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arXiv 2011.14491math.APmath.CA
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椭圆型PDE方程在Orlicz空间中的有界弱解

Bounded weak solutions to elliptic PDE with data in Orlicz spaces

David Cruz-Uribe, Scott Rodney

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摘要：

一个经典的正则性结果是Dirichlet问题$Δu =f$在有界区域$Ω$中的非负解，其中$f\in L^q(Ω)$，$q>\frac{n}2$满足$\|u\|_{L^\infty(Ω)} \leq C\|f\|_{L^q(Ω)}$ .本文从三个方面推广了这一结果：用一个退化的椭圆算子代替Laplacian算子，证明了可以把数据$f$取在严格位于$L^{\frac{n}{2}}(Ω)$和$L^q(Ω)$，$q>\frac{n}2$之间的Orlicz空间$L^A(Ω)$中;并且我们表明，我们可以用涉及“熵碰撞”$\|f\|_{L^A(Ω)}/\|f\|_{L^{\frac{n}{2}}(Ω)}$的对数的较小表达式来替换右侧的$L^A$范数，推广了Xu的结果。

英文摘要：

A classical regularity result is that non-negative solutions to the Dirichlet problem $Δu =f$ in a bounded domain $Ω$, where $f\in L^q(Ω)$, $q>\frac{n}2$, satisfy $\|u\|_{L^\infty(Ω)} \leq C\|f\|_{L^q(Ω)}$. We extend this result in three ways: we replace the Laplacian with a degenerate elliptic operator; we show that we can take the data $f$ in an Orlicz space $L^A(Ω)$ that lies strictly between $L^{\frac{n}{2}}(Ω)$ and $L^q(Ω)$, $q>\frac{n}2$; and we show that that we can replace the $L^A$ norm in the right-hand side by a smaller expression involving the logarithm of the "entropy bump" $\|f\|_{L^A(Ω)}/\|f\|_{L^{\frac{n}{2}}(Ω)}$, generalizing a result due to Xu.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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