Characterizing optimal monitoring edge-geodetic sets for some structured graph classes
本文通过刻画强制顶点结构，为距离遗传图、$P_4$-稀疏图、二部置换图和强弦图高效计算监控边测地数，推广了余图、区间图和块图的已有结果。
2025-03-08 cs.DM math.CO
On the strong geodeticity in the corona type product of graphs
本文研究广义冠、广义边冠和广义邻域冠三种冠型乘积图的强测地集与强测地数，利用初始图的强2-测地参数给出乘积图的对应结果，揭示了冠乘积结构对强测地数的影响。
2024-11-20 math.CO
On four network monitoring parameters in graphs and their gaps
Indian Institute of Technology Dharwad（印度理工学院达瓦德分校）；Polytechnic University (Kyaing Tong)（克耶邦理工学院）
研究探讨了图中四个网络监控参数及其差距，通过构造方法证明了某些参数组合在连通图中不可实现，同时提供了线性增长的构造方法。
2026-03-29 math.CO
Geodetic sets for directed acyclic planar geodetic graphs
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学）
研究有向无环平面测地图中判定是否存在至多\(k\)个顶点的测地集这一问题，证明其为NP完全问题，还表明相关强测地集和监控测地集问题同样NP完全，且给出有向无环串并联图中最小测地集顶点数等可线性时间计算。
2026-07-09 cs.DS math.CO
Analogies between the geodetic number and the Steiner number of some classes of graphs
一个图$G$的顶点集$S$是$G$的测地集，如果每个顶点$v\not\in S$都位于$S$的两个顶点之间的最短路上。$G$的测地集的最小基数是$G$的测地数，记为$g(G)$。$G$的Steiner集是$G$的顶点$W$的集合，使得$G$的每个顶点都属于包含$W$的顶点的最小尺寸连通子图的顶点集合。$G$的Steiner集的最小基数是$G$的Steiner数，用$s(G)$表示。设$G$和$H$是两个图，$n$是$G$的阶。冠积$G\odot H$被定义为从$G$和$H$获得的图，通过取$G$的一个拷贝和$H$的$n$拷贝，并通过边将来自$H$的$i^{th}$ -拷贝的每个顶点与$G$的$i^{th}$ -顶点连接。研究了冠积图的测地数和Steiner数。本文证明了如果$G$是一个$n\ge 2$阶连通图，而$H$是一个非完全图，则有$g(G\odot H)\le s(G\odot H)$，这部分地解决了[ \emph{Discrete Mathematics} \textbf{280}（2004）259--263]中关于刻画满足$g(G)\le s(G)$的图族$G$的公开问题.
2012-04-03 math.CO
Bounds and extremal graphs for monitoring edge-geodetic sets in graphs
本文研究监控边测地数，比较其与其他参数，刻画最小MEG-集为全顶点集的图，给出稀疏图上界，并分析团和与细分操作下的变化界。
2025-01-21 cs.DM math.CO
Algorithms and complexity for monitoring edge-geodetic sets in graphs
研究监控边测地集的计算复杂性，证明其NP难及APX难，并为区间图、参数化及近似算法提供解决方案。
2025-05-26 cs.CC cs.DM cs.DS
Geodetic convexity and Kneser graphs
{ \em Kneser图} $K(2n+k,n)$，对于正整数$n$和$k$，是图$G=(V,E)$，使得$V=\{S\subseteq\{1,\ldots,2n+k\} : |S|=n\}$，并且当$u\cap v=\emptyset$时存在边$uv\in E$。Kneser图有一个很好的组合结构，许多参数已经确定，如直径，色数，独立数，最近，壳数（在$P_3$ -凸的上下文中）。然而，Kneser图的测地凸性参数的确定仍然是开放的。本文研究了Kneser图的测地数和测地壳数。我们给出了上界，并确定这些参数的确切值为Kneser图直径2（形成一个非平凡的子族）。证明了直径为2的Kneser图的测地壳数为2，但$K(5,2)$、$K(6,2)$和$K(8,2)$的测地壳数为3.我们还有助于Kneser图的知识，提出了一个表征的端点的直径路径$K(2n+k,n)$，作为一种工具，用于获得一些主要成果，在这项工作中。
2022-11-03 cs.DM math.CO
On the Geodetic Hull Number of Complementary Prisms
设$G$是一个有限的简单无向图，$S$是$G$的一个顶点集。在测地凸性中，如果图$G$的顶点集$S$中属于$S$的任意两个顶点之间的最短路的所有顶点都在$S$中，则图的顶点集$S$是凸的. $S$的凸包$H(S)$是包含$S$的最小凸集。如果是$H(S) = V(G)$，则$S$是外壳集。$G$的最小外壳集的基数$h(G)$是$G$的外壳号。图$G$的互补棱柱$G\overline{G}$是由图$G$和$\overline{G}$的不交并通过在$G$和$\overline{G}$的对应顶点之间添加完美匹配的边而产生的。受前人工作的启发，我们确定并给出了树、不连通图和余图的互补棱柱壳数的上、下界。我们还表明，壳数互补棱镜不能限制在大地凸，不像$P_3$凸。
2018-07-22 cs.DM math.CO
Impartial removing games on grid graphs
College of Saint Benedict and Saint John’s University（圣本笃学院与圣约翰大学）；Northern Arizona University（北亚利桑那大学）；Lewis University（路易斯大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文研究网格图上的两种无偏移除博弈（达成与回避），利用延迟博弈图等工具确定了其尼姆值，并给出格图的部分结果。
2026-09-15 math.CO
Edge-covering plane-filling curves on grid colorings: a pedestrian approach
本文研究正多边形平面铺嵌上的边覆盖平面填充曲线，通过将铺嵌对称群的边类划分为对应于有限子群的精化着色，构造出称为曲线集的平面填充曲线族，并以图示示例直观展示。
2023-12-01 math.CO
Escaping from a quadrant of the $6\times 6$ grid by edge disjoint paths
令$G$是两条有限路径的笛卡儿积，称为网格，令$T$是$G$的八个不同顶点的集合，称为终端。假设$T$被划分为四个终端对$\{s_i,t_i\}$、$1\leq i\leq 4$，以通过使用边缘不相交路径在$G$中链接。为了证明这样一个链接总是存在的，我们需要一系列的技术引理，使某些终端有可能从$Q\subset G$的$3\times 3$角落“逃逸”，称为“象限”。在这里，我们陈述这些引理，并给出一个证明的情况下，$Q$包含最多$4$终端。
2017-08-17 math.CO
Escaping from the corner of a grid by edge disjoint paths
设$Q$是平面上整数格$G$的有限子图，$T$是$G$中不同顶点对的集合，称为“终端对”。从$Q$逃逸子集$X\subset T\cap Q$意味着找到从$X$中的终端到$Q$的边界中的集合$L$的不同顶点的边不相交路径。这里我们证明了几个引理的情况下，$Q$是一个$3\times 3$网格，$L$是一个垂直和水平的边界线的$Q$的并集，此外，$T$是一个集的四个终端对在$G$，使$|T\cap Q|\geq 5$。这些引理在[4]中得到了应用，并完成了两条（单向）无限路的笛卡儿积具有路对数4的证明。
2017-08-17 math.CO
Bandwidth reduction in rectalgular grids
我们表明，一个正方形的任意大小的二维网格的带宽可以减少，如果两个（但不小于两个）的边缘被删除。两个删除的边不能任意选择，但它们可以选择为共享公共端点或不相邻。我们还表明，矩形n × m（m大于或等于n）网格的带宽可以减少k，对于所有的k是足够小的，如果m-n+2k边缘被删除。
2003-05-26 math.CO
Undirected edge geography games on grids
Prince of Songkla University（宋卡王子大学）；Research Center in Mathematics and Statistics with Applications, Prince of Songkla University（宋卡王子大学数学与统计应用研究中心）
研究网格图\(P_m\square P_n\)上的无向边地理游戏，通过确定\(N\)位置和\(P\)位置，为获胜者给出获胜策略。
2026-07-28 math.CO
Star Edge-Coloring of Square Grids
图$G$的星边染色是不含双色路或长为4的圈的真边染色。使得$G$允许用$k$色进行星边染色的最小整数$k$是$G$的星色指数。在关于这一主题的开创性论文中，Dvopiák、Mohar和Šámal询问了完全图的星色指数在顶点数上是否是线性的，并给出了一个几乎线性的上界。他们的问题仍然是开放的，因此，为了更好地理解星色指数的行为，这个参数已经被研究了一些其他类别的图。本文考虑正方形网格的星边染色，即路与圈的笛卡儿积和两个圈的笛卡儿积.我们改进了以前建立的界限，作为一个主要的贡献，我们证明了在这两个类的图的星色指数是$6$或$7$除了棱镜。此外，我们给出了许多考虑图的精确值。
2020-08-19 math.CO
Plane-filling curves on all uniform grids
我们描述了一个搜索平面填充曲线遍历所有边缘的网格一次。曲线由只有一个非常数字母的Lindenmayer系统给出。在三个网格上的所有小阶曲线都已找到，对于所有的均匀网格，我们说明了如何从找到的曲线得到一次遍历所有点的曲线，对于存在的四个均匀网格，我们描述了一次遍历所有边的曲线。
2018-07-03 math.CO
Slitherlink on Triangular Grids
本文研究了三角网格中Slitherlink签名的性质，证明了相同签名环的对称差大小能被12整除，并完全刻画了完全偶子集。
2026-02-19 math.CO
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
2017-09-27 math.CO
On the robustness of the metric dimension of grid graphs to adding a single edge
图的度量维数（MD）是一个组合概念，它基于图距离捕获区分图中每对节点所需的界标节点的最小数量。我们研究了如果我们向图中添加一条边，MD可以增加多少。额外的边可以是逆向选择的，在这种情况下，我们感兴趣的是MD可以取的最大可能值，或者是均匀随机选择的，在这种情况下，我们感兴趣的是MD的分布。对抗设置已经研究[Eroh et.例如，2015]对于一般图，他发现了一个例子，其中MD在添加单个边缘时加倍。通过构造一个不同的例子，我们表明，这种增长可以是指数级的。然而，我们相信，这样一个大的增长只能发生在特殊构造的图，在大多数有趣的图形家庭，MD最多增加一倍，增加一个单一的边缘。我们证明了这一点$d$维网格图，通过显示，$2d$适当选择的角落和端点的额外的边缘可以区分每对节点，无论在哪里添加的边缘。对于特殊情况下的$d=2$，我们表明，它足以选择四个角落作为地标。最后，当额外边随机均匀抽样时，我们猜想二维网格的MD依概率收敛于$3+\mathrm{Ber}(8/27)$，并给出了一个几乎完全的证明。
2021-11-15 math.CO
On H-Irregularity Strength of Grid Graphs
本文讨论了与图覆盖有关的三个图的特征（分别是顶点、边和全）。允许H-覆盖的图G的H-不规则强度。它们是使得G具有H-不规则（顶点、边和全）的正整数k的最小值。k-标记对于允许网格覆盖的网格图，确定了这三个特征的精确值
2021-10-21 math.CO
Line Completion Number of Grid Graph $P_n \times P_m$
超线图的概念是在1995年由Bagga，Beineke和Varma提出的。给定一个至少有$r$条边的图，指数为$r$的超线图$L_r(G)$的顶点是$G$的$r$条边的集合，如果一个集合中的一条边与另一个集合中的一条边相邻，则两条边相邻。图$G$的行完成数$lc(G)$是使$L_r(G)$是完全图的最小正整数$r$。本文对$n$和$m$的各种情况，求出了格图$P_n \times P_m$的线完成数.
2021-01-31 math.CO
Resistance values under transformations in regular triangular grids
本文拓展了三角网格电阻距离的相关研究，通过等效电路逐行约简分析非渐近电阻行为，提出并证明了电阻值与1大小关系猜想的特例，还发现了约简后对角线上的重复电阻模式，同时优化了相关符号与证明方法。
2024-06-23 math.CO
Counting the number of isosceles triangles in rectangular regular grids
在一般的图论中，顶点之间的唯一关系是通过边来表达的。当顶点嵌入在欧几里得空间中时，顶点和边之间的几何关系可以是有趣的研究对象。我们看看等腰三角形的顶点是一个规则的网格上的点的数量，并表明，他们满足递归关系时，网格是足够大的。我们还推导出了锐角、钝角和直角等腰三角形个数的递推关系。
2017-02-06 math.CO
Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.本文首先给出了两个图的笛卡儿积的星色数的上界。然后，我们确定的确切值的恒星色指数的$2$维网格。对于任意正整数$d$，我们还得到了路径与圈、$d$维网格、$d$维超立方体和$d$维环形网格的笛卡儿积的星色指数的上界.
2018-11-21 math.CO
Some bounds on the maximum induced matching numbers of certain grids
图$G$中的导出匹配$M$是$G$中的匹配，其也是$G$的诱导子图的边集。也就是说，不在$M$中的任何边都不能有多于一个被$M$饱和的关联顶点。$G$的诱导匹配$M$的最大尺寸$|M|$是$G$的最大诱导匹配数，其由$\textrm{Max}(G)$表示。在这篇文章中，我们得到了$\textrm{Max}(G)$，$G=G_{n,m}$，网格与$n,m \geq 9$，$m\equiv 1 \mod 4$和$nm$奇数的上界。
2017-06-27 math.CO
Two characterizations of the grid graphs
本文给出了$p \times q$ -格图是具有四个不同特征值的余边正则图的两个刻画。
2021-08-01 math.CO
On the bend number of circular-arc graphs as edge intersection graphs of paths on a grid
本文研究了圆弧图作为网格上路径边相交图的弯曲数，证明了所有圆弧图均为 $B_3$-EPG 图且存在非 $B_2$-EPG 图，并在矩形表示下给出了相关界限与 $B_1$-EPR 图的禁用子图刻画。
2015-06-29 math.CO
Full Grid Lattice Polygons with Maximal Sum of Squares of Edge-Lengths
本文研究 n×n 格点上不自交 n² 边形的边长平方和最大值，给出 OEIS 序列 A358212 的下界及最优性猜想，并对禁止平角的真正多边形得到类似结果。
2024-05-20 math.CO
Lattice Grids and Prisms are Antimagic
具有$m$边和$n$顶点的有限无向简单图的\emph{antimagic labeling}是从边集到整数$1,...,m$的双射，使得所有$n$顶点和是两两不同的，其中顶点和是与同一顶点关联的所有边的标号之和.如果一个图有一个反魔法标记，则它被称为\emph{antimagic}。1990年，Hartsfield和Ringel证明了除了$K_2$之外的所有连通图都是反魔图。2004年，N. Alon等人证明了这个猜想对具有最小度$Ω(\log n)$的$n$ -顶点图是成立的.他们还证明了完全部图（不同于$K_2$）和最大度至少为$n-2$的$n$ -顶点图是反幻的.最近，Wang证明了环形网格（两个或多个循环的笛卡儿积）是反幻的。在王的论文中，有两个未解决的问题是关于格格图和棱柱图的反魔性，这两个图分别是两条路的笛卡儿积和一个圈与一条路的笛卡尔积。在这篇文章中，我们证明了这两类图是反魔，通过构造这样的反魔标号。
2006-03-04 math.CO
An improved upper bound for the grid Ramsey problem
对于一个正整数$r$，令$G(r)$是最小的$N$，使得只要笛卡儿积$K_N \times K_N$的边是$r$ -着色的，则存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。在本文中，我们通过证明$G(r) \leq \Big(1 - \frac{1}{128}r^{-2}\Big) r^{\binom{r+1}{2}}$来改进$G(r)$的上界，当$r$足够大时。不像以前的改进，这是基于限制交叉点大小的集合系统的大小的界限，我们的证明是一种形式的quasirandomness参数。
2018-09-25 math.CO
Edge-intersection graphs of grid paths: the bend-number
我们研究了平面网格中路径的边-交图，并引入了一个参数，称为弯曲数。也就是说，每个顶点由网格路径表示，并且当且仅当两个网格路径共享至少一个网格边时，两个顶点相邻。弯曲数是最小的$k$，使得具有最多$k$弯曲的网格路径每个都足以表示给定的图。该参数与图形的区间数和轨迹数有关。我们证明了对于每一个$k$都有一个图的弯曲数为$k$。此外，我们根据图的退化度、树宽、边团覆盖和最大度给出了图的弯曲数的新的上界和下界。进一步给出了$K_{m,n}$的弯曲数的界，并对某些$m$和$n$的弯曲数给出了精确的界.最后，我们证明了识别单弯图是NP-完全的，在这个领域提供了第一个这样的结果。
2012-08-20 cs.DM math.CO
Pull-Push Method: A new approach to Edge-Isoperimetric Problems
本文提出推拉方法处理边等周问题，推广了Ahlswede-Cai局部-整体原理，涵盖除网格外所有已有结果，并部分回答Harper问题。
2023-07-11 math.CO
Constructing Dense Grid-Free Linear $3$-Graphs
我们证明了存在具有$n$顶点和$Ω(n^2)$边的线性$3$ -一致超图，并且这些超图不包含$3 \times 3$网格的副本。这使得重大进展的猜想Füredi和Ruszinkó。我们还讨论了证明$(9,6)$ Brown-Erdoss-Sós问题下界以及Solymosi和Solymosi问题的联系。
2021-04-01 math.CO
Limiting Behavior of Resistances in Triangular Graphs
本文通过计算研究三角图电阻的行约简算法，提出相关极限行为猜想并证明一类图的边比关系与图对称性的关联，还引入了等效电阻恒等式的机械验证方法。
2024-06-23 math.CO
Grid Representations and the Chromatic Number
图形的网格绘制将顶点映射到网格点，将边映射到线段，避免网格点表示其他顶点。我们表明，有一些网格点，一些线段的任意网格图必须相交。这个数与色数密切相关。其次，我们研究了在网格中绘制一个图需要多少列，引入了一些新的$\NP$ -完全问题。最后，我们证明了任何可平面图都有一个平面网格图，其中每个线段恰好包含两个网格点。这一结果证明了David Flores-Peñaloza和Francisco Javier Zaragoza Martinez提出的问题。
2012-04-01 math.CO
On the size-Ramsey number of grid graphs
本文证明了 $n\ imes n$ 网格图的 size-Ramsey 数不超过 $n^{3+o(1)}$，给出了该图族 Ramsey 性质所需边数的上界。
2020-05-26 math.CO
Monotonic Representations of Outerplanar Graphs as Edge Intersection Graphs of Paths on a Grid
将图$G$表示为网格上路径的边交图（EPG），其中$G$的每个顶点由网格上的一条路径表示，并且两条路径共享一条网格边，当且仅当相应的顶点相邻时.在单调EPG表示中，网格上的每个路径在行和列中都是递增的。在（单调）$B_k$ -EPG表示中，网格上的每条路径至多具有$k$弯曲。图$G$的（单调）弯曲数$b(G)$（$b^m(G)$）是存在$G$的（单调）$B_k$ -EPG表示的最小自然数$k$。本文研究了外平面图的单调弯曲数，证明了$b^m(G)\leqslant 2$对任何外平面图$G$都成立.此外，我们还利用禁导子图刻画了极大外平面图和（单调）弯曲数等于$0$，$1$和$2$的仙人掌.作为一个副产品，我们获得低程度的多项式时间算法来构建（单调）EPG表示与最大的外平面图和仙人掌的弯曲的最小可能的数量。
2022-09-29 cs.DM math.CO
Enumerating independent vertex sets in grid graphs
一个图中的一组顶点称为独立的，如果该组中没有两个顶点由边连接。在本文中，我们使用的状态矩阵递归算法，开发的哦，枚举独立的顶点集在一个网格图，甚至进一步提供的生成函数的顶点数。我们还列举了在一个网格图的二部独立的顶点集。给出了它们的增长率的渐近行为。
2016-09-02 math.CO
Extremal subgraphs of the $d$-dimensional grid graph
对于每一个自然数$n$，我们确定，无论是渐近和准确的，最大的边数的诱导子图的顺序$n$的$d$ -维的网格图${\ints}^d$可以有。利用Bollobás和Bollasason定理得到了渐近界，并通过归纳法得到了精确界。这一方面推广了$d=2$情形和$n\leq 2^d$情形的一些早期结果。
2013-02-26 math.CO
Bondage number of grid graphs
非空图$G$的束缚数$b(G)$是最小边集的基数，从$G$中移除这些边会导致图的控制数大于$G$的控制数。本文研究了一类格状图的束缚数。在这个意义下，我们得到了两条路的强积和直积的束缚数的一些界或精确值。
2014-01-15 math.CO
Braess' Paradox in Uniform Affine Grid Networks
Saratoga High School（萨拉托加高中）；Department of Mathematics, Williams College（威廉姆斯学院数学系）
本文研究均匀仿射矩形网格网络中的Braess悖论，给出引发悖论的充要条件，计算相关弦的占比，改进Braess比率上界并证明比率最大化弦的延迟特性。
2026-09-01 math.CO
Matching preclusion for $n$-grid graphs
图的匹配排除集是一个边集，如果删除该边集，则图不具有完美匹配或几乎完美匹配。$n$路的笛卡儿积称为$n$ -格图。本文研究了$n$ -格图的匹配排除问题，得到了如下结果。如果一个$n$ -格图具有偶数阶，则它具有匹配排除数$n$，并且每个最优匹配排除集都是平凡的.若$n$ -格图的阶数为奇数，则它有匹配排除数$n+1$，并刻画了所有最优匹配排除集.
2016-09-23 math.CO
A spectral characterization of the s-clique extension of the square grid graphs
本文证明了对于整数$s\geq2$，$t\geq1$，任何与$t\times t$ -格的$s$ -团扩张共谱的共边正则图，如果$t$足够大，则是$t\times t$ -格的$s$-团扩张. Gavrilyuk和Koolen使用这个结果的一个较弱的版本来证明Grassmann图$J_q(2D,D)$的特征在于它的交集阵列是距离正则图，如果$D$足够大。
2018-06-10 math.CO
Isoperimetric Inequalities on Hexagonal Grids
本文考虑有限和无限六边形网格上的边和顶点等周问题：对于给定基数的六边形网格的子集W，我们给出了W与其补集之间的边数的下界，W的邻域内的顶点数和W的边界内的顶点数的下界.对于无限六边形网格，给出的边界是紧的。
2012-01-03 math.CO math.MG
The $6\times 6$ grid is $4$-path-pairable
令$G=P_6\Box P_6$为$6\times 6$网格，即两条六顶点路径的笛卡尔积。令$T$是$G$的八个不同顶点的集合，称为终端，并假设$T$被划分为四个终端对$\{s_i,t_i\}$、$1\leq i\leq 4$。证明了$G$是$4$ -路可配对的，即对每个$T$，$G$中存在成对边不相交的$s_i,t_i$ -路，即$1\leq i\leq 4$ .
2017-08-17 math.CO
Juntas in the $\ell^{1}$-grid and Lipschitz maps between discrete tori
我们表明，如果$A \subset [k]^n$，那么$A$是$ε$ -接近一个军政府取决于最多$\exp(O(|\partial A|/(k^{n-1}ε)))$坐标，其中$\partial A$表示的边缘边界的$A$的$\ell^1$ -网格。这是急剧上升到指数中的绝对常数的值。这个结果可以看作是[E. Friedgut，具有低平均灵敏度的布尔函数取决于少数坐标，Combinatorica 18（1998），27-35]，或者作为边缘边界小的$\ell^1$网格的大子集的表征。我们用它来证明两个离散环面之间Lipschitz函数结构的一个结果，这可以看作是Austin [T. Austin，关于$\ell^{\infty}$ -球的浓度失败，预印本]。我们还证明了我们的军定理，这是尖锐的，在更广泛的情况下，一个完善的版本。
2015-08-17 math.CO
On the spectrum of the forced matching number of graphs
设$G$是一个允许完美匹配的图。用于$G$的完美匹配$M$的{ \sf强制集}是$M$的子集$S$，使得$S$不包含在$G$的其它完美匹配中。这一概念最初出现在化学中的分子共振结构的研究中。类似的概念已经在名称为{ \sf defining set}的区组设计和图着色中以及在名称为{ \sf临界集}的拉丁方中进行了研究。最近几篇论文出现在研究强迫集的其他图论概念，如控制集，方向和测地学。虽然在化学的背景下已经有一些研究强迫六角系统的匹配集，但只有少数其他类别的图被考虑过。本文研究了网格$P_m \times P_n$的可能强迫匹配数的谱，讨论了某些特殊图类的强迫集的概念，并证明了求图的最小强迫数的问题是\NP -完全的.
2009-03-14 math.CO
Separator-Based Graph Embedding into Multidimensional Grids with Small Edge-Congestion
研究了将一个具有最小边拥塞的客体图嵌入到一个与客体图大小相同的多维网格中的问题。基于一个众所周知的概念的图形分隔符，我们表明，嵌入具有较小的边缘拥塞可以得到，如果客人图有一个较小的分隔符，如果主机网格有一个较高的，但恒定的尺寸。具体地说，我们证明了任何图与$N$节点，最大节点度$Δ$，并与一个节点分隔符的大小$O(n^α)$（$0\leqα<1$）可以嵌入到一个网格的一个固定的维度$d\geq 2$至少$N$节点，与边拥塞$O(Δ)$如果$d>1/(1-α)$，$O(Δ\log N)$如果$d=1/(1-α)$，和$O(ΔN^{α-1+\frac{1}{d}})$如果$d< 1/(1-α)$。如果$d>1/(1-α)$，这种边缘拥塞达到恒定比率近似，并且如果$d\leq 1/(1-α)$，这种边缘拥塞在恒定因子内匹配存在的下限。我们的结果意味着，如果客人图有一个固定大小的排除子图，如平面图，那么我们可以得到一个边拥塞的$O(Δ\log N)$的$d=2$和$O(Δ)$的任何固定的$d\geq 3$。此外，如果客体图具有固定的树宽，如树、外平面图和串并行图，则对于任意固定的$d\geq 2$，我们都可以得到$O(Δ)$的边拥塞.为了设计我们的嵌入算法，我们引入了边分隔符边界扩展，使得在递归地使用边分隔符将图划分为孤立的节点时，在递归步骤中要划分的子图的传出边的数量是有界的。我们提出了…
2014-02-28 cs.DM math.CO
On the chromatic numbers of signed triangular and hexagonal grids
符号图是具有两种边的单图。切换有符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型改变为$v$。从符号图$G$到另一符号图$H$的同态是映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$，使得在切换$G$的任意数量的顶点之后，$φ$将$G$的每条边映射到$H$中相同类型的边。符号图$G$的色数$χ_s(G)$是最小符号图$H$的阶，使得存在从$G$到$H$的同态。我们证明了符号三角形网格的色数至多为10，符号六边形网格的色数至多为4。
2020-12-17 cs.DM math.CO
Improved Bounds on the Span of $L(1,2)$-edge Labeling of Some Infinite Regular Grids
对于两个给定的非负整数$h$和$k$，图$G$的$L(h,k)$ -边标号是指给图的边分配标号$\{0,1, \cdots, n\}$，使得具有公共顶点的两条边至少用$h$的差标号，而没有公共顶点但有公共边连接它们的两条边至少用$k$的差标号.跨度$λ'_{h,k}{(G)}$是$G$允许$L(h,k)$ -边标记的最小$n$。在这里，我们的主要重点是寻找$L(1,2)$的$λ'_{1,2}{(G)}$-无限正六边形（$T_3$），正方形（$T_4$），三角形（$T_6$）和八边形（$T_8$）网格的边缘标记。已知$7 \leq λ'_{1,2}{(T_3)} \leq 8$、$10 \leq λ'_{1,2}{(T_4)} \leq 11$、$16 \leq λ'_{1,2}{(T_6)} \leq 20$和$25 \leq λ'_{1,2}{(T_8)} \leq 28$。在这里，我们解决了两个长期存在的开放问题，即$λ'_{1,2}{(T_3)}$和$λ'_{1,2}{(T_4)}$。我们显示$λ'_{1,2}{(T_3)} =7$、$λ'_{1,2}{(T_4)}= 11$。我们还改进了$T_6$和$T_8$的界，证明了$λ'_{1,2}{(T_6)} \geq 18$，$ λ'_{1,2}{(T_8)} \geq 26$ .
2022-01-18 cs.DM math.CO
Optimal $L(1,2)$-edge Labeling of Infinite Octagonal Grid
对于两个给定的非负整数$h$和$k$，图$G=(V(G),E(G))$的$L(h,k)$ -边标号是一个函数$f':E(G) \xrightarrow{}\{0,1,\cdots, n\}$，使得$\forall e_1,e_2 \in E(G)$，当$d'(e_1,e_2)=1$时为$\vert f'(e_1)-f'(e_2) \vert \geq h$，当$d'(e_1,e_2)=2$时为$\vert f'(e_1)-f'(e_2) \vert \geq k$其中$d'(e_1,e_2)$表示$G$中$e_1$和$e_2$之间的距离.这里$d'(e_1,e_2)=k'$，如果在$E(G)$中至少有$(k'-1)$个边连接$G$中的$e_1$和$e_2$。目标是找到\textit{span}，它是所有此类$L(h,k)$ -边标记上的最小$n$，并表示为$λ'_{h,k}(G)$。受无线蜂窝网络中信道分配问题的启发，研究了无限规则网格中的$L(h,k)$边标号问题。对于无限正八边形网格$T_8$，证明了$25 \leq λ'_{1,2}(T_8) \leq 28$ [Tiziana Calamoneri，International Journal of Foundations of Computer Science，Vol.26，No.04，2015]在下界和上界之间具有间隙。在…
2022-09-14 cs.DM math.CO
Graphs of Edge-Intersecting and Non-Splitting One Bend Paths in a Grid
本文研究网格中单弯折边相交且不分裂路径图（ENPG），证明其严格包含于双弯折类，刻画树、环、分裂图及余二部图，并给出识别算法（分裂图 NP 完全，余二部图线性时间）。
2017-06-09 cs.DM math.CO
Immersion in four-edge-connected graphs
固定g>1。每一个树宽足够大的图都包含一个g × g网格作为子图;但这里我们证明了每一个树宽足够大的四边连通图都包含一个g × g网格作为浸入（因此包含任何最大度至多为4的固定图作为浸入）。这一结果有许多应用。
2013-08-04 cs.DM math.CO
