多边树和3色Motzkin路:双射问题
Multi-edge trees and 3-coloured Motzkin paths: bijective issues
摘要:
给出了多边树与3色Motzkin路之间的一个双射。
英文摘要:
A bijection is given between multi-edge trees and 3-coloured Motzkin paths.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Multi-edge trees and 3-coloured Motzkin paths: bijective issues
Helmut Prodinger
给出了多边树与3色Motzkin路之间的一个双射。
A bijection is given between multi-edge trees and 3-coloured Motzkin paths.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Refined enumeration of two-rowed set-valued standard tableaux via two-coloured Motzkin paths
本文通过建立两行集值标准表与双色 Motzkin 路径的双射,结合生成函数与拉格朗日反演公式,给出了按各行条目数精细计数的显式公式。
An elementary approach to solve recursions relative to the enumeration of S-Motzkin paths
S-Motzkin路径(双射到三叉树)和它们的部分版本仅使用线性代数的初等方法计算。
Crossings, Motzkin paths and Moments
Kasraoui、Stanton和Zeng,以及Kim、Stanton和Zeng介绍了拉盖尔和Charlier多项式的某些$q$ -类似物。这些正交多项式的矩在排列和集合划分的交叉方面具有组合模型。本文的目的是证明$q$ -Laguerre多项式和$q$ -Charlier多项式的矩的简单公式,在Touchard-Riordan公式的风格(它给出了一些$q$ -Hermite多项式的矩,以及匹配中交叉的分布)。我们的方法主要包括在加权Motzkin路径,这是自然的时刻相关联的枚举。有些步骤是双射的,特别是我们描述了一个分解的路径,概括了以前的建设佩诺的情况下的Touchard-Riordan公式。也有一些非双射步骤使用基本的超几何级数,和连分数,或者,函数方程。
Involutions under Bruhat order and labeled Motzkin Paths
在这篇注记中,我们引入了Motzkin路的一个统计量,它描述了对合的Bruhat阶的秩生成函数。我们的证明依赖于一个双射介绍菲利普Biane从置换到某些标记Motzkin路径和最近推出的解释,这个排名生成函数的可见反转。通过限制我们的身份不动点(FPF)的对合,我们恢复身份由于路易斯Billera,莱昂内尔莱文和卡罗拉Mészáros与马修沃森以前的双射证明。我们的工作为埃塞俄比亚晚餐游戏提供了新的线索。
On the bijective colouring of Cantor trees based on transducers
给定具有$m$颜色($n,m\geq 2$)的无限$n$ -ary Cantor树的顶点着色,自然的问题出现了:这种着色是否可以引起从根开始的无限路径的双射着色,即,每一个无限的$m$颜色的字符串都用于其中的一些路径,但不同的路径颜色不同?换句话说,我们要问,上面的顶点着色是否可以在相应的康托空间之间定义一个双射短映射。我们证明了答案是积极的当且仅当$n\geq m$,并提供了一个有效的建设的双射着色的Mealy自动机和功能定义的自动机。我们还表明,有限Mealy自动机可以定义这样的双射着色只有在平凡的情况下,即$m=n$。
Counting Humps in Motzkin paths
本文研究了Dyck、Motzkin和Schröder路径中的峰数。最近A. Regev注意到,所有$n$阶Dyck路径中的峰的数目是$n$阶超Dyck路径数目的一半。他还计算了一些驼峰Motzkin路径,并发现了类似的关系,并要求双射证明。我们给出了一个双射并证明了这些结果。利用这个双射,我们还给出了一个新的证明:具有$k$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数.通过对超Schröder路的双重计数,我们还得到了一个包含二项式系数乘积的恒等式.
Bijective Enumeration and Sign-Imbalance for Permutation Depth and Excedances
本研究提出Biane双射的简化变体,通过带权3色Motzkin路径构造排列对合,证明了深度与超位数的奇偶计数性质,并给出按二者细化的排列及错位排列符号不平衡结果。
Counting planar maps, coloured or uncoloured
我们提出了最近的结果上列举的$q$彩色平面地图,其中每个单色边缘进行加权$ν$。这等价于用每个映射的Tutte多项式加权,或者在随机平面映射上求解$q$ -state Potts模型。由Olivier Bernardi和作者得到的相关生成函数是微分代数的。也就是说,它满足(非线性)微分方程。这个结果的出发点是Tutte在1971年写的一个函数方程,它将平面映射的简单递归描述转化为枚举项。证明如下,并适应Tutte的解决方案,适当的$q$着色三角剖分(1973年至1984年)。我们把这项工作的角度更好地理解枚举家庭的无色平面地图,递归方法几乎系统地产生代数生成函数。在过去的15年里,这些代数性质已被解释组合照亮映射和家庭的平面树之间的双射。我们调查这两种方法,递归和双射。比较着色和未着色的结果提出了为着色地图设计双射的问题。没有完整的双射解决方案存在的时刻,但我们目前的双射某些专业的一般问题。我们还表明,对于这些专业化,Tutte的函数方程是更容易解决,在一般情况下。最后,我们提出一些开放性问题。
Some statistics on generalized Motzkin paths with vertical steps
最近,一些作者考虑了具有各种步长的格路径,包括允许的垂直步长。本文考虑一类广义Motzkin路,简称{ \it G-Motzkin路},即在$XOY$平面的第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格路,它由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成.本文主要计算了$\mathbf{z}\in \{\mathbf{u}, \mathbf{h}, \mathbf{v}, \mathbf{d}\}$的给定$\mathbf{z}$ -步数的长度为$n$的G-Motzkin路的个数,以及$\mathbf{z}\in \{\mathbf{u}, \mathbf{h}, \mathbf{v}, \mathbf{d}\}$的G-Motzkin路在给定水平上的“$\mathbf{z}$ -步数”的统计量,用双射和代数方法给出了一些显式公式和组合恒等式,并根据G-Motzkin路的结构分解将一些计数结果与Riordan阵列联系起来.我们还讨论了$\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2\in \{\mathbf{u}, \mathbf{h}, \mathbf{v}, \mathbf{d}\}$的G-Motzkin路中的“$\math…
Cyclic descents for Motzkin paths
Rhoades在标准的矩形Young tableaux(SYT)上引入了循环下降的概念,Adin,Elizalde和Roichman将其扩展到某些斜形状。当最大值被忽略时,循环下降集限制为通常的下降集,并且具有给定形状的SYT的个数在给定循环下降集D的元素循环移位下不变的性质。Adin,Reiner和Roichman证明了一个斜形状有循环下降映射当且仅当它不是连通带。不幸的是,他们的证明是非建设性的。最近,Huang为所有可能的形状构造了一个显式循环下降映射。在早期版本的阿丁,Elizalde和Roichman的文件,他们要求找到统计的组合对象是equidistributed与循环下降SYT的给定形状。在本文中,我们明确地描述了Motzkin路径的循环下降集,这是等分布的SYT的循环下降集的三行形状。此外,根据Stanley的混洗定理,我们给出了Motzkin路下降统计量混洗性质的双射证明。
Bijections for Dyck paths with all peak heights of the same parity
我们双射地证明了所有峰都在奇数高度的Dyck路径由Motzkin数计数,所有峰都在偶数高度的Dyck路径由Riordan数计数。
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路,并给出了所有$(k,a)$-路的峰(峰)的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数,他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明,然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时,我们给出了一个双射,它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数,它是著名结果的推广,即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
The Combinatorics of Motzkin Polyominoes
该研究探讨Motzkin多联骨牌的组合性质,建立其与Motzkin路径、受限Catalan字等的双射关系,推导多参数生成函数、渐近式与闭式表达,并证明相关三项式关系。
A walk in my lattice path garden
各种晶格路径模型进行了审查。枚举是使用生成函数完成的。一些双射的考虑也被编织在里面。核方法经常被使用。计算机代数是一个必不可少的工具。有些结果是新的,有些以前出现过。我们处理的格路径模型有:Hoppy的行走,序列A002212在\cite{OEIS}中的组合(斜Dyck路径,Schröder路径,Hex树,装饰有序树,多边树等)。加权一元-二元树也会出现,我们可以通过使用不同的替换来改进我们关于Horton-Strahler数\cite{FlPr86}的旧论文。一些关于三元树的材料也出现了,比如Motzkin数和路径(Retakh的模型),以及在\cite{irene}中发现的一个新概念,称为振幅。文中还包括了关于带中Deutsch路的一些新结果。在新冠肺炎期间,我花了很多时间研究这个美丽的概念,我敢称之为Deutsch路径,因为Emeric Deutsch在20年前在美国数学月刊上发表了一个问题。Rainer Kemp在\textsc{max} -turns和\textsc{min} -turns下研究了40年的峰和谷,用一种更现代的方法重新审视了峰和谷,简化了分析,依赖于“亚临界情况”(Philippe Flajolet如此命名),增加了一种新的切片技术,并再次使用了核方法。
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