Maker-Breaker-Crossing-Game on the Triangular Grid-graph
我们研究的$(p,q)$ -制造商断路器跨越游戏介绍日和Falgas Ravry在'制造商断路器渗流游戏I：跨越网格'。在他们的论文中描述的游戏涉及两个玩家Maker和Breaker，他们轮流声称p和q分别是图中尚未声明的边。Maker旨在创建一条从最左边顶点到最右边顶点的水平路径，而Breaker旨在防止这种情况。该游戏是更一般的香农切换游戏的一个版本，在正方形网格图上进行。我们考虑在三角形网格图$Δ_{(m,n)}$（m个顶点，n个顶点高）上进行的相同博弈，并针对给定的$(p,q,m,n)$，寻找Maker或Breaker的获胜策略。我们建立了一个类似的策略，使用的一天和Falgas Ravry表明：$\bullet$足够高的网格和$p\geq q$制造商有一个获胜的策略，$(p,q)$交叉游戏$Δ_{(m,n)}$。$\bullet$对于足够宽的网格和$4p\leq q$，Breaker在$Δ_{(m,n)}$上的$(p,q)$穿越游戏中有一个获胜的策略。
2022-01-06 math.CO
The maximum number of cycles in a triangular-grid billiards system with a given perimeter
研究三角网格台球系统中周长与轨迹数量的关系，证明了尖锐不等式并刻画等号情形。
2024-04-21 math.CO
A Proof Without Words: Triangles in the Triangular Grid
通过描述从$\{1,2, \dots, n+2\}$的四元素子集到该网格中的等边三角形的集合的映射，这个不用文字的证明证明了在规则的$n$ -vertices-per-side triangular grid中存在$\binom{n+2}{4}$等边三角形。具体来说，我们说明了三角形，对应于子集$\{4,5,8,11\}$在这个双射时，$n = 10$。
2022-10-31 math.CO math.HO
Limiting Behavior of Resistances in Triangular Graphs
本文通过计算研究三角图电阻的行约简算法，提出相关极限行为猜想并证明一类图的边比关系与图对称性的关联，还引入了等效电阻恒等式的机械验证方法。
2024-06-23 math.CO
Col is PSPACE-complete on Triangular Grids
本文通过从有界双人约束逻辑归约，证明 Col 在三角形网格图上为 PSPACE 完全，这是已知最结构化且计算困难的图族。
2025-01-25 cs.CC math.CO
Trimer covers in the triangular grid: twenty mostly open problems
本文将三角网格铺砌研究从二聚体推广到三聚体，引入苯环区域并提出二十个大多未解决的精确计数问题。
2024-01-17 math.CO
(l,k)-Routing on Plane Grids
分组路由问题在通信网络中起着至关重要的作用。它涉及如何在合理的时间内将数据从某些来源传输到某些目的地。在$(\ell,k)$ -路由问题中，每个节点可以发送最多$\ell$分组和接收最多$k$分组。排列路由是$\ell=k=1$的特殊情况。在$r$ -中心路由问题中，距离固定节点$v$最多$r$的所有节点都希望向$v$发送分组。本文研究了平面网格（正方形网格、三角形网格和六边形网格）上的置换布线、$r$ -中心布线和一般的$(\ell,k)$ -布线问题。我们使用的\emph{store-and-forward} $Δ$端口模型，我们认为全双工和半双工网络。我们首先调查现有的结果在文献中的数据包路由，特别强调$(\ell,k)$ -平面网格上的路由。我们的主要贡献如下：1.全双工六边形网格、半双工三角形网格和六边形网格上的紧排列路由算法。2.紧$r$ -三角形和六边形网格上的中心路由算法。3.紧$(k,k)$ -在正方形、三角形和六边形网格上的路由算法。4. $(\ell,k)$的良好近似算法（在运行时间方面）-在正方形，三角形和六边形网格上布线，以及使用最短路径布线的任何算法的运行时间的新下限。这些算法都是完全分布式的，即，可以在每个节点独立实现。最后，我们也将$(\ell,k)$ -路由问题表示为二部图上的\textsc{Weighted Edge Coloring}问题。
2009-11-23 math.CO
Covering triangular grids with multiplicity
本文受Alon和Füredi启发，研究覆盖三角网格每点至少k次所需最少仿射超平面数，对d=2且k≤4给出精确解，并对d≥k-2给出渐近公式，方法为组合与线性规划。
2023-07-25 math.CO
Triangular-Grid Billiards and Plabic Graphs
给定三角形网格中的多边形$P$，我们通过自然台球系统获得置换$π_P$，其中光束在$P$内部反弹。$π_P$中的不同周期对应于光束的不同轨迹。我们证明了\[\text{area}(P)\geq 6\text{cyc}(P)-6\quad\text{and}\quad\text{perim}(P)\geq\frac{7}{2}\text{cyc}(P)-\frac{3}{2},\]，其中$\text{area}(P)$和$\text{perim}(P)$分别是$P$的（适当归一化的）面积和周长，$\text{cyc}(P)$是$π_P$中的循环数。关于$\text{area}(P)$的不等式是紧的，并且刻画了满足$\text{area}(P)=6\text{cyc}(P)-6$的多边形$P$.这些结果可以重新表述的语言Postnikov的plabic图如下。设$G$是一个具有本质维数$2$的连通约化平面图.假设$G$具有$n$标记的边界点和$v$（内部）顶点，并且令$c$是$G$的行程置换中的循环数。然后是\[v\geq 6c-6\quad\text{and}\quad n\geq\frac{7}{2}c-\frac{3}{2}.\]
2023-03-03 math.CO
Lions and contamination, triangular grids, and Cheeger constants
假设图的每个顶点最初都被污染占据，除了那些被狮子占据的顶点。当狮子在图上徘徊时，它们会清除所访问的每个顶点的污染。然而，污染同时扩散到任何相邻的顶点没有被狮子占据。需要多少头狮子才能清除污染图？我们给出了一个下界的狮子的数量方面的Cheeger常数的图。此外，Brass等人和Berger等人已经在正方形网格图上详细研究了狮子和污染问题，并将这一分析扩展到三角网格图的设置。
2021-07-03 cs.DS math.CO
Node resistance curvature in Cartesian graph products
本文研究节点电阻曲率在笛卡尔图乘积下的表现，刻画了 m×n 网格内部与边界顶点的曲率符号，并补充 2×n 网格结果、反例及一般界。
2024-03-02 math.CO
TriCCo -- a cubulation-based method for computing connected components on triangular grids
本文提出了一种新的方法来识别大气和气候模式中用于水平方向离散的三角网格上的连通分量。与结构化经纬度网格相比，三角形网格是非结构化的，并且网格单元的邻居不简单地遵循网格单元索引。与结构化网格相比，这使得连接组件的识别变得复杂。在这里，我们表明，这种复杂性可以通过涉及cublets的数学工具，它允许一个映射到一个立方体网格的三维单元的顶点的三角形网格的二维细胞来解决。由于后者是结构化的，连接的组件可以很容易地识别以前开发的软件包立方网格。计算cumbern可能是昂贵的，但重要的是，对于给定的网格只需要执行一次。我们在一个名为TriCCo的Python包中实现了我们的方法，并通过pypi，gitlab和zenodo提供。我们的文件包，并证明其应用程序使用模拟输出的ICON大气模型。最后，我们描述了它的计算性能，并将其与基于图形的连通组件识别进行比较，使用广度优先搜索。后者表明，TriCCo已经为多达500，000个单元的三角形网格做好了准备，但它的速度和内存要求应该提高，以应用于更大的网格。
2022-09-11 math.CO math.GR physics.comp-ph
On the chromatic numbers of signed triangular and hexagonal grids
符号图是具有两种边的单图。切换有符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型改变为$v$。从符号图$G$到另一符号图$H$的同态是映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$，使得在切换$G$的任意数量的顶点之后，$φ$将$G$的每条边映射到$H$中相同类型的边。符号图$G$的色数$χ_s(G)$是最小符号图$H$的阶，使得存在从$G$到$H$的同态。我们证明了符号三角形网格的色数至多为10，符号六边形网格的色数至多为4。
2020-12-17 cs.DM math.CO
DNA Origami and Unknotted A-trails in Torus Graphs
出于确定DNA折纸自组装中的脚手架链的未打结路线的问题，我们研究了嵌入在环面上的图中的A-踪迹的存在性和打结性。我们证明了棋盘可着色环面图中的任何A-迹都是无结的，并利用相关嵌入中的拟树对刻画了棋盘可着色环面图中A-迹的存在性。表面网格是DNA纳米结构自组装的常见目标，因此我们研究了三角形和矩形环面网格。我们证明了，除了一个例外的家庭，三角形环面网格包含A-轨迹当且仅当它有一个奇数顶点，这样的A-轨迹必然是unknotted。另一方面，虽然每个矩形环面网格包含一个unknotted的A-线索，我们还表明，任何环面结可以实现为一个A-线索在一些矩形网格。最后，我们使用一个胶合操作，以构建无限家庭的三角形和矩形网格包含unknotted A-线索表面上的任意属。我们也给无限家庭的三角形网格不包含unknotted A-线索表面的任意非零属。
2017-03-21 math.CO
Firefighting on square, hexagonal, and triangular grids
在本文中，我们考虑的\emph{firefighter problem}上的图$G=(V,E)$是有限的或无限的。假设在给定顶点$v \in V$发生火灾。在随后的每个时间单元中，消防员保护一个尚未着火的顶点，然后火灾蔓延到所有未受保护的着火顶点的邻居。消防员的目标是保存尽可能多的顶点（如果$G$是有限的）或阻止火势蔓延（对于无限的情况）。有限图$G$的存活率$ρ(G)$定义为当火灾发生在均匀随机选择的$G$的一个顶点上时，可以保存的顶点的期望百分比。对于一个有限的正方形网格$P_n \square P_n$，我们表明，$5/8 + o(1) \le ρ(P_n \square P_n) \le 67243/105300 + o(1)$（离开间隙小于0.014）和猜测，生存率是渐近的5/8。本文定义了无限图的生存率，并证明了它是1/4的无限正方形网格，即使在许多初始火灾的情况下。对于无限的六边形网格，我们提供了一个获胜的策略，如果两个额外的顶点可以在任何一点的过程中得到保护，我们推测，消防员没有策略来阻止火灾没有额外的帮助。我们还展示了如何通过一个常数因子来降低火灾蔓延的速度。
2014-06-18 math.CO
The minimum stretch spanning tree problem for typical graphs
最小拉伸生成树问题在配电系统和通信网络中有广泛的应用，它是指求图G的一棵生成树T，使得T中两个邻顶点之间的最大距离最小。该问题已被证明是NP-难的，并对某些特殊的图类得到了固定参数多项式算法。在本文中，我们集中在典型的图类的最优性特征。我们确定了Petersen图、完全k-部图、分裂图、广义凸图和几种平面网格（包括矩形网格、三角形网格和三角矩形网格）的精确最优性表示。
2017-12-10 math.CO
Concave cocirculations in a triangular grid
设$G=(V(G),E(G))$是一个平面有向图，它嵌入在一个平面中，其中所有的内面都是等边三角形（每个内有三条边），并设这些面的并集$\Rscr$形成一个凸多边形。问题是：给定$G$的边界边上的一个函数$σ$，是否存在$\Rscr$上的一个凹函数$f$，它在每个有界面内是仿射线性的，并且对每个边界边$e=(u,v)$满足$f(v)-f(u)=σ(e)$？允许这样的$f$的函数$σ$形成多面体锥$C$，并且当区域$\Rscr$是三角形时，$C$恰好是蜂窝的边界数据的锥。研究蜂窝与一个问题的三重谱的零和厄米特矩阵，克努森，陶，和伍德沃德\cite{KTW}表明，$C$描述的线性不等式霍恩的类型，关于所谓的{ \em难题}，以及明显的线性约束。本文的目的是给一个替代证明的结果，工作在离散凹finctions，而不是蜂窝，并只使用线性规划和组合工具。此外，我们将结果推广到任意凸多边形$\Rscr$。
2003-04-21 math.CO
On triangular paperfolding patterns
我们介绍了由折纸操作产生的三角形网格上的图案。我们表明，在这些模式的情况下，使用一个周期序列的折叠定义，它们也可以使用替代规则和计算相应的矩阵的特征值和特征向量。我们还证明了在这些模式中，所有基本三角形的密度是相等的。
2020-04-25 math.CO math.DS
Balanced Spanning Trees for Triangular Strip Lattices
Rice University（莱斯大学）
本文针对三角条带格，通过递推关系和渐近分析，研究了平衡生成树的计数及其比例，并给出了均匀随机选取时平衡生成树的极限概率。
2026-09-09 math.CO
Stretched exponential asymptotics for bases of triangular bootstrap percolation
研究有限三角形网格上引导渗流的大小为\(n\)的基，通过证明计数基的生成函数满足代数微分方程，分析得出其基数\(t_n\)有拉伸指数渐近行为\(t_n \sim c n!e^{\sqrt{12n}}n^{5/12}\)，这是模式避免排列研究中首个此类例子。
2026-07-22 math.CO
Broadcast Domination of Triangular Matchstick Graphs and the Triangular Lattice
Blessing，Insko，Johnson和Mauretour给出了图$G=(V,E)$的控制数的一个推广，称为$(t,r)$广播控制数，它依赖于正整数参数$t$和$r$ .在该设置中，如果顶点$v \in V$向每个顶点$u \in V$发送强度为$t-d(u,v)$的信号，则顶点$v \in V$是发送强度为$t$的广播顶点，其中$d(u,v)$表示顶点$u$和$v$之间的距离，而$d(u,v) <t$表示顶点之间的距离。给定一组广播顶点$S\subseteq V$，顶点$u$处的接收是来自$S$中的广播顶点的传输的总和。集合$S \subseteq V$称为$(t,r)$广播控制集，如果每个顶点$u \in V$都有一个接收强度$r(u) \geq r$，并且对于有限图$G$，最小广播控制集的基数称为$G$的$(t,r)$广播控制数.在本文中，我们考虑无限三角网格图，并定义有效的$(t,r)$广播控制集的广播，最大限度地减少信号浪费。我们的主要结果构造了高效的$(t,r)$广播的无限三角形格上的所有$t\geq r\geq 1$。使用这些广播，然后，我们提供了上界的$(t,r)$广播控制数的三角火柴棒图时，$(t,r)\in\{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(t,t)\}$。
2018-04-20 math.CO
On some structural properties of graphs with non-negative resistance curvature
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
研究具有非负电阻曲率的图的结构，通过构造反例反驳Fiedler猜想、否定回答Devriendt问题，证明Thomassen 34 - 图性质及路径笛卡尔积是RN图，解决了关于韧性、可迹性及网格图的相关猜想。
2026-10-20 math.CO
Algorithmic techniques for finding resistance distances on structured graphs
在本文中，我们给出了一个调查的方法来计算值的电阻距离（也称为有效电阻）的图表。电阻距离不仅在电路理论和化学中，而且在组合矩阵理论和谱图论中起着重要的作用。此外，电阻距离的应用范围从量化生物结构，分布式控制系统，网络分析，和电网系统。在本文中，我们讨论了精确技术和近似技术，并为每种方法讨论，我们提供了一个说明性的例子的技术。我们还提出了一些开放的问题和建议。
2021-09-13 cs.IT math.CO math.IT
Hamiltonian Cycles in Linear-Convex Supergrid Graphs
超网格图是与二维超网格相关联的无限图的有限导出子图。超网格图包含网格图和三角网格图作为子图。网格图和三角网格图的Hamilton圈问题是NP-完全的。在过去，我们已经证明了超网格图的Hamilton圈问题也是NP-完全的。超网格图上的Hamilton圈问题可用于电脑缝纫机的缝纫轨迹控制。本文研究了超网格图的一个子类--线性凸超网格图的Hamilton圈性质。一个连通图称为$k$ -连通图，如果它的每一对顶点之间都存在$k$顶点不相交的路;如果它的每一个顶点的邻居构成一个连通子图，则称为局部连通图。在本文中，我们首先证明了任何2-连通的线性凸超格图是局部连通的。然后，我们证明了任何2-连通，线性凸超网格图包含一个哈密尔顿圈。
2015-05-31 cs.DM math.CO
Independent Set Enumeration and Estimation of Related Constants of Grid Graphs and Their Variants
本研究利用张量网络收缩算法枚举网格图及其变体的独立集，分析表面与奇偶效应，估计相关常数，并为OEIS序列贡献新项，其中硬方形熵常数估计更精确。
2025-08-08 math.CO
A Project on Cyclic Ordering of Some Families of Graphs
设$G$是一个$n$ -点连通图. $G$的循环基排序是所有边的循环排序，使得每个循环连续的$n-1$边导出$G$的生成树。在这个项目中，我们研究了三角格图的循环基序，图的级数合成，广义θ图和循环图。
2022-11-15 math.CO
Interlacing triangles, Schubert puzzles, and graph colorings
本文证明交错三角阵列可用于计算 Grassmannians 及相关簇上同调中 Schubert 类乘法的结构常数，通过建立分裂引理和构造与图着色及 Knutson-Tao 谜题相关的双射，证明并反驳了相关计数猜想。
2025-04-22 math.AG math.CO math.PR
Improved bounds on the sandpile diffusions on Grid graphs
阿贝尔沙堆模型是一个定义在图上的离散扩散过程（Dhar [10]，Dhar等人[11]），它是自组织临界性的标准模型。沙堆的瞬时类被定义为在不使系统递归的情况下可以添加的粒子的最大数量（[3]）。Babai和Goroprsky（SODA 2007，[2]）使用初等组合参数和对称性质证明了nxn网格的瞬变类的O（n^30）界。后来Choure和Vishwanathan（SODA 2012，[7]）使用基于图上调和函数的技术将其改进为O（n^7）。时间复杂度为O（n^7 log n）。我们还证明了网格网络上的某些电阻比的紧界。用于导出这些界限的工具可能是独立的兴趣。
2013-05-13 cs.DM math-ph math.CO
