Number of unique Edge-magic total labelings on Path $P_n$
边幻全标记是由\cite{GS}提出的。在\cite{BS}中已经探索了循环的边魔术解的数量。该序列在OnLineEncyclopediaofSequences（OEIS）\cite{oeis}中提及。在这个简短的说明中，我们列举了路径$P_n$上唯一边幻全标号的数目
2014-02-10 math.CO
Laplacian pretty good edge state transfer in paths
本文首先给出了一个图具有Laplacian相当好对状态转移的充要条件。作为这个结果的应用，我们给出了路径上拉普拉斯相当好的边态转移的完整刻画。
2022-09-10 math.CO
Edge-partitioning a graph into paths: beyond the Barát-Thomassen conjecture
Barát-Barrassen猜想断言存在一个函数$f$，使得对于每一个具有$t$边的固定树$T$，每一个$f(t)$-边连通且其边数可被$t$整除的图都有一个将其边划分为$T$的副本的划分。这已经被证明的情况下，路径的长度$2^k$的Bassen，最近被证明是真实的所有路径的Botler，Mota，Oshiro和Wakabayashi。本文的目的是在较弱的假设下给出路径情形的另一种证明：即证明存在一个函数$f$，使得每一个最小度的$24$-边连通图$f(t)$，只要$t$整除边数，就有一个边划分成长度为$t$的路径.我们还表明，$24$可以下降到$4$时，图是欧拉。
2016-06-30 math.CO
Strongly separating graph edges with $10n$ paths
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Guizhou Minzu University（贵州民族大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
针对图的边强分离问题，将任意n顶点图所需的路径数上界从19n改进至10n-o(n)。
2026-09-09 math.CO
Highly connected infinite digraphs without edge-disjoint back and forth paths between a certain vertex pair
我们对所有的$ k\in \mathbb{N} $构造了一个$ k $ -边连通有向图$ D $与$ s,t\in V(D) $使得没有边不交的$ s \rightarrow t $和$t\rightarrow s $路.我们在我们的建设中使用“自相似”的图形，该技术可能是有用的，以及在其他问题。
2017-05-01 math.CO
Increasing paths in edge-ordered graphs: the hypercube and random graphs
图$G=(V,E)$的边序是双射$ϕ:E\to\{1,2,...,|E|\}$。给定一个边序，一个边序列$P=e_1,e_2,...,e_k$是一条增路，如果它是$G$中的一条路，对所有$i<j$满足$ϕ(e_i)<ϕ(e_j)$。对于图$G$，设$f(G)$是最大整数$\ell$，使得$G$的每个边序都包含一条长度为$\ell$的递增路。参数$f(G)$首先研究了$G=K_n$，随后研究了其他家庭的图。本文给出了超立方体和随机图$G(n,p)$的$f$的界.
2015-02-10 math.CO
Long rainbow path in properly edge-colored complete graphs
设$G$是边着色图. $G$的彩虹（异色或多色）路径是这样一种路径，其中没有两条边具有相同的颜色。设顶点$v$的颜色度是在关联到$v$的边上使用的不同颜色的数量，并将其表示为$d^c(v)$。证明了若$G$的每个顶点$v$都有$d^c(v)\geq k$，则$G$有一条长度至少为$\min\{\lceil\frac{2k+1}{3}\rceil,k-1\}$的彩虹路.本文只考虑完全图$K_n$的适当边着色，并改进了最长彩虹路长度的下界，证明了若$n\geq 20$，必有一条长度不小于$\displaystyle \frac{3}{4}n-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{n}{2}-\frac{39}{11}}-\frac{11}{16}$的彩虹路.
2015-03-16 math.CO
Decompositions of edge-colored infinite complete graphs into monochromatic paths
图或超图$G=(V,E)$的$r$ -边染色是映射$c:E\to \{0, \dots, r-1\}$ .推广了Rado的结果，回答了Rado，Gyárfás和Sárközy的问题，证明了（1.）每个$r$ -边着色的可数无限完全$k$ -一致超图的顶点集可被划分为具有不同颜色的$r$单色紧路（$k$ -一致超图中的紧路是不同顶点的序列，使得每个$k$连续顶点的集合形成边），（2.）对于所有自然数$r$和$k$，存在一个自然数$M$，使得每个$r$ -边着色的可数无限完全图的顶点集可以被划分为除有限集之外的路径的$M$单色$k^{th}$幂（路径的$k^{th}$幂是不同顶点的序列$v_0, v_1, \dots$，使得$1\le|i-j| \le k$暗示$v_iv_j$是边），（3）每个$2$ -边着色的可数无限完全图的顶点集都可以划分为$4$单色路平方，但不一定划分为$3$，（4）$ω_1$上的每个$2$ -边着色完全图的顶点集都可以被划分为具有不同颜色的$2$单色路.
2016-01-06 math.CO
Edge Decompositions of Hypercubes by Paths
许多作者利用特殊子图的同构副本的边集来研究图的边分解。对于$q$维超立方体$Q_q$，不同的研究者已经对某些树、路径和圈做了这一工作。在本文中，如果$E(G)$是$\{fE(H_i) | H_i \simeq H\}$的不交并，我们将说“$H$划分$G$“。我们的主要结果是：对于$q$奇和$q < 2^{32}$，长度为$m$，$P_m$的路整除$Q_q$当且仅当$m \leq q$和$m | (q \times 2^{q-1})$ .
2013-08-22 math.CO
Nearly-linear monotone paths in edge-ordered graphs
在完全图$K_n$的任意边序中，总能找到多长的单调路？这个吸引人的问题首先由Chvátal和Komlós在1971年提出，并吸引了许多研究人员的注意，激发了各种相关的问题。流行的猜想是，人们总是可以找到一个线性长度的单调路径，但到目前为止，最著名的下界是$n^{2/3-o(1)}$。在本文中，我们几乎关闭这个差距，证明了任何边序的完全图包含一个单调的道路长度$n^{1-o(1)}$。
2019-09-19 math.CO
On the number of proper paths between vertices in edge-colored hypercubes
给定一个整数$1\leq j <n$，定义$n$维超立方体$H_{n}$的$(j)$ -着色为$H_{n}$的边的$2$ -着色，其中维度$i$，$1\leq i \leq j$中的所有边都具有颜色$1$，所有其他边都具有颜色$2$ . Cheng et al. [Proper distance in edge-colored hypercubes，Applied Mathematics and Computation 313（2017）384-391.]确定了$(1)$着色超立方体的一对顶点之间不同的最短正确着色路径的数量。考虑$(j)$着色的数$j\geq 2$是很自然的.本文研究了任意$j$的$(j)$着色超立方体中不同最短真路的个数.
2017-08-09 math.CO
Partitioning edge-coloured infinite complete bipartite graphs into monochromatic paths
1978年，理查德·拉多证明了每一个可数无限阶的边着色完全图都可以划分成不同颜色的单色路。他问这是否仍然适用于不可数完全图和概念的\emph{generalised paths}。在2016年，Daniel Soukup对此做出了肯定的回答，并证明了类似的结果应该适用于具有相同无限基数的双划分类的完全二部图，即每个用$r$颜色边着色的图都可以划分为$2r-1$单色广义路径，每个颜色最多使用两次。本文对Soukup猜想给出了肯定的回答。
2018-08-29 math.CO
Decomposing highly edge-connected graphs into paths of any given length
在2006年，Barát和Barassen提出了以下猜想：对于每棵树$T$，存在一个自然数$k_T$，使得如果$G$是一个$k_T$ -边连通图，并且$|E(G)|$可被$|E(T)|$整除，则$G$允许分解为$T$的拷贝。这个猜想被证明为恒星，一些双星，路径长度$3$，$5$，和$2^r$的每一个正整数$r$。我们证明了这个猜想适用于任何固定长度的路径。
2015-09-21 math.CO
Hamiltonian increasing paths in random edge orderings
如果完全图$K_n$的边是全序的，则边是升序的简单路称为增路。几十年来，最长递增路径的最坏情况长度一直是一个悬而未决的问题，其渐近界介于$\sqrt{n}$（Graham and Kleitman，1973）和$n/2$（Calderbank，Chung，and Sturtevant，1984）之间。我们考虑的平均情况下，当顺序是随机选择均匀。我们发现令人惊讶的结果，在随机设置中，一个最大可能长度的$n-1$的增加路径存在的概率至少约为$1/e$。我们还证明了概率$1-o(1)$，有一个增加的路径的长度至少为$0.85n$，这表明这种哈密顿（或近哈密顿）现象可以渐近几乎肯定。
2014-03-04 math.CO
Paired many-to-many 2-disjoint path cover of balanced hypercubes with faulty edges
平衡超立方体$BH_n$作为超立方体的一种变体，被提出作为一种新的并行计算互连网络拓扑。已知$BH_n$是二分的。假设$S=\{s_1,s_2\}$和$T=\{t_1,t_2\}$是$BH_n$（$n\geq1$）的不同分集中的两个顶点的任意两个集合。证明了$BH_n$存在两条覆盖其所有顶点的点不相交$s_1,t_1$ -路和$s_2,t_2$ -路，本文证明了在至多有$2n-3$故障边的情况下，总存在两条覆盖其所有顶点的点不相交$s_1,t_1$ -路和$s_2,t_2$ -路.容许边缘故障的上界$2n-3$是最优的。
2018-04-05 math.CO
Non-crossing Monotone Paths and Binary Trees in Edge-ordered Complete Geometric Graphs
一个边序图是一个边全序的图。边序图中的一条路$P=v_1v_2\ldots v_k$，如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) > (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为增路;如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) < (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为减路。我们说$P$是单调的，如果它是增加或减少。边序图中的根树$T$称为单调树，如果从根到叶子的每条路都是递增的，或者从根到叶子的每条路都是递减的。让$G$是一个图。在$G$的直线绘图$D$中，其顶点被绘制为平面中的不同点，其边缘是直线段。设$\overlineα(G)$是最大整数，使得在任何边标号下$G$ %的每个边序直线图包含长度为$\overlineα(G)$的单调非交叉路径。设$\overlineτ(G)$是最大整数，使得$G$ %的每个边序直线图在任何边标号下都包含大小为$\overlineτ(G)$的单调非交叉完全二叉树。在本文中，我们表明，$\overline α(K_n) = Ω(\log\log n)$，$\overline α(K_n) = O(\log n)$，$\overline τ(K_n) = Ω(\log\log \log n)$和$\overline τ(K_n) = O(\sqrt{n \log n})$。
2020-01-21 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-edge-colored multipartite graphs
我们解决了四个类似的问题：对于每个固定的$s$和大的$n$，我们描述了$n_1,\ldots,n_s$的所有值，使得对于完全$s$ -部图$K_{n_1,\ldots,n_s}$的每个$2$ -边染色，存在单色的（i）具有$2n$顶点的圈$C_{2n}$，（ii）至少具有$2n$顶点的圈$C_{\geq 2n}$，（iii）具有$2n$顶点的路$P_{2n}$，以及（iv）具有$2n+1$顶点的路径$P_{2n+1}$。这意味着Gyárfás，Ruszinkó，Sárkozy和Szemerédi猜想的一个推广，即对于完全$3$ -部图$K_{n,n,n}$的每个$2$ -边染色，都有一条单色路$P_{2n+1}$。一个重要的工具是我们最近的稳定性定理单色连接匹配。
2019-05-12 math.CO
Partitioning edge-coloured complete graphs into monochromatic cycles and paths
Erdés、Gyárfás和Pyber的一个猜想说，在一个具有r种颜色的完全图的任何边着色中，有可能用r个顶点不相交的单色圈覆盖所有顶点。到目前为止，这个猜想只在r = 2时被证明。在本文中，我们表明，事实上，这个猜想是假的所有r > 2。与此相反，我们表明，在任何边着色的完全图与三种颜色，它是可能的，覆盖所有的顶点与三个顶点不相交的单色路，证明了一个特殊情况下的猜想，由于Gyárfás。作为一个中间结果，我们表明，在任何边着色的颜色红色和蓝色的完全图，它是可能的，覆盖所有的顶点与红色的道路，和一个不相交的蓝色平衡完全二部图。
2012-05-24 math.CO
King-serf duo by monochromatic paths in k-edge-coloured tournaments
一个开放的猜想Erdans的状态，对于每一个正整数$k$有一个（最小）正整数$f(k)$，使每当一个锦标赛有它的边着色$k$颜色，有一个集合$S$最多$f(k)$顶点，使每个顶点有一个单色路径到某些点在$S$。我们考虑了一个相关的问题，并表明，对于每个（有限或无限）基数$κ>0$有一个基数$ λ_κ$，使在每个$κ$ -边色锦标赛存在不相交的顶点集$K,S$的总大小最多为$ λ_κ$，使每个顶点$ v $有一个单色路径的长度最多为2从$K$到$v$或从$v$到$S$。
2017-05-02 math.CO
Rainbow monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图中的路径称为单色路径，如果路径的所有边具有相同的颜色。如果每个$P_i$都是单色的，并且对于任意两个$i\neq j$，$P_i$和$P_j$具有不同的颜色，则我们称$k$路径为$P_1,\cdots,P_k$彩虹单色路径。一个图$G$的边染色称为彩虹单色$k$ -边连通染色（或简称$RMC_k$ -染色），如果$G$的每两个不同的顶点至少由$k$彩虹单色路连接。我们用$rmc_k(G)$来表示确保$G$具有$RMC_k$ -着色的最大颜色数，这个数称为彩虹单色$k$ -边连接数。证明了图的$RMC_k$ -染色的存在性，给出了图的$rmc_k(G)$的一些界，并给出了图的$rmc_k(G)$达到下界的图.我们还得到了$rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$的阈值函数，其中$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。
2020-01-06 math.CO
Escaping from a quadrant of the $6\times 6$ grid by edge disjoint paths
令$G$是两条有限路径的笛卡儿积，称为网格，令$T$是$G$的八个不同顶点的集合，称为终端。假设$T$被划分为四个终端对$\{s_i,t_i\}$、$1\leq i\leq 4$，以通过使用边缘不相交路径在$G$中链接。为了证明这样一个链接总是存在的，我们需要一系列的技术引理，使某些终端有可能从$Q\subset G$的$3\times 3$角落“逃逸”，称为“象限”。在这里，我们陈述这些引理，并给出一个证明的情况下，$Q$包含最多$4$终端。
2017-08-17 math.CO
Super edge-graceful paths
一个阶为$|V|=p$、大小为$|E|=q$的图$G(V,E)$称为超边优美图，如果存在从$E$到$\{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{q-1}{2}\}$的双射$f$，当$G(V,E)$ MS是奇数的，并且当$q$是偶数时从$E$到$\{\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{q}{2}\}$，使得由$f^*(x) = \sum_{xy\in E(G)}f(xy)$在所有边$xy$上定义的诱导顶点标记$f^*$是从$V$到$\{0,\pm 1,\pm 2...,\pm \frac{p-1}{2}\}$的双射当$p$为奇数时，从$V$到$\{\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{p}{2}\}$;当$p$为偶数时，从$V$到$\{\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{p}{2}\}$。\indent证明了除$P_2$和$P_4$外的所有路径$P_n$都是超边优美的.
2008-04-23 math.CO
Families of graphs with twin pendent paths and the Braess edge
在无向图上的随机游动的上下文中，凯梅尼常数可以测量两个随机选择的顶点之间的随机游动的平均行进时间。我们感兴趣的图形，行为与直觉有关的Kemeny常数：特别是，我们研究图形与切割顶点，至少有两个分支的路径，关于是否插入一个特定的边缘到一个图形的结果增加Kemeny常数。我们提供了几种工具，用于确定这样的边缘在一个家庭的图形和analising渐近行为的家庭的倾向，有边缘;和类的特定图形作为例子。此外，渐近行为的家庭的树木。
2021-12-07 math.CO
Graphs without a rainbow path of length 3
本文研究了Erdős和Gallai定理的彩虹版本，证明了在共同顶点集上不产生由不同图的边组成的长度为3的路径时，任意 $k \geq 1$ 个图中边数最大值的渐近最优上界。
2024-01-11 math.CO
Monotone Paths in Dense Edge-Ordered Graphs
图$G$的高度，记为$f(G)$，是最大整数$k$，使得在$E(G)$的每个排序下，存在长度为$k$的路径，该路径以递增的顺序遍历边。1971年，Chvátal和Komlós提出了$f(K_n)$，其中$K_n$是$n$顶点上的完全图。1973年，Graham和Kleitman证明了$f(K_n) \ge \sqrt{n - 3/4} - 1/2$，1984年，Calderbank、Chung和Sturtevant证明了$f(K_n) \le (\frac{1}{2} + o(1))n$。我们证明了$f(K_n) \ge (\frac{1}{20} - o(1))(n/\lg n)^{2/3}$ .
2015-09-07 math.CO
Properly colored cycles in edge-colored complete graphs containing no monochromatic triangles: a vertex-pancyclic analogous result
边有色图中的适当着色的圈（路径）是指具有被赋予不同颜色的连续边的圈（路径）。单色三角形是一个长度为$3$且边指定为相同颜色的循环。每个不含单色三角形的边着色完全图都含有一条正常着色的Hamilton路，本文研究了当禁止单色三角形时，边着色完全图中正常着色圈的存在性.我们得到一个顶点泛循环的类似结果结合所有的例外的特征。
2020-08-21 math.CO
Escaping from the corner of a grid by edge disjoint paths
设$Q$是平面上整数格$G$的有限子图，$T$是$G$中不同顶点对的集合，称为“终端对”。从$Q$逃逸子集$X\subset T\cap Q$意味着找到从$X$中的终端到$Q$的边界中的集合$L$的不同顶点的边不相交路径。这里我们证明了几个引理的情况下，$Q$是一个$3\times 3$网格，$L$是一个垂直和水平的边界线的$Q$的并集，此外，$T$是一个集的四个终端对在$G$，使$|T\cap Q|\geq 5$。这些引理在[4]中得到了应用，并完成了两条（单向）无限路的笛卡儿积具有路对数4的证明。
2017-08-17 math.CO
Dyck paths and pattern-avoiding matchings
顶点集V={1，2，.，2n}避免给定的三条边的配置？Chen，Deng和Du已经证明了避免三个嵌套边的匹配的数量等于避免三个成对交叉边的匹配的数量。在本文中，我们考虑其他禁止配置的大小为3。我们提出了一个双射之间的匹配，避免三个交叉的边缘和匹配，避免一个边缘嵌套在两个交叉的边缘。这种双射使用长度为2n的非交叉Dyck路径对作为中间步骤。此外，我们还给出了一个双射，它将避免两条嵌套边与第三条边相交的匹配映射到避免一个无限族中所有配置的匹配上，该无限族包含由三条相交边组成的配置。我们使用这个双射来证明，对于大小n>3的匹配，避免三条交叉边比避免两条嵌套边与第三条边交叉更容易。在本文的更新版本中，我们添加了新的参考文献，这些文献在不同的背景下获得了类似的结果。
2007-06-26 math.CO
The maximum number of cycles in a graph with fixed number of edges
考虑的主要议题是最大化的圈数在一个图与给定数量的边缘。在2009年，Király证明了存在常数$c$使得任何有$m$边的图最多有$(1.4)^m$圈。本文证明了对于充分大的$m$，一个具有$m$边的图至多有$(1.443)^m$圈.对于足够大的$m$，与$m$边和$(1.37)^m$圈的图的例子。对于给定顶点数和边数的图，给出了最大圈数的上界。同时，证明了具有给定边数的多重图以及具有给定顶点数和边数的多重图的最大圈数的指数紧界。
2017-02-10 math.CO
Sampling bipartite graphs with given vertex degrees and fixed edges and non-edges
我们考虑了一个给定顶点度的二部图的采样问题，其中一组$F$的边和非边，需要包含是预定义的。我们的一般结果表明，重复交换边和非边交替循环的最大尺寸$2\ell-2$（' $j$ -交换'与$j \leq 2 \ell-2$）在当前图中导致遍历大都会马尔可夫链时，$F$不包含一个周期的长度$2 \ell$与$\ell \geq 4.$这导致有用的马尔可夫链时，$\ell$不是太大。如果$F$是一个林，则$4$ -和$6$ -交换就足够了。此外，我们证明$4$交换是足够的$F$不包含匹配的大小$3.$我们扩展的曲线球算法的Strona等。\cite{Strona2014b}我们的情况下。
2017-01-16 math.CO
Paired 2-disjoint path covers of Bcube under the partitioned edge fault model
College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）；Academy for Advanced Interdisciplinary Studies, Nankai University（南开大学前沿交叉科学研究院）；Institute of Information and Decision Sciences, National Taipei University of Business（台北商业大学信息与决策科学研究所）
本文研究了在分区边故障模型下BCube的容错配对2不相交路径覆盖问题，证明了在大量边故障情况下BCube仍能保持配对2-DPC的鲁棒性。
2026-02-18 math.CO
Many cliques with few edges and bounded maximum degree
在过去的几十年中，广义图兰问题一直是极值组合学研究的中心课题。Chase最近完全解决了这样一个问题，即最大化具有固定顶点数和有界最大度的图中固定阶团的数量。Kirsch和Radcliffe提出了这个问题的一个自然变体，其中边的数量是固定的，而不是顶点的数量。本文给出了边数固定且最大度有界的图中固定阶团的最大个数，解决了Kirsch和Radcliffe的一个猜想。我们还给出了极图的一个完整的刻画。
2021-06-09 math.CO
Almost all optimally coloured complete graphs contain a rainbow Hamilton path
一个边着色图的子图$H$称为彩虹图，如果$H$的所有边都有不同的颜色。在1989年，Andersen证明了$K_{n}$的每一个适当的边着色都允许一个长度为$n-2$的彩虹路径。我们发现，几乎所有的最佳边着色的$K_{n}$承认（i）彩虹汉密尔顿路径和（ii）彩虹周期使用所有的颜色。这一结果证明了Andersen猜想对$K_{n}$的几乎所有最优边着色都成立，并回答了Ferber，Jain和Sudakov最近提出的一个问题。我们的结果也适用于随机对称拉丁方中断面的存在性。
2022-04-21 math.CO
T-joins in infinite graphs as edge-disjoint system of paths matching the vertices in $ T $
我们刻画了一类无限连通图$ G $，对于它，对于任意一个无限$ T \subseteq V(G) $的选择，都存在一个$ T $ -连接。我们还证明了下面这个众所周知的事实在无限情形下仍然成立。如果$ G $是连通的，并且不包含$ T $ -join，那么如果我们从$ T $中删除任意顶点或向$ T $中添加任何新顶点，它就会包含。
2017-04-24 math.CO
Edge-coloured graph homomorphisms, paths, and duality
我们提出了一个边色模拟的对偶定理传递竞赛和有向路径。给定一条边色路径$P$，其边交替为蓝色和红色，我们构造一个边色图$D$，使得对于任何边色图$G$ $$ P \to G \Leftrightarrow G \not\to D. $$，该图都易于构造，特别是$|V(D)|=|V(P)|-1$。
2022-08-25 cs.DM math.CO
Edge-decompositions of $O(m)$-edge-connected graphs into isomorphic copies of a fixed tree of size $m$
本文证明在 $O(m)$ 边连通且满足一定最小度或围长条件下，大小为 $m$ 的倍数的简单图可边分解为任意给定大小为 $m$ 的树的同构副本，从而将此前边连通度的阶乘上界改进为线性量级。
2024-08-31 math.CO
Upper density of monochromatic paths in edge-coloured infinite complete graphs and bipartite graphs
定义具有$V(G) \subseteq \mathbb{N}$的无限图$G$的上密度为$\overline{d}(G) = \limsup_{n \rightarrow \infty}{|V(G) \cap \{1,\ldots,n\}|}/{n}$。设$K_{\mathbb{N}}$是顶点集为$\mathbb{N}$的无限完全图. Corsten、DeBiasio、Lamaison和Lang证明，在$K_{\mathbb{N}}$的每个$2$ -边着色中，存在一个最高密度至少为$(12 + \sqrt{8})/17$的单色路径，这是最好的可能。在本文中，我们将这个结果推广到$k$ -边着色的$K_{\mathbb{N}}$为$k \ge 3$。我们猜想每个$k$ -边色$K_{\mathbb{N}}$都包含一个单色路径，其上密度至少为$1/(k-1)$，这是最好的可能性（当$k-1$是素数幂时）。我们证明，这是真的，当$k = 3$和渐近时$k =4$。此外，我们表明，这个问题可以推导出它的二分变体，这是独立的利益。
2022-10-25 math.CO
Encoding shortest paths in graphs assuming the code is queried using bit-wise comparison
计算机网络中的一种消息传递模型是基于用（相当小的）全集的子集标记每条边，然后将路径编码为其边的标签的并集。早期的工作建议使用随机边缘标签，这种方法有一个缺点，即产生错误（误报）。我们证明，如果我们假设网络的形状（在本文中，我们认为网络具有密集的核心和树状外围），并假设消息是沿着最短路径传递的，我们可以标记边缘的方式，防止任何误报。
2018-06-25 math.CO
From edge-disjoint paths to independent paths
设f（k）表示使得每个简单无向图都含有两个顶点s，t和k条边不相交的s-t路，也含有两个顶点u，v和f（k）条独立的u-v路的最大值.这里，一组路径是独立的，如果它们中没有一个包含另一个的内部顶点。我们证明了当k<3时f（k）=k，否则f（k）=3。
2012-03-20 cs.DM math.CO
On heavy paths in 2-connected weighted graphs
加权图是指每一条边都被赋予一个非负实数的图。在赋权图中，路的权是它的边的权之和，点的权度是与它关联的边的权之和.本文给出了2-连通赋权图中存在具有一个或两个给定端点的重路或Hamilton路的三个权度条件.
2011-11-24 math.CO
Proper Hamiltonian Paths in Edge-Coloured Multigraphs
给定一个$c$ -边着色多重图，一条真Hamilton路是包含该多重图的所有顶点且使得相邻边不具有相同颜色的路。在这项工作中，我们建立了充分的条件，边着色的多重图，以保证存在一个适当的Hamilton路，涉及各种参数的边数，颜色的数量，彩虹度和连通性。
2014-06-20 cs.DM math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Lower bounds for rainbow Turán numbers of paths and other trees
对于一个固定的图$F$，我们想确定在$n$顶点上的正确边有色图中的最大边数，该图不包含$F$的彩虹副本，即所有边都接收不同颜色的$F$的副本.这个最大值用$ex^*(n, F)$表示，是$F$的彩虹图兰数。我们表明，$ex^*(n,P_k)\geq \frac{k}{2}n + O(1)$其中$P_k$是一个路径上的$k\geq 3$边缘，推广的结果Maamoun和Meyniel和约翰斯顿，帕尔默和Sarkar。我们显示了类似的边界上的$2^s-1$边缘和直径$\leq 10$和其他一些小直径的毛虫扫帚。
2019-01-10 math.CO
Longest paths in 2-edge-connected cubic graphs
证明了$2$ -边连通三次图的路长的几乎紧界。具体地说，我们证明了：（i）每一个$2$ -边连通三次图都有一条长度为$Ω\left(\frac{\log^2{n}}{\log{\log{n}}}\right)$的路，（ii）存在一个$2$ -边连通三次图，使得图中的每条路都有长度为$O(\log^2{n})$ .
2019-03-06 cs.DM math.CO
Extremal graphs for clique-paths
本文讨论了一个Turán型问题：给定一个正整数n和一个禁止图H，一个n阶图中没有子图H时，能有多少条边？如果一个图有这个极值边数，它会是什么样子？本文中的禁止图是团路径：长度为k的路径，其中每条边都扩展到r团，r >2。对于充分大的n，我们确定了极值数和极值图。
2011-11-30 math.CO
Strong edge geodetic problem on grids
设$G=(V(G),E(G))$是一个简单图。一个集合$S \subseteq V(G)$是一个强边测地集合，如果在$S$的每一对顶点之间存在一个最短路径的分配，使得这些最短路径覆盖所有的边$E(G)$。最小强边测地集的基数是$G$的强边测地数$\text{sge}(G)$。本文研究了两条路径的笛卡尔积上的强边大地测量问题。计算了$P_n \, \square \, P_2$、$P_n \, \square \, P_3$和$P_n \, \square \, P_4$的强边大地数的精确值。证明了$\text{sge}(P_n \, \square \, P_m)$的一些一般上界。
2021-01-22 math.CO
The Cohen-Macaulay type of edge-weighted r-path ideals
本文对任意正整数r，用组合方法刻画了边加权r-路径悬挂的Cohen-Macaulay型，并将边加权悬挂情形统一为r=1的特例。
2023-09-16 math.AC math.CO
On the Rainbow Turán number of paths
设$F$是一个固定图. $F$的彩虹图兰数定义为在$n$顶点上具有正确边着色且没有$F$的彩虹副本的图中的最大边数（其中$F$的彩虹副本意味着$F$的所有边都具有不同颜色的副本）。对这些问题的系统研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte发起。本文证明了具有$k+1$边的路径的彩虹Turán数小于$\left(\frac{9k}{7}+2\right) n$，改进了Johnston，Palmer和Sarkar的一个较早的估计.
2018-05-10 math.CO
Countable Menger theorem with finitary matroid constraints on the ingoing edges
我们提出了一个加强的可数Menger定理（边缘版本）的R。阿哈罗尼设$ D=(V,A) $是一个具有$ s\neq t\in V $的可数有向图，$\mathcal{M}=\bigoplus_{v\in V}\mathcal{M}_v $是$ A $上的拟阵，其中$ \mathcal{M}_v $是$ D=(V,A) $的进入边上的有限拟阵.我们证明了存在一个边不相交的$ s \rightarrow t $路径系统$ \mathcal{P} $，使得路径的联合边集是$ \mathcal{M} $独立的，并且存在一个$ C \subseteq A $，该$ C \subseteq A $由来自$ \mathcal{P} $的每个元素的一个边组成，其中$ \mathsf{span}_{\mathcal{M}}(C) $覆盖$ D $中的所有$ s\rightarrow t $路径。
2017-04-30 math.CO
Color degree and color neighborhood union conditions for long heterochromatic paths in edge-colored graphs
设$G$是边着色图. $G$的异色（彩虹或多色）路径是这样一种路径，其中没有两条边具有相同的颜色。令$d^c(v)$表示颜色度，$CN(v)$表示$G$的顶点$v$的颜色邻域。在以前的文章中，我们证明了如果$G$的每个顶点$v$满足$d^c(v)\geq k$（颜色度条件），则$G$有一条长度至少为$\lceil\frac{k+1}{2}\rceil$的异色路;如果$G$的每对顶点$u$和$v$满足$|CN(u)\cup CN(v)|\geq s$（颜色邻域并条件），则$G$有一条长度至少为$\lceil\frac{s}{3}\rceil+1$的异色路.后来，在另一篇论文中，我们首先表明，如果$k\leq 7$，$G$具有长度至少为$k-1$的异色路径，然后，基于此，我们对$k$进行归纳，并表明，如果$k\geq 8$，则$G$具有长度至少为$\lceil\frac{3k}{5}\rceil+1$的异色路径。在本文中，通过使用一个更简单的方法，我们进一步改进的结果表明，如果$k\geq 8$，$G$有一个长度至少为$\lceil\frac{2k}{3}\rceil+1$的异色路径，这证实了Saito的猜想。我们还改进了以前的结果，表明在颜色邻域并条件下，$G$有一个长度至少为$\lfloor\frac{2s+4}{5}\rfloor$的异色路径。
2005-12-07 math.CO
Stability and Erdős--Stone type results for $F$-free graphs with a fixed number of edges
极值图论的一个基本问题是问：“在一个无$F$的图中，在$n$顶点上的最大边数是多少？”最近Alon和Shikhelman提出了一个更一般的子图计数版本。他们考虑了确定固定图$T$在$F$ -free图上$n$顶点的最大拷贝数的问题。在这个更一般的上下文中，我们不再计算边，也很自然地会问，在一个没有$F$的图中，$T$的最大拷贝数是多少，这个图有$m$边，并且对顶点数没有限制。Frohmader在另一种情况下，当$T$和$F$都是完全图时，确定了答案。我们证明这个问题的结果类似于Erdens-Stone定理，Erdens-Simonovits定理，和稳定性定理的Erdens-Simonovits。
2018-10-10 math.CO
Proper path-factors and interval edge-coloring of (3,4)-biregular bigraphs
图G的区间染色是E（G）的正整数真染色，使得与任意顶点关联的边的颜色是连续的.（3，4）-双正则二部图是一个二部图，其中一部分的每个顶点的度为3，另一部分的每个顶点的度为4;它们是否都有区间着色是未知的。证明了当G是一个（3，4）-双正则偶图，其生成子图的分支是端点在3-价点且长度在{2，4，6，8}内的路时，G有6种颜色的区间染色.我们给出了这样一个子图存在的充分条件。
2007-04-20 math.CO
Monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图$G$中的路径称为单色的，如果路径上的任意两条边具有相同的颜色。对于$k\geq 2$，边着色图$G$称为单色$k$边连通的，如果$G$的每两个不同的顶点由至少$k$边不相交的单色路连接，而$G$被称为均匀单色$k$ -边连接，如果每两个不同的顶点至少由$k$边连接，不相交的单色路径，使得这些$k$路径的所有边缘用相同的颜色着色。我们分别使用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$来表示确保$G$为单色$k$ -边连接和$G$为均匀单色$k$ -边连接的最大颜色数。本文首先猜想，对于任何$k$ -边连通图$G$，$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，其中$H$是$G$的最小$k$ -边连通生成子图.我们验证了$k=2$的猜想。证明了当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k+1}$的猜想，当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想，以及当$k=3$和$n\geq k$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想.当$G$是极小$k$ -边连通图时，我们给出了$mc_k(G)$的一个上界，即，$mc_k(G)\leq k-1$，和当$G=K_{k,n}$时的$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$ -边连通，证明了对所有的$k$，有$umc_k(G)=e(G…
2018-10-28 math.CO
Closing paths to cycles in symmetric graphs
本文研究对称图中路径闭合为环的问题，完全解决了顶点传递图、边传递图及非星形边传递图中路径长度阈值，并给出反例族。
2025-10-06 math.CO
