)}{N-4}$，$0<β<4$，$1<q\leq 2^{**}$和$μ<μ_1:=\big(\frac{N(N-4)}{4}\big)^2$ .利用Pohozaev型恒等式证明了当$1<q< 2^{**}$ .另一方面，当方程具有多个临界非线性项，即$q=2^{**}$和$-(N-2)^2\leqμ<μ_1$时，利用Ambrosetti和Rabinowitz的山路定理和变分方法，证明了非平凡解的存在性.
2014-10-15 math.AP
A positivity preserving property result for the biharmonic operator under partially hinged boundary conditions
众所周知，对于高阶椭圆型方程，保正性（PPP）可能失效。与Dirichlet边界条件下的情形形成鲜明对比的是，我们证明了部分铰接边界条件下矩形区域上的双调和算子的PPP成立，即非负载荷产生正解.结果如下的相应的格林函数的傅立叶展开的精细估计。
2020-04-08 math.AP
Delaunay type domains for an overdetermined elliptic problem in S^n x R and H^n x R
证明了在M^n x R中存在可数族Delaunay型域Ω j，其中M^n是黎曼流形S^n或H^n，n至少为2，它从圆柱B^n x R（其中B^n是M^n中半径为1的测地球）分支出来，对于这类域，具有零Dirichlet边界条件的Laplace-Beltrami算子的第一特征函数在边界处也具有常数Neumann数据.域Ω_j相对于圆柱的R轴是旋转对称的和周期性的，并且当j收敛到0时，域Ω_j收敛到圆柱B^n x R。
2013-05-28 math.AP math.DG
Existence and concentration of solutions for a class of biharmonic equations
考虑了一类超线性四阶椭圆型方程。基态被证明是存在的，并集中在一个点上的极限。证明依赖于变分方法，其中非平凡解的存在性和浓度与适当的截断方程有关。
2013-04-16 math.AP
Boundedness of the gradient of a solution and Wiener test of order one for the biharmonic equation
双调和方程的解的性质在光滑区域中是很好理解的。在过去的二十年里，多面体域和Lipschitz边界域也取得了实质性的进展。然而，对于一般情况下的高阶椭圆型方程，人们知之甚少。在本文中，我们引入新的积分恒等式，允许调查的解决方案，双调和方程在任意区域。我们确定：（1）解的梯度在任意三维区域上的有界性，（2）双调和格林函数导数的逐点估计，（3）解的梯度连续的Wiener型充要条件.
2015-08-19 math.AP
Constant $σ_{k}$-curvature metrics with Delaunay type ends
本文通过对有限个给定的$n$ -维Delaunay型解进行连通和，给出了具有正的常$σ_k$ -曲率的完备非紧黎曼度量族，条件是$2 \leq 2k < n$ .该问题等价于求解一个二阶完全非线性椭圆型方程。
2010-08-03 math.AP math.DG
Positivity of solutions to the Cauchy problem for linear and semilinear biharmonic heat equations
研究了以双调和算子为四阶椭圆主部的线性和非线性抛物型方程Cauchy问题解的正性.一般情况下，四阶抛物型方程的柯西问题由于基本解的符号改变而不具有保正性。对于正的初始数据，最终具有局部正性，但是在短的时间尺度上，通常也会具有负性区域。本文的第一个目的是在初值上找到线性双调和热方程Cauchy问题解的存在性的充分条件，使其解在整个空间和所有时间都是正的。第二个目标是应用这些结果证明一类半线性双调和抛物型方程Cauchy问题整体正解的存在性。
2020-05-22 math.AP
Semilinear elliptic PDE's with biharmonic operator and a singular potential
本文研究了一类问题：\begin{equation}\tag{$P_λ$} \begin{cases} Δ^2u-μa(x)u=f(u)+λb(x)\quad\textrm{in $Ω$,}\\ u>0 \quad\textrm{in $Ω$,}\\ u=0=Δu \quad\textrm{on $\partialΩ$,} \end{cases} \end{equation}正解的存在性与不存在性，其中$Ω$是$\mathbb R^N$中的光滑有界区域，$N\geq 5$，$a, b, f$是满足一定假设的非负函数，我们将在后面说明. $μ,λ$是正常数。在函数$a, b, f$和常数$μ$的适当条件下，证明了存在$λ^*>0$，使得当$0<λ<λ^*$，（$P_λ$）在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中有解时，$λ>λ^*$在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中无解.而且作为$λ\uparrowλ^*$，（$P_λ$）的极小正解在$W^{2,2}(Ω)\cap W^{1,2}_0(Ω)$中收敛到（$P_{λ^*}$）的解.我们还证明了存在$\tildeλ^*<\infty$使得$λ^*\leq\tildeλ^*$和对于$λ>\tildeλ^*$，上述问题（$P_λ$）甚至在分布意义/很弱意义下也没有任何解，并且存在完全{\it b…
2015-09-13 math.AP
Critical p-biharmonic problems and applications to Hamiltonian systems
研究涉及p-双调和算子的四阶椭圆问题，通过反演步骤将哈密顿系统简化为单个p-双调和方程，结合集中紧致性与上同调指标方法证明非平凡解的存在性，扩展并改进了经典结果。
2025-09-16 math.AP
Nodal solutions for the weighted biharmonic equation with critical exponential growth
本文考虑单位圆盘上的对数加权四阶椭圆型方程：$B\subset\R^{4}$，其中非线性项$f$由Adam型不等式得到指数临界增长.利用Nehari集上的约束极小化，结合定量变形引理和度理论，证明了问题$(P_λ)$节点解的存在性.
2022-11-21 math.AP
Weak compactness of solutions for fourth order elliptic systems with critical growth
考虑一类包含4维双调和映射的Euler-Lagrange方程的四阶椭圆型方程组，证明了这类方程组的弱解的弱极限也是极限系统的弱解.
2013-01-05 math.AP
Existence and nonexistence of solutions to a critical biharmonic equation with logarithmic perturbation
本文考虑了如下临界双调和椭圆问题\begin{eqnarray*} \begin{cases} Δ^2u= λu+μu\ln u^2+|u|^{2^{**}-2}u, &x\inΩ,\\ u=\dfrac{\partial u}{\partial ν}=0, &x\in\partialΩ\end{cases} \end{eqnarray*}，其中$Ω\subset \mathbb{R}^{N}$是具有$N\geq5$的有界光滑区域.由于对数项符号的不确定性，出现了一些有趣的现象。主要利用山路引理证明了在$λ$和$μ$的适当假设下，该问题至少存在一个非平凡弱解.此外，还得到了一个不存在的结果。将本文的结果与已知的结果进行比较，可以看出，当引入对数摄动时，出现了一些新的现象。
2022-11-19 math.AP
Existence of solutions to a perturbed critical biharmonic equation with Hardy potential
本文考虑了如下双调和椭圆问题\begin{eqnarray*} \begin{cases} Δ^2u-λ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}=|u|^{2^{**}-2}u+ f(x,u), &x\inΩ,\\ u=\dfrac{\partial u}{\partial n}=0, &x\in\partialΩ\end{cases} \end{eqnarray*}.该方程的主要特点是包含一个Hardy项和一个具有临界Sobolev指数的非线性项。通过结合仔细分析的能量泛函与山路引理的映射问题，它表明，对于一些积极的参数$λ$依赖于$s$和$q$，该问题承认至少有一个山路型解在适当的增长条件下的非线性$f(x,u)$。
2022-11-24 math.AP
Nonexistence of Positive Supersolutions of Nonlinear Biharmonic Equations without the Maximum Principle
研究了双调和不等式$-Δ^2 v \geq f(v)$在$\mathbb{R}^n$的外部区域上的经典正解，其中$f:(0,\infty)\to (0,\infty)$是连续函数.我们给出了$f(s)$在$s=0$和/或$s=\infty$上的增长下界，使得该不等式在$\mathbb R^n$的任何外部区域上都没有$C^4$正解. Armstrong和Sirakov [ Nonexistence of positive supersolutions of elliptical equations via the最大值原理，Comm. Partial Differential Equations 36（2011）2011-2047]使用仅取决于与最大值原理相关的性质的方法为$-Δv\ge f(v)$获得了类似的结果。由于双调和算子的最大值原理不成立，我们采用了一种不同的方法，它依赖于一个新的表示公式和先验逐点界的非负解的$-Δ^2u \ge 0$在一个穿孔的邻域中的起源$\mathbb{R}^n$。
2014-07-16 math.AP
On stable solutions of biharmonic problem with polynomial growth
证明了双调和问题$Δ^2 u= u^p$，$u>0$在$\R^N$中对于$1 < p < \infty$和$N < 2(1 + x_0)$的光滑稳定解的不存在性，其中$x_0$是下列方程的最大根：$$x^4 - \frac{32p(p+1)}{(p-1)^2}x^2 + \frac{32p(p+1)(p+3)}{(p-1)^3}x -\frac{64p(p+1)^2}{(p-1)^4} = 0.$$特别地，当$p > 1$为$x_0 > 5$时，我们得到了对于任何$N \leq 12$和$p > 1$的光滑稳定解的不存在性.此外，我们还考虑了半空间$\R^N_+$中的相应问题，或有界光滑区域$Ø$上的椭圆问题$Δ^2 u= ł(u+1)^p$，其Navier边界条件。我们将证明在低维极值解的正则性。我们的结果改进了以前的工作。
2012-11-20 math.AP
Delaunay hypersurfaces with constant nonlocal mean curvature
研究了具有常数非局部（或分数）中曲率的$\mathbb{R}^N$超曲面。这是与体积约束下分数周长泛函的临界点相关的方程。我们建立了$\mathbb{R}^N$，$N\geq 2$中周期柱的光滑分支的存在性，所有这些周期柱都具有相同的常数非局部中曲率，并且从直柱分叉。这些是非局部设置中的Delaunay型柱面。证明使用Crandall-Rabinowitz定理应用于拟线性型分数阶椭圆型方程。
2017-05-25 math.AP math.DG
Liouville theorem on a half-space for biharmonic problem with Dirichlet boundary condition
本文研究了非线性椭圆型Hénon型方程：$$\D^{2} u= |x|^a|u|^{p-1}u \; \,\,\mbox{in}\,\,\,\, \R^{n}_{+}, \quad \quad u =\frac{\partial u}{\partial x_n} = 0 \quad \mbox{in}\,\,\,\, \partial \R^{n}_{+},$$，其中含有$p>1$和$n\geq 2$ .特别地，我们证明了一些Liouville型定理稳定在无穷远的解决方案。主要的方法是积分估计，Pohozaev型恒等式和单调性公式。
2021-07-11 math.AP math.CA
$L^p$-regularity for fourth order elliptic systems with antisymmetric potentials in higher dimensions
本文建立了所有超临界维数下带反对称势的四阶椭圆系统的最优$L^p$-正则性理论，改进了Struwe的Hölder正则性定理，并扩展了调和映射的$L^p$-正则性理论。
2021-11-30 math.AP
Curves and surfaces with constant nonlocal mean curvature: meeting Alexandrov and Delaunay
本文研究$\mathbb{R}^N$中具有常数非局部（或分数）中曲率的超曲面。这是与体积约束下分数周长的临界点相关的方程。我们的结果是双重的。首先，我们证明了Alexandrov结果的非局部模拟特征领域作为唯一的封闭嵌入超曲面$\mathbb{R}^N$常数中曲率。这里我们使用移动平面方法。我们的第二个结果建立了存在的周期性带或“缸”$\mathbb{R}^2$与恒定的非局部中曲率和分叉从一个直带。这些都是非本地环境中的德劳内类型乐队。在这里，我们使用Lyapunov-Schmidt程序的拟线性型分数椭圆型方程。
2015-03-02 math.AP math.DG
Fourth order weighted elliptic problem under exponential nonlinear growth
本文讨论了$\mathbb{R}^{4}$中单位球上的非线性加权双调和问题。权重为对数类型。考虑到加权索伯列夫空间$W^{2,2}_{0}(B,w)$中的Adam不等式，非线性是关键的。利用临界点理论证明了非平凡解的存在性。主要的困难是由于非线性项$f$的临界指数增长性而导致的紧性损失。我们给出了一个新的增长条件，并指出它对于检验Palais-Smale紧性条件的重要性。
2022-06-20 math.AP
Robust multigrid preconditioners for the high-contrast biharmonic plate equation
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
针对高对比度双调和板方程的HCT和Morley离散，基于Aksoylu等人的预条件子构造了对对比度和网格尺寸同时鲁棒的预条件子，通过奇异摄动分析证明了鲁棒性，并推广到高阶椭圆方程。
2009-10-02 cs.NA math.AP math.NA
The L^p Boundary Value Problems on Lipschitz Domains
我们发展了一种新的方法来研究$L^p$上与椭圆型方程和Lipschitz域上的系统有关的层势的可逆性。因此，对于$n\ge 4$和$(2(n-1)/(n+1))-ε<p<2$，我们得到了二阶椭圆型方程组的L^pNeumann型边值问题的可解性.对双调和方程也建立了类似的结果。
2006-04-26 math.AP
Liouville theorems for stable Lane-Emden systems and biharmonic problems
本文研究了由{equation} \label{system_abstract}-Δ u = v ^p，\qquad-Δ v = u ^θ，\qquad\{in} \IR^N，{equation}为$ 1 < p \le θ$和四阶标量方程{equation} \label{fourth_abstract} Δ ^2 u = u ^θ，\qquad\{in $ \IR^N$，}{equation}为$ 1 < θ$的椭圆方程组.证明了正稳定解的各种Liouville型定理。例如，我们证明了（\ref{system_abstract}）（分别是）不存在正稳定解.（\ref{fourth_abstract}））提供了$ N \le 10$和$ 2 \le p \le θ$（分别$ N \le 10$和$1 < θ$）。更高的维度的结果也得到了。这些关于全空间上稳定解的结果暗示了{方程} \label{eq_half_abstract}-Δ u = v ^p，\qquad-Δ v = u ^θ，\qquad\{in} \IR^{N-1}，{方程}在$ \partial \IR^N_+$上有$ u=v=0$的正（可能不稳定）有界解的各种Liouville定理.特别地，对于任何$ 2 \le p \le θ$，如果$ N \le 11$，则不存在（\ref{eq_half_abstract}…
2013-04-06 math.AP
Remarks on two fourth order elliptic problems in whole space
本文研究半线性双调和方程$Δ^{2}u=f(u)$在$\R^N$中的整体解，其中$f(u)=e^{u}$或$-u^{-p}\ (p>0)$ .对于指数情形，我们证明了任何经典的整解在没有任何限制的情况下验证了$-Δu>0$，从而完善了\cite{Dupaigne, xu-wei}中的结果，得到了$\R^2$中的不存在性结果;我们还得到了$N=3$径向分界线解的一个精细渐近展开式，回答了\cite{Berchio}中的一个问题.对于负幂情形，我们证明了任何$0<p\leq1$的经典整体解的不存在性。
2014-05-31 math.AP
Global Dynamics of the Non-Radial Energy-Critical Inhomogeneous Biharmonic NLS
本文研究能量临界非齐次双调和NLS在非径向情形下的全局适定性与散射，通过发展基于Kenig-Merle方法的集中紧性与刚性框架，在次临界动能假设下克服了空间非齐次与四阶色散算子带来的分析困难。
2025-08-04 math.AP
On some classes of partial difference equations
在他1969年出版的一部作品中，约翰·A.贝克开始了对某些偏差分方程的系统研究。本文的主要目的是继续和扩展这些调查。首先，我们提出如何这类方程可以分为椭圆，抛物和双曲子类，分别。之后，我们展示了椭圆类中的求解方法。本文将详细讨论下列偏微分方程的离散形式：Laplace方程、泊松方程和（非）齐次双调和方程。
2013-07-02 math.AP
Ground state solution for a class of modified nonlinear fourth-order elliptic equation with sign-changing unbounded potential
本文研究四阶椭圆型方程\begin{equation}\tag{$P_λ$} \left\{ \begin{array}[c]{ll} Δ^2 u- Δu + V(x)u -λΔ[ρ(u^2)]ρ'(u^2)u= f(u)\, \, \mbox{in} \, \, \mathbb{R}^N, & u\in W^{2,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation}，其中$Δ^2 = Δ(Δ)$是双调和算子，$3\leq N\leq 6$，径向对称势$V$可以变号，允许$\inf_{\mathbb{R}^N}V(x)=-\infty$.如果$f$满足一类非二次性和单调性条件，并且$ρ$是一个合适的光滑函数，我们通过变分方法证明了问题$(P_λ)$的径向对称非平凡基态解$u_λ$的存在性，对于所有的$λ\geq 0$ .
2019-06-19 math.AP
On the critical dimension of a fourth order elliptic problem with negative exponent
研究了球$B \subset \R^N$上半线性双调和方程$βΔ^2 u-τΔu=\fracλ{(1-u)^2}$在Navier边界条件$u=Δu=0$ on $\partial B$下极值解的正则性，其中$λ>0$为参数，$τ>0$，$β>0$为固定常数.已知存在$λ^{*}$，使得对于$λ>λ^{*}$没有解，而对于$λ<λ^{*}$存在极小解的分支。我们的主要结果断言，$u^{*}$是正规的（$\sup_{B}u^{*}<1$）$N\leq 8$和$β, τ>0$和它是奇异的（$\sup_{B}u^{*}=1$）$N\geq 9$，$β>0$和$τ>0$与$\fracτβ$小。利用改进的Hardy-Rellich不等式证明了$N\geq 9$维方程极值解的奇异性.
2009-05-12 math.AP
Blowup for Biharmonic NLS
我们考虑双调和函数的Cauchy问题（即，e.~四阶）NLS，其具有由针对$(t,x) \in [0,T) \times \mathbb{R}^d$的$i \partial_t u = Δ^2 u - μΔu -|u|^{2 σ} u$给出的聚焦非线性，其中针对$d \leq 4$的$0 < σ<\infty$和针对$d \geq 5$的$0 < σ\leq 4/(d-4)$;以及$μ\in \mathbb{R}$是包括可能的低阶色散的某个参数。在质量超临界情形$σ> 4/d$中，我们证明了任意维$d \geq 2$中径向数据在$H^2(\mathbb{R}^d)$中有限时间爆破的一般结果。此外，我们得到了一个普遍的上限爆破率为合适的$4/d < σ< 4/(d-4)$。在质量临界情形$σ=4/d$中，我们证明了$H^2(\mathbb{R}^d)$中径向数据在有限或无限时间内的一般爆破结果。作为一个关键因素，我们利用时间演化的非负量，我们称之为（本地化）Riesz双方差双调和NLS。这种构造为我们提供了经典NLS问题中使用的方差的合适替代品。此外，我们还证明了双调和非线性最小二乘系统基态的径向对称性，这对相关的椭圆问题可能有一定的参考价值。
2015-04-21 math-ph math.AP math.MP
Existence of radial solutions to biharmonic $k-$Hessian equations
本文建立了椭圆型方程\begin{equation}\nonumber Δ^2 u = (-1)^k S_k[u] + λf(x), \qquad x \in B_1(0) \subset \mathbb{R}^N, \end{equation}在Dirichlet边界条件\begin{eqnarray}\nonumber u = \partial_n u = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{eqnarray}或Navier边界条件\begin{equation}\nonumber u = Δu = 0, \qquad x \in \partial B_1(0), \end{equation}下径向解的存在性理论，其中$k-$ Hessian $S_k[u]$是Hessian矩阵和数据$f \in L^1(B_1(0))$的特征值的$k^{\mathrm{th}}$初等对称多项式，而$λ\in \mathbb{R}$ .我们证明了这些边值问题的Carathéodory解的存在性，该解在原点的某个邻域内是唯一的，只要$|λ|$足够小。证明了$λ$的可解集是有限的，并给出了极值的显式界。
2015-03-23 math.AP math.CA
Concentration on the Boundary and Sign-Changing Solutions for a Slightly Subcritical Biharmonic Problem
本文研究轻微次临界四阶双调和方程，利用Lyapunov-Schmidt有限维约化方法证明在适当条件下，问题存在在边界点集中爆破的正解与变号解。
2025-02-04 math.AP
On least Energy Solutions to A Semilinear Elliptic Equation in A Strip
考虑带上的半线性椭圆型方程：\[ \left\{{array}{l} Δu-u + u^p=0 \ {in} \ \R^{N-1} \times (0, L), u>0, \frac{\partial u}{\partial ν}=0 \ {on} \ \partial (\R^{N-1} \times (0, L)) {array} \right.\]其中$ 1< p\leq \frac{N+2}{N-2}$ .当$ 1<p <\frac{N+2}{N-2}$，它表明，存在一个唯一的$L_{*} >0$，使得对于$L \leq L_{*}$，最小能量的解决方案是平凡的，即，不依赖于$x_N$，并且对于$L >L_{*}$，最小能量解是非平凡的。当$N \geq 4, p=\frac{N+2}{N-2}$时，证明了存在两个数$L_{*}<L_{**}$，使得当$L \leq L_{*}$时最小能量解是平凡的，当$L \in (L_{*}, L_{**}]$时最小能量解是非平凡的，当$L >L_{**}$时最小能量解不存在.还与CMC理论中的Delaunay曲面建立了联系。
2010-10-12 math.AP
A Liouville theorem for ancient solutions to a semilinear heat equation and its elliptic counterpart
本文证明了非线性热方程$u_t=Δu+|u|^{p-1}u$的非平凡古解的不存在性，只要$p$的指数严格介于Serrin指数与Joseph和Lundgren指数之间. Fila和Yanagida [Tohoku Math. J.（2011）]通过使用前向自相似解作为障碍，先前建立了该结果。相比之下，我们应用一个全面的参数与时间无关的弱超解的家庭。我们的方法自然有助于产生一个类似的刘维尔型结果的稳态问题在更高的维度。事实上，在临界Sobolev指数的情况下，我们证明了我们的结果的有效性的解决方案，在绝对值小于“Delaunay”型奇异解。
2020-08-17 math.AP
The Critical Semilinear Elliptic Equation with Isolated Boundary Singularities II
本文研究半空间中带孤立边界奇点的临界半线性椭圆型方程，解决两个开放问题，建立正对数周期解全局分支，构造集中族并证局部唯一性，其行为与经典内部奇点理论形成鲜明对比。
2026-09-25 math.AP
Higher Order Elliptic Equations on Nonsmooth Domains
针对高阶椭圆方程在非光滑区域的问题，本文通过新方法推广了Jerison和Kenig的结果，在有界Lipschitz和凸区域上得到p特定范围内的一致W^ℓ,p估计，且p的精确范围比双调和方程相关结果更大。
2025-02-13 math.AP
The critical dimension for a fourth order elliptic problem with singular nonlinearity
研究了半线性双调和方程$\bi u=\fλ{(1-u)^2}$在$\partial B$上的Dirichlet边界条件$B\subset\IR^N$下的极值解的正则性.我们在这里完成F. H. Lin和Y.S.杨\cite{LY}关于识别一个“拉入电压”$\la^*>0$，这样一个稳定的经典解决方案$u_\la$与$0<u_\la<1$存在的$\la\in (0,\la^*)$，而没有任何一种当$\la>\la^*$。我们的主要结果断言，极值解$u_{λ^*}$是正规$(\sup_B u_{λ^*} <1)$提供$ N \le 8$，而$u_{λ^*} $是奇异的（$\sup_B u_{λ^*} =1$）的$N \ge 17$，在这种情况下，$1-C_0|x|^{4/3}\leq u_{λ^*} (x) \leq 1-|x|^{4/3}$上的单位球，其中$ C_0:= <(\frac{λ^*}{\barλ}>)^{1/3}$和$ \barλ:= \frac{8 (N-{2/3}) (N- {8/3})}{9}$。其余情况下极值解的奇异性（即，当$9\leq N\leq 16$）需要计算机辅助证明时，本文将不讨论。
2008-10-29 math.AP
Radial symmetry of positive entire solutions of a fourth order elliptic equation with a singular nonlinearity
利用方程组的移动平面法，得到了双调和方程\begin{equation} \label{0.1} -Δ^2 u=u^{-p} \;\; \mbox{in $\R^N \; (N \geq 3)$}, \;\; p>1 \end{equation}的正则正整解$u$为径向对称解的充要条件.众所周知，对于任何$a>0$，\eqref{0.1}都存在唯一的极小正整径向解${\underline u}_a (r)$和一族非极小正整径向解$u_a (r)$，使得对于$r \in (0, \infty)$，$u_a (0)={\underline u}_a (0)=a$和$u_a (r) \geq {\underline u}_a (r)$都存在.此外，${\underline u}_a (r)$和$u_a (r)$在$r=\infty$的渐近行为也是已知的。我们将看到，在$r=\infty$上类似于${\underline u}_a (r)$和$u_a (r)$的渐近行为可以决定\eqref{0.1}的一般正则正整解$u$的径向对称性.需要建立$u (x)$和$-Δu (x)$在$|x|=\infty$处的精确渐近行为，以便可以启动移动平面程序。我们不仅给出了\eqref{0.1}的正则正整解$u$是极小整径向解的充要条件，而且给出了$u$是非极小整径向解的充要条件.
2018-04-23 math.AP
Existence and multiplicity of normalized solutions to a large class of elliptic equations on bounded domains with general boundary conditions
本文利用改进的扰动方法，在有界区域上研究一类带一般边界条件和非线性项的薛定谔方程正规化解的存在性与多重性，并将该方法推广到临界指数增长、磁场、双调和及 Choquard 方程等情形。
2025-07-07 math.AP
Doubly critical mixed-order quasilinear equations: existence, multiplicity and regularity
Universidade Federal da Paraíba（帕拉伊巴联邦大学）；Florida Institute of Technology（佛罗里达理工学院）
本文研究混合阶拟线性椭圆方程，建立紧加权嵌入与变分框架，证明解的存在性与多重性，并利用势估计和自举方法获得局部正则性及Pohozaev型恒等式。
2026-09-24 math.AP
Periodic solutions to integro-differential equations: variational formulation, symmetry, and regularity
本文研究一维积分–微分半线性椭圆方程的非常数周期约束极小元，利用圆周上的 Riesz 重排不等式证明其平移后偶对称且半周期内递减，并给出非局部情形下的新正则性反例。
2024-04-09 math.AP
